7.周期性与对称性

7.函数的周期性和对称性

题型1:函数周期性与对称性

例1:函数f x 对于任意实数x 满足条件1

2f x f x ，若15,f 则

5f f _____________

例2:设函数()y

f x 对任意实数t 都有()(2)f t f t ,若当1x 时,24y x ,则当1x 时,___________.

y 例3:设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线

1x 对称，且当1x ≥时，()31x f x ，则1

32,,323f f f 的大小关系是____________

例4: 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且

x

x x f 2)(2⑴求函数)(x g 的解析式；⑵设()

0()()0f x x h x g x x ,作出()h x 的图象,并写出它的的单调区间.

周

期

性

定义

设y = f(x ),x I,若存在非零常数T,使得对任意x I,都有f(x +T)=f(x ), 则称f(x )是周期函数,T 是其一个周期. 性质10定义性质可转化求值; 20图象性质:呈周期性变化; 30 nT (n ∈N*)也是f(x )的周期. 判定

10定义法(叠代求周期); 20图象法:图象是否呈周期性变化. 对

称

性

类型直线对称(函数满足()()f a x f a x ,则其图像关于直线x a 对称) 点对称(函数满足()()2f m x f m x n ,则其图像关于点(,)m n 对称) 特殊奇(偶)函数图象关于原点(y 轴对称);

〖练习〗

1.函数f x 对于任意实数x 满足条件1)(2x f x

f ，若15,f 则5f

__________ 2.在R 上定义的函数

x f 是奇函数，且x f x f 2，若x f 在区间2,1是减函数，则函数x f 在区间2,3上是_____(增/减)函数，区间4,3上是________(增/减)函数.

3.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数x x f 2log 3)(的图象与)(x g 的图象关于____对称，则函数)(x g =______（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）

题型2:函数性质的综合应用

例1:若()f x 在定义域1,1内是减函数,又当,1,1a b 且0a b 时都有

()()0

f a f b . (1)判断()f x 的奇偶性;

(2)求不等式2(1)(1)0f m f m 的解集.

例2:已知定义在2,2上的偶函数()f x 在区间0,2上单调递增，则满足(21)f x ＜

()f x 的x 取值范围是_________.

例3:已知函数x f 是R 上的偶函数，且在区间

,0上是增函数.令sin 3a f ，2

2cos ,tan 33b f c f 则,,a b c 的大小关系是_____________

〖练习〗

1.已知偶函数()f x 在区间0,)单调递增，则满足(21)f x ＜1

()3f 的x 取值范围是____ 2.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间0,是增函数,若(1)(lg )f f x ,则x 的取值范围是_______________.

例4:定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是，且当

]2,0[x 时，x x f sin )(，则)35

(f 的值为____________

例5:已知函数()f x 是(,)上的偶函数，若对于0x ，都有(2()f x f x ），且当[0,2)x 时，2()log (1f x x ），则(2008)(2009)f f 的值为__________