第二讲 函数的概念及表示
2第二讲函数极限的概念2慕课讲稿
2第⼆讲函数极限的概念2慕课讲稿第三章函数极限§1函数极限的概念同学们好，这⼀讲我们继续来学习函数极限的概念由上节课可知，极限可以体现为两句话：第⼀句话：随着⾃变量变化，第⼆句话：相应的因变量的变化趋势．函数f(x)当x趋于正⽆穷⼤时的极限，是假定f(x)为定义在a到正⽆穷⼤上的函数，所体现的两句话是：随着x越来越⽆限增⼤时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近．本节假定f(x)为定义在点x0的某个空⼼邻域内的函数，现在讨论随着x与x0 越来越⽆限接近时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近．⼆、x趋于x0时函数的极限先看下⾯⼏个例⼦：例1f(x)=1（x不等于0）.（f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x趋于0时，f(x)趋于1）例2f(x)等于(x^2-4)/(x-2). ( f(x)是定义在U0(2)上的函数，当x趋于2时，f(x)趋于4) 那么，如何体现“随着x与x0 越来越⽆限接近时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近”？我们⽤以下epsilon-delta定义来体现1．x趋于x0(x不等于x0)时，函数极限的epsilon-delta定义定义1设函数f(x)在U0(x0)内有定义，A为定数，若对任给的epsilon>0，存在delta>0，使得当“0<|x-x0|lim x趋于x0 f(x)=A或f(x)趋于A(当x趋于x0).2. 函数极限的epsilon-delta定义的⼏点说明(这个和“x趋于⽆穷”的含义相同)：(1) 关于epsilon：①epsilon的任意性．定义1中的正数epsilon的作⽤在于衡量f(x)与常数A的接近程度，epsilon越⼩，表⽰接近得越好；⽽正数epsilon可以任意⼩，说明f(x)与常数A可以接近到任何程度；②epsilon的暂时固定性．尽管epsilon有其任意性，但⼀经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出delta ；③epsilon的多值性．epsilon既是任意⼩的正数，那么epsilon，2epsilon，epsilon的平⽅等等，同样也是任意⼩的正数，因此定义１中的不等式“|绝对值f(x)-A|⽽“|f(x)-A|④正由于epsilon是任意⼩正数，我们可以限定epsilon⼩于⼀个确定的正数．(2) 关于delta：①相应性，是表⽰x与x0的接近程度，⼀般地，delta随epsilon的变⼩⽽变⼩，因此常把delta记作delta(epsilon)，来强调delta是依赖于epsilon的；epsilon⼀经给定，就可以找到⼀个delta；②delta多值性．delta的相应性并不意味着delta是由epsilon唯⼀确定的，因为对给定的epsilon，故若delta满⾜此要求，则delta/2、delta/3等等⽐delta还⼩的正数均可满⾜要求；事实上，在许多场合下，最重要的是delta的存在性，⽽不是它的值有多⼤．(3) 极限问题关⼼的是趋势问题，所以在定义中，只要求函数f(x)在U0(x0)有定义，⽽⼀般不要求f(x)在x0处的函数值是否存在，或者取什么样的值．因⽽限定“|x-x0|>0”．(4) 定义中的“0<|x-x0|属于U(A, epsilon)”．从⽽定义1 等价于“对任给的epsilon>0，存在delta>0，使得当x 属于U0(x0, delta)，有f(x)属于U(A, epsilon)”等价于“对任给的epsilon>0，存在delta>0，f（U0(x0, delta)）属于U(A, epsilon)”。
高一数学必修1第一章第二节基本初等函数
精心整理第二章：函数及其表示第一讲：函数的概念：知识点一：函数的概念：典型例题：判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：A=z,B=Z,A=Z,B=Z,A={-1,1},B={0},f:）））巩固练习：已知函数f(-3),的值时，求知识点三：函数相等：如果两个函数的定义域相等，并且对应关系完全一致，那么我们称这两个函数一致。
典型例题3：下列函数中，f(x)与g(x)相等的是（）A、B、C、D、巩固练习：）(2)）(4)知识点四：区间的表示：零售量是否为月份的函数？为什么？知识点二：分段函数：典型例题1：作出下列函数的图像：（1）f(x)=2x,x∈Z，且|x|≤2（2）y=|x|典型例题2：某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加一元（不足5公里按5f:（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f:数轴上的点所代表的实数对应。
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={（x,y）|x ∈R，y∈R}，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A={x|x是三角形}；集合B={x|x是圆}；对应关系f:每个三角形都有对应它的内切圆。
课堂练习：1、如图，把截面半径为25cm的圆形木头据成矩形木料，如果中元素作业布置：1、求下列函数的定义域：（1）2、下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？3、画出下列函数的图像，并说明函数的定义域和值域（1）y=3x(2)(3)y=-4x+5(4)x2-6x+74、已知函数f(x)=3x2-5x+2,求的值。
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
02初等函数及数列极限的概念
通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。
类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.
