哪些是自变量的函数
初中数学 什么是自变量和因变量
初中数学什么是自变量和因变量在数学中，自变量和因变量是函数中的两个重要概念。
它们用来描述函数中的输入和输出之间的关系。
以下是对自变量和因变量的详细解释：1. 自变量：自变量是函数中的输入变量，也称为独立变量。
在函数中，自变量的取值是由我们自己选择或控制的，它是函数的输入。
自变量通常用字母表示，例如x、t、n等。
自变量可以是实数、整数或其他数学对象，具体取值根据函数的定义域而定。
自变量的作用是确定函数中的某个元素或值。
它是函数中的独立量，不受其他变量的影响。
通过改变自变量的取值，我们可以观察到函数的不同输出结果，从而研究函数的性质和规律。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，自变量x的取值可以是任意实数。
当我们选择x = 2时，函数的值为f(2) = 2(2) + 3 = 7。
当我们选择x = -1时，函数的值为f(-1) = 2(-1) + 3 = 1。
在这个例子中，x就是自变量，它的取值决定了函数的输出结果。
2. 因变量：因变量是函数中的输出变量，也称为依赖变量。
在函数中，因变量的取值依赖于自变量的取值，它是函数的输出。
因变量通常用字母表示，例如y、f(x)等。
因变量可以是实数、整数或其他数学对象，具体取值根据函数的值域而定。
因变量的作用是表示函数中某个元素或值的结果。
它是函数中的依赖量，其取值受到自变量的影响。
通过观察自变量和因变量之间的关系，我们可以研究和描述函数的特征和行为。
继续以上面的例子，对于函数f(x) = 2x + 3，因变量是函数的输出值，即y = f(x)。
当自变量x 取不同的值时，因变量y的取值也会相应变化。
例如当x = 2时，y = f(2) = 7；当x = -1时，y = f(-1) = 1。
在这个例子中，y就是因变量，它的取值依赖于自变量x。
总结来说，自变量是函数中的输入变量，其取值由我们自己选择或控制；因变量是函数中的输出变量，其取值依赖于自变量的取值。
自变量和因变量之间的关系构成了函数的映射关系，通过研究和理解自变量和因变量之间的关系，我们可以深入了解函数的性质和行为。
变量的关系函数自变量的取值范围的确定方法
一、自变量的取值范围的确定方法
①当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
②当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；
③当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
④当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
二、变量及函数的定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
三、变量的关系：
1.在具体情境中，感受两个变量之间的关系，就是一个变量随着另一个变量的变化情况，例如随着一个变量的变化，有的变量是呈匀速变化的，有的变量是呈不匀速变化的；
2.进而发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量，会用运动变化的基本观点观察事物。
也就是说，在两个有相依关系的变量中，其中一个是自变量，另一个是因变量；
3.自变量和因变量之间的变化关系可以用表格来刻画，也可以用图象来描述，并能对未来的趋势加以预测。
四、函数自变量的取值范围的确定方法：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．。
初三数学函数值的计算方法
初三数学函数值的计算方法在初三数学中，函数是一个非常重要的概念，它在数学中被广泛应用，用于描述两个变量之间的关系。
函数值的计算是函数研究的基础之一。
本文将介绍初三数学中常见的函数值计算方法，并给出具体的例子进行说明。
一、定义函数在进行函数值的计算之前，我们首先需要了解函数的定义。
函数是一种数学关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
通常用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是函数值，它表示因变量。
例如，函数f(x)=2x+3中，x是自变量，f(x)是函数值。
二、函数值的计算方法在计算函数值时，我们需要根据函数的具体表达式和给定的自变量的值，按照以下方法进行计算：1. 代入法：将给定的自变量的值代入函数表达式中，计算得到函数值。
例如，计算函数f(x)=2x+3在x=5时的值，我们可以将x=5代入函数表达式中得到f(5)=2*5+3=13。
2. 数表法：当函数的表达式比较复杂时，我们可以先列出一个数表，然后根据自变量的值查表得到函数值。
例如，计算函数f(x)=x^2-2x+1在x为0、1、2、3、4时的值，我们可以列出如下数表：x | f(x)-----------------0 | 11 | 02 | 13 | 44 | 93. 图像法：通过绘制函数的图像，我们可以凭借直观的方式来获取函数在不同自变量值下的函数值。
在坐标系中描绘出函数的图像后，我们可以根据给定的自变量的值读取相应的函数值。
例如，求函数f(x)=sin(x)在x=π/6、π/4、π/3时的值，我们可以通过绘制函数的图像，并在相应的自变量位置上读取函数值。
三、示例分析为了更好地理解函数值的计算方法，下面通过具体的例子进行分析。
例1：计算函数f(x)=2x+1在x=3时的值。
使用代入法，将x=3代入函数表达式：f(3)=2*3+1=7。
例2：计算函数f(x)=x^2-3x+2在x为0、1、2、3时的值。
通过数表法，我们可以列出如下数表：x | f(x)-----------------0 | 21 | 02 | 03 | 2例3：求函数f(x)=2^x在x=-1、0、1、2时的值。
三角函数的极值
