《建筑力学习题》-结构位移计算
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
建筑力学静定结构位移计算
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
建筑力学基本计算4结构的位移计算
建筑力学基本计算4结构的位移计算1、基本概念和计算要求在学习结构的位移计算时,应注意下列几点：1） 位移计算的目的主要是考虑结构的刚度计算和为力法打下基础，后一个更为重要。
2） 虚功原理是位移计算的基础，在学习时，着重要考虑由虚功原理得出的位移求解公式及其每一项的物理意义。
3） 在用单位荷载法计算位移时，关键是虚设单位力（广义力）的位置、方向和性质都必须与所求位移一一对应。
2、基本计算方法结构位移的计算方法主要有积分法和图乘法两种：1） 积分法：在用积分法计算结构位移的时候，着重考虑梁和刚架的位移计算，所以位移计算公式为∑⎰⋅=∆ds EI M M P k ，从而，只需要分段建立弯矩方程，就可以利用积分公式求出位移。
2） 图乘法：对于利用图乘法求结构的位移这是一个最重要也是最常用的方法。
最后公式为∑⋅=∆EI y Cω，从而，需要分别画出荷载作用下的M P 图和虚设单位荷载作用下的M图，就可以利用图乘公式求位移。
3、计算步骤和常用方法考试要求一般为求解常见荷载作用下梁和刚架的位移，积分法作为基础，而图乘法是最常用的方法和手段。
计算过程中要注意：1） 图乘法的三个适用条件，只要有一条不满足，就不能使用图法。
2） 在使用图乘法的基本公式时，要理解图乘法是以一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标y C ，再除以EI 。
特别注意竖标y C 必须从直线弯矩图上取得。
3） 要学会能正确灵活使用图乘的公式，首先要熟练掌握图乘法的计算步骤，包括支座反力的计算、弯矩图的绘制、基本图形的面积和形心、图乘时的正负号取舍等等；其次要灵活运用图乘法的技巧（即图乘法中图形叠加概念的灵活运用）。
4） 学会掌握标准抛物线的判别方法，即看抛物线顶点处的切线是否与基线相平行。
5） 用图乘法计算位移时所求位移的方向须按计算结果的正负判定，当计算结果为正，说明所求位移的方向与虚设单位力的方向一致，否则相反。
4、举例试求图（a ）所示刚架结点B 的水平位移ΔBx ，EI 为常数。
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
建筑力学结构位移计算
建筑力学结构位移计算
在进行建筑力学结构位移计算之前，需要进行以下步骤：
1.确定结构的几何形状和初始条件：包括结构的尺寸、形状、约束条件和受力情况等。
这些信息是进行位移计算的基础。
2.建立结构的数学模型：根据结构的几何形状和物理性质，采用适当的数学方法和假设，建立结构的数学模型。
数学模型的建立可以根据结构的类型和复杂程度而有所不同，可以基于力平衡原理和应力应变关系建立结构的静态或动态方程。
3.确定边界条件和受力情况：根据结构的约束条件和受力情况，确定结构的边界条件和受力情况。
这些信息是进行位移计算的重要输入数据。
4.求解结构的位移：根据结构的数学模型、边界条件和受力情况，使用适当的数值方法或解析方法，求解结构的位移。
常用的数值方法包括有限元法、有限差分法和变分法等。
5.分析位移结果：对求解得到的结构位移进行分析和评估。
可以比较结构的位移与设计要求的位移，并进行稳定性和安全性的评估。
如果位移超出允许范围，则需要对结构进行进一步的优化和调整。
在进行建筑力学结构位移计算时，需要考虑建筑结构本身的刚度和强度，受力情况以及结构的几何形状和材料特性等因素。
位移计算的准确性需要依赖于结构的数学模型和求解方法的选择，以及输入参数的准确性。
综上所述，建筑力学结构位移计算是一项复杂的工作，需要充分考虑结构本身的特性和受力情况。
通过建立适当的数学模型和采用合适的求解
方法，可以得到准确和可靠的结构位移结果，为结构的设计和安全评估提供有力的支持。
结构位移和刚度—静定结构在荷载作用下位移计算(建筑力学)
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
建筑力学 静定结构的位移计算1
②两端支座内移
建筑力学
静定结构的位移计算
33
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变 成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减 小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部 分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度 （图c），从而使梁中段在荷载作用下产生
的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中
的最大挠度值。
建筑力学
四、梁的位移及刚度校核 1、 梁的位移 挠度： 横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用w 表示， 规定w 向下为正。 转角： 横截面的角位移 ，规定顺时针转为正
建筑力学
静定结构的位移计算
23
在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果 （如表11.1所示），可供计算时查用。 表11.1 梁的挠度与转角公式
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离 位 移 角位移：截面的转角
建筑力学
静定结构的位移计算
3
绝对位移
位 移 广义位移
相对位移
三、刚架的位移举例 A 点的线位移 水平线位移 竖向线位移
A
AH
AV
截面A 的角位移 A
建筑力学
静定结构的位移计算
4
C、D 两点的水平相对线位移
( C D)H =
m ax
W M
m ax
5
7
3 10 N m m 160 M Pa
3
1 .8 7 5 1 0 m m
1 8 7 .5 c m
3
建筑力学
静定结构的位移计算
29
查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为 237cm3，惯性矩I=2370cm4 （2）校核梁的刚度
建筑力学结构位移计算
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14:46
§6-2 变形体系的虚功原理
3. 虚功原理的两种应用
结构力学
虚位移原理 一个力系平衡的充分必要条件是： 对任意协调位移，虚功方程成立。 令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。 虚力原理 一个位移是协调的充分必要条件是： 对任意平衡力系，虚功方程成立。
b a
B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚 功方程
Δ 1 c1 F yA 0 b b 求得 Δ c1 F yA c1 ( ) c1 ( )与单位力方向相同。 a a
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何 方程，可用于求解几何问题。
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§6-1 概述
四、 计算方法
结构力学
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程 式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对 复杂的杆系不适用）。 2. 功能法
〈
虚功原理 应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
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§6-2 变形体系的虚功原理 一、基本概念
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§6-3 位移计算的一般公式
单位荷载法
结构力学
单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。 图示结构，要求
K
K =?
