沪科版九年级数学上册 二次函数与一元二次方程教案
沪科版-数学-九年级上册-21.3.1 二次函数与一元二次方程(1) 教案
二次函数与一元二次方程教学目标1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)教学过程一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)若函数y ＝mx2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) A ．0 B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，根据二次函数与x 轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点．当m ≠0时，Δ＝(m ＋2)2－4m(12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2；当m ＝0时，原函数是一次函数，图象与x 轴只有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．故选D.方法总结：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，当b2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点，当b2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点，当b2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数图象与x 轴的交点坐标与一元二次方程根的关系已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为________．解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x ＝3，y ＝0是该函数的一组对应值．将x ＝3，y ＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m ，解得m ＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.方法总结：本题先求出m 的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3.探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25因此x≈－1.4是方程的一个实数根；(2)另一个根可以类似地求出：x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 x≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．三、板书设计二次函数与一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧1.与x轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的情况、确定对称轴和字母系数的取值范围教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上进行的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
教材通过具体的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何将二次函数与一元二次方程结合起来，以及如何运用二次函数的性质来解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过具体的例题和练习题，让学生学会如何运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法：通过探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解法。
2.教学难点：如何运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设计富有挑战性的问题，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系；通过具体的案例，让学生学会如何运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题；通过小组合作学习，培养学生合作意识和创新精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学课件和板书设计。
3.准备课堂讨论和小组合作学习的时间和空间。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
沪科版九年级数学上册21.3二次函数与一元二次方程教案
第21章二次函数与反比例函数21．3二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程课题21.3二次函数与一元二次方程授课人教学目标知识技能1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．数学思考通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系．问题解决能够从函数表达式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系，同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系．情感态度通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解．教学难点理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．授课类型新授课课时(续表)教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.一元二次方程的一般形式是2＋＋c＝0(a≠0)，其根的判别式是2－4，求根公式是＝．2．二次函数的一般式是＝2＋＋c(a，b，c是常数，a≠0)，顶点坐标是．3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是直线x＝－1，开口方向是向上，顶点坐标是(－1，－5)．4．抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)．5．已知抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，并且经过点(0，1)，则抛物线所对应的函数表达式为＝－x2＋1．师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结．通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识，巩固以前所学知识，为学好本节课的新知识做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：如图21－3－6所示，以40 m的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：(1)球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？(2)球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多长时间？从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.图21－3－6师生活动：教师进行引导，飞行高度h与飞行时间t 的表达式为h＝20t－5t2，所以将h的值代入函数表达式，得到关于t的一元二次方程即可求解．让学生完成解答过程，教师巡视指导．活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程：(1)解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝01＝1，t2＝3.当球飞行1 s和3 s时，它的高度为15 m.(2)解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝01＝t2＝2.当球飞行2 s时，它的高度为20 m.(3)不能．理由：解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0.因为16－4×4.1<0，所以此方程无解，所以球的飞行高度不能达到20.5 m.(续表)活动二：实践探究交流新知(4)解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝01＝0，t2＝4.当球飞行0 s和4 s时，高度均为0 m，即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面，所以球从飞出到落地要用4 s.教师总结：把函数值代入函数表达式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值．活动二：画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案．问题提示：(1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；(2)教师巡视指导，与学生合作、交流；(3)教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程；(4)学生小组讨论、交流、总结二次函数与一元二次方程的关系．图21－3－7活动三：思考：二次函数y＝x2＋x－2；y＝x2－6x＋9；y＝x2－x＋1.(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？师生活动：教师展示二次函数的图象，学生观察图象，展开讨论，并回答问题．(1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1.(2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.(3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．教师总结：一般地，如果二次函数y＝2＋＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2＋＋c＝0的根．2．归纳总结通过以上学生间、师生间的观察、交流、讨论，进行总结：一般地，从二次函数y＝2＋＋c的图象可知，(1)如果抛物线y＝2＋＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是1.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形结合带来的方便2．设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联．系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程2＋＋c＝0的一个根．(续表)活动二：实践探究交流新知(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．因为作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根一般是近似的．3．提升归纳问题：(1)观察二次函数y＝x2－6x＋9和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况．(2)二次函数y＝2＋＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程2＋＋c＝0的根有什么关系？