第二章 极限
本章学习要求：
了解数列极限的概念， 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。
双曲余弦函数的 定义域为 (, )
双曲余弦函数 在(, 0)内单调减少 在[0, )内单调增加
双曲余弦函数是偶函数
y
y = cth x
1
O y = th x
x
1
双曲正切、双曲余切的图形
双曲正切函数 定义域为 (, )
双曲正切函数 是单调增加的且有界
| th x | 1
4
x1 x
1 2
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
(2) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{(1)n1}不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
(3)
1
(1)n n
:
x3
••
•
(••x•2n•-•1••(•••
*
•••)•
x2n
••• •••)•
•
x4
•
1 103
1 102n
1
0
1
1
102n
y y f (x) M
yM
I (
O
) x
M y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的.
复变函数第二讲
几何意义 复变函数是一个映射(变换)
在复变函数中,用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y之间 的对应关系,以便在研究和理解复变函数 问题时,可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射(变换).
例3 研究 w z 所构成的映射 . 解 设 z r (cos i sin ) re i
(z) z G w f w G *
一个 (或几个 ) z G ) z (w
w G
*
则称z= (w)为w=f (z)的反函数(逆映射).
显然有 w f [ ( w )] w G * 当反函数单值时 z [ f ( z )] z G (一般z [ f ( z )])
当函数 (映射 ) w f ( z )和其反函数 ( 逆映射 ) z ( w )都是单值的,则称函数 (映射 ) w f ( z ) 是一一的.也称集合 G 与集合 G 是一一对应的.
?几何意义复变函数是一个映射变换所构成的映射研究sincos关于实轴对称的一个映射见图1112旋转变换映射sinsinsincossincos实常数所构成的映射研究reresinsinsincos图11图12所构成的映射研究反函数或逆映射例如设zw为多值函数2支
第二讲 复变函数与解析函数
§5 复变函数
若 z 一个 w 值,称 f ( z )是单值函数;
z 多个 w 值,称 f ( z )是多值函数.
G — f (z )的定义集合,常常是平 面区域(定义域)
G * { w w f ( z ) , z G } — 函数值集合
z x iy ( x , y ); w u iv ( u , v ) w f ( z ) f ( x iy ) u ( x , y ) iv ( x , y )
高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
高等数学：第二讲 导函数的定义
即
y (x2 ) 2x.
常用的导函数
(C) = 0. (xμ) = μxμ-1 （μ≠0） . (sin x) = cos x. (cos x) = sin x.
(ln x) 1 .
x
(log a
x)
1 x ln
. a
(ex) = e数的定义
为什么有的时候看到 导数是一个数，有的时候
却是一个函数呢？
那你得先要弄清楚 导函数的概念咯！
导函数存在的前提条件
如果函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点可导， 则称 f (x) 在开区间 (a, b)内可导.
导函数的定义
对于区间(a, b)内的任意一个x，均对应着一个确定的导数值， 这样就确定了一个新的函数，此函数便称为原来函数 f (x) 的导函数(简称导数).
自变量x
0
1
2 = (x 3+ x)24 - x2 5= 2x1x0 + (…x) 2.
y第=函f (数二x)值=步x2 算比0值：1
y x
2xx (x)2
4
9
16
x
2x25 x.
100
…
y 第=导f 数三(x值)=步2x 取极0限：2 lim
4y
6
8
lim (2x x)
10
2x.
20
…
x0 x x0
记作 f（ x）, 或 y, 或 dy . dx
即 f (x) lim f (x x) f (x) .
x0
x
显然， f (x0)就是f (x)在x =x0处的函数值.
例题：
求函数y = x2 在任意点 x( , )处的导数.
