物理竞赛专题十三：降维法.doc
13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π①圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图,即应选两个合适的平面去观察,当遇到一个空间受力问题时,将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解，由于三维问题不好想像,选取适当的角度,可用降维法求解，降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来,使我们很容易找到各物理量之间的关系,从而正确解决问题，赛题精讲例1：如图13—1所示,倾角θ=30°的粗糙斜面上放 一物体,物体重为G,静止在斜面上，现用与斜面底边平 行的力F=G/2推该物体,物体恰好在斜面内做匀速直线运 动,则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速 运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力 四个力的作用下做匀速直线运动,所以受力平衡，但这四 个力不在同一平面内,不容易看出它们之间的关系，我们 把这些力分解在两个平面内,就可以将空间问题变为平面 问题,使问题得到解决，将重力沿斜面、垂直于斜面分解，我们从上面、侧面 观察,图13—1—甲、图13—1—乙所示，如图13—1—甲所示,推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角, 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡,即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示,一个直径为D 的圆柱体,其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽,槽内有一小球,为使小球能自由下落,必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽,如图13—2—甲所示,当圆柱体转一周,相当于沿斜槽下降一个螺距h,当圆柱转n 周时,外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π① 圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式,可得,为使螺旋形槽内小球能自由下落,圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示,表面光滑的实心圆球B 的半径 R=20cm,质量M=20kg,悬线长L=30cm ，正方形物块A 的 厚度△h=10cm,质量m=2kg,物体A 与墙之间的动摩擦因 数μ=0.2,取g=10m/s 2，求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力,使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动,那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A 、B 所受的力也不在一个平面内,混起来考虑比较复杂,可以在垂直于墙的竖直平面内分析A 、B 间压力和A 对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A 物体沿墙水平运动时的受力情况，（1）通过受力分析可知墙对物块A 的静摩擦力大小等于物块A 的重力，（2）由于物体A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动,所以摩擦力沿水平方向,合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反，又因为物体受竖直向下的重力,所以推力F 方向应斜向上，设物体A 对墙的压力为N,则沿垂直于墙的方向,物体B 受到物体A 的支持力大小也为N,有θμtan ,Mg N N f ==而又因为43tan 53sin ==++∆=θθ所以R L R h 在与墙面平行的平面内,对物体A 沿竖直方向 做受力分析,如图13—3—甲所示有mg F =αsin沿水平方向做受力分析,有 ma f F =-αcos 由以上各式,解得 )5/5arcsin(,520)()(22==++=a N ma f mg F因此,对物体A 施加的外力F 的大小为205N,方向沿墙面斜向上且与物体A 水平运动方向的夹角为).5/5arcsin(例4：一质量m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平 行长直圆柱上,如图13—4所示,钢件的重心与两柱等距, 两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径r=0.025m,钢件 与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做 转向相反的转动,角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的 方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动, 求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向,滑动摩擦力 的方向与相对运动的方向相反,由于钢件和圆柱都相对地面 在运动,直接不易观察到相对地面在运动,直接不易观察到 相对运动的方向,而且钢件的受力不在同一平面内,所以考 