(图论)matlab模板程序
图论常用算法matlab程序
运筹学算法matlab程序西北工业大学数学系2009级1.顺向Dijkstra 算法M=[ 0 5 9 Inf Inf Inf InfInf 0 Inf Inf 12 Inf InfInf 3 0 15 Inf 23 InfInf 6 Inf 0 Inf 8 7Inf 12 Inf 5 0 Inf 14Inf Inf Inf Inf Inf 0 10Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0];first=1;last=7;[m,n]=size(M);L=zeros(1,m);symbol=zeros(1,m);direction=zeros(1,m);for i=1:mif(i~=first)L(i)=inf;enddirection(i)=first;endjudge=1;while judgefor i=1:mif(symbol(i)==0)min=L(i);temporary=i;breakendendfor i=1:mif(symbol(i)==0)if(L(i)<min)min=L(i);temporary=i;endendendk=temporary;for j=1:mif(symbol(1,j)==0)if(M(k,j)==inf)continue;elseif(L(k)+M(k,j)<L(j))L(j)=L(k)+M(k,j);direction(j)=k;endendendendsymbol(k)=1;num=0;for i=1:mif(symbol(i)==1)num=num+1;endendif(num==m)judge=0;endendp=last;arrow=zeros(1,m);arrow(1)=last;i=2;while p~=firstarrow(1,i)=direction(p);i=i+1;p=direction(p);enddistance=L(last);M=[ 0 5 9 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf 12 Inf InfInf 3 0 15 Inf 23 Inf Inf 6 Inf 0 Inf 8 7 Inf 12 Inf 5 0 Inf 14 Inf Inf Inf Inf Inf 0 10Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0]; [m,n]=size(M);first=1;last=7;L=zeros(1,m);direction=zeros(1,m);symbol=zeros(1,m);for i=1:mdirection(i)=last;if(i~=last)L(i)=inf;endendjudge=1;while judgefor i=1:mif(symbol(i)==0)min=L(i);temporary=i;breakendendfor i=1:mif(symbol(i)==0)if(L(i)<min)min=L(i);temporary=i;endendendk=temporary;for i=1:mif(M(i,k)==inf)continueelseif(M(i,k)+L(k)<L(i))L(i)=L(k)+M(i,k);direction(i)=k;endendendsymbol(k)=1;sum=0;for i=1:mif(symbol(i)==1)sum=sum+1;endendif(sum==m)judge=0;endendp=first;i=2;arrow=zeros(1,m);arrow(1)=first;while p~=lastarrow(i)=direction(p);i=i+1;p=direction(p);endd=[0 7 5 12 inf infinf 0 inf 3 inf infinf inf 0 6 inf 1512 inf 6 0 inf 86 inf 13 inf 0 infinf 4 15 inf 9 0];[m,n]=size(d);p=zeros(m,n);for i=1:np(:,i)=i;endfor k=1:nfor i=1:mfor j=1:nif(d(i,k)+d(k,j)<d(i,j))d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);p(i,j)=p(i,k);endendendend4.仿floyd 算法d=[inf 6 0 4 0 0 00 inf 0 0 5 0 04 7 inf 0 05 00 0 4 inf 0 3 00 0 2 0 inf 0 00 0 0 0 4 inf 50 0 0 0 6 0 inf];[m,n]=size(d);first=1;last=7;direction=zeros(m,m);for i=1:mdirection(:,i)=i;endfor i=1:mfor j=1:mfor k=1:msmall=min(d(i,k),d(k,j));if d(i,j)<smalld(i,j)=small;direction(i,j)=direction(i,k);endendendendarrow=zeros(1,m);arrow(1)=first;i=2;p=first;while p~=lastp=direction(p,last);arrow(i)=p;i=i+1;end—dijkstra算法d=[0 inf 3 5 inf10 0 14 inf 8inf inf 0 7 -6inf inf inf 0 infinf inf inf -1 0];[m,n]=size(d);first=2;last=4;L=zeros(1,n);z=zeros(m,n);symbol=zeros(1,n);direction=zeros(1,n);for i=1:nfor j=1:mif d(i,j)~=0if d(i,j)~=infz(i,j)=1;endendenddirection(i)=first;if i~=firstL(i)=inf;endendjudge=1;while judgemini=10;for j=1:nif symbol(j)==0sum=0;for i=1:mp=z(i,j)*(1-symbol(i));sum=sum+p;endif(sum==0)mini=j;breakendendendfor j=1:nif symbol(j)==0&&z(mini,j)==1if L(mini)+d(mini,j)<L(j)L(j)=L(mini)+d(mini,j);direction(j)=mini;endendendsymbol(mini)=1;num=0;for i=1:nif symbol(i)==1num=num+1;endendif num==m;judge=0;endendarrow=zeros(1,m);p=last;arrow(1)=last;i=2;while p~=firstp=direction(p);arrow(i)=p;i=i+1;end—dijkstra算法d=[0 inf 3 5 inf10 0 14 inf 8inf inf 0 7 -6inf inf inf 0 infinf inf inf -1 0];[m,n]=size(d);first=2;last=4;L=zeros(1,n);z=zeros(m,n);symbol=zeros(1,n);direction=zeros(1,n);for i=1:nfor j=1:mif d(i,j)~=0if d(i,j)~=infz(i,j)=1;endendenddirection(i)=last;if i~=lastL(i)=inf;endendjudge=1;while judgemini=10;for i=1:nif symbol(i)==0sum=0;for