大势所趋——导数结合三角函数
高考数学复习考点题型专题讲解43 导数与三角函数的交汇问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题43 导数与三角函数的交汇问题1.对于三角函数与幂函数、指数、对数函数混合构成的初等函数问题，常利用导数解决，主要有单调性、极值、最值、零点和不等式证明及求参数范围等问题.2.在解决这些问题时，既要遵循导数解决问题的一般思路和方法，又要注意三角函数本身的性质，特别地要注意三角函数的泰勒公式及常用结论(如x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x <tanx 等).类型一 零点问题1.常借助高阶导数，令其为零找到参数讨论的分界点.2.对参数分类后，还常需要对自变量进行讨论.例1(2022·扬州调研)已知函数f (x )＝e x －ax sin x －bx ＋c 的图象与x 轴相切于原点. (1)求b ，c 的值；(2)若f (x )在(0，π)上有唯一零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝e x －a (sin x ＋x cos x )－b ， 依题意，⎩⎨⎧f ′（0）＝0，f （0）＝0，即⎩⎨⎧1－b ＝0，1＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝－1.(2)由(1)得f ′(x )＝e x －a (sin x ＋x cos x )－1， 记g (x )＝e x －a (sin x ＋x cos x )－1， 则g ′(x )＝e x －a (2cos x －x sin x )， 所以g ′(0)＝1－2a ， ①当a >12时，(ⅰ)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ″(x )＝e x＋a (3sin x ＋x cos x )>0，所以g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，又因为g ′(0)<0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2＋π2a >0，所以存在唯一实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得g ′(x 0)＝0.(ⅱ)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，2cos x －x sin x <0，则g ′(x )>0.由(ⅰ)(ⅱ)可知，x ∈(0，x 0)，g ′(x )<0，g (x )单调递减，x ∈(x 0，π)，g ′(x )>0，g (x )单调递增. 因为g (0)＝0，g (π)＝e π＋a π－1>0， 所以存在唯一实数x 1∈(x 0，π)， 使得g (x 1)＝0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0， 即f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 1，π)，g (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )单调递增.因为f (0)＝0，f (π)＝e π－π－1>0， 所以存在唯一实数x 2∈(x 1，π)， 使得f (x 2)＝0，即f (x )在(0，π)上有唯一零点，符合题意. ②当a ≤12时，f (x )＝e x －ax sin x －x －1≥e x －12x sin x －x －1， 记h (x )＝e x－12x sin x －x －1，x ∈(0，π).h ′(x )＝e x －12(sin x ＋x cos x )－1，所以h ″(x )＝e x－cos x ＋12x sin x >e 0－cos x ＋12x sin x >0，所以h ′(x )在(0，π)上单调递增， 且h ′(x )>e 0－12(sin 0＋0cos 0)－1＝0，所以h (x )在(0，π)上单调递增，h (x )>e 0－12×0×sin 0－0－1＝0，则x ∈(0，π)时，f (x )>0，所以f (x )在(0，π)上没有零点，不合题意，舍去. 综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 训练1(2022·苏州八校适考)函数f (x )＝x －sin x －cos x . (1)求函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，π2上的极值；(2)证明：F (x )＝f (x )－ln x 有两个零点.(1)解 ∵f (x )＝x －sin x －cos x ， ∴f ′(x )＝1－cos x ＋sin x＝1－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，π2，由f ′(x )＝0，可得x ＝－π2或x ＝0，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2分别单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴x ＝－π2时，函数f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1－π2；x ＝0时，函数f (x )有极小值f (0)＝－1.(2)证明 ∵F (x )＝f (x )－ln x ＝x －sin x －cos x －ln x ，x >0， ∴h (x )＝F ′(x )＝1－cos x ＋sin x －1x，x >0，∴h ′(x )＝sin x ＋cos x ＋1x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，即F ′(x )单调递增，又F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1－4π<0，F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－2π>0，故存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，F ′(x 0)＝0，∴x ∈(0，x 0)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，3π4时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，函数F (x )min ＝F (x 0)<F (1)＝1－sin 1－cos 1<0，F (e －2)＝e －2－sin e －2－cos e －2＋2>0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝3π4－ln 3π4>0，故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，F (x )＝f (x )－ln x 有两个零点.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，7π4时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤0， F (x )＝x －sin x －cos x －ln x ＝x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－ln x ≥x －ln x ， 对于函数φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，又φ(1)＝1，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，7π4，φ(x )>φ(1)＝1，即F (x )>0，此时函数F (x )＝f (x )－ln x 没有零点. 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，＋∞时，F (x )＝x －sin x －cos x －ln x ＝x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－ln x ≥x －2－ln x ， 由上可知F (x )≥7π4－2－ln 7π4>0， 故当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，＋∞时，函数F (x )＝f (x )－ln x 没有零点， 综上，函数F (x )＝f (x )－ln x 有两个零点. 类型二 证明不等式1.所证不等式不含参数时，常需对自变量分类讨论证明.2.所证不等式含参数时，要注意灵活应用切线不等式或利用参数的范围进行放缩. 例2 已知函数f (x )＝ln x ＋1x，e 为自然对数的底数，e≈2.718.求证：f (x )<e xx＋sin x .证明依题意，要证f(x)<e xx＋sin x，x>0，即证：x ln x－e x－x sin x＋1<0，令h(x)＝x ln x－e x－x sin x＋1，x>0.①当0<x≤1时，x sin x>0，1－e x<0，x ln x<0，故h(x)<0.②当1<x≤2时，x sin x>0，h(x)<x ln x－e x＋1，令u(x)＝x ln x－e x＋1，x∈(1，2]，u′(x)＝1＋ln x－e x，显然u″(x)＝1x－e x在(1，2]上单调递减，u″(x)<u″(1)＝1－e<0，所以u′(x)在(1，2]上单调递减，u′(x)<u′(1)＝1－e<0，所以u(x)在(1，2]上单调递减，u(x)<u(1)＝1－e<0，所以，当x∈(1，2]时，h(x)<u(x)<0.③当x>2时，－1≤sin x≤1，－x≤x sin x≤x，故h(x)≤x ln x－e x＋x＋1，令v(x)＝x ln x－e x＋x＋1，x>2，v′(x)＝2＋ln x－e x，显然v″(x)＝1x－e x在(2，＋∞)上单调递减，v″(x)<v″(2)＝12－e2<0，所以v′(x)在(2，＋∞)上单调递减，v′(x)<v′(2)＝2＋ln 2－e2<0，所以v(x)在(2，＋∞)上单调递减，v(x)<v(2)＝2ln 2－e2＋2＋1<5－e2<0，所以，当x>2时，h(x)≤v(x)<0.综上所述，当x>0时，h(x)<0，得证.训练2(2022·苏州八校联考)已知函数f(x)＝e－x－a ln x－2x(a∈R，x>0).(1)若a＝1，x0是函数f(x)的零点，求证：x0·e x0＝1；(2)证明：对任意x >0，0<a ≤1，都有a sin x －x ln x <e －x ＋x 2. 证明 (1)当a ＝1时，f (x )＝e －x －ln x －2x ， 由题意知f (x 0)＝e －x 0－ln x 0－2x 0＝0， 即e －x 0－x 0＝x 0＋ln x 0＝e －x 0＋ln e －x 0.令g (x )＝x ＋ln x ，显然g (x )在(0，＋∞)上单调递增，x 0，e －x 0>0. 由g (x 0)＝g (e －x 0)，得x 0＝e －x 0， 所以x 0e x 0＝1.(2)对∀x >0，令φ(x )＝x －sin x ，φ′(x )＝1－cos x ≥0，则φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，且φ(0)＝0，所以当x >0时，φ(x )>0，即x >sin x .当0<a ≤1时，e －x ＋x 2＋x ln x －a sin x >e －x ＋x 2＋x ln x －ax ≥e －x ＋x 2＋x ln x －x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x e x ＋x ＋ln x －1. 令h (x )＝1x e x ＋x ＋ln x －1＝1x ex ＋ln(x e x )－1，令x e x＝t ，t ∈(0，＋∞)， 所以H (t )＝1t＋ln t －1，H ′(t )＝－1t 2＋1t ＝t －1t2.则H (t )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以H (t )≥H (1)＝0，即h (x )≥0， 所以e －x ＋x 2＋x ln x －a sin x >0， 即a sin x －x ln x <e －x ＋x 2得证. 类型三 不等式恒成立、能成立求参数1.分离参数，归纳为函数的最值问题.2.注意利用已知参数的范围.