解 第一步求增量 y： y = f (x + x) - f (x)
第二讲函数概念及其性质
第二讲函数概念及其性质考点分布1 函数的概念2 函数的三个要素3 判断两个函数是否为同一函数4 函数的定义域及其求法5 函数的值域6 函数解析式的求解及其常用方法7 区间与无穷的概念8 函数的表示方法9 函数的对应法则 10 映射11 函数的单调性及单调区间 12 函数的单调性的判断与证明 13 函数单调性的性质 14 复合函数的单调性15 函数的最值及其几何意义 16 奇函数 17 偶函数18 函数奇偶性的判断 19 函数奇偶性的性质20 奇偶函数图像的对称性 21 奇偶性与单调性的综合 22 函数图像23 抽象函数及其应用 24 函数的周期性 25 函数恒成立问题 26 函数的连续性 27 函数的值基础自测1、函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、[)+∞,1 D 、[)+∞,22、函数⎩⎨⎧<-≥-=0),4(0,12)(x x x x x x f 则f(f(-1))= ( )A 、5B 、9C 、-5D 、-33、设函数⎩⎨⎧<--≥-=1,221,32)(2x x x x x x f 若f(x 0)=1，则x 0 =( )A 、-1或3B 、2或3C 、-1或2D 、-1或2或3 探究突破类型一：函数概念4、已知函数f(x)的定义域为[]3,1-，在同一坐标系下，函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、0或1 类型二、函数的定义域 类型一;具体函数5、)34(log 12-=x y6、 23843-+=x x y7、 xx x y -+=||)1(0类型二：抽象函数8、已知函数)(x f 的定义域为)1,0(，求)(2x f 的定义域9、已知函数)12(+x f 的定义域为)1,0(，求函数)(x f 的定义域要素二：求函数解析式 类型一：换元法10、已知函数x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的解析式。
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第二讲 函数的概念
◎知识点再现：
１.函数的定义: ,记为A x x f y ∈=),( ２.函数的定义域与值域: ３.函数的三要素： 、 、
4. 函数的三种表示法： 、 、 ,注意：分段函数 ◎例题精讲：
例1、下列函数中与函数x y =相同的是( )
A .y = (x )2
B. y =
C. y =2x
D. y=x
x 2
变式：与函数)
12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是（ ）
A.)21(12>
-=x x y B.121-=x y C.)21(121>-=x x y D.|121
|-=x y
例2、函数=)(x f )4323ln(1
22+--++-x x x x x
的定义域为( )
A.),2[)4,(+∞--∞
B.)1,0()0,4( -
C. ]1,0()0,4[, -
D. )1,0()0,4[, - 变式：设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 --
例3、函数)(6242
R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域
变式：若函数()y f x =的值域是]3,3
2
[，则函数()()1
()F x f x f x =+的值域是
例4、函数|1||
|ln --=x e
y x 的图象大致是( )
例5、设1()1x
f x x
+=-，又记11()(),()(()),1,2,,k k f x f x f x f f x k +===⋅⋅⋅则2010()f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x
-；
课时训练
1.函数y =
）
A ．{|0x x ≥
B ．{}|1x x ≥
C ．{}
{}|10x x ≥
D ．{}
|01x x ≤≤
2.下列函数中，与函数y
=
有相同定义域的是（ ） A .()ln f x x = B.1()f x x
= C. ()||f x x = D.()x
f x e =
3.若函数()y f x =的值域是1
[,3]2
，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）
A ．1[,3]2
B ．10[2,]3
C ．510[,]23
D ．10[3,]3
4.已知函数y =的最大值为M ,最小值为m ,则m
M
的值为（ ）
A ．14 B.1
2
C.2
D.2
5.已知函数()1)1
f x a a =
≠- （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ;
(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
6.已知函数()f x 满足：4x ≥,则()f x ＝1()2
x
；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则
2(2log 3)f +＝( )
A.
124 B.112 C.18 D.38
7.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值,设{
}
()min 2,2,10x
f x x x =+- (x ≥0),则
()f x 的最大值为( )
A. 4
B.5
C.6
D.7
8.定义在R 上的函数()f x 满足 2log (4),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩
，则(3)f 的值为( )
A.-1
B. -2
C.1
D. 2 ＃9.设函数2
1
)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n (n 是正整数)，那么)(x f 的值域中共有 个整数。