八年级数学二次根式的混合运算
北师大版八年级数学上册第2章 实数 二次根式的混合运算
解：(1) 原式 6 33 3 3 6 3 3 .
(2) 原式 1+2 3 3 3 3 2 .
归纳 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注 意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
例2 计算：
(1) 3 2 ； (2) 18 8 1 ； (3)( 24 1 ) 3.
(2)已知 x 5 1，y 5 1，求 x2 xy y2的值.
2
2
解： x y 5 1 5 1 5，xy 5 1 5 1 1，
2
2
2
2
x2 xy y2 x y2 xy
2
5 1 4.
能力提升： 6. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 2 的运算时，通常有如下
a2 b2 2 (a b)2 2ab 2
(2 5)2 2 2 20 2 5.
练一练 已知 10 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值.
解： 3 10 4，
a 3，b 10 3. a2 b2 32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6 10
如图所示.
S梯形ABCD 1 (CD AB) DE
2
E
16 23 2
2
1 ( 2 5 2)3 2 18.
2
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例4 教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同 的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为 288 平方厘米，另一张面积为 338 平方厘米. 如果用彩 带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有 1.5 米的彩带，请你 帮忙算一算她的彩带够不够用.
1. 下列计算中正确的是（ B ）
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
【初中数学】人教版八年级下册第2课时 二次根式的混合运算(练习题)
人教版八年级下册第2课时 二次根式的混合运算(146)1.先化简，再求值:1−a 2+4ab+4b 2a 2−ab ÷a+2b a−b，其中a,b 满足(a −√2)2+√b +1=0. 2.进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： √3=√3√3×√3=5√33；(一) √23=√2×33×3=√63；(二) √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1.(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 我们还可以用以下方法化简： √3+1=√3)22√3+1=√3−1)(√3+1)√3+1=√3−1.(四)(1)请用不同的方法化简√5+√3：参照(三)式得√5+√3= ；参照(四)式得√5+√3= ．(2)化简√3+1√5+√3√7+√5+…√2017+√2015．3.①计算√12+√6×√12时，先算 法，再算 法，过程如下：原式= + = ．②计算(√18−√8)×√2时，先算 里面的，再算 法；也可利用 律，先算 法，再算 法，结果是 ．4.下列计算错误的是（） A.√2×√3=√6B.√2+√3=√5C.√12÷√3=2D.√8−√2=√25.计算（5√15−2√45）÷(−√5)的结果为（） A.5 B.−5 C.7 D.−76.化简√3−√3(1−√3)的结果是（）A.3B.−3C.√3D.−√37.计算：(1)√20+√5(2+√5);(2)√48÷√3+√12×√12−√24．8.下列各数中，与2−√3的积不含二次根式的是（）A.2+√3B.2−√3C.√3−2D.√39.计算：(√2+1)(√2−1)=．10.计算:(2+√3)2−(2−√3)2=．11.已知长方形的长为(2√5+3√2)cm，宽为(2√5−3√2)cm，则长方形的面积为cm2.12.计算：(1)(√5+2)2；(2)(2√3−√2)2.13.已知x=√3+√2，y=√3−√2，求x3y−xy3的值．14.若(2√3−3√2)2=m−√6n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为（）A.m=30，n=6B.m=30，n=12C.m=30，n=−12D.m=12，n=−1215.如果5+√7，5−√7的小数部分分别为a,b，那么a+b的值为（）A.0B.−1C.1D.±116.若a=5+2√6，b=2√6−5，则a，b的关系为（）A.互为相反数B.互为倒数C.积为−1D.绝对值相等17.计算：(1)(3√12−2√13+√48)÷2√3；(2)(2√32−√12)(12√8+√23)；(3)(1+√2)2×(1+√3)2×(1−√2)2×(1−√3)2;(4)(2+√3)2017×(2−√3)2018.参考答案1.【答案】:1−a2+4ab+4b2a2−ab ÷a+2ba−b=1−(a+2b)2a(a−b)·a−ba+2b=1−a+2ba=a−a−2ba=−2ba．∵a,b满足(a−√2)2+√b+1=0，∴a−√2=0，b+1=0，∴a=√2，b=−1. 