4静定结构的位移计算习题解答
结构力学静定结构位移计算习题解答
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。
解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。
(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。
1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。
113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
只计弯曲变形。
EI 为常数。
方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。
以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定结构位移计算虚力法)【圣才出品】
第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1 复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移
图5-1-1
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2 虚力法求静定结构的位移
表5-1-3 广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4 两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
五、图乘法（见表5-1-6）
表5-1-6 图乘法
图5-1-2 六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）。
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
结构力学课后习题答案重庆大学
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 (5)图(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
( )(a)(b)(c)D习题 (6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题 填空(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。
习题(1)图(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题(3)图(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(4)图(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题(5)图(6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题(6)图(7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
静定结构的位移计算
第4章静定结构的位移计算计算结构位移的目的结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。
由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。
杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。
这些移动和转动称为结构的位移。
此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。
b5E2RGbCAP例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b所示。
这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。
同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。
p1EanqFDPw又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。
此时，C点移至C点，即C点的线位移为C C。
若将C C沿水平和竖向分解<图4—2b），则分量C C和CC分别称为C点的水平位移和竖向位移。
同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。
DXDiTa9E3d在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。
验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。
RTCrpUDGiT计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。
在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。
这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。
5PCzVD7HxA此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。
jLBHrnAILg本章所研究的是线性变形体系位移的计算。
所谓线性变形体系是位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由何在引起的位移也完全消失。
这样的体系，变形应是微小的，且应力与应变的关系符合胡克定律。
由于变形是微小的，因此在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸，以及荷载的位置和方向保持不变。
xHAQX74J0X功广义力和广义位移在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
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第4章 静定结构的位移计算习题解答习题4.1 是非判断题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。
（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。
（ ）(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA 相同，则两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题4.1(8)图所示，EI =常数。
下列图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 4.1(7)图图(b)M图(a)M PM (b)P M 图(a)习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图(a)P习题 4.1(10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题4.2 填空题(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引起D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
(3) 用单位荷载法计算位移时，虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。
(4) 图乘法的应用条件是：__________且M P 与M 图中至少有一个为直线图形。
(5) 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5)图所示，曲线为二次抛物线，横梁的抗弯刚度为2EI ，竖杆为EI ，则横梁中点K 的竖向位移为________。
(6) 习题4.2(6)图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为________；引起支座A 的水平反力为________。
(7) 习题4.2(7)图所示结构，当C 点有F P =1(↓)作用时，D 点竖向位移等于∆ (↑)，当E 点有图示荷载作用时，C 点的竖向位移为________。