j=1:mp=z(i,j)*(1-symbol(j));sum=sum+p;endif(sum==0)mini=i;breakendendendfor i=1:nif symbol(i)==0&&z(i,mini)==1if L(mini)+d(i,mini)<L(i)L(i)=L(mini)+d(i,mini);direction(i)=mini;endendendsymbol(mini)=1;num=0;for i=1:nif symbol(i)==1num=num+1;endendif num==m;judge=0;endendarrow=zeros(1,m);p=first;arrow(1)=first;i=2;while p~=lastp=direction(p);arrow(i)=p;i=i+1;endM=[ 0 17 11 inf inf inf17 0 13 12 28 1511 13 0 inf 19 infinf 12 inf 0 inf 16inf 28 19 inf 0 10inf 15 inf 16 10 0];[m,n]=size(M);X=zeros(m,n);Y=zeros(m);Z=zeros(m);Y(1)=1;for i=2:mZ(i)=i;endjudge=1;while judgefor i=1:mif(Y(i)~=0)for j=1:mif(Z(j)~=0)min=M(i,j);a=i;b=j;endendendendfor i=1:mif(Y(i)~=0)for j=1:mif(Z(j)~=0)if(M(i,j)<min)min=M(i,j);a=i;b=j;endendendendendY(b)=b;Z(b)=0;X(a,b)=1;X(b,a)=1;c=0;for i=1:mif(Y(i)~=0)c=c+1;endendif(c==m)judge=0;endend网络最大流Ford—Fulkersen算法d=[inf 12 17 0 0 00 inf 0 8 0 00 6 inf 0 12 00 0 5 inf 0 150 0 0 4 inf 90 0 0 0 0 inf];[m,n]=size(d);X=zeros(m,n);first=1;last=6;recognize=1;while recognizeL=zeros(1,m);L(first)=inf;direction=ones(1,m);symbol=zeros(1,m);judge=1;while judgefor i=1:mif symbol(i)==0big=L(i);k=i;break;endendfor i=1:mif symbol(i)==0if L(i)>bigbig=L(i);k=i;endendendif k==nif L(n)==0breakendelsefor j=1:mif d(k,j)>0u=min(L(k),d(k,j)-X(k,j));if u>L(j)L(j)=u;direction(j)=k;endelseif d(j,k)>0u=min(L(k),X(j,k));if u>L(j)L(j)=u;direction(j)=k;endendendendendsymbol(k)=1;num=0;for i=1:mif symbol(i)==1num=num+1;endendif num==mjudge=0;endendafter=last;before=after;while before~=firstbefore=direction(after);if d(before,after)>0X(before,after)=X(before,after)+L(n); elseX(before,after)=X(before,after)-L(n); endafter=before;endif L(m)==0recognize=0;end end。
MATLAB中常见的图论算法介绍
MATLAB中常见的图论算法介绍一、引言图是计算机科学中非常重要的一种数据结构，广泛应用于各个领域。
图论算法能够解决多种问题，如网络分析、社交网络分析、路径规划等。
在本篇文章中，我们将介绍一些在MATLAB中常见的图论算法，帮助读者了解和应用这些算法。
二、图的表示方法在MATLAB中，图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中行和列分别代表图的节点，矩阵中的元素表示节点之间的关系。
邻接表是一个包含图中所有节点的列表，每个节点链接到其相邻节点的列表。
三、最短路径算法1. Dijkstra算法Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即寻找一个节点到图中其他所有节点的最短路径。
算法的基本思想是通过不断选择最短路径的节点来逐步扩展最短路径树。
在MATLAB中，可以使用graph对象和shortestpath函数来实现Dijkstra算法。
首先，使用graph对象创建图，然后使用shortestpath函数计算从源节点到目标节点的最短路径。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法也用于解决单源最短路径问题，但相比Dijkstra算法，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
算法的基本思想是通过松弛操作来逐步减小节点的估计距离，直到找到最短路径。
在MATLAB中，可以使用graph对象和shortestpath函数来实现Bellman-Ford算法。
与Dijkstra算法类似，首先使用graph对象创建图，然后使用shortestpath函数计算最短路径。
四、最小生成树算法1. Prim算法Prim算法用于寻找一个无向图的最小生成树。
算法的基本思想是从一个初始节点开始，逐步添加边，直到所有节点都被连接成一棵生成树。
在MATLAB中，可以使用graph对象和minspantree函数来实现Prim算法。
首先，使用graph对象创建图，然后使用minspantree函数计算最小生成树。
超全图论matlab程序-可解决图论方面的绝大多数问题
程序三：有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法
function W=mattransf(F,f) if f==0 m=sum(sum(F)); n=size(F,1); W=zeros(n,m); k=1; for i=1:n for j=i:n if F(i,j)~=0 W(i,k)=1; W(j,k)=-1; k=k+1; end end end elseif f==1 m=size(F,2); n=size(F,1); W=zeros(n,n); for i=1:m a=find(F(:,i)~=0); if F(a(1),i)==1 W(a(1),a(2))=1; else W(a(2),a(1))=1; end end else fprint('Please imput the right value of f'); end W;
第二讲：最短路问题
程序一：Dijkstra算法（计算两点间的最短路）
图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph-and-Network-Analysis)
2019/11/17
Dijkstra 算法
2019/11/17
由图G建立一步可达距离阵D=(dij)n×n
给V1(Vs)括号(l1,Vk)=(0,s)给出已标号集合 I和未标号集合J的元素
对于给定的I和J，确定集合A={aij |Vi∈I，Vj ∈J}
1
7
v4 5
v5
• 2. 方法：Dijkstra算法（Dijkstra，1959）
Dijkstra, E.W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik 1, 269–271.