当a=√2，b=−1时，原式=√2=√2【解析】:先将原式化简成最简形式，再根据题意求出a、b的值，最后将其代入求出原式的值.2(1)【答案】√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3；√5)2√3)2√5+√3=√5+√3)(√5−√3)√5+√3=√5−√3【解析】:利用平方差公式分母有理化(2)【答案】原式=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)+…√2017−√2015(√2017+√2015)(√2017−√2015)=√3−1 2+√5−√32+√7−√52+…+√2017−√20152=√2017−12【解析】:通过分母有理化列项相消即可3.【答案】:乘；加；2√3；√3；3√3；括号；乘；分配；乘；减；2【解析】:考察二次根式的混合运算方法4.【答案】:B【解析】:因为√2与√3的被开方数不相同，不能合并，所以√2+√3=√5错误5.【答案】:A【解析】:(5√15−2√45)÷(−√5)=−5√15÷5+2√45÷5=−5×15+6=56.【答案】:A【解析】:√3−√3(1−√3)=√3−√3+3=3.故选 A.7(1)【答案】原式=2√5+2√5+5=4√5+5【解析】:考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=√48÷3+√1×12−2√62=4+√6−2√6=4−√6【解析】:考察二次根式的混合运算8.【答案】:A【解析】:考察平方差公式的运用9.【答案】:1【解析】:利用平方差公式计算：(√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=110.【答案】:8√3【解析】:方法一：(2+√3)2−(2−√3)2=[(2+√3)+(2−√3)][(2+√3)−(2−√3)]= 4×2√3=8√3．方法二：(2+√3)2−(2−√3)2=4+4√3+3−(4−4√3+3)=4√3+4√3=8√311.【答案】:2【解析】:(2√5+3√2)(2√5−3√2)=(2√5)2−(3√2)2=20−18=2(cm2)12(1)【答案】原式=5+4√5+4=9+4√5【解析】:本题考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=12−4√6+2=14−4√6【解析】:本题考察了二次根式的混合运算13.【答案】:x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y)．把x=√3+√2，y=√3−√2代入上式，得原式=(√3+√2)(√3−√2)［(√3+√2)+(√3−√2)］×［(√3+√2)−(√3−√2)］=2√3×2√2=4√6【解析】:先对原式进行因式分解，再代入求值14.【答案】:B【解析】:因为(2√3−3√2)2=(2√3)2−2×2√3×3√2+(3√2)2=30−12√6，所以m=30，n=1215.【答案】:C【解析】:因为5+√7，5−√7的小数部分分别为√7−2,3−√7，故a+b=(√7−2)+(3−√7)=116.【答案】:C【解析】:因为ab=(5+2√6)(2√6−5)=−1，所以a，b的积为−117(1)【答案】原式=(6√3−23√3+4√3)÷2√3=283√3÷2√3=143【解析】:本题考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=(√6−12√2)(√2+13√6)=√6×√2+√6×13√6−1 2√2×√2−12√2×13√6=2√3+2−1−13√3=1+53√3【解析】:本题考察了二次根式的混和运算(3)【答案】原式=[(1+√2)×(1−√2)]2×[(1+√3)×(1−√3)]2 =(1−2)2×(1−3)2=4【解析】:本题考察了二次根式的混和运算(4)【答案】(2+√3)2017×(2−√3)2018=[(2+√3)×(2−√3)]2017×(2−√3)=2−√3【解析】:本题考察了二次根式的混和运算。
部编数学八年级下册专题02二次根式的混合运算(解析版)(重点突围)含答案
专题02二次根式的混合运算
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一二次根式的乘除运算】 (1)
【考点二最简二次根式的判断】 (2)
【考点三同类二次根式】 (3)
【考点四已知同类二次根式求参数】 (5)
【考点五二次根式混合运算】 (6)
【考点六二次根式的分母有理化】 (7)
【考点七已知字母的值，化简求值】 (9)
【考点八比较二次根式的大小】 (10)
【过关检测】 (12)
【典型例题】
【考点一二次根式的乘除运算】
【考点二最简二次根式的判断】
【变式训练】
【考点三同类二次根式】
【考点四已知同类二次根式求参数】
【考点五二次根式混合运算】
【考点六二次根式的分母有理化】
【考点七已知字母的值，化简求值】
【变式训练】
【考点八比较二次根式的大小】
【过关检测】。
初二数学二次根式混合运算
初二数学二次根式混合运算一、二次根式的概念回顾形如√(a)（a≥0）的式子叫做二次根式。
其中，被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。
例如，√(4)，√(x + 1)（其中x≥ - 1）都是二次根式。
二、二次根式的性质1. (√(a))^2=a（a≥0），例如(√(5))^2 = 5。
2. √(a^2)=| a|=cases(a, & a≥0 -a, & a<0)，例如√(3^2)=3，而√((-2)^2)=2。
三、二次根式的乘除法法则1. 乘法法则- √(a)·√(b)=√(ab)（a≥0,b≥0）。
例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。
2. 除法法则- (√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}（a≥0,b > 0）。
例如：(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4) = 2。