(8) 习题4.2(8)图（a ）所示连续梁支座B 的反力为)(1611R ↑=B F ，则该连续梁在支座B下沉∆B =1时（如图（b ）所示），D 点的竖向位移D δ=________。
习题 4.2(1)图 习题 4.2(5)图M =1习题 4.2(6)图 习题 4.2(7)图(a)(b)习题 4.2(8)图【解】（1）()3∆→。
根据公式R ΔF c =-∑计算。
（2）虚位移、虚力；虚力 。
（3）广义单位力。
（4）EI 为常数的直线杆。
（5）48.875()EI↓。
先在K 点加单位力并绘M 图，然后利用图乘法公式计算。
（6）1.5cm ↑；0。
C 点的竖向位移用公式N ΔF l =∆∑计算；制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。
（7）()a∆↑。
由位移互等定理可知，C 点作用单位力时，E 点沿M 方向的位移为21a∆δ=-。
则E 点作用单位力M =1时，C 点产生的位移为12a∆δ=-。
（8）11()16↓。
对（a ）、（b ）两个图示状态，应用功的互等定理可得结果。
习题4.3 分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移∆C V 。
EI 为常数。
【解】1）求∆C VP14M P （b ） 图（c ）图41M（a ）习题4.3(1)图（1） 积分法绘M P 图，如习题4.3（1）(b)图所示。
在C 点加竖向单位力F P =1，并绘M 图如习题4.3（1）(c)图所示。
由于该两个弯矩图对称，可计算一半，再将结果乘以2。
AC 段弯矩为12M x =，P P 12M F x = 则3/2P V P 01112d ()2248l C F l x F x x EI EI∆=⨯⨯⨯=↓⎰（2） 图乘法3P P V1122()2423448C F l F l l lEI EI∆=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=↓2)求∆C V（b ） 图（kN·m ）P M （c ） 图M习题4.3(2)图（1） 积分法绘M P 图，如习题4.3（2）(b)图所示。
在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（2）(c)图所示。
以C 点为坐标原点，x 轴向左为正，求得AC 段（0≤x ≤2）弯矩为M x =，2P 10(2)M x =⨯+则22V 0168010(2)d ()3C x x x EI EI∆=⨯⨯+=↓⎰（2） 图乘法由计算位移的图乘法公式，得V 1121126801602240221021()232333C EI EI∆⎡⎤=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=↓⎢⎥⎣⎦ 3)求∆C V（a ）M（c ） 图（b ） 图l 2M P P /2ql =21ql 4习题4.3(3)图（1） 积分法绘M P 图，如习题4.3（3）(b)图所示。
在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（3）(c)图所示。
根据图中的坐标系，两杆的弯矩（按下侧受拉求）分别为 AB 杆12M x =-，2P 142ql M x qx =-CB 杆M x =，P 2qlM x =则4/22V001111d d ()242224ll C ql ql ql x x qx x x x x EIEI EI∆⎛⎫=-⨯-+⨯=↓ ⎪⎝⎭⎰⎰（2）图乘法2224V1122112()243238222423224C ql l ql l ql l l ql l l EI EI∆⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=↓ ⎪⎝⎭ 4)求ϕAAEI B ll2EI 2（a ）（b ） 图M P （c ） 图Mql 2/8ql 2/22ql 1/311习题4.3（4）图（1）积分法绘M P 图，如习题4.3（4）(b)图所示。
在A 点加单位力偶并绘M 图，如习题4.3（4）(c)图所示。
以A 为坐标原点，x 轴向右为正，弯矩表达式（以下侧受拉为正）为113M x l =-，2P 3122M qlx qx =- 则23P PV 02232202d d 2113111311d 1d 2322322ll C l l l l MM MM x xEI EI x qlx qx x x qlx qx xEI l EI l∆=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰358ql EI=（ ） （2） 图乘法由计算位移的图乘法公式，得2222112112111212122333323211212111 2333832A ql l l ql EIql l l ql EI ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦358ql EI=（ ） 习题4.4 分别用积分法和图乘法求习题4.4(a)图所示刚架C 点的水平位移∆C H 。
已知EI =常数。
习题4.4图【解】1）积分法Dql lBAClABlDCABDC22ql 2ql 281ql 2(b)图M P M 图(c)(a)xx1lP M 、M 图分别如习题 4.4（b ）、（c ）图所示，建立坐标系如（c ）图所示。
各杆的弯矩用x 表示，分别为 CD 杆M x =，P 12M qlx =AB 杆M x =，2P 12M qlx qx =-代入公式计算，得2H 001111d ()d 22ll C x qlx x x qlx qx x EI EI ∆=⨯⨯+⨯⨯-⎰⎰43()8ql EI =→ 2）图乘法224H112232()2233828C ql ql l l l l ql EI EI∆⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭ 习题4.5 习题4.5(a)图所示桁架各杆截面均为A =2×10-3m 2，E =2.1×108kN/m 2，F P =30kN ，d =2m 。
试求C 点的竖向位移V C ∆。
(b) 图NP F A DC10.51--/2√22/2√000N F （c ） 图d1d （d ） 图F N 1d2√P2F P F F P E2CF PBDE PF PF 2√PF 2-2PF2√-3(a)(b) 图NP F1N F （c ） 图d1d 2√1-d 2√1d2√1-d2√（d ） 图F N 1d 2√√P习题 4.5图【解】绘NP F 图，如习题4.5(b)图所示。
在C 点加竖向单位力，并绘N F 图，如习题4.5(c )图所示。
由桁架的位移计算公式N NPF F Δl EA =∑，求得V P 10 2.64mm()C F d EA∆+==↓ 习题4.6 分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。
（见以上各题） 习题4.7 用图乘法求习题4.7（1）、（2）、（3）、（4）图所示各结构的指定位移。
EI 为常数。
【解】1）求V C ∆q=4mEIl 3mABEIl =4mCql 12q3416q741（a ）P M （b ） 图M（c ） 图习题 4.7（1）图绘P M 图，如习题4.7（1）(b)图所示；在C 点加竖向单位力，并绘M 图，如习题4.7（1）(c )图所示。
由计算位移的图乘法公式，得V 22112111234574165742332331112113 442233242354 ()3C AB BCq q EIql l ql l EI q EI ∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=↓2）求ϕDD2EI Al /2l qEIEI2C B2ql /2l 1111/8ql 22/8/82ql 2/81317（a ）（b ） 图M P （c ） 图M习题 4.7（2）图绘P M 和M 图，分别如习题4.7（2）(b )、(c )图所示。
由计算位移的图乘法公式，得2222111317111111122888382D l ql ql ql l ql EI EI ϕ⎛⎫⎡⎤=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 31312ql EI=（ ）3）求A 、B 两截面的相对转角ϕABql EICl BA2EIq2lC/82ql 22ql 11（a ）（b ） 图M P （c ） 图M习题 4.7（3）图绘P M 和M 图，分别如习题4.7（3）(b )、(c )图所示。