• 原理： Bellman最优化原理 若P是网络G中从Vs到Vt的一条最短路，Vl是P中除Vs与Vt外 的任何一个中间点，则沿P从Vs到Vl的一条路P1亦必是Vs 到Vl的最短路。 证明（反证）：
问题的两个共同特点
（1）目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案，数学问题称 为最优化或优化问题。
（2）它们都可用图形形式直观描述，数学上把这 种与图相关的结构称为网络。图和网络相关 的最优化问题就是网络最优化。 网络优化问题是以网络流为研究的对象，常 常被称为网络流或网络流规划等。
Kruskal, J.B. (1956). On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and the Traveling Salesman Problem. Proceedings of the American Mathematical Society 7, 48-50.
2019/11/17
matlab图论方法ppt课件
如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条
边上增设顶点使之满足.
ppt课件.
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定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数 F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网 络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
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解：用Floyd算法,首先写出其(对称的)权矩 阵A = (aij )8×8，然后利用计算机编程计算.
01234567 0 0 2 8 1∞∞∞∞ 1 2 0 6∞ 1∞∞∞ 2 8 6 0 7 5 1 2∞ 3 1∞ 7 0∞∞ 9∞ 4∞ 1 5∞ 0 3∞ 8 5∞∞ 1∞ 3 0 4 6 6∞∞ 2 9∞ 4 0 3 7 ∞ ∞ ∞ ∞ 8 ppt课件. 6 3 0 23
已知设备在每年年初的购买费分别为11,11, 12,12,13. 使用不同时间设备所需的维修费分别 为5,6,8,11,18.
解 设bi 表示设备在第i 年年初的购买费,ci 表 示设备使用i 年后的维修费, V={v1, v2, … , v6},点 vi表示第i 年年初购进一台新设备,虚设一个点v6表 示第5年年底. E ={vivj | 1≤i＜j≤6}.
G为有限图或n阶图. ppt课件.
5
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向 图(如图1); 如果E的每一条边都是有向边, 则称G 为有向图(如图2); 否则, 称G为混合图.
图论算法及MATLAB程序代码
i f(x(j)<x(i))xx=x(j);x(j)=x(i);x(i)=xx; end;end;end
T(n,n)=0; %将矩阵 T 中所有的元素赋值为 0 q=0; %记录加入到树 T 中的边数
for(s=1:k)if(q==n)break;end %获得最小生成树 T, 算法终止
for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if (A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s); %加入边到树 T 中 TT=T; %临时记录 T
%更新 dij
R(i,j)=k;end;end;end
%更新 rij
k %显示迭代步数 D %显示每步迭代后的路长
R %显示每步迭代后的路径
pd=0;for i=1:n %含有负权时 if(D(i,i)<0)pd=1;break;end;end %存在一条含有顶点 vi 的负回路
if(pd)break;end
设 G = ( X, Y, E )为二部图, 其中 X = {x1, x2, … , xn }, Y = { y1, y2, … , yn}. 任取 G 的一初 始匹配 M (如任取 e∈E, 则 M = {e}是一个匹配).
