第三章 第五节 灵敏度分析
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第3章 灵敏度分析
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管
理
运
筹
学
管 理 运 筹 学
13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
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4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
理
运
筹
学
5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
理
运
筹
学
8
• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
管
理
运
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学
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13
使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
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4
敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
管
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5
• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
管
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运
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学
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• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
2.灵敏度分析1
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b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
第三章 灵敏度分析
0
x6
cj-zj
3
0
9
0
8 。。。。。。 4/3 -1/3
2
50 0 1
1/2
19 1 0 0
0
0 2/3 -1/6
1
0 -10/3
19 +△c4 50
x4 x3 cj-zj
2 1
2 -1/2
-4-2 △c4 -2/3-4/3 -4 -2/3 △c4 0
4/3 -10/3 -13/3 -10/3 -2/3 △c4 +10/3△c4 13/3
2019/3/30 19
cj CB 19 50 0 XB x4 x3 x7 cj-zj b 2 1 8
9 x1 2 -1/2 2 -4
8 x2 1 -1/3 1 -2/3
50 x3 0 1 1 0
19 x4 1
0 x5
0 x6 -10/3 4/3 0 -10/3
0 x7 0 0 1 0
2/3 变为0 0 -1/6 2 0 0 -13/3
2019/3/30 4
cj CB 0 0 XB x5 x6 cj-zj 19 50 x4 x3 cj-zj 2 1 b 18 3
9+△c x1 3 0 9 2 -1/2 -4 +△c
8 x2 2 0 8
50 x3 10 2 50 0 1 0
19 x4 4 1/2 19 1 0 0
0 x5 1 0 0 2/3 -1/6 -13/3
19 x4 4 1/2 19 1 0 0 -3/10 2/5 -1
0 x5 1 0 0 2/3 -1/6 -13/3 -1/5 1/10 -5
0 x6 0 1 0 -10/3 4/3 -10/3 1 0 0
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
3.5 灵敏度分析
问题2： c1不 变，c2减少时， 发生什么变化？ x2
8
2x1 =16
5
C
D
2x2 =10
问题1：c1不 变，c2增加时， 发生什么变化？
3
B Z=37
4 8
0
c2≧4
A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
OR:SM
三、右端常数b的灵敏度分析
CB XB 检验数
CB XB I 0
CN XN B N CN-CBB N
b 8 5 4 37 3 x1 0 0 1 0 5 x2 0 1 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 4/3 1/2 -2/3 -1/2 0 x5 -2/3 0 1/3 -1
M axZ 3 x 1 5 x 2 16 2 x1 2 x 2 10 s .t . 3 x 1 4 x 2 32 x1 0 x 2 0
二、价值系数 C 的变化分析
1.非基变量价值系数的改变 若非基变量的价值系数cj 变为cj ’= cj +△cj ，则xj 的检验数 为：
j ' c j ' C B B 1 Pj
c j c j C B B 1 Pj (c j C B B 1 Pj ) c j j c j
方法 1 ： 比值法
M ax{
j
a kj'
| a k j 0 } c B k M in {
'
j
a kj '
| a kj ' 0 }
1 1/ 2 Max a 2 j 0 c B 2 Min a2 j 0 0 1/ 2 1 c B 2
8
2x1 =16
5
C
D
2x2 =10
问题1：c1不 变，c2增加时， 发生什么变化？
3
B Z=37
4 8
0
c2≧4
A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
OR:SM
三、右端常数b的灵敏度分析
CB XB 检验数
CB XB I 0
CN XN B N CN-CBB N
b 8 5 4 37 3 x1 0 0 1 0 5 x2 0 1 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 4/3 1/2 -2/3 -1/2 0 x5 -2/3 0 1/3 -1
M axZ 3 x 1 5 x 2 16 2 x1 2 x 2 10 s .t . 3 x 1 4 x 2 32 x1 0 x 2 0
二、价值系数 C 的变化分析
1.非基变量价值系数的改变 若非基变量的价值系数cj 变为cj ’= cj +△cj ，则xj 的检验数 为：
j ' c j ' C B B 1 Pj
c j c j C B B 1 Pj (c j C B B 1 Pj ) c j j c j
方法 1 ： 比值法
M ax{
j
a kj'
| a k j 0 } c B k M in {
'
j
a kj '
| a kj ' 0 }
1 1/ 2 Max a 2 j 0 c B 2 Min a2 j 0 0 1/ 2 1 c B 2
第3章 灵敏度分析
3 灵敏度分析 灵敏度分析：灵敏度分析是研究当目标 函数中的系数发生变化、以及当约束条 件右边的发生变化时，原有的最优解、 最优目标值受到的影响。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
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9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
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灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
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• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
灵敏度分析
I
θi 300 400 250 50 75
最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50 影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B=(p1, p4,p2 )
B -1
单纯形表
CB c1 c2 ┇ cm -z XB x1 x2 ┇ xm b1' b2' ┇ bm' f
m
上例增加 例 上例增加 3x1+ 2x2≤15，原最优解不 ， 满足这个约束。 满足这个约束。于是