虑“降维”,即选一个合适的角度观察，我们从上往上看,画 出俯视图,如图13—4—甲所示，我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力,先分析相对运动的方向,钢件有向前的速度0υ,左边圆住有向右的速度ωr ,则钢件相对于圆柱的速度是0υ与ωr 的矢量差,如图中△v ,即为钢件相对于圆柱的速度,所以滑动摩擦力f 的方向与△v ,的方向相反,如图13—4—甲所示，以钢件为研究对象,在水平面上受到推力F 和两个摩擦力f 的作用,设f 与圆柱轴线的夹角为θ,当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时,应有22000)(22cos 2ωθr v v f vv ff F +=∆== ①再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出F N , 如图13—4—乙所示,钢件受重力G 和两个向上的支 持力F N ,且G=2F N ,所以把N N F f GF μ==,2代入①式,得 推力N r v v mgr v v F F N 2)(22)(222002200=+⋅=+⋅=ωμωμ例5：如图13—5所示,将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上,圆锥顶角为α,设圆锥底面水平,链条静止时也水平,求链条内的张力，解析：要求张力,应在链条上取一段质量元m ∆进行研究，因为该问题是三维问题,各力不在同一平面内,所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究，作出俯视图13—5—甲,设质量元m ∆两端所受张力为T,其合力为F,因为它所对的圆心角θ很小,所以2sin 2θT F =,即F=T θ，再作出正视图13—5—乙,质量元受重力m ∆g 、支持力N 和张力的合力F 而处于平衡状态,由几何知识可得：2cot 22cotαπθα⋅=⋅∆=Mg mg F 所以链条内的张力2cot 22απ⋅==MgF T例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁，演员骑摩托车从底部开始运动,随着速度增加,圈子越兜越大,最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶,如图13—6所示，如果演员和摩托车的总质量为M,直壁半径为R,匀速率行驶的速率为v ,每绕一周上升的距离为h,求摩托车匀速走壁时的向心力，解析：摩托车的运动速度v ,可分解为水平速度v 1和竖直分速度为v 2,则向心力速度为Rv a 21=，处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面,其倾角的余弦为22)2(2cos hR R a +=ππ,如图13—6—甲所示，所以有v hR R v v 221)2(2cos +==ππα向心加速度为：222221))2(2(h R R R v R v a +==ππ向心力 )4(422222h R RMv Ma F +==ππ 例7：A 、B 、C 为三个完全相同的表面光滑的小球,B 、C 两球各被一长为L=2.00m 的不可伸和的轻线悬挂于天花板上,两球刚好接触,以接触点O 为原点作一直角坐标系z Oxyz ,轴竖直向上,O x 与两球的连心线重合,如图13—7所示，今让A 球射向B 、C 两球,并与两球同时发生碰撞，碰撞前,A 球速度方向沿y 轴正方向,速率为s m v A /00.40=，相碰后,A 球沿y 轴负方向反弹,速率A v =0.40m/s ，（1）求B 、C 两球被碰后偏离O 点的最大位移量； （2）讨论长时间内B 、C 两球的运动情况，（忽略空气阻力,取g=10m/s 2） 解析：（1）A 、B 、C 三球在碰撞前、后的运动发生 在Oxy 平面内,设刚碰完后,A 的速度大小为A v ,B 、 C 两球的速度分别为B v 与C v ,在x 方向和y 方向的分速 度的大小分别为Bx v ,Cy Cx By v v v ,和,如图13—7—甲所示, 由动量守恒定律,有0=-Bx Cx mv mv ①A Cy By Ax mv mv mv mv -+= ②由于球面是光滑的,在碰撞过程中,A 球对B 球的作用力方向沿A 、B 两球的连心线,A 球对C 球的作用力方向沿A 、C 两球的连心线,由几何关系,得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==6tan 6tan ππCy Cx By Bx v v v v ③ 由对称关系可知 Cy Bx v v = ④解①、②、③、④式可得 s m v v Cy Bx /27.1==s m v v Cy Bx /20.2==由此解得 s m v v Cy Bx /54.2==图13—7甲设C 球在x >0, y>0, z >0的空间中的最大位移为,OQ Q 点的z 坐标为z Q ,则由机械能守恒定律可写出Q C mgz mv =221 ⑤ 所以 gv z CQ 22= 代入数值解得 z Q =0.32m而Q 点到O z 轴的距离为 )2()(22Q Q Q z L z z L L QD -=--=所以C 球离O 点的最大位移量 Q Q Lz OD z OQ 222=+= ⑥代入数值,得 m OQ 13.1= ⑦由对称性,可得B 球在0,0,0>><z y x 的空间的最大位移量OP 为m OQ OP 13.1== ⑧（2）当B 、C 两球各达到最大位移后,便做回到原点的摆动,并发生两球间的碰撞,两球第一次返回O 点碰撞前速度的大小和方向分别为s m v Bx /27.1= 方向沿正x 轴方向 By v =2.20m/s 方向沿y 轴方向s m v Cx /27.1= 方向沿正x 轴方向 Cy v =2.20m/s 方向沿y 