2019年高考数学二轮复习课件及学案专题四 数列2-4-1
2019年度高考数学(全国通用)二轮复习课件 回扣4 数 列
回扣4 数 列
内容索引
回归教材 易错提醒 回扣训练
回归教材
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列
通项公式 an＝a1＋(n－1)d
等比数列
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
na1＋an Sn ＝ ＝ na1 ＋ 2 nn－1 d 2
a11－qn a1－anq (1)q≠1，Sn＝ ＝ ； 1－q 1－q (2)q＝1，Sn＝na1
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解析
答案
3.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a1>0 ， a3 ＋ a10>0 ， a6a7<0 ，则满足
Sn>0的最大自然数n的值为
A.6 B.7
C.12
√
D.13
解析 ∵a1>0，a6a7<0， ∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零， 又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0， ∴S12>0，S13<0， ∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
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解析
答案
12.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ 50 ln a2＋„＋ln a20＝________.
解析 ∵数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，
高三数学(理科)二轮(专题4)《数列1-4-1》ppt课件
高考专题复习 ·数学（理）
1．已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、 图象研究数列问题．
2．已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用
数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意
山 东
数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．
金 太
阳
书
业
有
限
公
司
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时 跟踪 训练
高考专题复习 ·数学（理）
热点二 等比数列的基本问题
[命题方向]
1．在选择、填空题中考查等比数列的基本量.2.等比数列的性质的 山
应用．
东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
高考专题复习 ·数学（理）
课时 跟踪 训练
＝0 的两个根，∴aa28＝＝234
或aa28＝ ＝324
，又公比大于 1，∴aa28＝ ＝324
，∴
东 金 太
阳
q6＝8 即 q2＝2，∴a12＝a2q10＝3×25＝96.
书 业
答案：A
有 限
公
司
菜 单 隐藏
高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时
跟踪
训练
3．(2014年广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时 跟踪 训练
2019高考数学二轮复习 专题四 数列 2.4.1 等差数列、等比数列学案 理
2.4.1 等差数列、等比数列1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. [答案] B2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 解法一：等差数列{an }a 1＋48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 8，得d ＝4，故选C.的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得 ，，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝4，故选C.}的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.故选A. [答案] A4．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二2 份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f[解析] 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. [答案] D5．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n＝634，则a 8＝________.[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意， ∴q ≠1，由题设可得⎪⎧a 1－q31－q ＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q ＝4×2[答案] 32高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或13～14题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．。
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题四 数列4.1
差数列.
(2)等比数列的性质:①an=amqn-m(m,n∈N*); ②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*); ③若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-
S2m,…也成等比数列.
命题热点一
命题热点二
考情分析
高频考点
命题热点三 命题热点四
复习策略
抓住考查的主 要题目类型进 行训练,重点是 等差数列与等 比数列的基本 量的求解;利用 等差数列与等 比数列的性质 求数列中的基 本量;等差数列 与等比数列的 证明;求解等差 数列、等比数列 的综合问题.
考情分析
高频考点
核心归纳
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
等差数列与等比数列的基本量的求解
考情分析
高频考点
核心归纳
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)证明 ∵3bn-bn-1=n(n≥2),
2019版高考数学二轮复习 专题四 数列 2.4.2.1 等差、等比数列的综合问题课件 文
解题心得已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前 n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程 求解即可.
考向一 考向二 考向三 考向四 考向五
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对点训练 3(2018北京朝阳期末,文15)已知由实数构成的等比数
列{an}满足a1=2,a1+a3+a5=42. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2+a4+a6+…+a2n.
