MIT线性代数2014期末考题
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
2014级线代试题及解答
线性代数期末试题一、填空题 （每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（ ）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）（A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线性无关 （C ）1α可由βαα,,32线性表示 （D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、（10分） 已知2AB A B =+， 其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明： 向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数 解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
2014年10月04184自学考试线性代数试题(卷)与答案
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
2014线代期末
一、单项选择（请将正确选项填写在后面的括号中，每小题 3 分，共 15 分）
1．
设矩阵 A
1 0 3 0
0 2 0 4
2 0 4 0
1003 ，则行列式 2 A 的值为
（A） 320
（B） 320
（C） 40
（D） 40
【
】
（A） 必可由 , , 线性表示 （B） 必可由 , , 线性表示
（C） 必可由 , , 线性表示 （D） 必不可由 , , 线性表示
4．
设矩阵 A
1 x
3
1 4
3
1 y
5
有
3
个线性无关的特征向量，
2
是二重特征值，
则 x 和 y 依次为
【
】
（A） 2, 2 （B） 2, 2 （C） 3, 1 （D） 1, 3
四、（12 分） 取何值时，线性方程组
(22x1()5x12) xx22
2x3 4x3
1 2
2x1 4x2 (5 )x3 1
有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时，求其结构解.
五、（12 分）设有直线 L
:
3xxyy3z
与点
1
M
(1,0,1)
.
（1）求 L 的对称式方程； （2）求点 M 到直线 L 的距离.
【
】
2．
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1896
a d g
b e h
c f i
0 0 1
0 1 0
1 0 0
2015
=
【
】
（A）
线性代数期末考试题库资料大全
.-期末考试一试题线性代数 I一、填空 （ 15分，每 3 分）31、 (12 3) 2 =。
2、若(0,2,4,t )T ， ( 0,3, t,9) T ， (1, t,2,3)T 性有关， t =。
13、 A 是 2 方 ， B 是 3 方 ， | A| 2，|B| 4， ||A| 1B | =。
4、若 A 是 3 方 ，且 2IA ，I A ， IA 均不行逆，A 的特点。
5、二次型 fx 12 4x 22 4x 322 x 1 x 22x 1 x 34x 2 x 3 是正定二次型，的取 范 是。
二、 （ 15分，每3 分）1、已知 x n 列向量， x T x 1， Axx T ， In 位 ，。
A 、 A 2AB 、A 2IC 、A 2I D 、A 2A2、 A 是 4 方 ， A 的队列式 |A| 0， A 中。
A 、必有一列元素全 零B、必有两列元素 成比率C 、必有一列向量是其他列向量的 性 合D、任一列向量是其他列向量的 性 合3、 1 是 A 的特点 ， 。
A 、1是A 2的特点B 、2 是2A 的特点AAC 、2是A 2的特点 D、1 是2A 的特点AA4、 向量1，2，⋯ ,n 的秩 r， 此向量 中。
A 、随意 r 个向量 性没关B 、随意 r 个向量 性有关C 、随意 r1个向量 性有关D、随意 r1个向量 性有关5、二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 12 4x 22 6x 32 4x 1 x 2 6x 2 x 3 的矩。
2 412 02 21 4 0 A 、 44 6 B 、 22 3C 、2 43D 、4260 66333666三、 算队列式： （ 16分，每8 分）41 2 312 3 ... n1 0 3 ... n1、 34 1 22 、120 ... n2 3 4 1123 4123 021 1 1 1 3 四、（10 分）求解矩 方程X 2 1 04 32 111.-五、（10 分）已知向量1 ，2 ,3， 4 性没关， 11t 1 2， 2 2t 2 3， 3 3 t 3 4 ，此中 t 1 ，t 2 ， t 3 是数， 向量 1 ， 2 ，3 性没关。
2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准
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2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。
2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案
东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。
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1. (15 points) (a) If A is a 3 by 4 matrix, what does this tell us about its nullspace? (b) If we also know that 1 Ax = 1 1 has no solution, what do we know about the rank of A? (c) If Ax = b and AT y = 0, find y T b by using those equations. This says that the space of A and the are .
(a) Give a basis for the nullspace of A (that matrix is not shown) and a basis for the row space of A. (b) When does Ax = b have a solution? Give a basis for the column space of A. (c) Give a basis for the nullspace of AT .