轴方向设碰撞后的速度分别为11C B v v 和,对应的分速度的大小分别为x B v 1、y B v 1、x C v 1和y C v 1,由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿x 轴方向,故碰撞后,沿y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的）,即y B v 1=By v 方向沿负y 轴方向 ⑨ y C v 1=Cy v 方向沿负y 轴方向 ⑩碰撞过程中,沿x 轴方向的动量守恒,则 Cx Bx x B x C mv mv mv mv -=-11 因为Cx Bx v v = 所以x B x C v v 11=即碰撞后两球在x 方向的分速度大小也相等,方向相反,具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失，在A 球与B 、C 两球同时碰撞的过程中,碰撞前,三者的机械能m mv E AD 82121==碰撞后三者的机械能 12222259.6212121E E m mv mv mv E C B A <=++=表明在碰撞过程中有机械能损失,小球的材料不是完全弹性体,故B 、C 两球在碰撞过程中也有机械能损失,即)(21)(21)(212222221111Y X X X Y XB BC C B B v v m v v m v v m +<+++ ○11 由⑨、⑩和○11三式,和 Cx Bx C B v v v v x X =<=11 ○12或C B C B v v v v =<=11当B 、C 两球第二次返回O 点时,两球发生第二次碰撞,设碰撞后两球的速度分别为22C B v v 和,对应的分速度的大小分别为y C x C B B v v v v y X 22,,22和,则有y y y y C B C B v v v v 1122=== y x x x C B C B v v v v 1122=<= 或 12B B v v < 12C C v v <由此可见,B 、C 两球每经过一次碰撞,沿x 方向的分速度都要变小,即x x x x x x X C B C B C B Cx B v v v v v v v v 332211=>=>=>= ……而y 方向的分速度的大小保持不变,即y t y y y y y C B C B C B Cy B v v v v v v v v 332211======= ……当两球反复碰撞足够多次数后,沿x 方向的分速度为零,只有y 方向的分速度，设足够多的次数为n,则有 0==nx nx C B v v ○13 s m v v v y ny ny B C B /20.2=== ○14 即最后,B 、C 两球一起的Oyz 平面内摆动,经过最低点O 的速度由○14式给出,设最高点的z 轴坐标为Qn z ,则 Qn Cny mgz mv =221 得gv z Cny Qn 22=代入数值,得 m z Qn 24.0= ○15 最高点的y 坐标由下式给出：Qn Qn Qn Qn z z L z L L y )2()(22-±=--±=代入数值,得：m y Qn 95.0±= ○16 例8：一半径R=1.00m 的水平光滑圆桌面,圆心为O,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近,立柱与桌面的交线是 一条凸的平滑的封闭曲线C,如图13—8所示，一根不可伸 长的柔软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上某一点,另一端系一质量为m=7.5×10—2kg 的小物块，将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小物块一个方向与绳垂直、大小为s m v /0.40=的初速度,物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上，已知当绳的张力为T 0=2.0N 时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动，（1）问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少？（2）若绳刚要断开时,桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度H=0.80m,物块在桌面上运动时未与立柱相碰，取重力加速度大小为10m/s 2，解析：（1）这一问题比较简单，绳断开前,绳的张力即为物块所受的向心力,因为初速度与绳垂直,所以绳的张力只改变物块的速度方向,而速度大小不变,绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度可求出，设绳的伸直部分长为x ,则由牛顿第二定律得：xv m T 200=代入已知数值得：x =0.60m（2）选取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析平面上,然后由平抛运动的知识求解，如图13—8—甲所示,设绳刚要断开时物块位于 桌面上的P 点,并用A 点表示物块离开桌面时的位置, 先取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析 平面上,其位置用D 点表示,易知D 点应在直线PA 的延长线上,OD 即等于物块落地点与桌面圆心O 的水平距离,而AD 等于物块离开桌面后做平抛运动的 水平射程，即 gH v AD 20= 故20222)2(g H v x R x OD +-+= 代入已知数值得物块落地点到桌面圆心O 的水平距离 m OD 47.2=例9：如图13—9所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球m 