四、二次根式的加减法1. 先将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如，√(12)不是最简二次根式，因为12 = 4×3，所以√(12)=√(4×3)=2√(3)，2√(3)是最简二次根式。
2. 然后合并同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
例如，3√(2)和5√(2)是同类二次根式，可以合并，3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。
五、二次根式混合运算的顺序1. 先算乘方（开方）。
例如计算(√(3))^2+√(8)div√(2)，先算(√(3))^2 = 3。
2. 再算乘除，后算加减。
接着上面的式子，再算√(8)div√(2)=√(4)=2。
3. 有括号的先算括号里面的。
例如计算(2+√(3))(2-√(3))，这里先利用平方差公式(a + b)(a - b)=a^2 - b^2，得到2^2-(√(3))^2=4 - 3 = 1。
八年级数学上册《二次根式的混合运算》教案、教学设计
（3）将实际问题转化为二次根式混合运算问题，并解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设生活情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式混合运算问题；
（2）运用启发式教学法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并总结二次根式的性质和运算法则；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
3.情感教育：鼓励学生在课后继续探索二次根式的奥秘，培养他们热爱数学、主动学习的情感态度。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生的学习效果，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本第chapter页练习题1、2、3，直接运用二次根式的运算法则进行计算。
2.提高题：完成课本第chapter页练习题4、5，涉及混合运算，需要运用二次根式的性质进行简化。
（2）关注学生的学习情感，营造轻松愉快的学习氛围，减轻学生的心理压力；
（3）关注学生的学习方法，引导学生运用合理的学习策略，提高学习效率。
四、教学内容与过生活中的问题作为导入，如“某学校举办运动会，跳远比赛的成绩为4.8米和6.4米，试比较两个成绩的大小。”引导学生思考如何进行比较。
4.在解决问题的过程中，体验数学的简洁美、逻辑美，培养良好的审美情趣。
在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时调整教学方法，使学生在掌握知识的同时，提高思维能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式的概念和简单运算有初步的了解。在此基础上，他们对本章节的二次根式混合运算学习有以下特点：
3.示例：通过具体的例题，示范如何运用性质和运算法则进行二次根式的混合运算。
八年级下册数学教案《二次根式的混合运算》
八年级下册数学教案《二次根式的混合运算》学情分析本节课是在学生已经学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
教学目的1、掌握二次根式的混合运算的运算法则。
2、会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。
教学重点二次根式的混合运算的运算法则。
教学难点运用法则进行计算。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习引入1、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么？m（a+b+c）= ma + mb + mc（m+n）（a+b）= ma + mb + na + nb2、多项式与单项式的除法法则是什么？（ma+mb+mc）÷m = a+b+c思考：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替（每个同学任选一组），然后对比归纳，你们发现了什么？二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。
二、讲授新课1、二次根式的混合运算及应用计算：（1）（√8 + √3）×√6 = 2√2 ×√6 + √18= 2√12 + 3√2= 2 × 2√3 + 3√2= 4√3 + 3√2（2）（4√2 - 3√6）÷ 2√2 = 4√2 ÷ 2√2 - 3√6÷2√2= 2 - 3/2√32、利用乘法公式进行二次根式的运算（1）整式乘法运算中的乘法公式有哪些？平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（2）整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗？二次根式运算类比整式运算同样适用。
3、计算：（1）（√2 + 3）（√2 - 5 ）解：原式 = （√2）2+ 3√2 - 5√2 - 15= 2 - 2√2 - 15= -13 - 2√2（2）（√5 + √3）（√5 - √3 ）解：原式 = （√5）2 - （√3）2= 5 - 3= 24、求代数式的值。
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》是学生在学习了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的。