实际状态 位移状态 虚拟状态 力状态
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第三章 静定结构的位移计算
一、判断题：
1、虚位移原理等价于变形协调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：
A.;
; B.
D.
C.=1
5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21
y 1y 2**
ωω
( a )
M =1
7、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：
10、求图示结构铰A两侧截面的相对转角ϕA，EI = 常数。
q
11、求图示静定梁D端的竖向位移∆DV。
EI = 常数，a = 2m 。
10kN/m
12、求图示结构E点的竖向位移。
EI = 常数。
q
13、图示结构，EI=常数，M=⋅
90kN m, P = 30kN。
求D点的竖向位移。
P
14、求图示刚架B端的竖向位移。
q
15、求图示刚架结点C的转角和水平位移，EI = 常数。
q
16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
l/2
17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝ 常数 。
18、求图示刚架中D 点的竖向位移。
E I = 常数 。
q
l l l/2
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI ＝ 常数 。
l/23
l/3
20、求图示结构
A 、
B 两点的相对水平位移，E I = 常数。
21、求图示结构B 点的竖向位移，EI = 常数 。
l l
22、图示结构充满水后，求A 、B 两点的相对水平位移。
E I = 常数 ，垂直纸面取1 m 宽，水比重近似值取10 kN / m 3。
23、求图示刚架C 点的水平位移 ∆CH ，各杆EI = 常数 。
4m
3m
2kN/m
24、求图示刚架B 的水平位移 ∆BH ，各杆 EI = 常数 。
3m 4m
4m
q 7kN/m
25、求图示结构C 截面转角。
已知 ：q=10kN/m , P =10kN , EI = 常数 。
P
26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。
27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。
D
28、求图示桁架A、B两点间相对线位移∆AB，EA=常数。
a
一
a
一
a
一
29、已知b
a
b
a
u
u
u
u]2/)
(
[sin
d
cos
sin2
⎰=，求圆弧曲梁B点的水平位移，EI=常数。
A
B
R
30
、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
a
3
31、求图示结构D点的竖向位移，杆ACD的截面抗弯刚度为EI，杆BC抗拉刚度为EA 。
32、求图示结构S杆的转角ϕS。
( EI = 常数，EA EI a
=/2)。
a
a
a a
33、刚架支座移动与转动如图，求D点的竖向位移。
/400
34、刚架支座移动如图，c1= a / 2 0 0 ，c2= a /3 0 0 ，求D点的竖向位移。
35、图示结构B支座沉陷∆= 0.01m ，求C点的水平位移。
36、结构的支座A 发生了转角θ和竖向位移∆如图所示，计算D 点的竖向位移。
θA D
l/l
l 237、图示刚架A 支座下沉 0.01l ，又顺时针转动 0.015 rad ，求D 截面的角位移。
D
0.015rad
A
h
0.01l l l
38、图示桁架各杆温度均匀升高t o C ，材料线膨胀系数为α，求C 点的竖向位移。
a
39、图示刚架杆件截面为矩形，截面厚度为h , h/l = 1/ 20 ,材料线膨胀系数为 α，求C
点的竖向位移。
C A
-3-3+t
+t
t
t l
40、求图示结构B 点的水平位移。
已知温变化t 110=℃，t 220=℃ ，矩形截面高h=0.5m ，线膨胀系数a = 1 / 105。
t 1t 2
t 4m B
1
41、图示桁架由于制造误差，AE 长了1cm ，BE 短了1 cm ，求点E 的竖向位移。
A
C B E
2cm
42、求图示结构A 点竖向位移（向上为正）∆AV 。
A
43、求图示结构C 点水平位移∆CH ，EI = 常数。
2EI l 3=6
44、求图示结构D 点水平位移 ∆DH 。
EI= 常数。
l EI l =33l k
45、BC 为一弹簧，其抗压刚度为 k ，其它各杆EA = 常数，求A 点的竖向位移。