三招绝杀“函数自变量取值范围”
函数定义域的取值范围口诀
函数定义域的取值范围口诀
确定函数定义域的口诀如下：
1. 函数定义域是函数自变量的取值范围，其实际意义是：自变量取每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应。
因此，定义域的取值范围是由函数的解析式和实际问题的要求共同确定的。
2. 分式函数的分母不能为0，偶次根式函数的被开方数必须大于等于0，零指数幂的底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为负数。
3. 函数解析式有意义的情况包括：一元二次函数二次项系数大于0，分式分母不为0等。
在实际应用中，根据问题的实际情况确定自变量的取值范围即可。
希望以上信息对您有帮助。
如需更多信息，建议查阅数学相关书籍或咨询数学教师。
函数自变量取值范围
函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。
一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。
注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。
二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。
（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。
①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。
②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。
④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。
①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。
②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。
二次函数速记口诀
二次函数速记口诀二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。
二次函数与几何方法分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题)重要思想：①分类讨论→代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题;②转化思想(待定系数)→代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标;④尺规作图→代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析;⑤极端值思想→代表性题型：动态几何问题，动态函数问题;⑥数形结合思想→代表性题型：函数与几何综合题。
二次函数的常见考法(1)考查一些带约束条件的二次函数最值;(2)结合二次函数考查一些创新问题二次函数的实际应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是：第一步：设自变量;第二步：建立函数解析式;第三步：确定自变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。
高中数学干货：必背的48条秒杀型公式和学习方法
高中数学干货：必背的48条秒杀型公式和学习方法除了课本上的常规公式之外，掌握一些必备的秒杀型公式能够帮你在考试的时候节省大量的时间，这次的分享就是48条爆强的秒杀公式，直接往下看！1、适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=（x-1）/（x+1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分（指的是焦点在所截线段上），用该公式；如果外分（焦点在所截线段延长线上），右边为（x+1）/（x-1），其他不变。
2、函数的周期性问题（记忆三个）：（1）若f（x）=-f（x+k），则T=2k；（2）若f（x）=m/（x+k）（m不为0），则T=2k；（3）若f（x）=f（x+k）+f（x-k），则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3、关于对称问题（无数人搞不懂的问题）总结如下：（1）若在R上（下同）满足：f（a+x）=f（b-x）恒成立，对称轴为x=（a+b）/2；（2）函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于x=（b-a）/2对称；（3）若f（a+x）+f（a-x）=2b，则f（x）图像关于（a，b）中心对称4、函数奇偶性：（1）对于属于R上的奇函数有f（0）=0；（2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空5、数列爆强定律：（1）等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7（13和7为下角标）；（2）等差数列中：S（n）、S（2n）-S（n）、S（3n）-S（2n）成等差（3）等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S（n+m）=S（m）+q2mS （n）可以迅速求q6、数列的终极利器，特征根方程。
中考专题复习函数自变量取值范围
x+1≠0
∴x≤1且x≠－1
1 x (3) y x 1
解 1-x≥0 x+1≠0 ∴x≤1且x≠－1
1 x (4) y x 1
解 X+1＞0 ∴x的取值范围是x＞-1
1 x (5) y x 1
解 1-x≥0 X+1＞0 ∴-1＜x≤1
1 x (6) y x 1
解 x+1≠0
x 中，自变量 x 的取值范围是 x-1
中考专题复习
学习目标
1、归纳函数自变量取值范围的四 种基本题型及解题方法； 2、熟练运用归纳的方法准确求出 函数自变量的取值范围； 3、通过对题型、方法的归纳总结， 提高概括能力及学习数学的自信心。
怎样求自变量的取值范围
1.分式： 取使分母不为0的值（分母≠0）
（14 年）2.函数 y （15 年）2.在函数 y
2x 1 中，自变量 x 的取值范围是_____________。 4 x 1中，自变量 x 的取值范围是_____________。
． ． ．
（16 年）2.在函数 y= 6 3x 中，自变量 x 的取值范围是 （17 年）2．在函数 y= （18 年）2．在函数 y= 1 x-1 中，自变量 x 的取值范围是
∴x的取值范围是x≠-1
怎样求自变量的取值范围
1.整式： 取全体实数 2.分式： 取使分母不为0的值