例3(2022·辽宁协作体模拟改编)已知函数f (x )＝14x 3－x 2sin α＋x ＋1，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2.证明：存在α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，使得不等式f (x )>e x 有解(e 是自然对数的底数).证明 不等式f (x )>e x 等价于 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3－x 2sin α＋x ＋1·e －x >1， 所以只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3－x 2sin α＋x ＋1e －x 的最大值大于1.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，－1≤－sin α≤12，又x 2∈[0，＋∞)，所以－x 2sin α≤12x 2，当α＝－π6时等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3－x 2sin α＋x ＋1e －x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3＋12x 2＋x ＋1e －x .设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3＋12x 2＋x ＋1e －x ，g ′(x )＝－14x 2(x －1)e －x ，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因为g (1)＝14＋12＋1＋1e ＝2.75e >1，所以存在α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，使得不等式f (x )>e x 有解.训练3(2022·潍坊二模改编)已知函数f (x )＝ax ＋cos x ＋sin x (a ∈R ). 若f (x )≤1＋2sin x ＋2cos x 在x ∈(0，π]上恒成立，求实数a 的取值范围. 解 f (x )≤1＋2sin x ＋2cos x ， 即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x ＋cos x x min .令g (x )＝1＋sin x ＋cos xx，x ∈(0，π]，则g ′(x )＝（cos x －sin x ）x －1－sin x －cos xx2＝（x －1）cos x －（x ＋1）sin x －1x 2.令h (x )＝(x －1)cos x －(x ＋1)sin x －1，则h ′(x )＝cos x －(x －1)sin x －sin x －(x ＋1)cos x ＝－x (sin x ＋cos x ) ＝－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当0<x <3π4时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当3π4<x <π时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. 而h (0)＝－2<0，h (π)＝－π<0， 故h (x )<0在x ∈(0，π]上恒成立， 故g ′(x )<0在x ∈(0，π]上恒成立， 所以g (x )在x ∈(0，π]为减函数， 所以g (x )min ＝g (π)＝0，故a ≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0].类型四必要性探路1.常用探路方法有：取点探路、保号性探路、洛必达探路等.2.{探得的参数范围}⊇{参数取值范围}，无需再考虑不在探得参数范围内的情形. 例4(2022·海安模拟)已知函数f(x)＝e x＋x cos x.(1)判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并说明理由；(2)对任意的x≥0，e x＋x sin x＋cos x≥ax＋2，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，理由如下：因为f(x)＝e x＋x cos x，所以f′(x)＝e x＋cos x＋x(－sin x).记g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1，令g′(x)＝0，得x＝0.当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以g(x)min＝g(0)＝0，所以g(x)＝e x－x－1≥0，即e x≥x＋1.又sin x≤1，cos x≥－1，所以f′(x)≥x＋1＋cos x＋x(－sin x)＝x(1－sin x)＋(1＋cos x)≥0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数.(2)由题意知e x＋x sin x＋cos x－ax－2≥0对∀x≥0恒成立，令F(x)＝e x＋x sin x＋cos x－ax－2，∴F ′(x )＝e x＋sin x ＋x cos x －sin x －a ＝e x ＋x cos x －a ，而F (x )≥F (0)对∀x ≥0恒成立， ∴F ′(0)＝1－a ≥0⇒a ≤1(必要性). 下证充分性：当a ≤1时，F (x )＝e x ＋x sin x ＋cos x －ax －2≥e x ＋x sin x ＋cos x －x －2. 令h (x )＝e x ＋x sin x ＋cos x －x －2，h ′(x )＝e x ＋sin x ＋x cos x －sin x －1＝e x ＋x cos x －1， 由(1)知，h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴h ′(x )≥h ′(0)＝0， ∴h (x )在[0，＋∞)上单调递增，h (x )≥h (0)＝0⇒F (x )≥0符合题意. 综上：实数a 的取值范围为(－∞，1].训练4 已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )是f (x )的导函数. (1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一的零点； (2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax 恒成立，求a 的取值范围. (1)证明 因为f (x )＝2sin x －x cos x －x ，所以f ′(x )＝2cos x －cos x ＋x sin x －1＝cos x ＋x sin x －1， 令g (x )＝cos x ＋x sin x －1，则g ′(x )＝－sin x ＋sin x ＋x cos x ＝x cos x ， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，g ′(x )<0，所以当x ＝π2时，g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2－1>0，g (0)＝0，g (π)＝－2，所以g (x )在(0，π)上有唯一零点， 即f ′(x )在(0，π)上有唯一零点. (2)解 当x ＝π，由不等式f (x )≥ax ， 得f (π)＝0≥a π，可得a ≤0(必要性). 下证充分性：由(1)知，f ′(x )在(0，π)上有唯一零点x 0使得f ′(x 0)＝0，且f ′(x )在(0，x 0)上为正，在(x 0，π)上为负，所以f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减. 结合f (0)＝0，f (π)＝0，可知f (x )在[0，π]上非负， 所以x ∈[0，π]时，f (x )≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0， 所以f (x )≥ax ，所以a 的取值范围是(－∞，0].一、基本技能练1.已知函数f (x )＝x －12sin x ＋m ln x ＋1，g (x )＝f (x )＋12sin x .当x ≥1时，若不等式g (x )－x －e x －1≤0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 由题意知m ln x ＋1－e x －1≤0在[1，＋∞)恒成立.令h(x)＝m ln x＋1－e x－1，必要性：即证x≥1时，h(x)≤0恒成立，h(1)＝0.h′(x)＝mx－e x－1，h′(1)＝m－1≤0.即h(x)在x＝1处保持单调递减趋势时，m≤1.下证充分性：当m≤1，x≥1，m ln x≤ln x.则m ln x＋1－e x－1≤ln x＋1－e x－1，根据指对不等式ln x≤x－1，e x－1≥x，原式h(x)≤ln x＋1－e x－1≤x－1＋1－x＝0，当且仅当x＝1时取等号.故实数m的取值范围为(－∞，1].2.(2022·南京师大附中模拟)已知f(x)＝ln(x＋1)－ax(a∈R)，g(x)＝－sin x.若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个交点，求a的取值范围.解函数f(x)与g(x)的图象恰有一个交点，等价于h(x)＝f(x)－g(x)有一个零点，h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－ax＋sin x，显然h(0)＝0，即函数h(x)除0之外无其他零点.h′(x)＝1x＋1－a＋cos x，令m(x)＝1x＋1－a＋cos x，m′(x)＝－1（x＋1）2－sin x，当－1<x<0时，－1（x＋1）2<－1，则m′(x)＝－1（x＋1）2－sin x<0，即h′(x)在(－1，0)单调递减.若a≤0，当－1<x<0时，ln(x＋1)<0，sin x<0，则h(x)＝ln(x＋1)－ax＋sin x<0；当0<x<π时，ln(x＋1)>0，sin x>0，则h(x)＝ln(x＋1)－ax＋sin x>0；当x≥π时，ln(x＋1)>1，ln(x＋1)＋sin x>0，则h(x)＝ln(x＋1)－ax＋sin x>0，即h(x)除0之外无其他零点，符合题意.若0<a<2，当0<x<π时，m′(x)＝－1（x＋1）2－sin x<0，即h′(x)在(0，π)上单调递减，又h′(0)＝2－a>0，h′(π)＝1π＋1－a－1<0，则存在x0∈(0，π)使h′(x0)＝0，即h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减，又h(0)＝0，x→＋∞时，h(x)→－∞，故h(x)在(0，＋∞)上至少存在1个零点，不合题意.若a＝2，当－1<x<0时，由上知h′(x)在(－1，0)上单调递减，h′(x)>h′(0)＝2－a ＝0，则h(x)在(－1，0)上单调递增，即h(x)<h(0)＝0；当x>0时，令n(x)＝ln(x＋1)－x，则n′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0，即n(x)单调递减，n(x)<n(0)＝0，即ln(x＋1)<x，令t(x)＝sin x－x，则t′(x)＝cos x－1≤0，即t(x)单调递减，t(x)<t(0)＝0，即sin x<x，则h (x )＝ln(x ＋1)－2x ＋sin x <0，即h (x )除0之外无其他零点，符合题意. 若a >2，当－1<x <0时，由上知h ′(x )在(－1，0)单调递减，又－1<1a －1<0，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1>0，h ′(0)＝2－a <0，则存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0使h ′(x 1)＝0，即h (x )在(－1，x 1)上单调递增，(x 1，0)上单调递减， 又h (0)＝0，x →－1时，h (x )→－∞， 故h (x )在(－1，0)存在1个零点，不合题意. 综上，a 的取值范围是{a |a ≤0或a ＝2}.3.(2022·苏州模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝e x －a sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)若f (x )≥3－12a ，求a 的取值范围. 