7.周期性与对称性
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
7对称性与周期性学生版版
函数图形的对称性和周期性一、对称性(点 线)（1）函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+ （2）函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+ 二、 含绝对值的函数的对称性（1）()R x x f y ∈=,图象关于y 轴对称。
思考(),y f x a x R =+∈(2)()R x x f y ∈=,图象关于x 轴对称。
(3)()R x x f y ∈=,图象关于x 轴、y 轴及原点对称。
三、周期性（知道两个对称性一定可以求周期 ）对于非零常数A a (1)(A)()f x f x +=-，则周期为2A (2)1(A)()f x f x +=±，则周期为2A 。
(3) ()1()()1f x f x a f x -+=+周期是4a (4)1()()1()f x f x a f x -+=+周期是2a 。
(5) ()()f a x f a x +=-；()()f b x f b x +=-,且它的一个周期2()T a b =- （6）()f x =()f x a +(2)f x a -+则()f x 为周期函数且它的周期是6a 。
（7）n k n n k a a a +-=- {}n a 必定是周期数列,6k 就是它的周期(n k >)四、 试题1．已知函数22()1x f x x =＋，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++＝ 2.设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得 )6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为=3函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，求((5))f f ＝ ．4．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝5．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________. 6．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )为偶函数； ④ 函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．7． 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f一定是 函数8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ . 9.设函数()y f x = 满足1(1)1()f x f x +=-,求该函数的最小正周期T 。
函数对称性与周期性的关系
函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。
在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。
常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。
对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。
具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。
这表明函数在点a处的函数值关于a对称。
对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。
接下来，我们来看周期性的概念。
周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。
通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。
具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。
对称性和周期性在一定程度上是有关联的。
事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。
具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。
例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。
具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。
同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。
这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。
另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。
一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。
相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。
偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。
此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。
例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
高考总复习之函数的对称性与周期性
高考总复习之函数的对称性与周期性【知识点】★若函数)(x f 存在两个对称关系，则)(x f 是一个周期函数.1）若函数)(x f y =的图像关于直线b a ==x x 、对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若偶函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.2）若函数)(x f y =的图像关于点(a ，0)、(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于点(a ，0)(a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.3）若函数)(x f y =的图像关于直线a =x 、点(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 4T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 4为周期的函数.【同步练习题】1）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且对任意实数x ，)()2(x f x f =-恒成立.若当∈x [1-，0]时，1)(2+=x x f ，则=)2021(f .2）（单选题）已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间[1，2]上是增函数，则)(x f 满足（）A.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；B.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；C.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；D.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.3）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)2(-x f 都为偶函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 为偶函数B.)1(+x f 为偶函数C.)2(+x f 为奇函数D.)(x f 为周期函数4）（单选题）已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于点(2，0)对称，若当∈x (0，2)时，1)21()(-=xx f ，则函数)(x f 在区间[2018，2021]上有（）A.最小值为43- B.最小值为21-C.最大值为43D.最大值为215）（单选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)3(+x f 为奇函数D.)1()(+=x f x f 6）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)(x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)1(-x f 为奇函数B.)(x f 为周期函数C.)3(+x f 为奇函数D.)2(+x f 是偶函数7）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-、)()3(x f x f =-，则)2022(f 的值为.8）设函数)(x f 的定义域为R，)1(+x f 为奇函数、)2(+x f 为偶函数，且当∈x [1，2]时，b a )(2+=x x f .若6)3()0(=+f f ，则=)29(f .9）已知函数)(x f 是定义域为(∞-，∞+)的奇函数，且满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则=++++)50()3()2()1(f f f f .10）（多选题）已知函数)(x f 为偶函数，且)2()2(x f x f --=+，则下列结论一定正确的是（）A.)(x f 的图像关于点(2-，0)对称B.)(x f 是以4为周期的函数C.)(x f 的图像关于直线2-=x 对称D.)4(+x f 为偶函数11）（多选题）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且R ∈∀x ，有4)()(=-+x f x f .若当∈x (0，2]时，2)(+=x x f .则下列说法正确的是（）A.)(x f 是以8为周期的函数B.)(x f 的最大值为4C.2)2021(=f D.)2(+x f 为偶函数12）（多选题）设函数)(x f 的定义域为R，且)2(+x f 为偶函数、)12(+x f 为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称；B.函数)(x f y =的图像关于点(1，0)对称；C.函数)(x f 的一个周期为4；D.0)2(=f .13）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程)0m (m )(＞=x f 在区间[8-，8]上有4个不同的实数根4321x x x x 、、、，则=+++4321x x x x .【参考答案】1）2；2）B；3）ABD；4）B；5）C；6）ABC；7）0；8）25；9）2；10）AD；11）ABD；12）ABC；13）8 .。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
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7.函数的周期性和对称性
题型1:函数周期性与对称性
例1:函数f x 对于任意实数x 满足条件1
2f x f x ，若15,f 则
5f f _____________
例2:设函数()y
f x 对任意实数t 都有()(2)f t f t ,若当1x 时,24y x ,则当1x 时,___________.
y 例3:设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线
1x 对称，且当1x ≥时，()31x f x ，则1
32,,323f f f 的大小关系是____________
例4: 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且
x
x x f 2)(2⑴求函数)(x g 的解析式；⑵设()
0()()0f x x h x g x x ,作出()h x 的图象,并写出它的的单调区间.
周
期
性
定义
设y = f(x ),x I,若存在非零常数T,使得对任意x I,都有f(x +T)=f(x ), 则称f(x )是周期函数,T 是其一个周期. 性质10定义性质可转化求值; 20图象性质:呈周期性变化; 30 nT (n ∈N*)也是f(x )的周期. 判定
10定义法(叠代求周期); 20图象法:图象是否呈周期性变化. 对
称
性
类型直线对称(函数满足()()f a x f a x ,则其图像关于直线x a 对称) 点对称(函数满足()()2f m x f m x n ,则其图像关于点(,)m n 对称) 特殊奇(偶)函数图象关于原点(y 轴对称);
〖练习〗
1.函数f x 对于任意实数x 满足条件1)(2x f x
f ，若15,f 则5f
__________ 2.在R 上定义的函数
x f 是奇函数，且x f x f 2，若x f 在区间2,1是减函数，则函数x f 在区间2,3上是_____(增/减)函数，区间4,3上是________(增/减)函数.
3.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数x x f 2log 3)(的图象与)(x g 的图象关于____对称，则函数)(x g =______（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）
题型2:函数性质的综合应用
例1:若()f x 在定义域1,1内是减函数,又当,1,1a b 且0a b 时都有
()()0
f a f b . (1)判断()f x 的奇偶性;
(2)求不等式2(1)(1)0f m f m 的解集.
例2:已知定义在2,2上的偶函数()f x 在区间0,2上单调递增，则满足(21)f x ＜
()f x 的x 取值范围是_________.
例3:已知函数x f 是R 上的偶函数，且在区间
,0上是增函数.令sin 3a f ，2
2cos ,tan 33b f c f 则,,a b c 的大小关系是_____________
〖练习〗
1.已知偶函数()f x 在区间0,)单调递增，则满足(21)f x ＜1
()3f 的x 取值范围是____ 2.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间0,是增函数,若(1)(lg )f f x ,则x 的取值范围是_______________.
例4:定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是，且当
]2,0[x 时，x x f sin )(，则)35
(f 的值为____________
例5:已知函数()f x 是(,)上的偶函数，若对于0x ，都有(2()f x f x ），且当[0,2)x 时，2()log (1f x x ），则(2008)(2009)f f 的值为__________。