4.2.1 等差、等比数列的综合问题
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考向一 考向二 考向三 考向四 考向五
等差(比)数列的判断与证明
例1已知数列{an}满足an+1=2an+n-1,且a1=1. (1)求证:数列{an+n}为等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明
因为������������ +1+������+1
讨论思想
求递推数列的某
递推数
全国
递推数列、等
Ⅲ
两项;求递推数
列、等比 等价变换 比数列的通项
列的通项
数列
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年份 卷别 设问特点
涉及知识点
题目类型
数学思想 方法
求等比数列的通 全国 项及前 n 项和;判
Ⅰ 断三个量是否成
等差数列
等 项 等比 、 差前数 中列 项n 项的和通、等 列比数
方程思 想、等价 变换
∴{e������������ }是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
∴ e������1 + e������2 +…+e������������ =2+22+…+2n=2n+1-2. ∴ e������1 + e������2 +…+e������������ =2n+1-2.
2019届高考数学大二轮复习精品(文理通用)课件：第1部分专题4数列第2讲
[解析] 设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意 知 S7＝381，q＝2， a11－q7 a11－27 ∴S7＝ ＝ ＝381，解得 a1＝3. 1－q 1－2 故选 B．
2．(2017· 全国卷Ⅰ，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软 件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活 动 ． 这 款 软 件 的 激 活 码 为 下 面 数 学 问 题 的 答 案 ： 已 知 数 列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20,21，再接下 来的三项是 20,21,22，依次类推．求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列的 前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是( A ) A．440 C．220 B．330 D．110
3． (2018· 江苏卷， 14)已知集合 A＝{x|x＝2n－1， n∈N*}， B＝{x|x＝2n， n∈N*}． 将 A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}． 记 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 则使得 Sn>12an＋1 成立的 n 的最小值是解决通项公式可以写成 cn＝an＋bn 形式的数列求 和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． 2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即 an＝f(n＋1)－f(n)的 c 形式， 然后通过累加抵消中间若干项的求和方法． 形如{ }(其中{an}是公差 d≠0 anan＋1 且各项均不为 0 的等差数列，c 为常数)的数列等． 3．错位相减法：形如{an· bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求 和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
2019届高考数学总复习4.1数列小题课件理
=
4(4 ������ -1) 3
.故选 C.
解析
关闭
答案
关闭
-16-
一 二 设等比数列的公比为 q,则 a1+a2+a3+a4= 1-������ ,a1+a2+a3= 12 .1 (2018 浙江 ,10)已知a12,+a a2,a ∵ a +a2+a 3,a4成等比数列,且 3+a4=ln(a1+a 3), ������ln( ������ 3 + ������ 4 ).若a >1,则( 1 +������ a1a +a = a21+ +a ) ∴ 1+a 2+a 3= 2+a 3+a 4e 2+a, 3 1 2 +������ 3 ) ������ 1a (1+ ������ +������ 2)=e A.a1<a , a <a B. >a , a 即 (1+q+q . 3 2 4 1 3 2<a4 又 >1, ∴q<0. C. a1 1<a 3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4 假设 1+q+q2>1,即 q+q2>0, 解得 q<-1(q>0 舍去). 由 a1>1,可知 a1(1+q+q2)>1, ∴a1(1+q+q2+q3)>0, 即 1+q+q2+q3>0, 即(1+q)+q2(1+q)>0, 即(1+q)(1+q2)>0,这与 q<-1 相矛盾. ∴1+q+q2<1,即-1<q<0. B a1>a3,a2<a4. ∴
江苏省2019高考数学二轮复习专题四数列4.1小题考法_数列中的基本量计算讲义含解析
数列[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——数列中的基本量计算1．(2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．解析：由a 8＝a 6＋6a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋6a 2q 2，则q 4－q 2－6＝0，所以q 2＝3(负值舍去)，又q >0，所以q ＝3，则a 3＝a 2q ＝ 3.答案： 32．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 10＝λa 4，则λ的值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 6＝3a 4，得a 1＋5d ＝3(a 1＋3d )，则a 1＝－2d ，又S 10＝λa 4，所以λ＝S 10a 4＝10a 1＋10×92d a 1＋3d＝1－2d ＋10×92d－2d ＋3d＝25.答案：253．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1－q31－q ＝74，S 6＝a 1－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：324．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为________．解析：设{a n }的公比为q 且q >0，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，因为a 1≠0，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝3＋52.答案：3＋52[方法技巧]等差(比)数列基本运算的策略(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体代换法的使用，以减少计算量.