高考数学复习例谈二面角的几种求法
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。
它利用向量的夹角来表示二面角。
首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。
通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。
它利用坐标系中的点来表示二面角。
我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。
它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。
通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。
它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。
不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。
高考数学专题：二面角三类问题六种解题策略方法
αβaOA B二面角三类问题六种解题策略方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF 在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠ FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
例谈二面角的求法
２
＝
（ ＡＥ＋$ ２
ＡＯ） （ ＡＥ－ $ ２ ＡＥ２
ＡＯ）
＜０"∠ＡＥＣ＞９０°" 面
ＰＡＤ 与 面 ＰＣＤ 所 成 的 二 面 角 恒 大 于 ９０°， 且 此 结 论 与 棱 锥
的高无关。
证法二： （ 三垂线法）
点拨： 此法关键是构造所求二面角的补角。
证法三： （ 利用垂面法找平面角） 证略。
主观题中一般有1道大题通常是先证明再计算常以多层次设问的方式出现其中对二面角的理解和计算常常成为立体几何试题的难点和重点为此正确理解二面角的概念掌握求二面角的一般方法尤为重要下面通过对具体问题的分析探讨解决有关求二面角的思路和方法
构 造 原 型 （ 一 ） ： 一 只 口 袋 中 有 ２ｎ 个 不 同 小 球 ， 其 中 有 ｎ
的定义， 则∠ＡＥＣ 为二面角的平面角。
证法一： （ 利用定义法）
如图 ２ 所示， 过点 Ａ 在 ＰＤＡ 平面内
作 ＡＥ⊥ＰＤ 于 Ｅ 点， 连接 ＣＥ， ＡＣ 与 ＢＤ
相交于点 Ｏ。
! 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形， 故 ＣＤ＝ＡＤ " △ＣＥＤ ≌ ∠ＰＤＣ＝∠ＰＤＡ ＤＥ＝ＤＥ
△ＡＥＤ "ＡＥ＝ ＣＥ，
一 、精 心 设 计 导 课 导 入 新 课 是 教 学 的 第 一 个 环 节 。导 课 的 目 的 是 引 起 学 生 的注意， 激发学生的求知欲， 让学生兴趣盎然地投入学习。如 果把知识比作一道美丽的风景， 一次精彩的导课就好比是一 名优秀的导游， 让你不知疲倦、留连忘返。 例如， 我在进行《力》这一节的教 学 时 ， 先 让 学 生 观 看 “神 州 六 号 ”发 射 时 的 投 影 照 片 ， 那 壮 观 的 场 景 深 深 地 吸 引 了 学 生， 然后我提出问题： “神州六号”为什么 能 离 开 地 球 ， 升 上 太 空？ 学生的兴趣立刻被激发出来， 开始热烈地讨论， 最后得出 是因为燃气对火箭的推动， 这样很自然地导入了力的概念； 在 引 入 “蒸 发 ”这 个 概 念 时 ， 我 没 有 先 举 例 子 ， 而 是 用 浸 水 的 布 在 黑 板 上 写 了 两 个 大 字 “蒸 发 ”， 同 学 们 感 到 很 奇 怪 ： 老 师 今天怎么不用粉笔了？ 然后介绍自然界的各种物态变化， 不 久就会有学生提示黑板上的字不见了， 这时我立即发问： 字 怎么没有了？ 学生们争先恐后地回答： 水蒸发了， 哦， 原来老
从近五年高考中浅谈二面角的求解
从近五年高考中浅谈二面角的求解摘要：本文主要是运用定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小.关键词：二面角，平面角，立体几何.一、背景求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一，在求解中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，求解二面角往往转化为求解平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在这一过程中，会用到平面几何、立体几何、三角函数等重要知识.2010年各省份高考中关于二面角的统计：省份全国Ⅰ全国Ⅱ北京卷江西卷安徽卷福建卷天津卷陕西卷广东卷浙江卷湖北卷四川卷重庆卷理科19题19题16题20题18题18题19卷18题18题20题18题18题19题分值12分12分14分12分13分13分12分12分14分15分12分12分12分比例8.0%8.0%9.3%8.0%8.7%8.7%8.0%8.0%9.3%10% 8.0%8.0%8.0%从上表可以看出，立体几何题中有关求二面角大小的试题共有13份，占总分的比例都高于8.0%，由此可见讨论二面角求解的重要性.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 《普通高中课程标准》对其要求为：二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角概念的发展完善了空间角的概念，而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点,起着承上启下的作用.因此搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义.根据新课标，面对新的情景、新的变化，要学会以基本方法的“不变”来应对题目中的“万变”，这就是本文主要讨论的内容.二面角的求解步骤大体分为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的是计算，我们也不能忽视，下面介绍求二面角的方法.二、求解二面角的七种方法1.定义法定义法是指在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角，从而得到二面角的大小.例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （1）证明：M 在侧棱SC 的中点， （2）求二面角S AM B --的大小.分析：从二面角B AM S --中半平 面ABM 上的一已知点B 向棱AM 作垂线，得垂 足F ,在另一半平面ASM 内过该垂足F 作棱AM的垂线（如GF ），这两条垂线)(GF BF 、便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.解:（1）略 （2）由6==AC SA ， 有2=AM ，2==AB AM ，060=∠ABM所以∆ABM 是等边三角形. 过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，有3=BF . 