师生活动：师生共同讨论总结：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点；当Δ<0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．3.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形结合带来的方便.活动三：开放训练体现应用【应用举例】图21－3－8例1利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．师生活动：教师引导学生做出函数图象，或求出抛物线与x轴的交点坐标，学生进行计算．解：作二次函数y＝x2－2x－2的图象．它与x轴的交点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异．通过课前设疑，激发学生的学习兴趣，运用所学知识，从不同的角度进行解答，既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性，又培养了学生深层次的思维能力.【拓展提升】例2已知抛物线y＝2＋(3－2m)x＋m－2(m≠0)与x由抛物线与x轴的交点个轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1，1)是否在该抛物线上．师生活动：学生自主解答后，教师进行讲解，学生再次审题，完成对题目的重新整理数逆向求函数表达式中的字母系数的取值范围，进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识，提升学生灵活运用知识的能力.(续表)活动四：课堂总结反思【达标测评】1．二次函数y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，两个交点间的距离为4．2．抛物线y＝x2－2x－8与x轴有2个交点．3．若抛物线y＝x2－4＋4的顶点在x轴上，则b＝±1.4．二次函数y＝2＋＋c的值永远为负值的条件是(D)A．a>0，b2－4<0B．a<0，b2－4>0C．a>0，b2－4>0 D．a<0，b2－4<0学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.【课堂总结】1．课堂总结：谈一谈你在本节课中有哪些收获，有哪些进步，还有哪些困惑．教师总结：抛物线与x轴的交点问题有三种情况，分别是有两个交点、有一个交点、没有交点，主要判定方法可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定．2．布置作业：教材P33的练习．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系；课堂训练环节中，教师给予学生自主解答问题的时间，教师做好点评.②[讲授效果反思]教师引导学生注意以下几点：（1）抛物线与坐标轴交点的求法，即把已知坐标代入；（2）抛物线与x轴交点个数可通过计算b2－4进行判断.③[师生互动反思]教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质。
沪科版九年级上数学21.3二次函数与一元二次方程教案设计
21.3二次函数与一元二次方程第一课时教学目标：知识与技能：1、理解二次函数y=ax2 +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程Ax2 +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根2、知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况.过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重点、教学难点：重点如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系.难点让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤.教学方法与教学手段：教学方法采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学手段为了使学生的活动更加充分有效，增强教学直观性，利用多媒体、来辅助教学教学过程：一、复习1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2活动方式：学生回答，复习巩固已学知识.二、创设问题情境,引入新课师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.三、活动探究二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?师：还请大家先讨论后解答.答：(1)二次函数y= x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y= x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y= x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
（1）教师给出练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）教师挑选部分学生的作业进行展示、讲解，总结解题方法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结二次函数与一元二次方程的知识点，梳理知识结构。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与一元二次方程的知识点。
（2）学生分享自己的学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（3）教师总结归纳，强调重点，指出易错点，为课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，加深对二次函数与一元二次方程概念的理解。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。
2.从生活中的实际问题出发，选取一个案例，将其抽象为二次函数与一元二次方程模型，并求解。要求撰写解题过程，明确解题思路和方法。
3.小组合作，共同完成一道拓展题。题目如下：
拓展题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象，求该抛物线与x轴的交点坐标。
要求：各小组通过讨论、探究，给出至少两种解题方法，并在课堂上分享解题过程和心得。
4.培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。
初中数学初三数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
在本章节的教学中，我们需要面对的是初三学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了函数、一元一次方程等基本知识。然而，二次函数与一元二次方程作为数学知识的一个难点，对学生而言，理解和运用上可能存在一定困难。
学生在学习过程中可能出现以下情况：对二次函数图像特征的理解不够深入，对一元二次方程求解方法的掌握不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用所学知识。因此，在教学过程中，我们要关注以下几点：
（3）鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过生活中的实际问题，引出二次函数与一元二次方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察二次函数的图像，总结图像特征；教授一元二次方程的求解方法，并分析各种求解方法的适用条件。
（3）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（2）一元二次方程的求解方法有哪些？它们之间的优缺点是什么？
2.小组汇报
各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求解给定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
（2）利用一元二次方程求解实际问题的最优解。
2.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
3.鼓励学生分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.通过一元二次方程的求解过程，让学生体会数学的转化思想，培养学生解决问题的策略和方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.引导学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学意识。
1.充分了解学生的知识储备，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的，主要让学生通过探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程的知识。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.学会运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作，探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备计算机和投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现二次函数的图象，引导学生观察图象，发现图象与一元二次方程的解之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，运用二次函数的图象来解决一些一元二次方程的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它旨在让学生通过学习二次函数与一元二次方程的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
本节内容与前面的二次函数知识紧密相连，为后续的代数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在求解一元二次方程时，可能会对公式法和解根的判别式混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生明确两者之间的关系，并通过实例让学生体会二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解二次函数与一元二次方程的关系，并能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系。
2.教学难点：二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六.说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过公式法和因式分解法求解一元二次方程。
3.探究：引导学生发现二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，总结二次函数与一元二次方程的内在联系。
4.应用：通过实例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在生活中的应用。
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相关资料
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标.