[题组练透]1．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________.解析：由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝4，则2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，∴log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.答案：202．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________．解析：因为S 15＝30，所以a 1＋a 152＝30，a 1＋a 15＝4，即2a 8＝4，a 8＝2，又因为a 7＝1，所以公差d ＝1，a 5＝a 7－2d ＝－1，S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝－9.答案：－93．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9＝________. 解析：由题知，a 3＋a 15＝6>0，a 3a 15＝8>0，则a 3>0，a 15>0，由等比数列的性质知a 1a 17＝a 3a 15＝8＝a 29⇒a 9＝±22.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 9＝a 3q 6>0，故a 9＝22，故a 1a 17a 9＝822＝2 2. 答案：2 24．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 9－S 6＝12，则S 6＝________. 解析：在等比数列{a n }中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即3，S 6－3,12成等比数列，所以(S 6－3)2＝3×12＝36，所以S 6－3＝±6，所以S 6＝9或S 6＝－3(舍去)．答案：95．(2018·苏州暑假测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，总有S n ≤S k ，则k 的值是________．解析：在等差数列{a n }中，设公差为d ，因为“a n －S n ＝a 1＋(n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1n ＋n n －2d ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)”的二次项系数为1，所以－d2＝1，即公差d ＝－2，令n ＝2，得a 1＝13，所以前n 项和S n ＝13n ＋n n －2×(－2)＝14n －n 2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k ＝7.答案：7[方法技巧]等差、等比数列性质问题求解策略(1)等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n＝a p ＋a q ”这一性质与求和公式S n ＝n a 1＋a n2的综合应用．[必备知能·自主补缺](一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d (1)q ≠1，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－a n q1－q； (2)q ＝1，S n ＝na 12．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (二) 二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论 (1)p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n .(2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1. (5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. [针对练] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ， 所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q . (5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q mS n ；②S m S n ＝1－q m 1－q n(q ≠±1)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．(2018·南京三模)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1＝1，S 6＝3S 3，则a 7的值为________．解析：由S 6＝3S 3，得(1＋q 3)S 3＝3S 3.因为S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≠0，所以q 3＝2，得a 7＝4. 答案：42．(2018·南通三模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若公差d ＝2，a 5＝10，则S 10的值是________．解析：法一：因为等差数列{a n }中a 5＝a 1＋4d ＝10，d ＝2，所以a 1＝2，所以S 10＝10×2＋－2×2＝110.法二：在等差数列{a n }中，a 6＝a 5＋d ＝12，所以S 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝5×(10＋12)＝110.答案：1103．(2018·苏锡常镇调研(二))已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝4，则4a 1d＝________.解析：因为S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ，S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ，所以S 10S 5＝10a 1＋45d 5a 1＋10d ＝2a 1＋9d a 1＋2d ＝4，可得d ＝2a 1，故4a 1d＝2.答案：24．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．若a 3＝2，S 12＝4S 6，则a 9的值为________．解析：由S 12＝4S 6，当q ＝1，显然不成立，所以q ≠1，则a 1－q121－q＝4a 1－q 61－q，因为a 11－q≠0，所以1－q 12＝4(1－q 6)，即(1－q 6)(q 6－3)＝0，所以q 6＝3或q ＝－1，所以a 9＝a 3q 6＝6或2.答案：2或65．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2， 所以a 2b 2＝1. 答案：16．已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________． 解析：由题意S 5S 3＝5a 1＋10d3a 1＋3d＝3，化简得d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.