解 (1)令g (x )＝f ′(x )＝e x －a cos x ，g ′(x )＝e x ＋a sin x .若a <1，则f ′(x )＝e x －a cos x >1－1＝0， 所以f ′(x )的零点个数为0； 若a ＝1，g ′(x )＝e x ＋sin x >0， 所以f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，又f ′(0)＝e 0－cos 0＝1－1＝0， 所以f ′(x )的零点个数为1；若a >1，g ′(x )＝e x＋a sin x >0， 所以f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， 又f ′(0)＝1－a <0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝e π2>0，所以f ′(x )的零点个数为1.综上得，当a <1时，f ′(x )的零点个数为0；当a ≥1时，f ′(x )的零点个数为1. (2)由(1)知，若a ≤1，f ′(x )＝e x －a cos x ≥0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝1>3－12≥3－12a ，所以a ≤1满足题意； 若a >1，存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得f ′(x 0)＝e x 0－a cos x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上单调递增.所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0－a sin x 0＝a cos x 0－a sin x 0≥3－12a ， 化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4≥6－24＝cos 5π12，又x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6.设h (x )＝cos x e x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6， ∴h ′(x )＝－sin x －cos xe x <0，所以y ＝cos x e x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6上单调递减，所以1a ＝cos x 0e x 0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e π6，1， 解得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，233e π6.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，233e π6.二、创新拓展练4.(2022·温州测试)已知函数f (x )＝e x ·cos x (e 为自然对数的底数). (1)求证：当x ∈(0，π)时，f (x )<x ＋1；(2)设f (x )＝m (－2π<x <2π)的解为x i (i ＝1，2，…)，x i >x i ＋1. (ⅰ)当x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求x i －f (x i ＋1)的取值范围；(ⅱ)判断是否存在x i <π，使得x i ＋x i ＋1≥π2成立？并说明理由. (1)证明 设g (x )＝e x ·cos x －x －1， 则g ′(x )＝e x ·(cos x －sin x )－1. 令F (x )＝g ′(x )，则F ′(x )＝e x ·(－sin x －sin x ) ＝－2e x ·sin x . ∵x ∈(0，π)， ∴F ′(x )<0，∴g ′(x )在(0，π)上单调递减， ∴g ′(x )<g ′(0)＝0， ∴g (x )在(0，π)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，∴当x ∈(0，π)时，f (x )<x ＋1.(2)解 (ⅰ)∵f ′(x )＝e x ·(cos x －sin x )＝2e x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π，－7π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4，－3π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝0，f (0)＝1，f (π)＝－e π<－1.又当x <0时，e x ∈(0，1)，cos x ∈[－1，1]， ∴f (x )∈(－1，1)， ∴f (x )的部分图象如图所示.观察图象知，当x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，又x i >x i ＋1，必有x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.设h (x i )＝x i －f (x i ＋1)＝x i －f (x i )＝x i －e x i ·cos x i ，x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∵x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上单调递减，则e xi ·cos x i 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，因此h (x i )＝x i －e x i ·cos x i 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，∴x i －f (x i ＋1)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－22e π4，π2.(ⅱ)不存在，理由如下：①当x i ∈(－∞，0]时，x i ＋1不存在或者显然x i ＋x i ＋1<π2，即x i ＋x i ＋1≥π2不成立； 因x i <π，则②当x i ≤π4时，由x i >x i ＋1，必有x i ＋x i ＋1<π2，即x i ＋x i ＋1≥π2不成立； ③当x i ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，x i ＋1不存在或者x i ＋1≤－π2，此时x i ＋x i ＋1<π－π2＝π2，即x i ＋x i＋1≥π2不成立； ④当x i ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，x i ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4，构造函数t (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －f (x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则t ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －f ′(x )＝－e π2－x ·(sin x －cos x )－e x ·(cos x －sin x )＝(cos x －sin x )·(e π2－x －e x ).因而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，cos x －sin x <0，e π2－x －e x<e π2－π4－e π4＝0，∴t ′(x )>0，∴t (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，∴t (x )>t ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x >f (x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x i >f (x i )＝f (x i ＋1).又－π2<x i＋1<π4，0<π2－x i<π4且f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π4上单调递增，∴π2－x i>x i＋1，∴x i＋x i＋1<π2，即x i＋x i＋1≥π2不成立.综上所述，不存在x i＋1<x i<π，使得x i＋x i＋1≥π2.。
三角函数与导数综合应用
三角函数与导数综合应用一、引言三角函数和导数是高等数学中的两个重要概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将讨论三角函数与导数的综合应用，并结合实际问题展示其重要性。
二、举例：航空器的爬升角度在航空领域中，航空器的爬升角度是一个关键参数，它直接影响飞机的爬升速率和到达目的地所需的时间。
而通过对三角函数和导数的综合应用，我们可以确定最优的爬升角度，使飞机能够以最高的效率完成任务。
1.问题陈述假设一架飞机位于空中，目标高度为H米，初始高度为h米（h < H），飞机的爬升速率为v m/s。
我们的目标是确定最小的爬升角度θ，使得飞机能够以最短的时间到达目标高度H。
2.解决方法我们可以利用三角函数和导数的综合应用来解决这个问题。
假设飞机当前的高度为y米，它的爬升角度为θ。
根据三角函数的定义，我们可以得到飞机的爬升速率与角度之间的关系：v = y' = dy/dt = sin(θ) * v其中，y'表示高度关于时间的导数，即飞机的爬升速率；dy/dt表示高度关于时间的变化率；sin(θ)表示飞机的爬升角度与爬升速率之间的比例关系；v表示飞机的爬升速率。
我们的目标是求解出角度θ的取值范围，使得飞机以最短时间到达目标高度H。
由于飞机的爬升速率是已知的，我们可以将问题转化为求解y与θ的关系式，并对y求导数。
3.问题求解设总时间为T，根据问题陈述，我们可以得到以下方程：∫[0,H] dy / (sin(θ) * v) = T其中，∫[0,H]表示对y从0到H进行积分，dy表示y的微元变化量。
将方程分解后，我们可以得到：∫[0,H] dy / sin(θ) = v * T再次对方程进行分解，我们可以得到：∫[0,H] sec(θ) dy = v * T利用积分规则，我们可以得到以下结果：[ln|sec(θ) + tan(θ)|] [0,H] = v * T由于θ的取值范围在[0,π/2]之间，我们可以得到以下结论：ln|sec(θ) + tan(θ)| = (v * T) / H根据以上方程，我们可以求解出最优的爬升角度θ，进而确定飞机到达目标高度H所需的最短时间T。
三角函数的积分与导数
三角函数的积分与导数在微积分中，三角函数是非常重要的函数之一。
它们在各个科学领域，特别是物理学和工程学中，具有广泛的应用。
三角函数的积分和导数是求解与三角函数相关的问题时必不可少的工具。
本文将对三角函数的积分和导数进行详细讨论。
一、正弦函数的积分与导数正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
它的图像是一个周期性的波形，用于描述周期性现象，如振动和波动。
下面我们来讨论正弦函数的积分和导数。
1. 正弦函数的导数通过求导的定义，我们可以得到正弦函数的导数公式：d/dx(sin(x)) = cos(x)这意味着正弦函数的导数是余弦函数。
这个结果在物理学中有广泛的应用，尤其是在描述振动系统的运动方程时经常用到。
2. 正弦函数的积分对于正弦函数的积分，我们有以下公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C是一个常数，表示积分常数。
这个积分公式可以通过对导数公式进行逆运算得到。
二、余弦函数的积分与导数余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为cos(x)。
它也是一个周期性的函数，与正弦函数密切相关。
下面我们来讨论余弦函数的积分和导数。
1. 余弦函数的导数通过求导的定义，可以得到余弦函数的导数公式：d/dx(cos(x)) = -sin(x)这意味着余弦函数的导数是负的正弦函数。
2. 余弦函数的积分对于余弦函数的积分，我们有以下公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C其中C是积分常数。