固定在边长为L,质量可忽略不计的等边三角形的顶点A 上，它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α,摆球可以绕固定轴图13—8BC 摆动，求摆做微小振动的周期，解析：若m 做微小振动,则其轨迹一定在过A 点,垂直于BC 的平面内的以O 为圆心,OA 为半径的圆弧上，因此我们可以作一个过A 点垂直于BC 的平面M,如图13—9—甲所示,将重力mg 沿M 平面和垂直于M 平面方向分解,则在平面M 内,m 的振动等效于一个只在重力αsin mg g m ='作用下简谐运动,摆长.2360sin L LL =︒='所以周期 αππsin 2322g Lg L T =''=例10：六个相同的电阻（阻值均为R ）连成一个电 阻环,六个结点依次为1、2、3、4、5和6,如图13—10 所示，现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为D 1、 D 2、…、D 5，现将D 1的1、3、5三点分别与D 2的2、4、 6三点用导线连接,如图13—10—甲所示，然后将D 2的 1、3、5三点分别与D 3的2、4、6三点用导线连接……依次类推,最后将D 5的1、3、5三点分别连接到D 4的2、4、6三点上，证明：全部接好后,在D 1上的1、3、两点间的等效是电阻为R 627724， 解析：由于连接电阻R 的导线,连接环D 之间的导线均不计电阻,因此,可改变环的半径,使五个环的大小满足：D 1<D 2<…<D 5.将图13—10—甲所示的圆柱形网络变成圆台形网络,在沿与底面垂直的方向将此圆台形网络压缩成一个平面,如图13—10—乙所示的平面电路图，现将圆形电阻环变成三角形,1、3、5三点为三角形的顶点,2、4、6三点为三角形三边的中点,图13—10—乙又变为如图13—10—丙所示电路图，不难发现,图13—10—丙所示的电路相对虚直线3、6具有左右对称性，可以用多种解法求，如将电路等效为图13—10—丁， A 1B 1以内的电阻R R B A 5411=A 2B 2以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 1914)2()2(111122=+++=A 3B 3以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 7152)2()2(222233=++⋅+=A 4B 4以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 265194)2()2(333344=++⋅+=A 5B 5以内的电阻R RR R R R R R B A B A B A 627724)2()2(444455=++⋅+=即为D 1环上1、3两点间的等效电阻，例11：如图13—11所示,用12根阻值均为r 的相同的电阻丝构成正立方体框架，试求AG 两点间的等效电阻，解析：该电路是立体电路,我们可以将该立体电路“压扁”,使其变成平面电路,如图13—11—甲所示，考虑到D 、E 、B 三点等势,C 、F 、H 三点等势,则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图,所以AG 间总电阻为 r r r r R 65363=++=例12：如图13—12所示,倾角为θ的斜面上放一木 制圆制,其质量m=0.2kg,半径为r,长度L=0.1m,圆柱 上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈,线圈平面与斜面 平行,斜面处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度 B=0.5T,当通入多大电流时,圆柱才不致往下滚动？解析：要准确地表达各物理量之间的关系,最好画出正视图,问题就比较容易求解了，如图13—12—甲所示,磁场力F m 对线圈的力矩为M B =NBIL ·2r ·sin θ,重力对D 点的力矩为：M G =mgsin θ,平衡时有：M B =M G 则可解得：A NBL mg I 96.12== 例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13所示,每段电阻丝的电阻均为r,试求A 、B 间的等效电阻R AB ，解析：设想电流A 点流入,从B 点流出,由对称性可知,网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势,故可撤去这根电阻丝,而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路，（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值,所以 r r r r r 3232=⋅=' 横线每根电阻仍为r,此时将立体网络变成平面网络，（2）由于此网络具有左右对称性,所以以AB 为轴对折,此时网络变为如图13—13—乙所示的网络，其中横线每根电阻为21r r =竖线每根电阻为32r r r ='='' AB 对应那根的电阻为r r 32=' 此时由左右无限大变为右边无限大， （3）设第二个网络的结点为CD,此后均有相同的网络,去掉AB 时电路为图13—13—丙所示，再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻）则N B A R R =',网络如图13—13—丁所示，此时 1111111333222------++=+⋅+⋅=+''''+=n n n n n n n R r rR r R r R r r R r R r r R当∞→n 时,R n =R n －1 ∴ 上式变为n n n n n R r rR r R r rR r R 3432++=++=由此解得：r r R n 