这一节内容主要让学生掌握二次根式的混合运算方法，提高学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的混合运算方法，培养学生的运算能力和思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但部分学生在进行混合运算时，容易混淆运算法则，对于复杂的二次根式混合运算，可能会出现错误。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行针对性的指导和训练。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。
2.提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的运算能力和思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。
2.难点：对于复杂二次根式混合运算的计算方法和思路。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法、分组讨论法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握二次根式的混合运算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次根式的混合运算。
例如：一个正方体的体积是8立方厘米，求这个正方体的棱长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的混合运算的例题和练习题，让学生观察和分析，引导学生发现二次根式混合运算的规律和方法。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算的练习，让学生在实践中掌握运算方法。
教师可适时给予提示和指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师通过一些具有代表性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，巩固所学知识。
教师可学生进行交流和讨论，分享各自的解题思路和方法。
5.拓展（10分钟）教师给出一些综合性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，提高学生的解决问题的能力。
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答案：
2
C组的练习
已知：实数x、y满足
化简：|x-y|
解：由于x-1≥0，
且1-x≥0
所以x=1，
所以|x-y|=1-y
四、问题探究：若
求a+2b-3c的值
解：依题意
因为
所以
所以
所以a-2=4,b+1=1,c-1=1
所以a=6,b=0,c=2
所以a+2b-3c
=6-3×2=0
二次根式的混合运算（2）
（2） ；
（3） ；
表示 的算术平方根，若 ，
则
如当a=2，-3，-0.1时，
；
；
。
所以x=|a|，即
例1计算：
（1）
解：
。
（2）
解：
。
例2计算：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
解：（1）原式
=12-18
=-6；
（2）原式
；
（3）
。
3．（1）已知y<0，化简
（2）当x>1时，化简
（3）化简： （要求分母不带根号）
（2）
新课：
例1计算：
（1）
（2） 。
解：（1）原式
=3-6
=-3；
（2）原式
=4ax-25by
一般地， 与 互为有理化因式。
例2指出下列各式的有理化因式。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） 。
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） 。
练习：P209-3
小结：有理化概念，以及找出有理化因式。
作业：习题11.6A组3。
二次根式的混合运算（1）
教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。
重点：二次根式的加减乘混合运算。
难点：运算法则的综合运用。
关键：掌握混合运算顺序和步骤。
教学过程：
复习提问：
1．叙述二次根式加减法的两个步骤。
2．填空：当a≥0，b≥0时， ；
3．叙述单项式乘以多项式运算顺序；
4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。
（
解：（1）
∵y<0
∴
（2）
=|x-1|
∵x>1
∴
（3）
4．比较大小（1）
解：1）
因为
所以
A组
1．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
=0
（4）
=6-2
=4
2．计算（1）
（
解：（1）
（同类二次根式）
（合并同类二次根式）
=0；
5．化简求值
（3）当 时，求 的值
3）因为
所以
所以
【同步达纲练习】
教学目的：
1．掌握有理化因式的概念；
2．会找含有二次根式的代数式的有理握有理化因式的概念和求法。
难点：求二次根式的有理化因式。
关键：掌握开方如 的二次根式的有理化因式。
教学过程：
复习提问：
（1）把下列各式的分母有理化：
（1） ；
（2） 。
2．计算：（1） ；
二次根式的乘法： （a≥0，b≥0）
二次根式的除法： （a≥0，b>0）
新课：
形如 的式子， 表示什么？a需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a≥0时， 表示a的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a；当a<0时， 无意义。
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。
有如下性质：
（1） 表示非负数且被开方数a必须大于等于零