Monte Carlo(蒙特卡洛方法)
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法1、蒙特卡洛方法的由来蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。
由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。
第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。
蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。
如今MC 方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。
2、蒙特卡洛方法的核心—随机数蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。
因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。
在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。
由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3 ……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。
真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。
真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。
实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。
蒙特卡罗(monte carlo)方法计算圆周率
蒙特卡罗(monte carlo)方法计算圆周率蒙特卡罗方法是一种基于随机取样的统计方法，可以用来估计圆周率。
该方法的原理是通过在一个正方形内随机生成大量的点，然后判断这些点是否落在一个半径为r的圆内。
利用这些结果，我们可以得出一个近似的圆周率值。
首先，我们假设一个半径为r的圆嵌套在一个边长为2r的正方形内。
根据圆的面积公式，圆的面积为πr²，而正方形的面积为(2r)² = 4r²。
我们可以使用一个算法，生成一个在正方形内的大量随机点。
通过计算这些点与圆心的距离，我们可以判断它们是否在圆的边界内。
假设生成的随机点总数为N，而落在圆内的点数为M。
根据概率论的知识，我们可以得出以下关系：圆的面积与正方形的面积之比等于落在圆内的点数与生成的总点数之比。
即πr² / 4r² = M / N。
通过简化得到π = 4M / N。
因此，我们可以通过生成足够多的随机点，并计算落在圆内的点数与总点数之比，来估计圆周率的值。
下面是一个简单的Python代码示例，演示如何使用蒙特卡罗方法计算圆周率：```pythonimport randomdef estimate_pi(n):points_inside_circle = 0points_inside_square = 0for _ in range(n):x = random.uniform(-1, 1)y = random.uniform(-1, 1)distance = x**2 + y**2if distance <= 1:points_inside_circle += 1points_inside_square += 1pi_estimate = 4 * points_inside_circle / points_inside_squarereturn pi_estimaten = int(input("请输入生成的随机点数："))pi = estimate_pi(n)print("估计的圆周率值为：", pi)```通过运行以上代码，您可以输入随机点的数量，并得到一个近似的圆周率值。
蒙特卡洛算法
取8个随机数
R1 0.0078, R2 0.9325，R3 0.1080，R4 0.0063
用蒙 特卡 洛计 算定 积分
R5 0.5490, R6 0.8556，R7 0.9771，R8 0.2783 Iˆ 0.9187
1.9
大大改善了结果！
理论依据 贝努里（Bernoulli） 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则
0 有
nA lim P p 0 n n
或
nA lim P p 1 n n
1 1 1 0 0.25 2 2 2
P(A1) = P(j=0)P(A1∣j=0) + P(j=1)P(A1∣j=1) =
1 1 1 1 0 2 2 3 6
P(A2) = P(j=0)P(A2∣j=0) + P(j=1)P(A2∣j=1)
1 1 1 1 = 0 2 2 6 12 1 1 1 2 0.33 E1 = 6 12
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩
阵的每个元素都在 (0,1) 之间。 注：rand(n)=rand(n,n)
randn(m,n)
生成一个满足正态 m n 的随机矩阵
randperm(m)
生成一个由 1:m 组成的随机排列
perms(1:n)
生成由 1:n 组成的全排列，共 n! 个,称为 “群“
分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算
得到相应的概率和期望值.但这样只能给出作战 行动的最终静态结果，而显示不出作战行动的动 态过程.