三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。
在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。
一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。
我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。
由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。
二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。
与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。
观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。
其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。
三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。
正切函数的值域包含所有实数。
正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。
其他点上正切函数的取值没有特殊限制。
四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。
然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。
最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。
需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。
函数基本概念与性质
函数基本概念与性质函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念与性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、函数的基本概念在数学中，我们把一种关系描述为函数，当且仅当每个自变量（输入值）对应唯一的因变量（输出值）。
函数可以用各种符号表示，例如"f(x)"、“y=f(x)”或者"y = f(x)"。
1. 自变量和因变量：函数的自变量表示输入值，通常用x表示；函数的因变量表示输出值，通常用y表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
3. 关系图像：函数的关系图像是将自变量和因变量用平面直角坐标系表示出来的图形。
二、函数的性质函数有一些基本的性质，包括可确定性、唯一性、单调性、有界性等。
1. 可确定性：给定自变量的值，函数能够唯一确定因变量的值。
2. 唯一性：每个自变量对应唯一的因变量，同一个因变量不会有多个自变量对应。
3. 单调性：函数在定义域上可能是递增的（函数值随自变量的增大而增大）、递减的（函数值随自变量的增大而减小）或者保持不变。
4. 有界性：函数可能在定义域上有上界或下界，也可能同时存在上界和下界，或者没有有界性。
三、函数的应用函数在数学中有着非常广泛的应用，同时也在其他学科和实际问题中起到重要的作用。
1. 函数在代数学中可以用来表示各种数学关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 函数在微积分中用来描述变化率和导数，帮助我们求解曲线的斜率和极值等问题。
3. 函数在统计学中用来表示随机变量的分布、概率密度函数、累积分布函数等。
4. 函数在物理学中用来描述各种物理量之间的关系，如速度和时间的关系、位移和时间的关系等。
总结：函数是数学中重要的概念之一，具有可确定性、唯一性、单调性和有界性等性质。
函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，包括代数学、微积分、统计学和物理学等领域。
自变量的定义初中
自变量的定义初中自变量是数学中一个重要的概念，在初中数学中也有着重要的地位。
那么，什么是自变量呢？自变量是指在函数关系中，可以独立变化的那个变量。
它是函数中的输入，也是决定函数关系的关键因素。
在数学中，自变量常用字母x表示，它的取值可以是实数、整数或者其他特定的集合。
在初中数学中，我们学习了一些与自变量相关的概念和知识，下面让我们一起来了解一下。
1. 函数的自变量在初中数学中，我们学习了函数的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。
在函数中，自变量是输入的变量，它的值决定了函数的取值。
函数的自变量可以是实数、整数或者其他特定的集合。
通过改变自变量的取值，我们可以得到函数的不同取值。
2. 自变量的取值范围自变量的取值范围是指自变量可能取的值的范围。
在初中数学中，我们常常遇到自变量的取值范围是整数或者实数的情况。
通过确定自变量的取值范围，我们可以更好地理解函数的性质和特点。
3. 自变量的变化规律自变量的变化规律是指自变量随着条件的改变而发生的变化。
在初中数学中，我们学习了一些常见的自变量的变化规律，如等差数列、等比数列等。
通过研究自变量的变化规律，我们可以更好地理解函数的性质和特点。
4. 自变量的应用自变量在数学中有着广泛的应用。
例如，在数学建模中，我们常常需要确定函数中的自变量，以便得到满足特定条件的函数解。
在实际生活中，自变量也有着广泛的应用。
例如，我们可以通过自变量来描述时间、距离、速度等概念，从而更好地理解和解决实际问题。
自变量是数学中一个重要的概念，在初中数学中也占据着重要的地位。
通过学习自变量的定义和应用，我们可以更好地理解函数的性质和特点，提高数学问题的解决能力。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家对自变量有更深入的了解。