① 令 S = φ , T = φ , 转向②. ② 若 M 饱和 X \ S 的所有点, 则 M 是二部图 G 的最大匹配. 否则, 任取 M 的非饱和点 u∈X \ S , 令 S = S ∪{ u }, 转向③. ③ 记 N (S ) = {v | u∈S, uv∈E }. 若 N (S ) = T, 转向②. 否则取 y∈N (S ) \ T. 若 y 是 M 的饱和点, 转向④, 否则转向⑤. ④ 设 x y∈M, 则令 S = S ∪{ x }, T = T ∪{ y }, 转向③. ⑤ u − y 路是 M−增广路, 设为 P, 并令 M = M⊕P, 转向①. 这里 M⊕P = M∪P \ M∩ P, 是对称差. 由于计算 M−增广路 P 比较麻烦, 因此将迭代步骤改为： ① 将 X 中 M 的所有非饱和点(不是 M 中某条边的端点)都给以标号 0 和标记*, 转向②. ② 若 X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 则 M 是 G 的最大匹配. 否则任取 X 中一 个既有标号又有标记*的点 xi , 去掉 xi 的标记*, 转向③. ③ 找出在 G 中所有与 xi 邻接的点 yj (即 xi yj∈E ), 若所有这样的 yj 都已有标号, 则转向 ②, 否则转向④. ④ 对与 xi 邻接且尚未给标号的 yj 都给定标号 i. 若所有的 yj 都是 M 的饱和点, 则转向⑤, 否则逆向返回. 即由其中 M 的任一个非饱和点 yj 的标号i 找到 xi, 再由 xi 的标号k 找到 yk , … , 最后由 yt 的标号 s 找到标号为 0 的 xs 时结束, 获得 M −增广路 xs yt … xi yj, 记 P = {xs yt, … , xi yj }, 重新记 M 为 M⊕P, 转向①. ⑤ 将 yj 在 M 中与之邻接的点 xk (即 xk yj∈M), 给以标号 j 和标记*, 转向②.
matlab图论程序算法大全
精心整理图论算法matlab实现求最小费用最大流算法的 MATLAB 程序代码如下：n=5;C=[0 15 16 0 00 0 0 13 14forwhileforfor(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j);elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j);elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;endfor(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;end ;end;endif(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有whileifelseifififpd=0;值t=n;ifelseifif(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程t=s(t);endif(pd)break;end%如果最大流量达到预定的流量值wf=0; for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end;end %计算最大流量zwf=0;for(i=1:n)for(j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);end;end%计算最小费用f %显示最小费用最大流图 6-22wf %显示最小费用最大流量zwf %显示最小费用, 程序结束__Kruskal 避圈法：k=1; %forifkk=1;for(s=1:k-1)if(x(k)==x(s))kk=0;break;end;end %排除相同的正数k=k+kk;end;end;endk=k-1 %显示A中所有不同正数的个数for(i=1:k-1)for(j=i+1:k) %将x 中不同的正数从小到大排序if(x(j)<x(i))xx=x(j);x(j)=x(i);x(i)=xx;end;end;endT(n,n)=0; %将矩阵T 中所有的元素赋值为0q=0; %记录加入到树T 中的边数for(s=1:k)if(q==n)break;end %获得最小生成树T, 算法终止for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if (A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s); %加入边到树T 中TT=T;whileforforifif(pd)pd=0;forifelseT %用2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf8 6 0 7 5 1 2 Inf1 Inf 7 0 Inf Inf 9 InfInf 1 5 Inf 0 3 Inf 8Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB 中, Inf 表示∞D=A; %赋初值for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end %赋路径初值for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)<D(i,j))D(i,j)=D(i,k)+D(k, j); %k %D %R %pd=0;ifif(pd)end %0 0 0 0 0 3 2 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0 0]; %弧容量for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;end %No,d 记录标号图 6-19while(1)whileforfor弧时ifelseifififif(pd)while(1)if(No(t)>0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(No(t)<0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt;end %后向弧调整if(No(t)==1)for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0; end;break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程t=No(t);end;end; %继续调整前一段弧上的流fwf=0;for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end %计算最大流量f %显示最大流wf %显示最大流量No %显示标号, 由此可得最小割, 程序结束ifforendelseifforW(a(1),a(2))=1;W(a(2),a(1))=1;endelsefprint('Please imput the right value of f');endW;程序二：可达矩阵算法function P=dgraf(A)精心整理n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A^i;endP(P~=0)=1;P;程序三：有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法function