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。
一起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。
Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。
Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特•罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
二解决问题的基本思路Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）
蒙特·卡罗⽅法（MonteCarlomethod）蒙特·卡罗⽅法（Monte Carlo method），也称统计模拟⽅法，是⼆⼗世纪四⼗年代中期由于科学技术的发展和电⼦计算机的发明，⽽被提出的⼀种以概率统计理论为指导的⼀类⾮常重要的数值计算⽅法。
是指使⽤随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的⽅法。
与它对应的是确定性算法。
这个⽅法的发展始于20世纪40年代，和原⼦弹制造的曼哈顿计划密切相关，当时的⼏个⼤⽜，包括乌拉姆、冯.诺依曼、费⽶、费曼、Nicholas Metropolis，在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室研究裂变物质的中⼦连锁反应的时候，开始使⽤统计模拟的⽅法，并在最早的计算机上进⾏编程实现。
现代的统计模拟⽅法最早由数学家乌拉姆提出，被Metropolis命名为蒙特卡罗⽅法，蒙特卡罗是著名的赌场，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣⽽贴切，很快被⼤家⼴泛接受。
被不过据说费⽶之前就已经在实验中使⽤了，但是没有发表。
说起蒙特卡罗⽅法的源头，可以追溯到18世纪，布丰当年⽤于计算π的著名的投针实验就是蒙特卡罗模拟实验。
统计采样的⽅法其实数学家们很早就知道，但是在计算机出现以前，随机数⽣成的成本很⾼，所以该⽅法也没有实⽤价值。
随着计算机技术在⼆⼗世纪后半叶的迅猛发展，随机模拟技术很快进⼊实⽤阶段。
（类⽐深度学习，感叹~）对那些⽤确定算法不可⾏或不可能解决的问题，蒙特卡罗⽅法常常为⼈们带来希望。
蒙特卡罗基本思想：利⽤⼤量采样的⽅法来求解⼀些难以直接计算得到的积分。
例如，假想你有⼀袋⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，这个⾖⼦的数⽬就是图形的⾯积。
当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。
借助计算机程序可以⽣成⼤量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的⽐例和坐标点⽣成范围的⾯积就可以求出图形⾯积。
插片法的名词解释
插片法的名词解释插片法（Monte Carlo Method），又称蒙特卡罗方法，是一种以随机数为基础的数值计算方法。
这种方法不依赖于具体的方程式或解析解，而是通过随机抽样和概率统计的原理，利用计算机模拟大量随机事件的结果，从而获得近似解或概率分布，广泛应用于物理、统计学、工程、金融等领域。
1. 插片法的起源与发展插片法最早由美国科学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯于1940年代末提出。
当时他们在洛斯阿拉莫斯国家实验室从事核武器研究，面临一个名为“蒙特卡罗”的核物理问题，无法通过传统方法求解。
于是乌拉姆和梅特罗波利斯灵机一动，借鉴赌场的随机抽样方法，提出了插片法。
插片法的应用得到了成功，此后逐渐发展为一种强大的数值计算工具，为科学研究和工程设计带来了革命性的变化。
2. 插片法的基本原理插片法的基本思想是通过随机抽样，将复杂的问题转化为统计问题，通过统计量来描述问题的性质，并用该统计量的概率分布逼近原问题的解。
具体而言，插片法包括以下基本步骤：（1）建立数学模型：将原始问题转化为数学模型，明确需要计算的目标量。
（2）生成随机数：利用随机数产生器生成符合一定概率分布的随机数序列。
（3）进行随机抽样：根据已知的概率分布，以随机抽样的方式获得样本。
（4）计算统计量：根据样本计算所需的统计量，如平均值、方差等。
（5）重复以上步骤：进行多次随机抽样和统计量计算，得到一系列统计量。
（6）分析结果：通过对统计量的分析，得到问题的近似解、概率分布或其他需要的信息。
3. 插片法的应用领域插片法广泛应用于各个领域，例如：（1）物理学：用于模拟粒子物理实验、分析核反应、研究量子力学等。
（2）统计学：用于估计未知参数、构建置信区间、进行假设检验等。
（3）工程学：用于分析复杂系统的可靠性、优化设计参数、模拟随机事件等。
（4）金融学：用于进行金融衍生品定价、风险分析、投资决策等。
（5）计算机科学：用于优化算法设计、解决复杂计算问题、模拟系统行为等。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
Monte Carlo(蒙特卡洛方法)解析
于是有： l p P( X sin ) 2 0
l sin 2
0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
U(0,1)随机数的生成
乘同余法：
xi 1 axi
mod m
ui 1 xi 1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0称为种子,a 是乘因子,m是模数
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
1 确定行为的模拟
例：曲线下的面积
本节以曲线下的面 积为例说明蒙特卡罗 模拟在确定行为建模 中的应用．
下面的算法给出了用蒙特卡罗方法求曲线下面积 的计算机模拟的计算格式．
在给定区间上曲线y=cosx下面积的真值是2．注意到即使对 于产生的相当多的点数，误差也是可观的．对单变量函数，一般 说来，蒙特卡罗方法无法与在数值分析中学到的积分方法相比， 没有误差界以及难以求出函数的上界M也是它的缺点．然而，蒙 特卡罗方法可以推广到多变量函数，在那里它变得更加实用．
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af n ( A)
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P(n 1) U P(n)
则令 X取值
xn.