答案：1797．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2a 3a 4＝a 2＋a 3＋a 4，则a 3的最小值为________．解析：依题意有a 2a 4＝a 23，a 2a 3a 4＝(a 3)3＝a 2＋a 3＋a 4≥a 3＋2a 2a 4＝3a 3，整理有a 3(a 23－3)≥0，因为a n >0，所以a 3≥3，所以a 3的最小值为 3.答案： 38．(2018·盐城期中)在数列{a n }中，a 1＝－2101，且当2≤n ≤100时，a n ＋2a 102－n ＝3×2n恒成立，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.解析：因为当2≤n ≤100时，a n ＋2a 102－n ＝3×2n恒成立，所以a 2＋2a 100＝3×22，a 3＋2a 99＝3×23，…，a 100＋2a 2＝3×2100，以上99个等式相加， 得3(a 2＋a 3＋…＋a 100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a 2＋a 3＋…＋a 100＝2101－4，又因为a 1＝－2101，所以S 100＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 100)＝－4. 答案：－49．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3,6a 5成等差数列，且a 3＝3a 22，则S 3＝________.解析：设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，且a 1>0， 由4a 4，a 3,6a 5成等差数列，得2a 3＝4a 4＋6a 5， 即2a 3＝4a 3q ＋6a 3q 2，解得q ＝13.又由a 3＝3a 22，解得a 1＝13，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝13＋19＋127＝1327.答案：132710．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案：20011．(2018·扬州期末)在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________．解析：令a 1＋a 2＝t (t >0)，则a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6可化为tq 2－2t ＝6(其中q 为公比)，所以a 5＋a 6＝tq 4＝6q 2－2q 4＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤4q 2－2＋q 2－＋4≥6⎣⎢⎡⎦⎥⎤24q 2－2q 2－＋4＝48(当且仅当q ＝2时等号成立)．答案：4812．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋2n，则数列{a n }的通项公式a n＝________.解析：当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＋2n－2n －1＝2a n ＋2n －1，从而a n ＋1＋2n＝3(a n ＋2n －1)．又a 2＝2a 1＋2＝4，a 2＋2＝6，故数列{a n ＋1＋2n}是以6为首项，3为公比的等比数列，从而a n ＋1＋2n ＝6×3n －1，即a n ＋1＝2×3n －2n ，又a 1＝1＝2×31－1－21－1，故a n ＝2×3n －1－2n －1.答案：2×3n －1－2n －113．数列{a n }中，若对∀n ∈N *，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝k (k 为常数)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则该数列的前100项的和等于________．解析：由a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝k ，a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝k ，得a n ＋3＝a n ， 从而a 7＝a 1＝2，a 9＝a 3＝3，a 98＝a 2＝4， 因此a 1＋a 2＋a 3＝9，所以S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋2＝299. 答案：29914．(2018·无锡期末)已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 根据等比数列的性质可得a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3， 由于a 3≠0，可得a 4＝2. 因为a 4，54，2a 7成等差数列，所以2×54＝a 4＋2a 7，可得a 7＝14，由a 7＝a 4q 3，可得q ＝12，由a 4＝a 1q 3，可得a 1＝16， 从而a n ＝a 1qn －1＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.法一：令a n ≥1可得n ≤5，故当1≤n ≤5时，a n ≥1，当n ≥6时，0<a n <1，所以当n ＝4或5时，a 1·a 2·…·a n 的值最大，为1 024.法二：令T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝24×23×22×…×25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n )＝2n＋5－n2＝2n－n2. 因为n ∈N *，所以当且仅当n ＝4或5时，n－n2取得最大值10，从而T n 取得最大值T 10＝210＝1 024.答案：1 024B 组——力争难度小题1．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋b (a ＞0，b ＞0)有两个不同的零点m ，n ，且m ，n 和－2三个数适当排序后，既可成为等差数列，也可成为等比数列，则a ＋b 的值为________．解析：由题意可得m ＋n ＝a ，mn ＝b ，因为a ＞0，b ＞0，可得m ＞0，n ＞0，又m ，n ，－2这三个数适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝m －2，mn ＝4，①或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝n －2，mn ＝4.②解①得m ＝4，n ＝1， 解②得m ＝1，n ＝4.所以a ＝5，b ＝4，则a ＋b ＝9. 答案：92．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比q >1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为________．解析：由a 2a 4＝a 3得a 23＝a 3，又{a n }的各项均为正数，故a 3＝1，T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝1，当n ＝6时，T 6＝T 5·a 6，又公比q >1，a 3＝1，故a 6>1，T 6>1.