自变量和函数
自变量和函数1. 什么是自变量和函数1.1 自变量的定义自变量是指在数学和统计学中，独立变量或输入变量，是一个可以自由取值而不受其他变量影响的变量。
自变量的取值不依赖于其他变量的变化。
1.2 函数的定义函数是指将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的规则。
函数可以看作是自变量到函数值的变换规则，它接受自变量作为输入，并返回与之对应的函数值。
2. 自变量和函数的关系2.1 自变量作为函数的输入在函数中，自变量被视为输入，它决定了函数的行为和输出。
自变量的取值范围和取值方式对函数的结果具有重要影响。
2.2 自变量的取值范围和函数的定义域函数的定义域取决于自变量的取值范围。
自变量通常有一个特定的取值范围，也可以是整个实数集合。
函数的定义域是使得函数有定义的所有自变量的取值。
2.3 自变量对函数的影响自变量的变化会对函数的输出产生影响。
不同的自变量取值可能导致不同的函数值，这反映了函数的多样性和灵活性。
3. 自变量的分类3.1 离散自变量离散自变量是指取值有限或无限但可数的自变量。
这种自变量通常以整数或某些特定元素为取值。
3.2 连续自变量连续自变量是指取值可以是任意实数的自变量。
这种自变量可以取无限个取值，并且取值之间可以是连续的。
4. 函数的分类4.1 线性函数线性函数是指自变量的一次函数。
线性函数的特点是函数图像是一条直线。
4.2 幂函数幂函数是指自变量的幂次方函数。
幂函数的特点是自变量和函数值之间的关系是乘方关系。
4.3 指数函数指数函数是指以自然对数为基底的幂次函数。
指数函数的特点是函数图像呈现指数增长或指数衰减的形态。
4.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的指数函数的反函数。
对数函数的特点是函数图像呈现对数增长或对数衰减的形态。
5. 自变量和函数在实际问题中的应用5.1 函数模型自变量和函数在实际问题中常常用于建立数学模型。
通过将实际问题抽象为自变量和函数的关系，可以用数学方法分析问题并解决问题。
中考数学解题技巧(五)二大类八模型
中考数学解题技巧（五）、两大类八模型———二次函数综合应用题(马铁汉)函数的表示方法有表格法、解析式法和图像法三种方法。
因此，二次函数综合应用题，题干图文并茂，内容丰富多彩，有时还有表格插入；由于题目较长，文字较多，数量复杂，光审题就是件困难的事。
审题一定要仔细。
读题时，篇幅较大的背景文字了解即可，重点阅读有用的数量信息；为了弄清楚重要信息，可把各个量用不同记号标注出来，加深印象，以免搞糊涂。
哪些是常量，哪些是变量；哪个是自变量，哪个是自变量的函数；有时还有参数渗入，它是什么含义，都要搞准确。
二次函数综合应用题，涉及的知识面较广（一次函数、二次函数，不等式，一元一次方程、一元二次方程、分式方程等）。
解答此题，需要具备数形结合思想、方程思想、函数思想，建模思想等数学思想；需要扎实的基础知识和熟练的基本技能，然后做到稳扎稳打，层层分析，逐步解决。
二次函数综合应用题，考查方式有两大类八个模型。
1、考查函数最值类：求实际问题中函数最值。
有下面四个模型：①求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值；②求区间内函数最值，即为实际问题的最值；③求函数整数点最值，即为实际问题的最值；④分段函数，需比较各区间函数最值后，确定实际问题的最值。
2、考查自变量范围类：求自变量取值范围或求复合函数中参数范围。
有下面四种模型：①由函数增减性，结合函数值要求，求自变量取值范围；②复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，求参数；③复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数；④复合函数，由二次函数顶点坐标，求参数。
模型一、求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值例1、（2022武汉.22.）（本小题满分10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表.小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间t 之间成二次函数关系.（1）直接写出v 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为64cm 时，求它此时的运动速度；（3）若白球一．直．以2cm/s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由. 解：（1）1102v t =-+，21104y t t =-+. （2）解：依题意，得2110644t t -+=.∴2402560t t -+=. 解得，18t =，232t =.当18t =时，6v =；当232t =时，6v =-（舍）. 答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s . （3）解：设黑白两球的距离为cm w .270218704w t y t t =+-=-+ 21(16)64t =-+. ∵104>，抛物线开口向上， ∴当16t =时，w 的值最小为6. （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值） ∴黑、白两球的最小距离为6cm ，大于0，黑球不会碰到白球.另解1：当0w =时，2187004r t -+=，判定方程无解. 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s 时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以发现，当 t 取定一个值时， S 有唯一确定 的
值与其对应.