三、其他除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他常见的三角函数，如正切函数(tan(x))、余切函数(cot(x))、正割函数(sec(x))和余割函数(csc(x))。
它们也都有各自的积分和导数公式。
1. 正切函数的导数和积分：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C2. 余切函数的导数和积分：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C3. 正割函数的导数和积分：d/dx(sec(x)) = sec(x)tan(x)∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C4. 余割函数的导数和积分：d/dx(csc(x)) = -csc(x)cot(x)∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C四、三角函数的积分与导数的应用三角函数的积分和导数在各个科学领域和工程学中有广泛的应用。
三角函数的导数解析与归纳
三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。
导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。
本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。
一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。
三角函数的导数
三角函数的导数三角函数的导数是数学中一个重要的概念，它在微积分和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的导数计算方法和一些重要的导数公式。
一、正弦函数的导数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的导数可以通过极限的定义来计算。
假设f(x) = sin(x)，其中x为自变量，y为因变量，则当x连续增加一个无穷小量Δx时，对应的y值的变化可以表示为Δy =f(x+Δx) - f(x)。
根据三角函数的性质，我们有sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)。
将这个式子应用到Δy上，可以得到Δy = sin(x+Δx) - sin(x) =sin(x)cos(Δx) + cos(x)sin(Δx) - sin(x)。
忽略高阶无穷小量Δx^2及以上的项，得到Δy = cos(x)sin(Δx)。
整理得到Δy/Δx = cos(x)sin(Δx)/Δx。
当Δx趋近于0时，上式的极限即为sin(x)的导数，即d(sin(x))/dx = cos(x)。
将上述结果进行总结，得到正弦函数的导数公式：d(sin(x))/dx = cos(x)。
二、余弦函数的导数余弦函数是三角函数中另一个基本的函数，在计算导数时与正弦函数的方法类似。
假设g(x) = cos(x)，其中x为自变量，y为因变量。
同样地，当x连续增加一个无穷小量Δx时，对应的y值的变化可以表示为Δy = g(x+Δx) - g(x)。
根据三角函数的性质，我们有cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)。
将这个式子应用到Δy上，可以得到Δy = cos(x+Δx) - cos(x) =cos(x)cos(Δx) - sin(x)sin(Δx) - cos(x)。
忽略高阶无穷小量Δx^2及以上的项，得到Δy = -sin(x)sin(Δx)。
整理得到Δy/Δx = -sin(x)sin(Δx)/Δx。
2-5 导数与三角函数交汇—读者版
专题5 导数与三角函数的交汇导数找到了三角函数，成为了指对跨阶的后花园，形成了指数、对数、三角的三足鼎立之势，尤其在2019全国新课标一卷的导数题出现了三角函数找点，大家开始对导数和三角函数的交汇类型题进行疯狂研究，这一部分到底有什么秘密呢？还是从高考原题开始研究，再通过一些最新模拟题寻找一个变化趋势，我们尽量给到您展现那种可以触摸得到的简单。
第一讲 一切从切线开始三角函数的切线方程，按照平移体系得到，当0≥x 时，x x ≤sin ，1cos ≤x ；按照这个原理来进行平移计算，当切点为0x x =时，得到00)sin(x x x x -≤-，1)cos(0≤-x x ；例1．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(1)π-，处的切线方程为( ) A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=例2．（2019•天津）曲线cos 2xy x =-在点(01)，处的切线方程为 ． 例3．（2013•全国）曲线cos y x x =在点(00)，处的切线方程为 ．例4．（2019•金台区月考）已知曲线()cos 3f x x x x =+在点(0(0))f ，处的切线与直线210ax y ++=垂直，则实数a 的值为( ) A ．4-B ．1-C ．12D ．4例5．（2019•蚌埠期末）曲线cos y ax x =在2x π=处的切线与直线21y x =+垂直，则实数a 的值为( ) A ．1πB ．1π-C ．4πD ．4π-例6.（2019•青羊区校级期中）曲线sin y x x =在点()22ππ，处的切线方程为( )A ．0x y -=B ．0x y π+-=C ．240x y π-+=D ．2430x y π+-=例7．（2019秋•廊坊月考）函数()sin (1cos )f x x x x =+-的图象在点()ππ，处的切线方程是 ． 例8.（2011•湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(0)4M π，处的切线的斜率为( )A ．12-B ．12C ．22-D ．22第二讲 三角函数中的同构式一：找基友同构例9.（2019•大理州月考）若函数()cos x f x e x =在点(0(0))f ，处的切线与直线210x ay -+=互相垂直，则实数a 等于( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2例10.（2019•汉中月考）过原点作函数sin x y e x =的图象的切线，则切线方程是 ．例11.（2019•烟台期中）定义在(1)-+∞，上的函数()f x 满足()cos 0f x x '+<，且(0)1f =，则不等式()sin 1f x x +<的解集为( )A ．(0)-∞，B ．(10)-，C ．(0)+∞，D ．(11)-，例12．（2019•开福区校级月考）已知函数()()2sin f x f x x =-+，又当0x ≥时，()1f x '≥，则关于x 的不等式()()2)24f x f x x ππ≥--的解集为( )A ．[)4π+∞， B ．[)4π-+∞，C ．[)4π-∞，D ．[)4π-∞-，例13.（2020•天心区校级月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()62sin 0f x f x x x ---+=，且0x ≥时，()3cos f x x '≥-恒成立，则不等式3()()62)224f x f x x x πππ≥--++的解集为( )A ．(0)4π，B ．[)4π+∞，C ．(0)6π，D ．[)6π+∞，例14.（2019•抚州期末）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()4f x x '>，且11()22f =．当[02]απ∈，时，不等式(sin )cos210f αα+->的解集为( )A ．711()66ππ， B ．45()33ππ， C ．2()33ππ-，D ．5()66ππ，三．抽象函数单调性构造例15.（2019•辽源期末）定义在(0)2π，上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>⋅成立．则有( )A 3()2cos1(1)6f π>B 3()()63f ππ<C ．2()6()46f ππ<D 2()()43f ππ>例16.（2019•十堰月考）设()f x 是定义在(0)(0)22ππ-⋃，，上的奇函数，其导函数为()f x '，当(0)2x π∈，时，cos ()()0sin xf x f x x'-<，则不等式23()()sin 3f x f x π<的解集为( ) A ．(0)(0)33ππ-⋃，， B ．(0)()332πππ-⋃，， C ．()()2332ππππ--⋃，，D ．()(0)233πππ--⋃，，例17.（2019•6月份模拟）设奇函数()f x 的定义域为()22ππ-，，且()f x 的图象是连续不间断，(0)2x π∀∈-，，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，若()2()cos 3f m f m π<，则m 的取值范围是( )A ．()23ππ-， B ．(0)3π，C ．()23ππ--， D ．()32ππ，例18.（2020•开福区校级月考）定义在()22ππ-，上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)f 0=．当0x >时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式()0f x <的解集为 ．第三讲 极值和最值一．求导后需要借助辅助角公式x b x a x f ωωcos sin )(+=，)cos sin ()(c x b x a e x f x++=或者x e cx b x a x f ++=cos sin )(，这类型函数的特点就是三角函数齐次或者齐角，求完导都和辅助角公式又关联. 例19.（2020•重庆模拟）若函数2sin 2()2cos 2xf x x ax =++存在单调递减区间，则实数a 的取值范團是( )A ．1a ≥B ．5aC ．1a <D ．5a <例20.（2019•香坊区校级月考）已知函数()3(sin )x f x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(22)-，B ．(11)-，C ．[22]-，D ．[11]-，例21.（2019•萍乡一模）已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若函数()y f x ='没有零点，且[()2019]2019x f f x -=，当()sin cos g x x x kx =--在[]22ππ-，上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是( ) A ．(1]-∞，B ．(2]-∞，C ．[12]-，D ．[2)+∞例22.（2019•蚌山区校级月考）已知函数()sin cos f x a x x =+，(0)6x π∈，，若12x x ∃≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(0，B ．(03)，C ．3(3)， D ．3(0)，二．求导后需要借助三角函数有界性或者二次函数 ncx x b x a x f ++=ωωcos 2sin )(或者ncx x b x a x f ++=ωω2cos sin )(，这类型函数的特点就是三角函数非齐次或者倍角关系，求完导需要利用二次函数甚至对勾函数性质.例23.（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．例24.（2019•安徽期末）若函数1()sin 2sin 4f x x x a x =--在()-∞+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[]22-，B ．1[1]2-，C ．[11]-，D ．1[1]2--，例25.（2019•七星区校级期中）若函数()sin 2f x x a x =+在[0)4π，上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．1[0]2-，B ．[1)-+∞，C ．1[)2-+∞，D ．1(]2-∞-，例26.（2019•福州期末）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．若()f x 是增函数，则1a ≤C ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点例27.