6213+= 即r r R B A 6213+=' 补上AB 竖线对应的电阻r 32,网络变为如图13—13—戊所示的电路， r r r r r r R r R r R B A B A AB 21212)321(21)213(221321)213(262133262133232322=++=++=+++⋅=+⋅='' 例14：设在地面上方的真空室内,存在匀强电场和匀强磁场,已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0V/m,磁感应强度的大小B=0.15T,今有一个带负电的质点以v =20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m 以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表），解析：因为带负电的质点做匀速直线运动,说明此质点所受的合外力为零，又因为电场强度和磁感应强度的方向相同,所以该带电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面,且必受重力作用,否则所受合外力不可能为零,设质点速度方向垂直纸面向里，由此该带电质点的受力图如图13—14所示，由平衡条件有有水平方向：θθsin cos Bqv Eq = ①在竖直方向：mg Bqv Eq =+θθcos sin ②解得：34tan =θ 34arctan =θ q/m=2 同理,当质点速度方向垂直纸面向外时受力情况如图13—14—甲,由平衡条件可解出θ值与上式解出的一样,只是与纸平面的夹角不同,故此带电质点的电量与质量之比为2，磁场的所有可能方向与水平方向的夹角都是 34tan 34arctan ==θθ或针对训练1．如图13—15所示,一个重1000N的物体放在倾角为30°的斜面上,物体与斜面间的摩擦系数μ为1/3，今有一个与斜面最大倾斜线成30°角的力F作用于物体上,使物体在斜面上保持静止,求力F的大小，2．斜面倾角θ=37°,斜面长为0.8m,宽为0.6m,如图13—16所示，质量为2kg的木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,在平行于斜面方向的恒力F的作用下,沿斜面对角线从A 点运动到B点（g=10m/s2,sin37°=0.6），求：（1）力F的最小值是多大？（2）力F取最小值时木块的加速度，3．质量为0.8kg的长方形木块静止在倾角为30°的斜面上,若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物体,它仍保持静止,如图13—17所示,则木块所受摩擦力大小为,方向为，4．如图13—18,四面体框架由电阻同为R的6个电阻连接而成,试求任意两个顶点AB间的等效电阻，5．如图13—19所示三棱柱由电阻同为R的电阻线连接而成,试求AB两个顶点间的等效电阻，6．将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状,如图13—20所示,每段电阻丝电阻均为r，试求：（1）AB两点间等效电阻R AG；（2）AD两点间等效电阻R AD，。
物理习题中的三维问题的处理方法
图1B物理习题中的三维问题的处理方法湖南省浏阳市一中（410300）张学明同学们一般习惯于解答一维问题（如直线运动）和二维问题（如平抛运动），对于三维问题往往感到比较困难，其原因在于三维问题要求有比较强的空间想象能力。
如何处理三维问题呢？降维法是一种常见的处理方法。
1利用三视图，将三维问题转化为二维护问题三视图是从三个不同的侧面观察和描述立体图形的一种重要手段。
它包括正视图形、侧视图、俯视图。
通过三视图可以将三维问题转化为二维问题。
例1：如图1，一个矩形线圈abcd 绕其对称轴OO ’轴在水平向右的匀强磁场中以角速度ω旋转，已知磁场的磁感应强度为B ，线圈的电阻为R ，ab=L 1,bc=L 2。
线圈的起始位置与磁场方向平行。
当线圈旋转600的角度时，求线圈所受的安培力矩M.解析：为了便于求解，我们采取俯视图（图2） (1)在转到600的位置时，线圈的感应电动势230sin 22101ωL BL v BL E ==, 感应电流RL BL i 221ω=故安培力矩RL L B i L BL L i BL LF M 22222222122121ω====2利用等效法将三维问题二维问题例2：如图，质量为m ，带电量为q 的粒子，从坐标轴原点O沿+y 方向以速度v 匀强磁场，电场强度为E ，磁感应强度为B 。
当带电粒子从原点O 出发到第一次与xoz 平面相交于P 点，OP 间的距离为多大？用运动的分解的等效方法将其转化为二维问题。
粒子在平行于xoy 平面内作匀速圆周运动，内作初速度为0的匀加速运动。
作圆周运动的半径为R =qB m T π2=，粒子到达P 点时，所用的时间qB m t π=，在轴方向的位移为qBmvR x 22==A CBO ’ α在oy 方向的位移2(21qBm m Eq y π=故OP 之间的距离2222222224)2(qB v m q B m E y x OP +=+=π3选择适当的截面图，将三维问题转化为二维问题例3：三个半径为r ,质量相等的球放在一个半球形碗内，现把第四个半径也为r 质量也相同的球放在这三个球的正上方，要使四个球都静止，大的半球形碗的半径应该满足什么条件？解：设A 、B 、C 、D 为四个球的球心，构成一个正四面体。
数学中的降维方法
数学中的降维方法降维方法是数学中的一种重要技术，它可以将高维数据转化为低维数据，从而更好地进行数据分析和可视化。
在本文中，我们将介绍几种常见的降维方法，并探讨它们的优缺点。
最简单的降维方法是主成分分析（PCA）。
PCA是一种线性降维方法，它通过找到数据中的主要方向来减少数据的维度。
具体来说，PCA将数据投影到一个新的坐标系中，使得新坐标系的第一维度包含最大的方差，第二维度包含次大的方差，以此类推。