例1:
离散型随机变量X有如下分布律: X 0 1 2 P(x) 0.3 0.3 0.4 设 U1 ,U 2 ,,U 是 (0,1)上均匀分布的随机数,令 N
0, 0 U i 0.3 xi 1, 0.3 U i 0.6 2, 0.6 U i
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af成器的周期 长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有 它的一半。我们自然希望生成器的周期越长 越好，这样我们得到的分布就更接近于真实 的均匀分布。
在给定 m 的情况下，生成器的周期与 a 和 初值 x0 (种子)选择有关。
线性同余生成器(混合同余法) (Linear Congruential Generator )
证明： 由 F 1 (U ) 的定义和均匀分布的分布函数可得： P ( X x) P ( F 1 (U ) x) P (U F ( x )) F ( x )
由定理 1 ，要产生来自 F ( x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1 (u ) 即 可。具体步骤如下：
一般形式： xi 1 (axi c) mod m ui 1 xi 1 / m
1. c是非负整数.通过适当选取参数c可以改善 随机数的统计性质(独立性,均匀性).
2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们 可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的 初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
U(0,1)随机数的生成
乘同余法：
xi 1 axi
mod m
ui 1 xi 1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0称为种子,a 是乘因子,m是模数
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
l 于是针与平行线相交的充要条件为 X 2 sin , l 即相交 A { : X 2 sin }.
于是有： l p P( X sin ) 2 0
l sin 2
0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
蒙特卡罗模拟是一种随机模型．
1.抛100次硬币得到51个正面，并且接下来的10 次(即使不太可能刚巧10次)全为正面的情况是可 能出现的，这样，用110次的结果进行估计实际 上比用100次要差．
2.同样抛100次的结果也不近相同。
做任何的蒙特卡罗模拟，都要用到随机数．
要记住，对于根据模拟结果的预测寄予太多的 信任是有危险的，特别是在模拟中包含的假设没有 清楚表明的时候．还有，由于用了大量的数据和庞 大的计算，再加上非专业人员理解模拟模型和计算 机输出相对容易，所以常会导致对模拟结果的过分 相信．
从U(0,1)到其它概率分布的随机数
1.离散型随机数的模拟
2.连续型随机数的模拟
3.正态随机数的模拟
1.离散型随机数的模拟
设随机变量 X 的分布律为 令
P{X xi } pi
n i 1
(i 1,2,)
(n 1, 2 ,)
P(0) 0, P(n) pi ,
将 {P(n)} 作为区间(0,1)的分点.若随机变量 U ~ U (0,1) ,有
1. 生成 g ( x) 的样本 X ; 2. 生成U~U (0,1), 且U与X 独立； 3. 如果 U f ( X ) / cg ( X ) ，则取Y=X,返回步骤1， 否则舍去X,返回步骤1.
所以在某些情况下，对对象的行为进行直接观测
或重复试验可能是不可行的。
在对象的行为不能做分析性的解释，或数据无法直 接收集的情况下，建模者可以用某种方式间接地模拟 其行为，试验所研究的供选择的各种方案，以估计它 们怎样影响对象的行为，然后收集数据来确定哪种方 案是最好的． 例如，为了得到一艘拟建造的潜艇受到的阻力， 造一个原型是不可行的，我们可以按比例建一个模型， 去模拟实际的潜艇的行为． 这里将研究另外一种形式的模拟——蒙特卡罗 (MonteCarlo)模拟，一般是借助于计算机完成的．
则 x1 , x2 ,, x N 是具有X分布律的随机数.