（2019•河南一模）若函数()(sin )cos f x mx m x x =++在()-∞+∞，单调递减，则m 的取值范围是 ． 三．单调性和对称性综合定理1：原函数的中心对称位置将成为导函数的对称轴，原函数的对称轴位置上，必然出现对称中心，这个定理对三角函数百试不爽；定理2：)0(2)0()()(f m M f x f x f =+⇔=-+，其中max )(x f M =，min )(x f m =（参考本书函数奇偶性专题）；例28.（2019•娄底期末）已知函数34()sin 1x f x x x e =+++，其导函数为()f x '，则(2020)(2020)(2020)(2020)f f f f +'+--'-的值为( )A ．4040B ．4C ．2D ．0例29.（2019•重庆模拟）若函数()(cos sin )x f x x x e =-，(010)x π∈，，则()f x 的所有极大值点之和与所有极小值点之和的差为( ) A ．5π-B ．5πC ．55πD ．55π-例30.（2019•沙坪坝区校级月考）设函数()(sin cos )([20192020]x f x e x x x ππ-=-∈-，．过点1(0)2A π+，作函数()f x 图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为( ) A ．2019πB ．2020πC ．20192π D ．1010π例31.（2019•叶集区校级月考）若关于x 的函数2222sin()4()(0)2cos tx t x xf x t x xπ+++=≠+的最大值和最小值之和为4，则t = ．例32.（2019•博望区校级模拟）已知函数32()312f x ax ax bx a b =-+++-，若()(1)([]0)cos 2x xe e g xf x x a a a x --=++∈->+，，的最大值为M ，则下列说法正确的是( )A ．M 的值与a ，b 均无关，且函数()g x 的最小值为M -B ．M 的值与a ，b 有关，且函数()g x 的最小值为M -C ．M 的值与a ，b 有关，且函数()g x 的最小值为2M -D ．M 的仅与a 有关，且函数()g x 的最小值为2M -例33.（2019•吉安模拟）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x >时，2()ln ln2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．5四．三倍角公式和三次函数转换ααααααααααααα322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+=+=+=； αααααααααααααcos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322-=--=-=+=；由此得到降幂公式：43cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33αααααα+=-=， 秒杀秘籍：最值界定例34.（2019•黄浦区期末）已知公式3cos34cos 3cos θθθ=-，R θ∈，借助这个公式，我们可以求函数33()432([0])f x x x x =--∈，的值域．则该函数的值域是 ． 例35.（2019•广东模拟）已知34a ≥-，0b ≥，函数3()f x x ax b =++，11x -≤≤，设|()|f x 的最大值为M ，且对任意的实数a ，b 恒有M K ≥成立，则实数K 的最大值为( ) A ．4B ．2C ．12D ．14例36.（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式0123≥+-ax x 在]11[，-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．1≤aC ．2≤aD ．2233≤a 例37.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x axb =++定义域为[12]-，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为( ) A ．4B ．3C ．2D 3例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14． 达标训练A1．（2019•文峰区校级月考）函数()cos f x x x =-在2x π=处的切线方程为( )A ．240x y π--=B ．20x y π-=C ．410x y π--=D ．420x y π--=2．（2018•重庆期末）已知函数()cos x f x e x =-，则曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为( ) A ．0y =B ．2y x =C ．y x =D ．2y x =-3．（2019•中原区校级期中）曲线cos x y e x -=在点(01)，处的切线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．10x y +-=4.（2019•吉林三模）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos ()2f x x xf π=-'，若曲线()y f x =在0x =处的切线为l ，则下列直线中与直线l 垂直的是( ) A ．210x y --=B ．210x y ++=C ．220x y --=D ．210x y ++=5．（2019•邯郸期末）曲线sin()22x y x e π=++在点(03)，处的切线方程是( )A ．230x y +-=B ．30x y -+=C ．260x y -+=D ．230x y -+=6．（2019•常德期末）曲线sin 1ln(1)y x x x =+++在0x =处的切线方程为7．（2019秋•天心区校级月考）给出定义：设()f x '是函数()y x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(())x f x ，为函数()y f x =的“拐点”，已知函数()54sin cos f x x x x =+-的“拐点”是00(())x f x ，，则点(M )A ．在直线5y x =-上B ．在直线5y x =上C ．在直线4y x =-上D ．在直线4y x =上8．（2019•乌鲁木齐二模）若直线y x m =+与曲线sin cos y a x b x =+()a b m R ∈，，相切于点(01)，，则a bm+的值为 ．9．（2012•湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期2π的偶函数，()f x '是函数()f x 的导函数，当[0]x π∈，时，0()1f x <<；当(0)x π∈，，且2x π≠时，()()02x f x π-'>，则函数()sin y f x x =-在[22]ππ-，的零点个数为( ) A ．2B ．4C ．5D ．810.（2019•南昌二模）已知函数()f x 对x R ∀∈有()()2cos f x f x x +-=，且()sin 0f x x '+<，若角α满足不等式()()0f f παα++≥，则α的取值范围是( ) A ．(]2π-∞-，B ．(]π-∞，C ．[]22ππ-，D ．[0]2π，11．（2019•道里区校级期末）已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>．当[0]απ∈，时，不等式(sin cos )sin 20f ααα+->的解集为( )A ．()42ππ，B ．3[0)4π，C ．()4ππ，D ．3()24ππ，12．（2019•中原区校级月考）已知函数()f x 的定义域为R ，11()22f =，对任意的x R ∈满足()4f x x '<-当[]αππ∈-，时，不等式(cos )cos20f αα+<的解集为( )A ．()33ππ-，B ．2()33ππ，C ．2()33ππ-，D ．5()66ππ，13．（2019•驻马店期末）已知函数()y f x =对于任意的()22x ππ∈-，满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( ) A ．2()(0)3f f π->B ．(0)2()4f πC ．(1)(1)f f ->D ．(1)f (0)cos1f >14．（2019秋•滨州期末）已知定义在[0)2π，上的函数()f x 的导函数为()f x '，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．6()()64f f ππB ．(ln )03f π>C ．()2()63f f ππ> D ．()2()43f ππ>15.（2019•泰安期中）已知()f x 是定义在()22ππ-，上的奇函数，其导函数为()f x '，()28f π=(0)2x π∈，时，()sin 22()cos20f x x f x x '+>．则不等式()sin 21f x x <的解集为 ．16.（2019•荔湾区校级月考）已知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为 17.（2019•淮南二模）函数1()sin 2cos 3f x x x a x =-+在()-∞+∞，内单调递增，实数a 的取值范围是( )A ．[22]-，B ．4[2]3-，C ．44[]33-，D ．4[2]3--，18.（2019•天津期末）若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间()-∞+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(10]-，B ．[01)，C ．(11)--，D ．[11]-，19.（2019•金华期末）设()cos []63a f x x x x ππ=⋅∈，，的最大值为M ，则( )A.当1a =-时，3M <B ．当2a =时，3M <C ．当1a =时，3MD ．当3a =时，12M < 20.（2019秋•广东月考）函数()sin 22cos f x x x =+，()22x ππ∈-，的最大值是 ．21.（2020•南通模拟）函数1()sin 2f x x x =+，[0]x π∈，的最大值为 ． 22.（2019•北碚区校级期末）已知函数3(1)2x x f x x ππ-+=++-，若(sin 2)(cos2)4f x f x ++>，则x 的范围是( )A ．|2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭， B ．7(22)(22)6226k k k k ππππππππ-++++，，∪，k Z ∈C ．7(2)66k k ππππ-++，，k Z ∈ D ．∅ 23.（2019•仙游县校级月考）设函数()(sin cos )x f x e x x =-，若02020x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为( ) A ．1010(1)1e e e πππ-- B ．10102(1)1e e e πππ--C ．20202(1)1e e eπππ-- D ．2020(1)1e e eπππ--24.（2019•怀化期中）设函数()3xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是( )A ．(2)(2+)-∞-∞，∪，B ．(3)(3+)-∞∞，∪C ．(2)(2+)-∞∞，∪D ．(1)(1+)-∞-∞，∪，25．（2019•五华区校级月考）已知函数()(sin cos )x f x e a x b x =⋅+，若0x =是()f x 的一个极小值点，且222a b +=，则(a = )A ．1-B ．0C ．1D ．1±26.（2020•马鞍山一模）已知21()cos 2f x x a x =+，当1a >时，()f x 在(0)π，上( ) A ．有最大值没有最小值 B ．有最小值没有最大值 C ．既有最大值也有最小值D ．既无最大值也无最小值27.（2019•南开区二模）已知函数1()2sin x xf x e x e =--，其中e 为自然对数的底数，若2(2)(3)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为 ．28．