这样，我们就可以将高维数据转化为低维数据，并保留了大部分的信息。
但是，PCA只适用于线性数据，并且可能会忽略一些非线性关系。
局部线性嵌入（LLE）是一种非线性降维方法。
LLE通过保持数据之间的局部关系来减少数据的维度。
具体来说，LLE将每个数据点表示为其最近邻点的线性组合，并将这些线性组合作为新的低维表示。
这种方法可以很好地处理非线性数据，并且可以保留数据的局部结构。
但是，LLE需要计算大量的最近邻点，并且可能会受到噪声和异常值的影响。
t-SNE是一种流行的降维方法，它可以将高维数据可视化为二维或三维图形。
t-SNE通过保持数据之间的相似性来减少数据的维度。
具体来说，t-SNE将高维数据映射到低维空间中，并尝试使得相似的数据点在低维空间中距离更近，不相似的数据点距离更远。
这种方法可以很好地可视化高维数据，并且可以发现数据中的聚类结构。
但是，t-SNE计算复杂度较高，并且可能会受到初始化和参数选择的影响。
降维方法是一种重要的数学技术，可以帮助我们更好地理解和分析高维数据。
不同的降维方法有不同的优缺点，我们需要根据具体的数据和问题选择合适的方法。
巧用“降维”思想解决物理立体图难题
数理出 解题研究2019年第13期总第434期第(1)个问题是在步骤④中可以减小对下落时间/测量的误差的类型是什么？时间测量自然属于人为操作 快慢和读数问题带来的误差，因此属于偶然误差.第(2)个问题是在本实验要求小钩码的质量m 远远小于重锤的质量M,其目的是什么？给出了四个选项，是 一种判断性的问题,可以通过对自由落体的特征进行分析，因为重力加速度较大，造成下落〃高度的时间较短, 测量时间越短实验误差自然就越大，要使重锤下落的时 间变得更长，就必须采取减小系统下降的加速度，因此小 钩码的质量m 远远小于重锤的质量M.第(3)个问题是探究轮的摩擦阻力会引起实验误差 问题.是一种开放性的问题,本问较为巧妙，也代表着命题的趋势，考生需要弄清减小摩擦阻力变化的原理方法， 橡皮泥粘在什么物体上，其作用的原理是什么,这都需要学生在平时从实验操作中用心体会的，这也是在高考备考中必须具备的物理实验素养.第(4)个问题是根据测量数据(在题干中已经给出)进一步处理，目的是让学生能够通过牛顿第二定律进行思考，通过公式简单的变形和分析得出相应的答案，分析 简单而基础.在2018年江苏的高考物理试卷中类似例3的试题还有许多，如第10题,该题是对测量某干电池的电动势和 内阻的物理实验的考查，属于电学的基本实验，其目的在于考查学生的实验数据处理能力和误差分析能力，在这里就不再一一细说了.通过上述实验案例就可以对今天的备考有清晰的脉络.在注意“双基”的同时，应该去发展学生的物理思维的 方法，比如去分析实验数据、比较不同实验结果、抽象出 实验蕴含的物理规律等等，其中在物理备考过程中，通过 基本实验的提炼让抽象的物理概念形象化，让学生在备考中掌握对物理规律以演绎、归纳与概括的方法，从而达成提升学生物理学科的核心素养.总之，高考备考过程是将物理基本概念、基本规律重新打磨的过程，只有在这个过程中要求学生的勤于思考,通过学生在备考中积极的思考的过程,才能务实的挖掘出物 理概念和原理的内涵与夕卜延，才能在高考中蟾宫折桂.参考文献：［1］ 朱亚军.2017年江苏高考物理试卷评析与2018 年高三物理复习建议［J ］.中学教学参考,2017 (23)： 34 - 37.［2］ 金溢.近五年江苏高考物理实验题的特点分析与复习策略［J ］.中学物理教学参考,2017(23) ：47 -49.［3］ 张丹彤.高考物理实验试题的创意思想对高中物 理实验教学的启示——以江苏省高考物理试题为例［J ］. 物理教师,2015,36(11) ：84 -88.［责任编辑：闫久毅］巧用“降维”思想 解决物理立体图难题钱启明(江苏省启东市第一中学226200)摘要:在高中物理当中，很多题目组成都要用到三维立体图，这就给很多同学理解，分析以及解题造成 了很大的困难，为了让立体图变得更加“亲切”，同学们应该掌握如何将三维图简化的方法，让三维图不再是同 学们解题路上的“拦路虎”.关键词：立体图；降维思想中图分类号:G632 文献标识码：a 文章编号：1008 -0333(2019)13 -0074 -02三维视图问题对学生空间思维能力和综合处理问题 能力要求高，多数同学会觉得问题所描述的情况无法想象，无法熟练的运用知识来解决这类问题.学生在数学中已经了解了三视图的方法，所以需要做的就是引导学生 运用这个方法解决物理问题.一、运动方向一分为二，化繁为简在很多力学问题当中，物体运动除了直线外,会遇到某些特殊的运动轨迹，这样的运动方式让受力分析成为难点，我们不妨换一个思路,将复杂运动分解为若干简单收稿日期:2019-02 -05作者简介:钱启明(1982. 4 -),男，江苏省启东人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.—74—2019年第13期总第434期数理化解题研究运动，化繁为简，让复杂运动不再复杂.例1某人骑电动车车在圆筒形内沿着筒壁骑行.电动车加速行驶直到可以在筒壁上以匀速骑行，如图1所示.如果电动车(包括人)的总质量为M,筒壁半径为R,匀速率行驶的速率为”，每行驶一圈上升爪求电动车匀速行驶时的向心力.解析电动车的速度"，可分解为水平分速度v,和垂2直分速度为”2，则向心加速度为a=乍.问题的关键是将运动轨迹展开为一个面，如图2所示，其倾角为a,倾角的余弦为沁=7^帶+产向心加速度为心知~2"*-)，向心力F=Ma=Mv2 V(2tt R)2+h24tt2R (4tt2/?2+/i2)点拨从本题我们可以了解，运动不仅包括直线运动还包括各种复杂运动，而我们要做的就是删繁就简，将复杂问题简单化,在分析当中抽丝剥茧，这就需要同学们掌握数学知识和物理知识，以便从容应对此类问题.二、立体电阻分解，一目了然物理的电磁学当中少不了与电阻打交道，平面的电阻电路图是非常常见的，但是如果遇到立方形的电阻是不是还能从容应对呢，这就需要我们用一定的技巧进行简化，让立体变平面.