W=mattransf(F,f)if f==0forendelseifforendelsefprint('Please imput the right value of f');endW;第二讲：最短路问题程序一：Dijkstra算法（计算两点间的最短路）function [l,z]=Dijkstra(W)l(i)=W(1,i);z(i)=0;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j-1;endendendendendend程序三：n2short.m 计算指定两点间的最短距离function [P u]=n2short(W,k1,k2)n=length(W);U=W;m=1;for j=1:nif U(i,j)>U(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2);k=1;kk=k2;whileforendendk=1;forendP;)function[Pm D]=n1short(W,k)n=size(W,1);D=zeros(1,n);for i=1:n[P d]=n2short(W,k,i);Pm{i}=P;D(i)=d;end程序五：pass2short.m(计算经过某两点的最短距离)精心整理function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2) [p1 d1]=n2short(W,k1,t1);[p2 d2]=n2short(W,t1,t2);[p3 d3]=n2short(W,t2,k2);dt1=d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short(W,k1,t2);[p5 d5]=n2short(W,t2,t1);[p6 d6]=n2short(W,t1,k2);dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;elseendP;d;ifforendendelseb=d;endn=max(max(b(1:2,:)));m=size(b,2);[B,i]=sortrows(b',3);B=B';c=0;T=[];精心整理k=1;t=1:n;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))T(1:2,k)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);k=k+1;tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i))); tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1:nif t(j)==tmaxt(j)=tmin;endc;k=1:l;e=1;whileformin=a(i,j);b=a(i,j); s=i;d=j;endendendendlistV(d)=1;distance(e)=b;source(e)=s;destination(e)=d;精心整理e=e+1;endT=[source;destination];for g=1:e-1c(g)=a(T(1,g),T(2,g));endc;另外两种程序最小生成树程序1（prim 算法构造最小生成树）endresult最小生成树程序2（Kruskal 算法构造最小生成树）clc;clear;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;精心整理a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;[i,j,b]=find(a);data=[i';j';b'];index=data(1:2,:);loop=max(size(a))-1;endendresult第四讲：Euler图和Hamilton图程序一：Fleury算法（在一个Euler图中找出Euler环游）注：包括三个文件；fleuf1.m, edf.m, flecvexf.mfunction [T c]=fleuf1(d)%注：必须保证是Euler环游，否则输出T=0,c=0b(b==inf)=0;b(b~=0)=1;m=0;a=sum(b);eds=sum(a)/2;ed=zeros(2,eds);vexs=zeros(1,eds+1);matr=b;for i=1:nifendendif m~=0endif m==0forfor g=1:edsc=c+d(T(1,g),T(2,g));endflagg=0;break;endendendendfunction[flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem)[dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem);if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex];vexs(1,i+1)=dvex;matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0;endendf=0;dvex=0;ded=[];ifelseforendif kkk==length(edd)tem=vexs(1,i)*ones(1,kkk);edd1=[tem;edd];for l1=1:kkklt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2)lt=lt+1;endend精心整理if lt==0ded(ddd)=edd(l1);ddd=ddd+1;endendendif temp<=length(dvex1)dvex=dvex1(temp);elseif temp>length(dvex1) & temp<=length(ded)dvex=ded(temp);elseendend路）%d%Cendendendd2=0;for i=1:nif i<nd2=d2+d(i,i+1);elsed2=d2+d(n,1);endendtext(10,30,num2str(d2));n=size(d,2);C=[linspace(1,n,n) 1];for nnn=1:20C1=C;if n>3for m=4:n+1for i=1:(m-3)for j=(i+2):(m-1)if (d(C(i),C(j))+d(C(i+1),C(j+1))<d(C(i),C(i+1))+d(C(j),C(j+1))) C1(1:i)=C(1:i);for k=(i+1):jd1;endfor i=1:nstr1='V';str2=num2str(i);dot=[str1,str2];text(v(i,1)-1,v(i,2)-2,dot); %给点命名endv2=[v;v(1,1),v(1,2)];plot(v(C(:),1),v(C(:),2),'r');text(10,30,num2str(d1));第五讲：匹配问题及算法程序一：较大基础匹配算法function J=matgraf(W)n=size(W,1);J=zeros(n,n);while sum(sum(W))~=0a=find(W~=0);t1=mod(a(1),n);if