3.偶次根式：取使“被开方数≥0”的值 4.奇次根式： 取全体实数
取使每一个式子有意义的值 5.对于混合式：
求出下列函数中自变量的取值范围
（ 1）
(2)
-1 y=(x+6)
0 y=(x-3)
怎样求自变量的取值范围
三招绝杀“函数自变量取值范围”
三招确定“函数自变量取值范围”一、问题提出：一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。
那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:第一招: 必须使含自变量的代数式有意义.⑴解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.例如:指出下列各函数的自变量取值范围:①y = x 2-1 ；②y = 3x -2； ③ y =-5x .解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x 的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。
⑵解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.例如: 确定下列函数的自变量取值范围:①y= 2x -； ②y=21x + ； ③ y = 211x - 解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x 的分式，所以分母不为零时，函数有意义。
所以①中的x ≠0；②中的x ≠-1；③中的x ≠1且x ≠-1⑶解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:①②； ③；④；⑤解：① x ≥2； ②x ≥-1；③ 全体实数 ；④010x ≥⎧⎪≠ 即 x ≥0且x ≠1；⑤ 全体实数 ⑷含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:① y= ()02x -； ②y= )31-解： ①x-2≠0， x ≠2 ;②1010x +≥⎧⎪≠ 即x ≥-1且x ≠0 第二招:必须使实际问题有意义.例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s （千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。
解：Q = 40 -0.4s ∵4000Q s ≥≥⎧⎨≥⎩ ∴40400.400s s ≥-≥⎧⎨≥⎩ ∴0≤s ≤10∴自变量取值范围为0≤s ≤10第三招:必须使图形存在.例1：A 、B 、C 、D 四个人做游戏，A 、B 、C 三人站在三个不同的点上构成一个三角形，且∠BAC=40°， D 在△ABC 内部移动，但不能超越△ABC 。
求函数自变量的取值范围方法总结
求函数自变量的取值范围方法总结函数自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围.求自变量的取值范围一般从两个方面考虑:（1）使函数关系式有意义;（2）符合客观实际.确定自变量的取值范围的方法:（1）如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数.例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数.（2）如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数.例如函数12-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . （3）如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数.例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2.（4）如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义.例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x （边长不能为负数）.（5）有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21-=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组⎩⎨⎧≥-≠-0202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .例1. 求函数131-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围.分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数.解:⎩⎨⎧≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x .∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x .习题1. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 习题2. 函数413-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 习题3. 在函数x xy -=1中, 自变量x 的取值范围是__________.习题4. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】（A ）2-=x y （B ）21-=x y （C ）12-=x y （D ）121-=x y习题5. 函数21--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题6. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】（A ）2-=x y （x ≥2） （B ）11+=x y （1-≠x ） （C ）22x y =（x 取全体实数） （D ）31+=x y （x ≥3-） 习题7. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.例 2. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围.分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.解决本题要注意两个问题:（1） 边长不能为负数;（2）三角形三边之间的关系.解:由题意得:202=+y x∴y 与x 之间的函数关系式为x y 220-=∵⎪⎩⎪⎨⎧->+>->x x x x x 22002200∴自变量x 的取值范围是105<<x .