答案：63．设a 1，a 2，…，a 10成等比数列，且a 1a 2·…·a 10＝32，设x ＝a 1＋a 2＋…＋a 10，y ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 10，则xy＝________.解析：由a 1a 2·…·a 10＝32，得a 1a 2·…·a 10＝(a 1a 10)5＝32，则a 1a 10＝2，设公比为q ，则a 1a 10＝a 21q 9＝2，因为x ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1－q 101－q，y ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q 101－1q＝1－q 10a 1q 9－q ，所以x y＝a 21q 9＝2. 答案：24．(2018·南京考前模拟)数列{a n }中，a n ＝2n －1，现将{a n }中的项依原顺序按第k 组有2k 项的要求进行分组：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，则第n 组中各数的和为________．解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n 2，因为2＋4＋…＋2n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n,2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)＝n 2－n .所以第n 组中各数的和为S n 2＋n －S n 2－n ＝(n 2＋n )2－(n 2－n )2＝4n 3.答案：4n 35．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若2S 4＝S 2＋2，则S 6的最小值为________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2S 4＝S 2＋2， 当q ＝1时，则8a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝13，所以S 6＝2.当q ≠1时，2×a 1－q 41－q＝a 1－q 21－q＋2，所以a 1－q 21－q＝22q 2＋1，则S 6＝a 1－q 61－q＝22q 2＋1(1＋q 2＋q 4)＝4q 2＋24＋34q 2＋2≥24q 2＋24·34q 2＋2＝3，当且仅当q 2＝3－12时取等号． 综上可得S 6的最小值为 3. 答案： 36．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．解析：所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝＋2＋－251－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝＋2＋－251－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意．故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27.答案：27。
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1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4,a 1＝2,则a 5＝( )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12
[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ,∵3S 3＝S 2＋S 4,∴3⎝
⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ,解得d ＝－32a 1,∵a 1＝2,∴d ＝－3,∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10,故选B.
解法二：设等差数列{a n }的公差为d ,∵3S 3＝S 2＋S 4,∴3S 3＝S 3－a 3
＋S 3＋a 4,∴S 3＝a 4－a 3,∴3a 1＋3×22d ＝d ,∵a 1＝2,∴d ＝－3,∴a 5＝a 1＋
4d ＝2＋4×(－3)＝－10,故选B.
[答案] B
2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24,S 6＝48,则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
[解析] 解法一：等差数列{a n }中,S 6＝(a 1＋a 6)×62
＝48,则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5,又a 4＋a 5＝24,所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8,得d ＝4,故选C.
解法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组,得⎩⎨⎧ 2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2，d ＝4，故选C. [答案] C
3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( )
A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得a 23＝a 2·
a 6,即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d ),解得d ＝－2或d ＝0(舍去),又a 1＝1,∴S 6＝6×1
＋6×52×(－2)＝－24,故选A.
[答案] A
4．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f
[解析] 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f ,公比为
122的等比数列,设该等比数列为{a n },则a 8＝a 1q 7,即a 8＝
1227f ,故选D.
[答案] D
5．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .
已知S 3＝74,S 6＝634,则a 8＝________.
[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .
当q ＝1时,S 3＝3a 1,S 6＝6a 1＝2S 3,不符合题意,
∴q ≠1,由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，
解得⎩⎨⎧ a 1＝14，q ＝2，
∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.
[答案]
32
高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列),该部分以选择题、填空题为主,在4～7题的位置或13～14题的位置,难度不大,以两类数列的基本运算和基本性质为主．。