(二)能力训练要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.
(三)情感与价值观要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
教学重点
1.体会方程与函数之间的联系.
2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标.
教学难点
1.探索方程与函数之间的联系的过程.
2.理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
教学方法
讨论探索法.
教具准备
投影片二张
第一张:(记作§2.8.1A)
第二张:(记作§2.8.1B)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值 y=0 时,一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b=0 的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.
Ⅱ.讲授新课
一、例题讲解
投影片:(§2.8.1A)
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0 表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以 40m/s 的速度竖直向上抛起,小球的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系如下图所示,那么
(1)h 与t 的关系式是什么?
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.
[生](1)h 与t 的关系式为 h=-5t2+v0t+h0,其中的 v0 为40m/s,小球从地面被抛起,所以 h0=0.把v0,h0 代入上式即可求出 h 与 t 的关系式.
(2)小球落地时 h 为0,所以只要令 h=-5t2+v0t+h.中的 h 为0,求出 t 即可.
还可以观察图象得到.
[师]很好.能写出步骤吗?
[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,
当 v0=40,h0=0 时,
h=-5t2+40t.
(2)从图象上看可知 t=8 时,小球落地或者令 h=0,得:
-5t2+40t=0,
即 t2-8t=0.
∴t(t-8)=0.
∴t=0或t=8.
t=0 时是小球没抛时的时间,t=8 是小球落地时的时间.
二、议一议
投影片:(§2.8.1B)
二次函数①y=x2+2x,
②y=x2-2x+1,
③y=x2-2x+2 的图象如下图所示.
(1)每个图象与 x 轴有几个交点?
(2)一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0 有几个根?解方程验证一下:一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
(3)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系?
[师]还请大家先讨论后解答.
[生](1)二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象与 x 轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.
(2)一元二次方程x2+2x=0 有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0 有两个相等的根1 或一个根1;方程x2-2x+2=0 没有实数根.
(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数 y=x2+2x 的图象与 x 轴有两个交点,交点的坐标分别为
(0,0),(-2,0),方程 x2+2x=0 有两个根 0,-2;
二次函数 y=x2-2x+1 的图象与x 轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程 x2-2x+1=0 有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数 y=x2-2x+2 的图象与 x 轴没有交点,方程 x2-2x+2=0 没有实数根.
由此可知,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.
[师]大家总结得非常棒.
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
三、想一想
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是 60m?你是如何知道的?
[师]请大家讨论解决.
[生]在式子 h=-5t2+v0t+h0 中,当 h0=0,v0=40m/s,h=60m 时,有
-5t2+40t=60,
t2-8t+12=0,
∴t=2或t=6.
因此当小球离开地面 2 秒和 6 秒时,高度都是 60m.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习(P67)
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容:
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.
2.理解了二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.
Ⅴ.课后作业
习题 2.9
板书设计
§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)
一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)
2.议一议(投影片§2.8.1B)
3.想一想
二、课堂练习
随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
思考、探索、交流
把4 根长度均为 100m 的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?
解:(1)设长方形的一边长为 x m,另一边长为(50-x)m,则
S 长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.
即当 x=25 时,S 最大=625.
(2)S 正方形=252=625.
(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,
∴S 三角形= =≈481(m2).
(4)∵2πr=100,∴r= .
∴S 圆=πr2=π·( )2=π· = ≈796(m2). 所以圆的面积最大.。