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8. (15 points) A 4-node graph has all six possible edges. Its incidence matrix A and its Laplacian matrix AT A are A= −1 1 0 −1 0 1 −1 0 0 0 −1 1 0 −1 0 0 0 −1 0 0 1 0 1 1 3 −1 −1 −1 −1 3 −1 −1 AT A = −1 −1 3 −1 −1 −1 −1 3
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6. (10 points) (a) Find the eigenvalues of this matrix A (the numbers in each column add to zero). 1 0 −1 2 A = 1 −1 1 . 1 0 2 −1 (b) If you solve
18.06 Final Exam
Professor Strang
May 21, 2014
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Grading 1: 2:
R01 R02 R03 R04 R05 R06 R07 R08 R09 R10 R11 R12 R13 R14 ESG T T T T T T T T T T T T T T T 10 10 11 11 11 12 12 12 1 1 1 2 2 3 3 36-144 35-310 36-144 4-149 E17-136 36-144 4-149 36-112 36-144 36-153 36-155 36-144 36-155 36-144 Qiang Guang Adrian Vladu Qiang Guang Goncalo Tabuada Oren Mangoubi Benjamin Iriarte Giraldo Goncalo Tabuada Adrian Vladu Jui-En (Ryan) Chang Benjamin Iriarte Giraldo Tanya Khovanova Jui-En (Ryan) Chang Tanya Khovanova Xuwen Zhu Gabrielle Stoy
du dt
= Au, is (1) or (2) or (3) true as t → ∞ ?
(1) u(t) goes to zero? (2) u(t) approaches a multiple of (what vector?) (3) u(t) blows up?
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7. (10 points) Every invertible matrix A equals an orthogonal matrix Q times a positive definite matrix S . This famous fact comes directly from the SVD for the square matrix A = U ΣV T , by choosing Q = U V T . (a) How can you prove that Q = U V T is orthogonal? (b) Substitute Q−1 and A to write S = Q−1 A in terms of U, V and Σ. How can you tell that this matrix S is symmetric positive definite?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10
Scrap Paper
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4. (10 points) (a) To solve a square system Ax = b when det A = 0, Cramer’s Rule says that the first component of x is x1 = det B with B = [b a2 . . . an ] . det A
So b goes into the first column of A, replacing a1 . If b = a1 , this formula det A gives the right answer x1 = det A = 1. 1. If b = a different column aj , show that this formula gives the right answer, x1 = . 2. If b is any combination x1 a1 + · · · + xn an , why does this formula give the right answer x1 ? (b) Find the determinant of 1 3 A= 5 0 2 4 0 0 0 0 6 8 0 0 . 7 9
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Scrap Paper
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5. (15 points) (a) Suppose an n by n matrix A has n independent eigenvectors x1 , . . . , xn with eigenvalues λ1 , . . . , λn . What matrix equation would you solve for c1 , . . . , cn to write the vector u0 as a combination u0 = c1 x1 + · · · + cn xn ? (b) Suppose a sequence of vectors u0 , u1 , u2 , . . . starts from u0 and satisfies uk+1 = Auk . Find the vector uk as a combination of x1 , . . . , xn . (c) State the exact requirement on the eigenvalues λ so that Ak u0 → 0 as k → ∞ for every vector u0 . Prove that your condition must hold.
(a) Describe the nullspace of A. (b) The all-ones matrix B = ones (4) has what eigenvalues? Then what are the eigenvalues of AT A = 4I − B ? (c) For the Singular Value Decomposition A = U ΣV T , can you find the nonzero entries in the diagonal matrix Σ and one column of the orthogonal matrix V ?
3: 4: 5: 6: 7: 8:
Thank you for taking 18.06. I hope you have a great summer. You could look at 18.085 (Computational Science and Engineering) which starts with applied linear algebra. This exam has 20 parts, worth 5 points each. For each problem, explain your answer as much as you can.
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2. (15 points) Suppose Ax = b reduces by Ux = c : x1 2 6 4 8 x2 Ux = 0 0 4 4 x3 = 0 0 0 0 x4
the usual row operations to
b1 = c. b2 − b1 b3 − 2b2 + b1
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3. (10 points) (a) Suppose q1 , q2 are orthonormal in R4 , and v is NOT a combination of q1 and q2 . Find a vector q3 by Gram-Schmidt, so that q1 , q2 , q3 is an orthonormal basis for the space spanned by q1 , q2 , v. (b) If p is the projection of b onto the subspace spanned by q1 and q2 and v, find p as a combination of q1 , q2 , q3 . (You are solving the least squares problem Ax = b with A = [q1 , q2 , q3 ].)