ci cB 2 0 3 0 xB x1 x5 x2 x6 σj 2 b x1 4 1 4 0 2 0 15 3 0 3 0 0 x2 x3 x4 0 0 1/4 0 -2 1/2 1 1/2 -1/8 2 0 0 0 -1.5 -1/8 0 x5 0 1 0 0 0 0 x6 0 0 0 1 0
ci cB 2 0 3 xB x1 x5 x2 B 4 4 2 2 x1 1 0 0 0
2 xB x1 x5 x2 B 4 4 2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
3+Δc2 x2 0 0 1 0
0 x3 0 -2 1/2 -1.5
0 x3 0 -2 1/2
-1.5 -ΔC2/2
0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引 束若是小于等于形式可引入非负松弛变量， ），填入最优单纯形表作 入非负人工变量），填入最优单纯形表作
为新的一行， 为新的一行，并通过矩阵行变换把对应 中的列向量变为单位向量。 基中的列向量变为单位向量。 • 进一步用对偶单纯形法求解。 进一步用对偶单纯形法求解。
各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变化 因此， 因此，设 b1 增加 4，则 x1 , x5 , x2 ， 分别变为： 分别变为：4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, × × 2+0.5×4=4 × 用对偶单纯形法进一步求解，可得： 用对偶单纯形法进一步求解，可得：
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。
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只要对所有非基变量 j’≤ 0 ，则最优解
不变；否则，将最优单纯形表中的检验数
j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}
02.07.2020
A
8
举例
例5.2:
Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
下面就各种情况分别按节进行讨论。
02.07.2020
A
4
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 j
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck，
则k’= k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续用单
2的利润在什么范围内变化时，美佳公司最优生 产计划不变？
解 设家电2的利润为(1+λ)元，反映到最终的单纯形表中如 下：
cj→
2 1+λ 0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3 15/2 0
0
1
5/4
-15/2
2
x1 7/2 1
0
0
1/4
-1/2
1+λ x2 3/2 0
1
0
-1/4
3/2
cj-zj
0 0 0 -1/4+λ/4 -1/2-3λ/2
02.07.2020
A
11
为使表中的解仍为最优，应有
110, 130
44
22
解得 1 1
3
即家电2的利润变化范围应满足
2 3 c2 2
02.07.2020
A
12
5.2 资源数量(右端常数br)变化的分析
资 源 数 量 变 化 是 指 资 源 中 某 系 数 br 发 生 变 化 ， 即 b使r′最=终br表+Δ中b原r。问并题假的设解规相划应问地题变的化其为他系数都不变。这样
(2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 规划中讨论。
02.07.2020
A
ห้องสมุดไป่ตู้
1
什么是灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几 方面的问题： 线性规划问题中的各系数在什么范围内变化，不 会影响已获得的最优基。 如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最优 解的基础上求得新的最优解 当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
02.07.2020
A
3
表 3-10
原 问 题 对 偶 问 题结 论 或 继 续 计 算 的 步 骤 可 行 解 可 行 解 表 中 的 解 仍 为 最 优 解 可 行 解 非 可 行 解用 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 可 行 解 用 对 偶 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 非 可 行 解 引 进 人 工 变 量 ， 编 制 新 的 单 纯 形 表 ， 求 最 优 解
0
0
X5
4
0
0
-2
3+ΔC2 X2
2
0
1
1/2
1/2
1
-1/8
0
从表中看σj 到
0
0 -1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
02.07.20σ可20 得j=c到j-(-c31≤×Δa1jc+2c≤5 1×时aA，5j原+(最c2+优Δ解c2不) 变×。a2j)j=3,140
课本例7
例7 在第二章例1中，若家电1的利润不变，则家电
02.07.2020
A
2
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化
显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后， 原来已得结果一般会发生变化。当然可以用单纯形法从头 计算，以便得到新的最优解。这样做很麻烦，而且也没有 必要。因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数，经过一定 计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析，可按 表3-10中的几种情况 进行处理。
02.07.2020
A
9
下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σj
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
0
0
X4
X5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
Ci
2 3+ΔC2
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
CB XB
b
X1 X2 X3 X4 X5
-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
σj
0 0 -9/5 -8/5 -1/5
CI
-2
-3 -4+Δ c3 0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4 X5
-3
X2 2/5 0
1
-1/5 -2/5 1/5
纯形法的表格计算。
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A
5
例题
例5.1:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
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A
6
例：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4 0 0
第5节 灵敏度分析
以但前实讨际论上线这性些规系划数问往题往时是，估假计定值α和ij预，b测i,值cj。都如是市常场数条。
件一 而改
变变，；cbji值是就根会据变资化源；投α入ij后往的往经是济因效工果艺决条定件的的一改
变 种
决策选择。
因此提出这样两个问题：
(1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；
-2
X1 11/5 1
0
7/5 -1/5 -2/5
σ j
0
0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 )
可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
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A
7
2、若 cj 是基变量的系数：
设 cj 变化为 cj + cj ，那么