例2如图3所示，某立方形是用12根阻值均为r的电阻丝构成.求立方形当中4点和G点之间的等效电阻.解析我们看到电路是由立方形组成，现将该立体电路“压平”成平面电路图，如图4所示.D图4由于到D、E、B三点等势,C、F、H三点等势,则立体电路可等效为如图5所示的电路图，所以A点和G点之间总电阻为点拨电磁学问题是物理学的重中之重，掌握电磁学的各种解题方法是非常必要的，但是同学又不能拘泥于物理学当中，这里就非常典型的运用了数学当中的几何知识，是立体变平面的典型问题.三、斜面变平面，信手拈来此问题的图形是三维的,不容易掌握物体的加速度，难度增加•如果我们能通过三视图将三维变成二维，问题就会容易得多.我们可以将立体图用三视图法，将分解成由两个运动轨迹的合体,这样解决起来可谓信手拈来.例3如图6(1)所示光滑带有斜度的平面长为a,宽为b,斜度为a,现有一个圆球在斜面上方P点水平抛出，要想使圆球从Q点离开，则需要圆球的初速度％是解析此题可以分解为两个方向，水平方向(如图6 (3))为匀速直线运动，速度为％.沿斜面向下方向(如图6(2))为初速度为0的匀加速运动，加速度为a=gsina,则a=*gt2sina, b=v o t,联立两个式子解得：％=b点拨三维运动分解为两个或者若干个平面运动，是解决此类问题的关键所在，也是让复杂问题简单化的“黄金钥匙”,深刻理解题意是前提,熟练掌握数学、物理知识是基础，灵活的思维是途径，正确分解图形是“钥匙”.以上三个例题分别介绍了三种“降维”方法，在以后的学习当中还需要同学自己摸索，自己探究，把数学几何思维和物理结合起来，不再让立体图成为难点，化繁为简，数形结合，以发散的思维看问题，这是学习的正确路径之所在.参考文献：［1］王正青.高中物理中解题方法归纳探究［J］.数理化解题研究,2017(22).［2］周杨.关于新课改高中物理解题方法探究［J］.商,2015(5)：277,［责任编辑：闫久毅］—75—。
一 力学7(立体空间的平衡法、降维法)—2021届高三物理一轮复习讲义
力学7（立体空间的平衡法、降维法）1.立体空间的平衡何题（共点不共面的平衡力）核心思路：降维法+转换视角①降维法：把力投影到某些轴（或方向）上去，降低问题的维度；或者选取恰当方式, 把立体图展开为平面图；②转换视角：正视、俯视、侧视图，从不同角度观察同一空间几何体，做出受力的示意图（或力的投影图）；③注意事项：（1）有多个接触面时，求弹力或摩擦力一定要充分考虑力的个数；（2）情景模拟+现场操作；利用纸、笔、书、桌等工具模拟，化抽象为形象。
1.（1）（多选）如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上。
若三条绳长度不同，下列说法正确的有（）A.三条绳中的张力都相等B.杆对地面的压力大于自身重力C.绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零D.绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力（2）公园有这样一根电杆，一条电缆线由北向南绕过电杆转向由东向西．电缆与电杆的接触点为P。
固定电杆的钢索一端固定在P点，另一端固定在地面上，钢索、电杆与东西方向的电缆在同一竖直平面内．设电缆线水平，南北、东西方向的电缆对电杆的拉力分别为F1、F2，且大小相等，钢索对电杆的拉力为F3。
已知植于土中的电杆竖直，下列说法正确的是（）A、F1、F2和F3的合力竖直向下B 、地面对电杆的作用力竖直向上C 、F 1、F 2和F 3在水平面内的合力可能为0D 、F 1、F 2和F 3在水平面内合力的方向偏向北方一侧（3）如图所示，起重机将重为G 的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均为60°，则每根钢索中弹力大小为（ ）A ．G/4B ．6G 3C ．4G 3 D ．G/22. （1）如图所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P 在支撑点M 、N 处受力的方向，下列说法正确的是（ ）A ．N 处受到的支持力竖直向上B ．M 处受到的支持力竖直向上C ．N 处受到的摩擦力沿水平方向D ．M 处受到的摩擦力沿MN 方向（2）如图所示的四角支架经常使用在架设高压线路，通信的基站塔台等领域，现有一质量为m 的四角支架置于水平地面上，其四根铁质支架等长，与竖直方向均成θ角，重力加速度为g ，则每根支架对地面的作用力大小为（ ）A.θsin 4mg B. θcos 4mg C. θmgtan 41 D. mg 413. 如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m 的照相机。
降维思维法
第六讲降维思维法一、降维思维含义降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，从而容易找到各物理量之间的关系正确解决问题。
（实质：划立体为平面-------高中只有平面规律）二、降维思维分类1、“力”的降维：分解定律---平行四边形例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？2、“运动”的降维：分解定律---平行四边形例2：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。
如果演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为R，匀速率行驶的速率为v，每绕一周上升的距离为h，求摩托车匀速走壁时的向心力。
课后作业 姓名______________1、如图所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