t1==0t1=n;endifendendJ;ifendb=a;ifendfor i =1:m(1)b(i,:)=b(i,:)-min(b(i,:));endfor j=1:m(2)b(:,j)=b(:,j)-min(b(:,j));endd=(b==0);[e,total]=fc02(d);while total~=m(1)b=fc03(b,e);精心整理d=(b==0);[e,total]=fc02(d);endinx=sub2ind(size(a),e(:,1),e(:,2)); e=[e,a(inx)];s=sum(a(inx));function [e,total]=fc02(d)total=0;m=size(d);e=zeros(m(1),2);t=sum(sum(d)');nump=sum(d');whileendwhiletp=sum(p+q);inp=find(p==1);n=size(inp);for i=1:n(1)inq=find(b(inp(i),:)==0); q(inq)=1;endinp=find(q==1);n=size(inp);for i=1:n(1)精心整理if all(e(:,2)-inp(i))==0inq=find((e(:,2)-inp(i))==0);p(e(inq))=1;endendtq=sum(p+q);t=tq-tp;endinp=find(p==1);inq=find(q==0);cmin=min(min(b(inp,inq))');for%求初始匹配Mif(M(i,j))break;end;end %获得仅含一条边的初始匹配M while(1)for(i=1:m)x(i)=0;end %将记录X中点的标号和标记*for(i=1:n)y(i)=0;end %将记录Y中点的标号和标记*for(i=1:m)pd=1; %寻找X中M的所有非饱和点for(j=1:n)if(M(i,j))pd=0;end;endif(pd)x(i)=-n-1;end;end %将X中M的所有非饱和点都给以标号0 和标记*, 程序中用n+1 表示0for取Xif标记for;e nd %if(k>1)k=k-1;for(j=1:k)pdd=1;for(i=1:m)if(M(i,yy(j)))x(i)=-yy(j);pdd=0;break;end;end %将yj 在M中与之邻接的点xk (即xkyj∈M), 给以标号j 和标记*if(pdd)break;end;endif(pdd)k=1;j=yy(j); %yj 不是M的饱和点while(1)P(k,2)=j;P(k,1)=y(j);j=abs(x(y(j))); %任取M的一个非饱和点yj, 逆向返回if M-增广路forM去掉Mif*,M %程序3 Kuhn-Munkres算法（即赋权完备二元图的最佳匹配程序）function kk=kexingdian(A)%求赋权完备二元图最佳匹配A=[4 5 5 1;2 2 4 6;4 2 3 3;5 0 2 1]; %A为邻接矩阵n=length(A);for(i=1:n)L(i,1)=0;L(i,2)=0;endfor(i=1:n)for(j=1:n)if(L(i,1)<A(i,j))L(i,1)=A(i,j);end; %初始可行点标记L M(i,j)=0;end;endfor(i=1:n)for(j=1:n) %生成子图Glif(L(i,1)+L(j,2)==A(i,j))Gl(i,j)=1;jsn=0;for(i=1:jss)for(j=1:n)if(Gl(S(i),j))jsn=jsn+1;NlS(jsn)=j; %NL(S)={v|u ∈S,uv∈EL}for(k=1:jsn-1)if(NlS(k)==j)jsn=jsn-1;end;end;end;end;endif(jsn==jst)pd=1; %判断NL(S)=T?for(j=1:jsn)if(NlS(j)~=T(j))pd=0;break;end;end;end if(jsn==jst&pd)al=Inf; %如果NL(S)=T, 计算al, Inf为∞ for(i=1:jss)for(j=1:n)pd=1;for(k=1:jst)if(T(k)==j)pd=0;break;end;endfor(j=1:jsn)pd=1; %取y∈NL(S)\Tfor(k=1:jst)if(T(k)==NlS(j))pd=0;break;end;end if(pd)jj=j;break;end;endpd=0; %判断y是否为 M的饱和点for(i=1:n)if(M(i,NlS(jj)))pd=1;ii=i;break;end;endif(pd)jss=jss+1;S(jss)=ii;jst=jst+1;T(jst)=NlS(jj); %S=S∪{x}, T=T∪{y}else %获得Gl 的一条M-增广路, 调整匹配 Mfor(k=1:jst)M(S(k),T(k))=1;M(S(k+1),T(k))=0;endif(jst==0)k=0;endM %%C%f1%f%wfifelsef=f1;endNo=zeros(1,n);d=zeros(1,n);while (1)No(1)=n+1;d(1)=Inf;while (1)pd=1;for (i=1:n)精心整理if (No(i))for (j=1:n)if (No(j)==0 & f(i,j)<C(i,j))No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0;if (d(j)>d(i))d(j)=d(i);endelseif (No(j)==0 & f(j,i)>0)No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;if (d(j)>d(i))d(j)=d(i);endifendendt=No(t);endendwf=0;for (j=1:n)wf=wf+f(1,j);endf;wf;精心整理程序二：Busacker-Gowan算法(求最大流最小费用)%C=[0 15 16 0 0;0 0 0 13 14;0 11 0 17 0;0 0 0 0 8;0 0 0 0 0]%b=[0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0]%function [f wf zwf]=BGf(C,b)%C表示弧容量矩阵%b表示弧上单位流量的费用%f表示最大流最小费用矩阵%wf最大流量%zwf表示最小费用n=size(C,2);whileforendforendforendforfor (i=2:n)for (j=1:n)if (p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;endendendif (pd)break;end精心整理endif (p(n)==inf)break;enddvt=inf;t=n;while (1)if (a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t);elseif (a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));endendifendendif (pd)break;endwf=0;for (j=1:n)wf=wf+f(1,j);endendzwf=0;for (i=1:n)精心整理for (j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);endend。
图论中最短路问题的MATLAB程序实现[1]