2.连续型随机数的模拟
a.逆变换方法(常用) (Inverse Transform Method) b.舍取方法 (Acceptance-Rejection Method)
定理: 设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数, 而U是在(0,1)上均匀分布的随机变量, 令 X F 1 (U ) , 则Y与X有相同的分布.
1 确定行为的模拟
例：曲线下的面积
本节以曲线下的面 积为例说明蒙特卡罗 模拟在确定行为建模 中的应用．
下面的算法给出了用蒙特卡罗方法求曲线下面积 的计算机模拟的计算格式．
在给定区间上曲线y=cosx下面积的真值是2．注意到即使对 于产生的相当多的点数，误差也是可观的．对单变量函数，一般 说来，蒙特卡罗方法无法与在数值分析中学到的积分方法相比， 没有误差界以及难以求出函数的上界M也是它的缺点．然而，蒙 特卡罗方法可以推广到多变量函数，在那里它变得更加实用．
ˆ 从而有
有如下的试验结果。
试验者
时间(年)
针长 投针次数 相交次数
π的估计值
Wolf
Smith
1850
1855
0.80
0.60
5000
3204
2532
1218
3.15956
3.15665
Fox
Lazzarini
1884
1925
0.75
0.83
1030
3408
489
1808
3.15951
3.14159292
二.随机数的生成
1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。 2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成 随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机 的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过 统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudorandom numbers)。 3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数， 而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布 U(0,1)的随机数。
能为那些要到达特定楼层的乘客提供最好的服务。 然而这种做法可能是难以接受的，因为在收集统计 数据时要再三惊扰乘客，并且电梯运行模式的不断变 化也会使乘客感到迷惑．
与此有关的另一个问题是大城市交通控制系统可 供选择的运行模式的检验，为了做试验而不停地改变 单行道的交通方向和配置交通信号将是不现实的．
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1 =2147483647 Multiplier a 16807 39373 742938285 950706376 1226874159 40692 40014 Reference Lewis, Goodman, and Miller L’Ecuyer Fishman and Moore Fishman and Moore Fishman and Moore L’Ecuyer L’Ecuyer
例 2： 设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为： F ( x) 1 e x / , x 0 通过计算得 F ( y ) log(1 y ) ，则： X log(1 U )
1
服从指数分布(其中 U 服从均匀分布)
又因为 1－U 和 U 有着同样的分布，所以也可以取： X log(U )
Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法)
一. 概述与思想 二. 随机数的生成. 三. 实例---港口模型 四. 作业
一 概述与思想
引例：电梯系统． 我们可以提出若干供选择的电梯运行模式，如设定 停偶数层、奇数层的电梯或直达电梯．理论上，对每种
供选择的模式都能够做若干次试验，以确定哪一种模式
xi 1 6xi mod11, ui+1 xi 1 /11 （a 6, m 11 ）
如果令 a 3, x0 1 ,得到序列: 1,3,9,5, 4,1,3,9........ 如果令 a 3, x0 2, 得到序列： 2, 6, 7,10,8, 2, 6.......
P{P(n 1) U P(n)} P(n) P(n 1) pn , (n 1,2, )
令 {P(n 1) U P(n)} {X x } n
则有
P{X xn } pn
据此,可得产生 X的随机数的具体过程为:每产 生一个(0,1)区间上均匀分布随机数 U,若
2147483399 2147483563
复杂一些的生成器
Multiple recursive generator
xi (a1 xi 1 a2 xi 2 ...... ak xi k ) mod m ui xi / m 需要选取种子(xk 1 , xk 2 .......x0 )
从Buffon(蒲丰)投针问题谈起
Buffon 投针问题:平面上画很多平行线，间距为 a．向此平面投掷长为 l ( l < a) 的 针,此针与任一平行线相交的概率 p。
随机投针可以理解成针的中心 点与最近的平行线的距离X是均匀 地分布在区间 [0, a / 2] 上的r.v.，针 与平行线的夹角是均匀地分布 在区间 [0, ] 上的r.v.，且X与相互独立，