合作互助
（2）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当 圆的半径为 r 时，面积为 S ；
在这个变化过程中，有 2 个变量， S 随
r 的变化而变化；它们之间的关系式是
当x = 3 时，y= 2 ;当x = 4 时，y= 1 .由此可
以发现，当 x 取定一个值时， y 有唯一确定 的
值与其对应.
合作互助
思考： 在上述三个变化过程中变量之间的关系有什
么共同特点？
归纳： 变化过程中有两个变量，当一个变量取定一
个值时，另一个变量有唯一的值与其对应.
合作互助 问题2 下图是体检时的心电图.其中横坐标x
我要说……
课后作业
同步练习册P33.
.
当r = 10时，S= ;当r= 20 时，S= .由此可
以发现，当 r 取定一个值时， S 有唯一确定 的
值与其对应.
合作互助
（3）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的
一边长 为 x 时，它的邻边长为 y；
在这个变化过程中，有 2 个变量， y 随
x 的变化而变化；它们之间的关系式是 y=5- x.
达标测评
1. 下列各图象中，不能表示y是x的函数的 是（ ）
达标测评
2.自来水的收费标准是每月不超过10吨,每吨
水1.2元,超过部分每吨水1.8元,小王家5月份用
水x吨(x>10),应交水费y元,则y与x的函数关系
式为
.
课堂小结
（1）本节课你有什么收获？ （2）本节课运用了什么数学思想？ （3）在解决问题时要注意什么？
表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,图 中有几个变量？当x取确定的值时,y都有唯一确 定的值与其对应吗?
y
x
合作互助
问题3 在下面的我国人口数统计表中,年份与 人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个 确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?
年份 1984 1989 1994 1999 2010
19.1.1 变量与函数（2）
阿克苏市第四中学 八年级一班 刘杰
激趣引入
万物皆变
量的变化
研究变量之间的关系
把握运动变化规律
合作互助 问题1：填空 （1） 汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，当行
驶的时间为 t h时，行驶的路程为 s km；
在这个变化过程中，有 2 个变量， S 随
t 的变化而变化；它们之间的关系式是 S=60t .
像s=60t这样，用关于自变量的数学式子表示函 数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这 种式子叫做函数的解析式．
跟踪训练
练习1 下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量 的函数？试写出函数的解析式．
（1）向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量 y（单位： m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 13.71
合作互助
函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函 数． 如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变 量的值为 a 时的函数值．
(1)y=3x-1； 解: x为任意实数.
(2)y=2x2+7； 解: x为任意实数.
3 y= 1 ；
x2
解：根据题意，得 解： 根据题意，得x-2≥0,则
x≥2.
精讲精练
例1 一辆汽车油箱中现有汽油50 L，如果不再加 油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程 x （单位：km）的增加而减少，耗油量为0.1L/km ． （1）写出函数解析式； （2）指出自变量 x 的取值范围； （3）汽车行驶了200 km 时，油箱中还剩下多少汽油？ 若还剩18L汽油，问汽车行驶了多少千米？
（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕 地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； （4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x， 它的坐标记为 y，y 随 x 的变化而变化．
跟踪训练
练习2 要使下列函数有意义，求自变量x的 取值范围.