习题8. 已知等腰三角形的周长为12 cm,底边长y （cm ）是腰长x （cm ）的函数.（1）写出这个函数关系式;（2）求自变量x 的取值范围.专题 自变量的取值范围受哪些因素的影响求函数自变量的取值范围是学习数学的难点,也是历年来中考的热点,那么,如何确定自变量的取值范围呢?一般情况下,可以遵循以下原则:如果函数解析式是整式,则自变量的取值范围是全体实数（整式型）习题9. 函数12+=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.分析:因为函数解析式的右边12+x 是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数.习题10. 函数122-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式含有分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的实数（分式型）习题11. 在函数11-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为11-x 是分式,所以要求分母不等于零,即01≠-x . 习题12. 函数52-=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式中含有二次根式,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数 习题13. 函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是__________.分析:因为3-x 为被开方式,要求被开方式为非负数,所以3-x ≥0,解得x ≥3. 习题14. 函数1+-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则自变量的取值范围是使底数不等于零的实数（指数型）习题15. 函数()221+-=-x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为函数解析式中含有负整指数幂,所以要求底数02≠-x ,即2≠x . 实际上,()221+-=-x y ,即221+-=x y . 习题16. 函数()202-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求它们的公共部分（综合型）习题17. 函数()023---=x x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题18. 函数31--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题19. 函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 自变量的取值范围必须符合客观实际,必须使实际问题有意义（如边长不能为负、人数不能为小数等）例3. 某小汽车的油箱可装汽油30升,原装有油10升,现加x 升汽油,如果油价为5元/升,求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.分析:本题先求出函数关系式,再由关系式和实际意义确定自变量的取值范围.解:由题意得:()y=x5+10∴50=xy5+∵油箱原有油10升,油箱容量为30升∴自变量x的取值范围是0≤x≤20.（也可以是x0≤20）<习题20. 某台拖拉机油箱中有油60升,工作时每小时耗油6升.（1）求出拖拉机油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式;（2）求出自变量t的取值范围;（3）当拖拉机工作3小时后,油箱中还剩多少升油?。
三角函数-秒杀技巧-最值问题
三角函数-秒杀技巧-最值问题三角函数是高中数学中的一个重要章节，也是考试中的一个难点和重要知识点。
在三角函数中，最为常见的就是求解最值问题，即给定一些函数的定义域，要求确定该函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数的求解最值问题的秒杀技巧。
首先，我们先来回顾一下三角函数的基本性质。
三角函数是代数函数的一种，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
在解决三角函数最值问题时，我们还需要利用到单位圆、周期性、奇偶性等特点。
其次，我们要了解最值问题的一般思路。
对于求解最大值问题，一般是先找到函数的极值点，在极值点中找到最大值。
而求解最小值问题，则是先找到函数的不可求之点，然后求取其他点的最小值。
在找到极值点和不可求之点之后，可以通过画函数图像、用导数等方法求解最值。
接下来，我们将详细介绍三角函数最值问题的秒杀技巧。
1. 利用单位圆：单位圆是一个半径为1的圆，它的圆心为原点O(0,0)。
对于三角函数来说，单位圆的图像非常重要。
利用单位圆的图像，我们可以快速判断三角函数的最大值和最小值。
例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值是1，最小值是-1；对于余弦函数cos(x)，它的最大值也是1，最小值也是-1、通过记忆这些最大值和最小值，我们可以快速判断一个三角函数的最值问题。
2. 利用周期性：三角函数都是周期函数，即在定义域内存在一个正整数n，使得f(x + 2πn) = f(x)。
由于周期性的存在，三角函数的最值问题可以转化为在一个周期内求解。
例如对于正弦函数sin(x)，它的周期是2π，因此在0到2π之间寻找最值即可；对于余弦函数cos(x)，它的周期也是2π。
3. 利用奇偶性：三角函数中的正弦函数和正割函数是奇函数，余弦函数、余割函数和正切函数是偶函数。
利用奇偶性，我们可以快速判断三角函数的最值问题。
例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值一定在定义域的中点取到；对于余弦函数cos(x)，它的最小值一定在定义域的中点取到。
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题目: 三招确定“函数自变量取值范围”
一、问题提出：
一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。
那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:
第一招: 必须使含自变量的代数式有意义.
⑴解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.
例如:指出下列各函数的自变量取值范围:
①y = x 2-1 ；②y = 3x -2； ③ y =-5x .