（2019•济南一模）已知函数2()cos(2)121x f x x x π=-+++，则()f x 的最大值与最小值的和为( )A ．0B ．1C ．2D ．429.（2019•博望区校级模拟）已知函数23()sin []cos 34x f x x x x ππ=-∈，，，则()f x 的最小值是 ． 30．（2019•沙坪坝区校级期中）设函数2()sin f x x ππ=-在(0)+∞，上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(0)x ，处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为( ) A 5 B 5 C 35 D 25 31.已知函数 32()8f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．32.（2018•威海期末）若关于x 的方程3515x x m =-在2][1-，上有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1010]-，B ．[10)-+∞，C ．(10]-∞-，D ．[10)+∞，33.（2019•清江浦区校级月考）函数3()41f x x ax =-+，[01]x ∈，，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．34.（2020•清华大学中学生能力测试）设函数32()|6|f x x x ax b =-++，若对任意的实数a 和b ，总存在0[03]x ∈，，使得0()f x m ≥，则实数m 的最大值为 ．达标训练B1．（2019•丰台区期末）某同学解答一道导数题：“已知函数()sin f x x =，曲线()y f x =在点(00)，处的切线为l ．求证：直线l 在点(00)，处穿过函数()f x 的图象．” 该同学证明过程如下：证明：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=．所以(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为y x =． 若想证直线l 在点(00)，处穿过函数()f x 的图象，只需证()()sin g x f x x x x =-=-在0x =两侧附近的函数值异号．由于()cos 10g x x '=-≤，所以()g x 在0x =附近单调递减．因为(0)0g =，所以()g x 在0x =两侧附近的函数值异号．也就是直线l 在点(0,0)处穿过函数()f x 的图象． 参考该同学解答上述问题的过程，请你解答下面问题：已知函数32()f x x ax =-，曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线为l ．若l 在点P 处穿过函数()f x 的图象，则a 的值为( ) A ．3B ．32C ．0D ．3-2．（2019•荔湾区月考）函数()2cos f x x x =+在点(())22f ππ，处的切线方程为( )A ．302x y π--= B ．02x y π-+= C ．3302x y π--= D ．02x y π--=3．（2019•滨城区校级月考）曲线(1cos )x y e x =+在点(02)，处的切线方程为( ) A ．2y =B ．2y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-+4．（2019•驻马店期末）曲线sin x y e x =+在点(01)，处的切线方程为( ) A ．y x =B ．1y x =+C ．21y x =+D ．31y x =-5.（2020•宜宾模拟）设曲线1cos ()sin xf x x+=在3x π=处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于( )A ．1-B ．23C ．2-D ．26．（2019秋•重庆期末）曲线(sin )x y x x e =+在点(00)，处的切线方程为 ．7．（2019•盐城三模）已知函数()4sin f x x x =+，若不等式12()kx b f x kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为 ．8．（2016•新课标Ⅰ）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()-∞+∞，单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[11]-，B ．1[1]3-，C ．11[]33-，D ．1[1]3--，9．（2019•威海二模）已知函数()f x 的定义域为R ，11()22f =-，对任意的x R ∈满足()4f x x '>，当[02]απ∈，时，不等式(sin )cos20f αα+>的解集为( )A ．5()66ππ，B ．2()33ππ，C ．45()33ππ， D ．711()66ππ， 10．（2019•河南期末）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()cos ()f x x f x =--，且sin ()02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为 ． 11．（2019•赣州期中）已知函数()f x 在定义城R 上可导，且()cos f x x '≥，则关于x 的不等式()()2)24f x f x x ππ≥-+-的解集为( )A ．[)4π+∞， B ．[)4π-+∞，C ．(]4π-∞，D ．(]4π-∞-，12.（2019•东胜区校级月考）已知函数()f x 满足(0)1f =，且()cos ()sin f x x f x x '>，则不等式()cos 10f x x ->的解集为( ) A ．(1)-∞-，B ．(1)+∞，C ．(0)-∞，D ．(0)+∞，13．（2019•安徽期末）已知()2(1)cos f x x x =+-，则不等式(ln 1)1f x -<的解集为( ) A ．(0)e ，B ．(1)+∞，C ．()e +∞，D ．(1)e ，14.（2020•荆州一模）已知函数()f x 是()22ππ-，上的奇函数，其导函数为()f x '，且(1)0f =，当0x >时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式()0f x >的解集为 ．15．（2019•黄山二模）已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，[()2018]2019x f f x +=，若()2sin()6g x x mx π=++在3[2]2ππ，上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( )A ．2](--∞，B ．[2)-+∞，C ．(2]-∞，D ．[2-，-1]16.（2020•岳阳一模）若函数()(cos )x f x e x a =+在区间(0)π，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 17.（2019•朝阳区期末）已知函数()sin 21()f x k x x k R =++∈，当(2)(2)k +∞∈-∞-，，∪时，()f x 在(02)π，内的极值点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．318.（2020•郴州一模）已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若函数()y f x '=没有零点，且[()2020]2020x f f x -=，当()sin 3g x x x kx =-在[]22ππ-，上与()f x 在R 上的单调性相同时，实数k的取值范围是( ) A ．(1]-∞-，B ．(3]-∞，C ．[13]-，D ．[3)+∞19．（2019•临沂期末）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[22)ππ-，，则( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 在[0)π，上单调递增 C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点20.（2018•河南期末）若函数23sin cos 1y x x a =++-在区间[]22ππ-，上的最小值为0，则a = ．21.（2019•中原区校级月考）32()sin cos (0)3f x x x x π=+∈，，，则下列关于()f x 的说法正确的为( )A ．存在极大值，也存在极小值B ．存在极大值，不存在极小值C ．不存在极大值，存在极小值D ．不存在极大值，也不存在极小值22.（2019•袁州区校级模拟）设函数1()()f x ax a b Z x b=+∈+，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =．已知方程()sin(1)1f x A x =-+有1x ，2x ，3x ，4x 共4个不等实根，则12341234()()()()(f x f x f x f x x x x x +++=+++ )A ．0B ．1C ．2D ．423.（2019•杏花岭区校级月考）已知函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)(f f f f +-+'-'-= )A ．2B ．2019C ．2018D ．024.（2019•雨花区校级月考）设函数()()sin x x f x e e x t -=++，[]x a a ∈--，的最大值和最小值分别为M ，N ．若8M N +=，则(t = )A ．0B ．2C ．4D ．825.（2020春•桃城区校级月考）已知函数3()1sin f x x x x =+++，若2(1)(2)2f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[1]2-，B ．3[1]2-，C ．1[1]2-，D ．1[1]2-，26.（2019•上虞区二模）函数2()2sin 1f x x x =++-M ，最小值为N ，则M N +的值是() A ．0B ．1C ．2D ．427.（2019•汇川区校级月考）已知函数3()sin ()f x ax x x a R =+-∈在[0)+∞，上单调递增，则a 的取值范围为( )A ．1(0]6，B ．1[]6+∞，C ．1(0]4，D ．1[]4+∞，28.（2019•益阳期末）已知函数2cos 12cos ()1sin cos (0)2f x x x θθπθθθ+=-+++∈，，，若存在(01)x ∈，，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为( ) A ．(0)12π，B ．5()122ππ，C ．5(0)()12122πππ，∪，D ．5()1212ππ，29．（2019•沙坪坝区校级月考）已知()cos f x x =，点(01)P -，，若()y f x =图象上存在一点00)(Q x y ，处的切线与直线PQ 和y 轴围成底边在y 轴上的等腰三角形，则200(1)tan (x x x -= ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．630.（2019•滁州期末）设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意[11]x ∈-，都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为( ) A ．(2]-∞，B ．[0)+∞，C ．[02]，D ．[12]，31.设函数()3||f x x ax bx c =+++，a b c R ∈，，，总存在[]004x ∈，，使得不()0f x m ≥等式成立，则实数m 的取值范围是 .32．（2019•徐州期中）已知a R ∈，若函数3()(12)f x x ax x =+-≤≤的最大值为M ，则M 的最小值为 ．。
重难点专题13 导数与三角函数结合的解答题(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
【变式 2-1】3. （2021 秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知函数() =
e
― 2（ ∈ ）
（其中 ≈ 2.71828为自然对数的底数）.