XB′=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最 终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了 变化，所以XB′为新的最优解。新的最优解的值可允许变 化范围用以下方法确定。
注：B-1 是最终计算表中的最优基的逆
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A
13
b列的元素变化
不变；否则，将最优单纯形表中的检验数
j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}
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A
8
举例
例5.2:
Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
下面就各种情况分别按节进行讨论。
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A
4
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 j
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck，
则k’= k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续用单
2的利润在什么范围内变化时，美佳公司最优生 产计划不变？
解 设家电2的利润为(1+λ)元，反映到最终的单纯形表中如 下：
cj→
2 1+λ 0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3 15/2 0
0
1
5/4
-15/2
2
x1 7/2 1
0
0
1/4
-1/2
1+λ x2 3/2 0
1
0
-1/4
3/2
cj-zj
0 0 0 -1/4+λ/4 -1/2-3λ/2
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A
11
为使表中的解仍为最优，应有
110, 130
44
22
解得 1 1
3
即家电2的利润变化范围应满足
2 3 c2 2
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A
12
5.2 资源数量(右端常数br)变化的分析
资 源 数 量 变 化 是 指 资 源 中 某 系 数 br 发 生 变 化 ， 即 b使r′最=终br表+Δ中b原r。问并题假的设解规相划应问地题变的化其为他系数都不变。这样
(2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 规划中讨论。
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A
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1
什么是灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几 方面的问题： 线性规划问题中的各系数在什么范围内变化，不 会影响已获得的最优基。 如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最优 解的基础上求得新的最优解 当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
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A
3
表 3-10
原 问 题 对 偶 问 题结 论 或 继 续 计 算 的 步 骤 可 行 解 可 行 解 表 中 的 解 仍 为 最 优 解 可 行 解 非 可 行 解用 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 可 行 解 用 对 偶 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 非 可 行 解 引 进 人 工 变 量 ， 编 制 新 的 单 纯 形 表 ， 求 最 优 解
0
0
X5
4
0
0
-2
3+ΔC2 X2
2
0
1
1/2
1/2
1
-1/8
0
从表中看σj 到
0
0 -1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
02.07.20σ可20 得j=c到j-(-c31≤×Δa1jc+2c≤5 1×时aA，5j原+(最c2+优Δ解c2不) 变×。a2j)j=3,140
课本例7
例7 在第二章例1中，若家电1的利润不变，则家电
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A
2
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化
显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后， 原来已得结果一般会发生变化。当然可以用单纯形法从头 计算，以便得到新的最优解。这样做很麻烦，而且也没有 必要。因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数，经过一定 计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析，可按 表3-10中的几种情况 进行处理。
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A
9
下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σj
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
0
0
X4
X5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
Ci
2 3+ΔC2
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
CB XB
b
X1 X2 X3 X4 X5
-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
σj
0 0 -9/5 -8/5 -1/5
CI
-2
-3 -4+Δ c3 0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4 X5
-3
X2 2/5 0
1
-1/5 -2/5 1/5
纯形法的表格计算。
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例题
例5.1:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
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例：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4 0 0
第5节 灵敏度分析
以但前实讨际论上线这性些规系划数问往题往时是，估假计定值α和ij预，b测i,值cj。都如是市常场数条。
件一 而改
变变，；cbji值是就根会据变资化源；投α入ij后往的往经是济因效工果艺决条定件的的一改
变 种
决策选择。
因此提出这样两个问题：
(1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；
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X1 11/5 1
0
7/5 -1/5 -2/5
σ j
0
0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 )
可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
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2、若 cj 是基变量的系数：
设 cj 变化为 cj + cj ，那么
XB′=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最 终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了 变化，所以XB′为新的最优解。新的最优解的值可允许变 化范围用以下方法确定。
注：B-1 是最终计算表中的最优基的逆
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b列的元素变化