解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x 的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。
⑵解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.
例如: 确定下列函数的自变量取值范围:①y= 2x -； ②y=21x + ； ③ y = 211
x - 解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x 的分式，所以分母不为零时，函数有意义。
所以①中的x ≠0；②中的x ≠-1；③中的x ≠1且x ≠-1
⑶解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.
例如：确定下列函数的自变量取值范围:
①
②
； ③
；④
；⑤
解：① x ≥2； ②x ≥-1；③ 全体实数 ；
④010
x ≥⎧⎪≠ 即 x ≥0且x ≠1；⑤ 全体实数 ⑷含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.
例如：确定下列函数的自变量取值范围:
① y= ()02x -； ②
y= )31-
解： ①x-2≠0， x ≠2 ;
②1010
x +≥⎧⎪≠ 即x ≥-1且x ≠0 第二招:必须使实际问题有意义.
例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s （千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。
解：Q = 40 -0.4s ∵4000Q s ≥≥⎧⎨≥⎩ ∴40400.400
s s ≥-≥⎧⎨≥⎩ ∴0≤s ≤10
∴自变量取值范围为0≤s ≤10
第三招:必须使图形存在.
例1：A 、B 、C 、D 四个人做游戏，A 、B 、C 三人站在三个不同的点上构成一个三角形，且∠BAC=40°， D 在△ABC 内部移动，但不能超越△ABC 。
则D 与B 、C 构成一个三角形，则∠BDC 的度数的取值范围是______________________.
解:40°＜∠BDC ＜180°
例2 :已知等腰三角形的周长为20cm ， 请写出底边长y （cm ）与腰长x （cm ）之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围。
解：y= 20- 2x ∵x x y x y x
+⎧⎨+⎩ ∴22022020x x x -⎧⎨-⎩ ∴ 5 ＜x ＜10
例3：已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米,
AC 与MN 在同一直线上,开始时点A 与点N 重合.让△ABC 以每秒2厘米的速度
向左运动,最终点A 与点M 重合,则重叠三角形部分的面积y(cm 2)与时间t(秒)
之间的函数关系式为______________.自变量t 的取值范围是________________.
分析:在移动的过程中,重合部分的三角形也为等腰直角三角形,
AN=2t , 则MA= 20-2t, 所以解析式可求.由0＜MA ≤20可确定自变量取值范围
解: y= ()212022
t - , 自变量t 的取值范围是0≤t ＜10
练习:
1. 求下列函数中自变量x 的取值范围：
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = - 3x 2 ⑶ y =21x - ⑷
⑸
2. 分别写出下列函数关系式， 并指出函数自变量的取值范围。
⑴设一个长方体盒子高为10cm ，底面是正方形， 求这个长方形的体积V （cm 3 )与底面边长a(cm)的关
系.
⑵设地面气温是200C ， 如果每升高1km ， 气温下降60C ，求气温t(0C)与高度h(km)的关系
⑶一个三角形的底边长为5cm ，高h 可以伸缩，求面积S 与高h 的关系
⑷买一支笔，单价为0.5元/枝，求总价y 与笔枝数x 的关系
3. 拖拉机的油箱最多可装油56千克，装满后耕地， 平均每小时耗油6千克。
⑴写出油箱剩油量Q （千克）与耕地时间t （时）之间的函数关系式
⑵求自变量t 的取值范围.
4. 某礼堂共有25排座位， 第一排有20个座位， 后面每排比前一排多一个座位，写出每排的座位数 M 与这排的排数n 的函数关系式，并求自变量n 的取值范围。
5.如图,矩形ABCD 中,AB=6cm, AC=10cm, 有一动点P,从点B 开始,沿由B 向A,再由A 向C,再由C 向D
的方向运动,已知每秒钟点P 的运动距离为2cm, 试求△PBC 的面积S(cm 2)与运动时间t (秒)的函数关系式.
并写出自变量t 的取值范围.
A。