（1）当 = 2时，判断函数()的单调性；
（2）若 > 1，证明() > cos对于任意的 ∈ [0, + ∞)恒成立.
∈ 0, π ．
2
(1)当 = 1时，讨论()的单调性；
(2)若() + sin < 0，求的取值范围．
4．
（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0 < < 1时， ― 2 < sin < ；
（2）已知函数() = cos ― ln(1 ― 2)，若 = 0是()的极大值点，求 a 的取值范围．
证明：
（1）()在区间(0,)存在唯一极大值点；
（2）()有且仅有 2 个零点.
1
【变式 1-1】2. （2019 秋·安徽·高三校联考开学考试）已知函数() = cos + 42 ―1.
2 2
（1）证明：() ≤ 0， ∈ ― ,
；
（2）判断 = ()的零点个数，并给出证明过程.
题型 2 放缩法 ..................................................................................................................................2
题型 1 分段分析法
sin
2．
（2023·全国·统考高考真题）已知函数() = ― cos3, ∈ 0, π
三角函数的导数与导数的应用
三角函数的导数与导数的应用三角函数是数学中非常重要的一类函数，其导数的计算和应用也有着广泛的实际意义。
本文将就三角函数的导数及其应用展开论述。
一、三角函数的导数1. 正弦函数的导数根据导数的定义，我们可以求出正弦函数的导数。
给定函数y = sin(x)，我们对其求导得到y' = cos(x)。
2. 余弦函数的导数类似地，根据导数的定义，我们可以求出余弦函数的导数。
给定函数y = cos(x)，我们对其求导得到y' = -sin(x)。
3. 正切函数的导数正切函数是正弦函数与余弦函数的商，因此根据导数的求商法则，我们可以求出正切函数的导数。
给定函数y = tan(x)，我们对其求导得到y' = sec^2(x)，其中sec(x)表示x的余割函数。
二、三角函数导数的应用1. 求函数极值点利用三角函数的导数，我们可以求出函数的极值点。
极值点是指函数在某一段区间内取得最大值或最小值的点。
通过求解导函数等于零的方程，我们可以得到极值点的横坐标。
然后，再通过带入原函数，即可得到相应的纵坐标。
2. 研究函数的增减性根据导数的正负性，我们可以研究函数的增减性。
当导数大于零时，函数单调增加；当导数小于零时，函数单调减少。
通过分析导数的符号变化，我们可以获得函数的增减区间。
3. 求函数的曲线图像三角函数的导数还可以帮助我们求解函数的曲线图像。
通过求解导函数等于零的方程，我们可以得到函数的驻点。
驻点是指函数的导数为零的点。
通过分析导数的变化，我们可以判断驻点是极大值点、极小值点还是拐点。
然后，再通过带入原函数，即可获得函数的曲线图像。
4. 应用于物理问题三角函数的导数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在研究振动、波动等的物理问题时，我们经常需要利用三角函数的导数来描述相关的物理量的变化规律。
通过求解导数，我们可以获得这些物理量的变化速率，从而更好地理解和解决实际物理问题。
三、总结通过本文的论述，我们可以看出三角函数的导数及其应用在数学和物理中具有重要的地位。
导数跟三角函数结合高考总结
一、利用洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的一大常见方法是分离参数，然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三角函数进行交汇的导数问题，也是一大处理策略.但有些试题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处理，此时，洛必达法则可派上用场。
比如例1二、利用函数的有界性有界性是很多函数的一大特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一大热点，除了分离参数外，分类讨论思想是这类问题的一大利器，但如何进行分类讨论是问题的难点.在与三角函数进行交汇的这类导数问题中，若能有效地利用三角函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解。
比如例2三、利用隔离直线对于较为复杂的函数，如果直接构造一个函数可能很难甚或无法解决.此时，如能通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能大大简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成立问题有着非常密切的联系.如果我们能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。
比如例3四、利用设而不求在高中数学中，“设而不求”是非常重要的一种数学思想，这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法.这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用.笔者在教学过程中发现，这种思想方法主要应用在导数与解析几何中。
比如例4五、利用不等式的性质导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态，与三角函数交汇的导数不等式问题的有一定的挑战性.因此，如何利用不等式的性质是关键对涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器.比如例5。
导数与三角函数的精彩交汇
导数与三角函数的精彩交汇高咏咏(克拉玛依市高级中学ꎬ新疆克拉玛依８３４０００)摘㊀要:高考数学试题中经常考查导数与三角函数知识的结合ꎬ试题难度相对比较大ꎬ可以考查学生对知识点的掌握情况.笔者对该类问题的命题点进行了总结ꎬ并对相应的实例进行探讨ꎬ以期帮助考生有效突破此类考题.关键词:导数ꎻ三角函数ꎻ命题点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００２０－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:高咏咏(１９７３.４－)ꎬ女ꎬ上海人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀笔者在一轮复习的教学中ꎬ梳理近些年高考试题ꎬ发现利用导数解决三角函数的交汇命题很多ꎬ而学生面对此类问题常因方法不当ꎬ或运算过程繁杂ꎬ导致虽做对但耗时太多ꎬ或做错丢分ꎬ成绩不理想.在高考复习备考中遇到此类问题时ꎬ如何帮助学生能够准确㊁快速㊁高效地解答呢?笔者通过梳理ꎬ现将该类问题整理成文ꎬ与读者交流ꎬ以期抛砖引玉[１].１命题点一㊀利用导数研究三角函数的性质三角函数的性质主要包含周期性㊁单调性㊁奇偶性等ꎬ解题时要能够充函数与０的大小来研究函数的性质[２]例１㊀(２０２３四川成都石室中学二诊)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－ｓｉｎｘｃｏｓｘꎬ下列对于函数ｆ(ｘ)性质的描述ꎬ错误的是(㊀㊀).Ａ.ｘ＝π６是ｆ(ｘ)的极小值点Ｂ.ｆ(ｘ)的图象关于点(π２ꎬπ４)对称Ｃ.若ｆ(ｘ)在区间[ａꎬｂ]上递增ꎬ则ｂ－ａ的最大值为πＤ.ｆ(ｘ)有且仅有三个零点解析㊀因为ｆ(ｘ)＝ｘ２－ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｘ２－１２ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝１２－ｃｏｓ２ｘꎬ由ｆᶄ(ｘ)>０可得ｘɪｋπ＋π６ꎬｋπ＋５π６æèçöø÷ꎬｋɪＺꎬ由ｆᶄ(ｘ)<０可得ｘɪｋπ－π６ꎬｋπ＋π６æèçöø÷ꎬｋɪＺꎬ所以ｆ(ｘ)在ｋπ＋π６ꎬｋπ＋５π６æèçöø÷上单调递增ꎬ在ｋπ－π６ꎬｋπ＋π６æèçöø÷上单调递减ꎬ所以ｘ＝π６是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ故Ａ正确ꎻ若ｆ(ｘ)在区间[ａꎬｂ]上递增ꎬ则ｂ－ａ的最大值为５π６－π６＝２π３ꎬ故Ｃ错误ꎻ因０２为ｆ(０)＝０ꎬ当ｘɪ０ꎬπ６æèçöø÷时ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎬｘɪπ６ꎬ５π６æèçöø÷时ꎬｆ(ｘ)单调递增ꎬｆπ６æèçöø÷＝π１２－３４<０ꎬｆ５π６æèçöø÷＝５π１２＋３４>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间π６ꎬ５π６æèçöø÷上有一个零点ꎬ当ｘɪ５π６ꎬ＋ɕ[öø÷时ꎬｘ２>１ꎬ１２ｓｉｎ２ｘɤ１２ꎬｆ(ｘ)>０ꎬ此时无零点ꎬ所以当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)有且仅有一个零点ꎬ又因为ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ所以当ｘ<０时ꎬｆ(ｘ)有且仅有一个零点ꎬ故ｆ(ｘ)有且仅有三个零点ꎬ故Ｄ正确ꎻ因为ｆ(ｘ)＋ｆ(π－ｘ)＝ｘ２－１２ｓｉｎ２ｘ＋π－ｘ２－１２ｓｉｎ(２π－２ｘ)＝π２ꎬ所以ｆ(ｘ)的图象关于点(π２ꎬπ４)对称ꎬ故Ｂ正确ꎬ故答案选Ｃ.