圆锥曲线性质

圆锥曲线的性质

、基础知识

（一）椭圆：

1定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和

2 2

PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2

a b

②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和

2 2

PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2）

a b

焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大

2 2

2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃•爲=1 a b 0 a b

（1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长

b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长

C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距

（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称

（3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b

（4）通径：焦点弦长的最小值

①焦点弦：椭圆中过焦点的弦

2b2

②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=——

a

说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以

= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c

1 +cosF 1PF 2

1 +cosF 1PF 2

比

2

.込各比出n 吐 1 COS RPF 2

2

F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支

2、标准方程:

厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。-。则 PQ =

a b

a a

2b 2

(5) 离心率：e = c

，因为c a ，所以e -

0,1

a

(6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径

①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为

(7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2

tan ；(其中n

1

证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2

2

+ PF

且 F 1F 2

2

-2 PF 1H PF 2 cosRPF ?

=a - e)(Q (可记为“左加右减”)

a c ，最小值为a - c

=PF 1F 2)

2b 2

1

〈PFf =2

PF

1

' PF

2 1

sin F ]PF 2

:

2 1 cosPF F

2b 2

sin F |PF 2

1

因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2

We%，所以2

=c y o ，由此得到的推论:

①.F 1PF 2的大小与

y 0之间可相互求出

②• F 1

PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1

F 2

最大二

y o 最大=P 为短轴顶点

(二) 双曲线:

1、定义：平面上到两个定点

F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹

称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点,

F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点

(a >0 ,b a 0 b =2 c 卜2 a

(a >0 , b > 0 b =2 c 卜2

a

焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

PF i — PF 2

线标准

2 x 方程为： 2

2

—1

其中

b 2

②焦点在y 轴：设双曲线上一点

F

1

0,

- C , F 2

0,C

，

设距离差的绝对值 || PF i - PF 2 =2a , 则双

线标准

2

y a

2

x —=1

其中

2、双曲线的性质：以焦点在 x 轴的双曲线为例:

2

x 2 a

2

y b 2

-1 a 0,b

(1)a :与实轴的顶点有关： A -a,0 a,0 ， A ]A 2 = 2a 称为实轴长

b :与虚轴的顶点有关： B i 0,-b ,B 2 0,b ， B 1B 2 =2b 称为虚轴长

c :与焦点有关：R(—c,0 )F2(C ,0 ), F 1F 2 =2c 称为焦距

(2) 对称性：双曲线关于 x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 (3) 双曲线上点坐标的范围：设

P x g ,y 0，则有x g _-a 或x 0 _ a , y 0 • R

亠亠

c (4) 离心率：e ，因为c a ，所以e 二[1, •：：

a

限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的

1变为0,再解

2 2

x y

出y 关于x 的直线即可。例如在二 2 =1 a 0,b

0中，求渐近线即解：

y_

K

二0 ,变形为y 二-x ，所以y a K

二—x 即为双曲线的渐近线

a

② 渐近线的几何特点：直线 x = a,x - -a, y = b, y - -b 所围成的矩形，其对角线即为双 曲线的渐近线