因为ADS ADC ∆≅∆， 所以AC AS =，且M 是SC 的中点， 有AM GF SC AM ⊥⊥,，即AS GF //，又F 为AM 的中点，故GF 是AMS ∆的中位线，点G 是AS 的中点， 则GFB ∠即为所求二面角. 由2=SM ，有22=GF ， DACB SGMF在∆GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， 所以211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG 所以二面角S AM B --的大小为)36arccos(-. 2.三垂线法定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小. 最基本的一个模型为：如右图，设锐二面角βα--l ， 过面α内一点P 作β⊥PA 于A ，作l AB ⊥于B ，连 接PB ，由三垂线定理得l PB ⊥，则PBA ∠为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.例2(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，CD AB //，2,4===CD BC AB ,F E E AA 、、11,2= 分别是棱AD 、1AA 、AB 的中点. （1） 证明：直线11//FCC EE 平面， （2） 求二面角C FC B --1的余弦值. 分析：过二面角C FC B --1中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面C FC 1的垂线，得垂足O ,再过该垂足O 作棱1FC 的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的EAB CFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1O PAβPBlα基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）,再解直角三角形求二面角的度数.解: 证（1）略（2）因为,2,4===CD BC AB F 是棱AB 的中点, 所以,CF BC BF ==故BCF ∆为正三角形,取CF 的中点O , 则CF OB ⊥又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中,ABCD CC 平面⊥1, 所以BO CC ⊥1,有F CC OB 1平面⊥,过O 在平面F CC 1内作F C OP 1⊥,垂足为P ,连接BP , 则OPB ∠为二面角C FC B --1的一个平面角, 在BCF ∆为正三角形中,3OB =,在F CC Rt 1∆中,F CC OPF 1∆≅∆, 因为11OP OFCC C F =所以22122222OP =⨯=+, 在OPB R ∆t 中,22114322BP OP OB =+=+=, 272cos 7142OP OPB BP ∠===, 所以二面角C FC B --1的余弦值为77.ABDCPEF3.垂面法通过作二面角棱的垂面得平面角的方法.例3（2010陕西）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，A B CD PA 平面⊥,22,2===BC AB AP ，F E ,分别是PC AD ,的中点.（1）证明：BEF PC 平面⊥,（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.解：(1) 略(2) 因为ABCD PA 平面⊥, 所以BC PA ⊥, 又ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥，故BAP BC 平面⊥，PB BC ⊥. 又由（1）知BEF PC 平面⊥,所以直线PC 与BC 的角即为平面BEF 与平面BAP 的夹角. 在PBC ∆中，090,=∠=PBC BC PB , 有045=∠PCB ,所以平面BEF 与平面BAP 的夹角为045. 4.射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 原射S S cos =θ ，求出二面角的大小.例4（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（1）求证：PC AB ⊥,（2）求二面角B AP C --的大小.分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，用射影面积法，需求出平面ABEACBP的原S ，平面ACE 的射S ,解法如下.解：（1）略（2） 因为PC AC ⊥，90ACB ∠= ，PAC BC 平面所以⊥．取AP 中点E ，连结BE CE ，． 又AP BP AB ==， 所以APB ∆是等边三角形， 有AP BE ⊥．则在BCE ∆中，AP CE ⊥.所以ACE ∆是ABE ∆在平面ACP 内的射影. 由此可有2222=+===CB AC AP BP AB ，221==AP AE , 622=-=AE AB BE ，222=-=AE AC EC .则1222121=⋅=⋅==∆CE AE S S ACE 射， 3622121=⋅=⋅==∆EB AE S S ABE 原. 设二面角B AP C --的大小为θ，有3331cos ===原射S S θ, 所以二面角C AP B --的大小为33arccos =θ. 5.补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角. 例5（2010安徽） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF //AB ， EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ， (2)求证：AC ⊥平面EDB ， (3)求二面角B DE C --的大小. 解：（1）（2）略（3）因为EF FB ⊥,90BFC ∠=︒, 所以CDEF BF 平面⊥.在平面CDEF 内过点F 作DE FK ⊥交DE 延长线于K ,连接BK .则FKB ∠为二面角B DE C --的一个平面角.设,1=EF 则.3,2,2===DE FC AB 又EF DC //,所以EDC KEF ∠=∠,即 32sin sin =∠=∠KEF EDC .故EF FK =,32sin =∠KEF ,3tan ==∠FK BF FKB , 所以060=∠FKB ,所以二面角B DE C --为060. 6.向量法向量法解二面角是一种十分方便简捷，也是非常传统的解法，可以说所有的二面角求解都可以用向量法，用向量法解二面角时，首先要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，其次将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，最后利用向量计算解题.例6（2010湖北）如图, 在四面体ABOC 中，,,OB OC OA OC ⊥⊥,0120=∠AOB ，且1===OC OB OA .