点评㊀本题结合三角恒等变换将三角函数进行化简ꎬ考查三角函数的单调性ꎬ对称性ꎬ零点㊁最值和极值等ꎬ需要考生熟练掌握三角恒等变换的变形公式ꎬ通过求导ꎬ分析出ｆｘ()的单调性ꎬ可判断ＡＣꎬ计算ｆｘ()＋ｆπ－ｘ()ꎬ可判断Ｂꎬ结合ｆｘ()的单调性㊁奇偶性和极值符号可判断Ｄ.２命题点二㊀利用导数研究三角函数的零点利用导数研究三角函数的零点问题ꎬ经常设计已知零点个数求参数的取值范围或以三角函数为载体ꎬ证明所给函数的零点个数.例２㊀(２０２３宁夏银川二中统测)设函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ＋ｃｏｓｘꎬ其中ａɪＲ.(１)若ａ＝１ꎬ证明:当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)>２ꎻ(２)若ｆ(ｘ)在区间[０ꎬπ]内有两个不同的零点ꎬ求ａ的取值范围.解析㊀(１)ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－ｓｉｎｘꎬ由ｘ>０ꎬ得ｅｘ>１ꎬｓｉｎｘɪ[－１ꎬ１]ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－ｓｉｎｘ>０ꎬ即ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上为增函数.故ｆ(ｘ)>ｆ(０)＝２ꎬ即ｆ(ｘ)>２.(２)由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ＋ｃｏｓｘ＝０ꎬ得ａ＝－ｃｏｓｘｅｘ.设函数ｈ(ｘ)＝－ｃｏｓｘｅｘꎬｘɪ[０ꎬπ]ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘｅｘ.令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝３π４.则ｘɪ[０ꎬ３π４]时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｘɪ(３π４ꎬπ]ꎬ时ꎬｈᶄ(ｘ)<０ꎬ所以ｈ(ｘ)在０ꎬ３π４æèçöø÷上单调逼增ꎬ在３π４ꎬπæèçöø÷上单调减.又因为ｈ(０)＝－１ꎬｈ(π)＝ｅ－πꎬｈ３π４æèçöø÷＝２２ｅ－３π４ꎬ所以当ａɪｅ－πꎬ２２ｅ－３π４[öø÷时ꎬ方程ａ＝－ｃｏｓｘｅｘ在区间[０ꎬπ]内有两个不同解ꎬ即所求实数ａ的取值范围为ｅ－πꎬ２２ｅ－３π４[öø÷.点评㊀函数的零点问题ꎬ解题策略是转化为两个函数图象的交点ꎬ三种方式中(一平一曲㊁一斜一曲㊁两曲)最为常见的是一平一曲.方法一是直接考虑函数ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴的交点情况ꎬ方法二是分离参数法ꎬ两种方法的本质都是一平一曲.另外ꎬ我们对某些函数或许可以通过换元ꎬ来降低函数的解决难度.３命题点三㊀利用导数研究三角函数的最值利用导数研究三角函数的最值问题ꎬ关键在于能够正确判断出所给三角函数的单调性.例３㊀(２０２３陕西安康模拟)函数ｆ(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)ｓｉｎｘ的最大值为.解析㊀因为ｆ(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)ｓｉｎｘꎬ所以ｆ２(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)２ｓｉｎ２ｘ＝(１－２ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ)(１－ｃｏｓ２ｘ)＝－ｃｏｓ４ｘ＋２ｃｏｓ３ｘ－２ｃｏｓｘ＋１ꎬ令ｔ＝ｃｏｓｘ(－１ɤｔɤ１)ꎬｇ(ｔ)＝ｆ２(ｘ)ꎬ则ｇ(ｔ)＝－ｔ４＋２ｔ３－２ｔ＋１(－１ɤｔɤ１)ꎬ１２所以ｇᶄ(ｔ)＝－４ｔ３＋６ｔ２－２＝－２(ｔ－１)２(２ｔ＋１)ꎬ当－１ɤｔɤ－１２时ꎬｇᶄ(ｔ)ȡ０ꎬｇ(ｔ)单调递增ꎻ当－１２ɤｔɤ１时ꎬｇᶄ(ｔ)ɤ０ꎬｇ(ｔ)单调递减ꎻ所以当ｔ＝－１２时ꎬｇ(ｔ)＝ｆ２(ｘ)取得极大值ꎬ也是最大值ｇ(－１２)＝－(－１２)４＋２ˑ(－１２)３－２ˑ(－１２)＋１＝２７１６ꎬ所以ｆ(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)ｓｉｎｘ的最大值为３３４.点评㊀该解法巧妙地利用换元法将三角函数问题转化成了幂函数问题ꎬ通过利用导数研究函数的单调性求出最值[３].４命题点四㊀利用导数研究三角不等式恒成立问题㊀㊀利用导数研究三角函数不等式恒成立问题要区别于能成立问题ꎬ要能够将恒成立问题进行合理转化.例４㊀(２０２３湖南长沙四校高三模拟)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ－１６ｘ３ꎬｆᶄ(ｘ)为ｆ(ｘ)的导数.(１)若ｆ(ｘ)>ｋｘ－ｘｃｏｓｘ－１６ｘ３－１对ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立ꎬ求实数ｋ的取值范围.解析㊀由ｆ(ｘ)>ｋｘ－ｘｃｏｓｘ－１６ｘ３－１ꎬ得ｓｉｎｘ>ｋｘ－１.ȵｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ所以ｋ<１＋ｓｉｎｘｘꎬ令ｔ(ｘ)＝１＋ｓｉｎｘｘꎬ则ｔᶄ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ－１ｘ２ꎬ令ｍ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ－１ꎬ则当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｍᶄ(ｘ)＝－ｘｓｉｎｘ<０恒成立ꎬʑｍ(ｘ)在(０ꎬπ２)上单调递减ꎬ所以当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｍ(ｘ)<ｍ(０)＝－１<０ꎬʑｔᶄ(ｘ)<０在(０ꎬπ２)上恒成立ꎬ即ｔ(ｘ)在(０ꎬπ２)上单调递减ꎬʑ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｔ(ｘ)>ｔ(π２)＝４πꎬｋɤ４πꎬｋ的取值范围是(－ɕꎬ４π].点评㊀(１)已知不等式ｆ(ｘ λ)>０(λ为实参数)对任意的ｘɪＤ恒成立ꎬ求参数λ的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法.(２)如果无法分离参数ꎬ可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解ꎬ如果是二次不等式恒成立的问题ꎬ可以考虑二次项系数与判别式的方法(ａ>０ꎬΔ<０或ａ<０ꎬΔ<０)求解.三角函数与导数是中学数学中两个重点内容ꎬ考查的分值比例和上课课时数量都相对较高ꎬ因此两者的交汇命题会是高考命题的趋势.因此ꎬ在高考备课中ꎬ要深入研究三角函数的相关性质ꎬ准确把握导数与三角函数的命题题型ꎬ进行针对性训练.参考文献:[１]刘海涛.例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):２７－３１.[２]祁居攀.导数与三角函数联袂问题的分类讨论策略[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２３(１５):１５－１７.[３]陈国林.发挥导数工具作用ꎬ正确处理函数性质[Ｊ].中学生数理化(高考数学)ꎬ２０２１(５):２１－２３.[责任编辑:李㊀璟]２２。