![图论中最短路问题的MATLAB程序实现[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8dac0b7e8e9951e79b8927e2.png)
安庆师范学院学报（自然科学版）２００７年１问题的提出设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）为连通图，顶点集为｛１，２，３，…ｎ｝，图中各边（ｉ，ｊ）有非负权ｃｉｊ（当（ｉ，ｊ）不是边时，权等于ｉｎｆ；当（ｉ，ｊ）是有向边时，ｃｊｉ与ｃｉｊ可以不相等），求一条道路使它是从顶点１到顶点ｎ的所有道路中总权数最小的路，这就是图论中的最短路问题［１］。
解决这个问题至今公认最好的方法是１９５９年提出Ｄｉ－ｊｋｓｔｒａ算法，它用于计算一个点ｓ到其他所有点的最短路。
此算法基本原理是：若某条路是最短路，这条路上的任意一段路也是连接这段路两个端点的最短路［１，２］。
２算法描述［３，４］第一步将点ｓ标上永久性标记Ｐ（ｓ）＝０，表示从开始点ｓ到达点ｓ的最短距离是零。
第二步将其余的顶点标上Ｔ标记，Ｔ记号是试探性标记，点ｊ的Ｔ标记Ｔ（ｊ）分两部分，Ｔ（ｊ）＝Ｔ１（ｊ）（Ｔ２（ｊ）），第一部分Ｔ１（ｊ）为从开始点ｓ经过带Ｐ标记的点到达ｊ点的最短路的权和，括号中Ｔ２（ｊ）为第二部分，是这最短路中ｊ点的前一点（如有多条最短路，则Ｔ２（ｊ）可能有多值）。
不能经过带Ｐ标记的点到达的点的Ｔ１值是无穷大（用ｉｎｆ表示），Ｔ２是空集。
第三步若这些带有Ｔ标记中权和数Ｔ１最小的点是ｋ，则点ｋ是带Ｐ标记的点外与开始点ｓ最近的点。
把点ｋ的Ｔ标记改为Ｐ标记，如果权和数最小的点有多个，则把它们都改为Ｐ标记。
若点ｎ不是Ｐ标记，转第二步（对带有Ｔ标记的点重新标记，直至点ｎ为Ｐ标记为止）。
第四步追寻最短路，从终点ｎ开始逆向逐次求最短路经过的点权和为Ｐ（ｎ）．从算法直接可见所得到的路是最短路。
上述算法更具体的步骤如下：不妨设开始点的标号是１。
⑴设Ｎ＝０，Ｐ（１）＝０，其余各点都是Ｔ标记，Ｔ１值为无穷大，Ｔ２值为空集。
⑵若ｖｉ点为刚成为Ｐ标记的（一个或几个）点，将所有与这些ｖｉ相邻的带有Ｔ标记的点ｖｊ的Ｔ标记的值改为；若Ｔ１（ｖｊ，Ｎ＋１）＝Ｐ（ｖｉ）＋ｃｉｊ，则Ｔ２（ｖｊ，Ｎ＋１）＝ｖｉ，若Ｔ１（ｖｊ，Ｎ＋１）＝Ｔ１（ｖｊ，Ｎ），则Ｔ２（ｖｊ，Ｎ＋１）＝Ｔ２（ｖｊ，Ｎ），（因此Ｔ２可能是多值的）。
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(图论)matlab模板程序第一讲：图论模型程序一：可达矩阵算法%根据邻接矩阵A（有向图）求可达矩阵P（有向图）function P=dgraf(A)n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A^i;endP(P~=0)=1; %将不为0的元素变为1P;程序二：无向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法F表示所给出的图的相应矩阵W表示程序运行结束后的结果f=0表示把邻接矩阵转换为关联矩阵f=1表示把关联矩阵转换为邻接矩阵%无向图的关联矩阵和邻接矩阵的相互转换function W=incandadf(F,f)if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵m=sum(sum(F))/2; %计算图的边数n=size(F,1);W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1; %给边的始点赋值为1W(j,k)=1; %给边的终点赋值为1k=k+1;endendendelseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0);W(a(1),a(2))=1; %存在边，则邻接矩阵的对应值为1W(a(2),a(1))=1;endelsefprint('Please imput the right value of f');endW;程序三：有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法%有向图的关联矩阵和邻接矩阵的转换function W=mattransf(F,f)if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵m=sum(sum(F));n=size(F,1);W=zeros(n,m);k=1;for i=1:nfor j=i:nif F(i,j)~=0 %由i发出的边，有向边的始点W(i,k)=1; %关联矩阵始点值为1W(j,k)=-1; %关联矩阵终点值为-1k=k+1;endendendelseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros(n,n);for i=1:ma=find(F(:,i)~=0); %有向边的两个顶点if F(a(1),i)==1W(a(1),a(2))=1; %有向边由a(1)指向a(2)elseW(a(2),a(1))=1; %有向边由a(2)指向a(1)endendelsefprint('Please imput the right value of f');endW;第二讲：最短路问题程序0：最短距离矩阵W表示图的权值矩阵D表示图的最短距离矩阵%连通图中各项顶点间最短距离的计算function D=shortdf(W)%对于W(i,j),若两顶点间存在弧，则为弧的权值，否则为inf；当i=j时W(i,j)=0 n=length(W);D=W;m=1;while m<=nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,j)>D(i,m)+D(m,j)D(i,j)+ D(i,m)+D(m,j); %距离进行更新endendendm=m+1;endD;程序一：Dijkstra算法（计算两点间的最短路）function [l,z]=Dijkstra(W)n = size (W,1);for i = 1 :nl(i)=W(1,i);z(i)=0;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j-1;if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end程序二：floyd算法（计算任意两点间的最短距离）function [d,r]=floyd(a)n=size(a,1);d=a;for i=1:nfor j=1:nr(i,j)=j;endendr;for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);r(i,j)=r(i,k);endendendend程序三：n2short.m 计算指定两点间的最短距离function [P u]=n2short(W,k1,k2)n=length(W);U=W;m=1;while m<=nfor i=1:nfor j=1:nif U(i,j)>U(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2);P1=zeros(1,n);k=1;P1(k)=k2;V=ones(1,n)*inf;kk=k2;while kk~=k1for i=1:nV(1,i)=U(k1,kk)-W(i,kk);if