(1) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使OA PQ ⊥,并计算ABAQ的值,(2) 求二面角B AC O --的平面角的余弦值.解：(1)略（2）记平面ABC 的法向量),,(321n n n n =则由A C n⊥,B A n ⊥,且)1,0,1(-=A CGADBCKFEHOBACP得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-023232331n n o n n 故可取)1,3,1(=n，又平面OAC 的法向量为)0,1,0(=e .所以()()53150,1,01,3,1,cos =⋅⋅=e n ，二面角B AC O --的平面角是锐角，记为θ，则515cos =θ . 7.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线时，需将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的方法解题. 例7（2008湖南）如图所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA .（1）证明：平面⊥PBE 平面PAB ,（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的所求二面角的两个半平面PAD 和平面PBE 没有明确的交线，则需补充完整（延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ），再在补充完整的图形中PF 上找适合的点，形成二面角的平面角解答.解: （1）略（2）延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ，取PF 的中点G ，连接AG ,过点A 作PB AH ⊥于H ,连结HG . 由（1）有⊥AH 平面PBE ， 即PF AH ⊥，HG AH ⊥.在等腰PAF Rt ∆中，有PF AG ⊥. 由三垂线定理的逆定理有ABCEDPFGHHG PF ⊥,所以AGH ∠是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在ABF Rt ∆中，因为060=∠BAF , 所以AP AB AF ===22. 在等腰PAF Rt ∆中，22.2AG PA == 在PAB Rt ∆中，22225.55AP ABAP AB AH PBAP AB ====+ 所以，在AHG Rt ∆中，25105sin .52AH AGH AG ∠===故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，也是历年来高考考查的重要内容之一. 二面角的求解有很多不同的方法，本文介绍了定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小，在求解过程中要根据题目的特点选择适当的方法.综合本文可知，首先只要能够比较顺利的做出二面角的平面角，还是选用定义法、三垂线法为好.而向量的优点是，无需作出二面角的棱，也无需做其它的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能解决问题，但这方法也有缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与相应向量之间的关系.从计算量上讲，射影面积法相比其它七种方法要小，而且技巧性更高，免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转换.但题目是“万变”的，当我们面对无棱的二面角时，我们就要使用垂面法、补形法、补棱法找出所隐含的平面角. 总之，所有方法都需要面对不同的题型灵活运用.参考文献[1] 全日制普通高级中学教科书(数学)[M]．第二册（上）．人民教育出版社，2007. 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高中数学立体几何——二面角求法
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.·例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.&解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.《例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.@—A图3αβP￥BlB 1 A *A 1l%EF@PCＳ| FGP AＳBＳ;C DＳF E,过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .·例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.】解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,—又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.—(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.，所以cos∠DFG==.、3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
例谈空间二面角的求法
例谈空间二面角的求法一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;FG（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
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二面角大小的求法
二面角的类型和求法可用框图展现如下：
一、定义法：
直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
j
A B
C
D
P
H
P
O
B
A
二、三垂线定理法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。
求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小
例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.
图4 B1
A
α
β
A1
B L
E F
三、垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3
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2，求二面角βα--l 的大小.
四、射影法：（面积法）
利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
P
β
α
l
C
B
A
例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。
五、平移或延长（展）线（面）法
对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。