V(1,i)==U(k1,i)P1(k+1)=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=find(P1~=0);for j=length(wrow):-1:1P(k)=P1(wrow(j));k=k+1;endP;程序四、n1short.m(计算某点到其它所有点的最短距离)function[Pm D]=n1short(W,k)n=size(W,1);D=zeros(1,n);for i=1:n[P d]=n2short(W,k,i);Pm{i}=P;D(i)=d;end程序五：pass2short.m(计算经过某两点的最短距离)function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2)[p1 d1]=n2short(W,k1,t1);[p2 d2]=n2short(W,t1,t2);[p3 d3]=n2short(W,t2,k2);dt1=d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short(W,k1,t2);[p5 d5]=n2short(W,t2,t1);[p6 d6]=n2short(W,t1,k2);dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;P=[p1 p2(2:length(p2)) p3(2:length(p3))];elsed=dt1;p=[p4 p5(2:length(p5)) p6(2:length(p6))];endP;d;第三讲：最小生成树程序一：最小生成树的Kruskal算法function [T c]=krusf(d,flag)if nargin==1n=size(d,2);m=sum(sum(d~=0))/2;b=zeros(3,m);k=1;for i=1:nfor j=(i+1):nif d(i,j)~=0b(1,k)=i;b(2,k)=j;b(3,k)=d(i,j);k=k+1;endendendelseb=d;endn=max(max(b(1:2,:)));m=size(b,2);[B,i]=sortrows(b',3);B=B';c=0;T=[];k=1;t=1:n;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))T(1:2,k)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);k=k+1;tmin=min(t(B(1,i)),t(B(2,i)));tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1:nif t(j)==tmaxt(j)=tmin;endendendif k==nbreak;endendT;c;程序二：最小生成树的Prim算法function [T c]=Primf(a)l=length(a);a(a==0)=inf;k=1:l;listV(k)=0;listV(1)=1;e=1;while (e<l)min=inf;for i=1:lif listV(i)==1for j=1:lif listV(j)==0 & min>a(i,j)min=a(i,j);b=a(i,j);s=i;d=j;endendendendlistV(d)=1;distance(e)=b;source(e)=s;destination(e)=d;e=e+1;endT=[source;destination];for g=1:e-1c(g)=a(T(1,g),T(2,g));endc;第四讲：Euler图和Hamilton图程序一：Fleury算法（在一个Euler图中找出Euler环游）注：包括三个文件；fleuf1.m, edf.m, flecvexf.mfunction [T c]=fleuf1(d)%注：必须保证是Euler环游，否则输出T=0,c=0n=length(d);b=d;b(b==inf)=0;b(b~=0)=1;m=0;a=sum(b);eds=sum(a)/2;ed=zeros(2,eds);vexs=zeros(1,eds+1);matr=b;for i=1:nif mod(a(i),2)==1m=m+1;endendif m~=0fprintf('there is not exit Euler path.\n') T=0;c=0;endif m==0vet=1;flag=0;t1=find(matr(vet,:)==1);for ii=1:length(t1)ed(:,1)=[vet,t1(ii)];vexs(1,1)=vet;vexs(1,2)=t1(ii);matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0;flagg=1;tem=1;while flagg[flagg ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1;if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0T=ed;T(2,eds)=1;c=0;for g=1:edsc=c+d(T(1,g),T(2,g));endflagg=0;break;endendendendfunction[flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem)flag=1;for i=2:eds[dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem);if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex];vexs(1,i+1)=dvex;matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0;elsebreak;endendfunction [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,temp) f=0;edd=find(matr(vexs(1,i),:)==1);dvex=0;dvex1=[];ded=[];if length(edd)==1dvex=edd;elsedd=1;dd1=0;kkk=0;for kk=1:length(edd)m1=find(vexs==edd(kk));if sum(m1)==0dvex1(dd)=edd(kk);dd=dd+1;dd1=1;elsekkk=kkk+1;endendif kkk==length(edd)tem=vexs(1,i)*ones(1,kkk);edd1=[tem;edd];for l1=1:kkklt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2)lt=lt+1;endendif lt==0ded(ddd)=edd(l1);ddd=ddd+1;endendif temp<=length(dvex1)dvex=dvex1(temp);elseif temp>length(dvex1) & temp<=length(ded)dvex=ded(temp);elsef=1;endend程序二：Hamilton改良圈算法（找出比较好的Hamilton路）function [C d1]= hamiltonglf(v)%d表示权值矩阵%C表示算法最终找到的Hamilton圈。