正方形物块A 的厚度△h=10cm ，质量m=2kg ，物体A 与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s 2。
求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力，使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？2、一质量m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。
两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动，求推力是多大？3、如图所示，将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。
2021届一轮复习 物理解题方法导练 降维法(含解析)
1．如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心 处放一个小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘间的动摩擦因数为 ，假设木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大不能超过（ ）
A．2 rad/sB．8 rad/sC． D．
（1）击打白球后，白球与黑球发生碰撞，可以使黑球进入不同的洞口。请在以下两种情况下，画出白球的初速度方向以及碰前瞬间的位置，作图时请画出必要的辅助线。
a.使黑球进入1号洞（在图2中作图）；
b.使黑球进入2号洞（在图3中作图）。
（2）黑球进入2号洞的情况比进入1号洞的情况复杂一些。在处理复杂的物理问题时，常将其分解为简单的问题，如运动的分解、力的分解等等。将这些矢量在相互垂直的x、y两个方向上进行分解，然后分别进行研究。在黑球进入2号洞的情境下，若已知两球的质量均为m，碰前瞬间白球的速度大小为v0，碰后瞬间黑球的速度大小为v，v0与v方向的夹角θ= 53o，求两球碰撞过程中损失的机械能。（已知：sin53o= 0.8，cos53o= 0.6）
（______）
11．动量定理可以表示为，其中力F和动量p都是矢量．在运动动量定理处理二维问题时，可以在相互垂额直的x、y两个方向上分别研究．
如图所示，质量为m的小球斜射钢板上，入射的角度是，碰撞后弹出的角度也时，碰撞前后的速度发小都时v，碰撞过程中忽略小球所受重力，碰撞时间为已知．求小球对钢板的作用力F．
D．地面对杆的支持力与杆的重力是一对作用力和反作用力
5．如图所示，倾角θ的斜面上有一重为G的物体，在与斜面底边平行的水平推力作用下在斜面上做匀速直线运动，则
A．物体可能沿水平方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运动
“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小共8页word资料
“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小求解二面角大小问题是高考的热点问题.传统解题方法主要有定义法、三垂线法、垂面法、异面直线的距离法、法向量法.因此其求解中作图思维与推理具有一定难度.本文运用“降维类比法”，在三角函数余弦和角公式基础上类比出的二面角大小求解的“通用”公式，把空间形体转化为平面图形有关角的计算，能给予学生一定的解题思维程序，降低题目难度与思维难度，具有直观、简捷、套用明快的优点.1问题提出有关三面角公式求解二面角大小问题，一些文献作了探究，但是所推出的公式形式不一，也难以记忆【1】【2】【3】.笔者备课中研究发现，两角和与差的余弦公式cos（α+β）=cosα?cosβ-sinα?sinβ也是求二面角大小的“计算公式”（“三线四角”公式）的一种特例.这种由三角函数余弦和角公式“降维类比”（即三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象）出二面角大小计算“通用”公式，只需计算出同一顶点发出的三个线线间角，即可快速求出二面角大小.图1三角函?涤嘞液徒枪?式如图1，OA、OB、OC是一平面内共端点的三条射线，记∠AOB=θ1，∠COB=θ2，∠AOC=θ，直线EF与OB垂直（垂足为H），且直线EF分别与射线OA、OC相交于E、F两点.则由三角函数和角公式有：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1?cosθ2-sinθ1?sinθ2.考虑到直线EHF，∠EHF=180°，则有：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cos180° 即：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cos∠EHF （*）图2三面角余弦定理如图2，将图1中射线OA、OC分别围绕OB旋转到任意位置，形成“三线四角”（共点三条射线两两所成的面角以及它们所构成的一个二面角）.类比公式（*），可得二面角A-OB-C（记二面角大小为α）的一个“通用”计算公式（简称“三线四角”公式）.此公式又称为三面角余弦定理.cosθ=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cosα（**）略证在△EOF中，由余弦定理得：cos∠AOC=OE2+OF2-EF22OE?OF.在△EHF中，由余弦定理得：EF2=EH2+FH2-2EH?F Hcos∠EHF.所以有：cos∠AOC=OE2+OF2-EH2-FH2+2EH?FHcos∠EHF2OE?OF=（OE2-EH2）+（OF2-FH2）2OE?OF+EH?FHOE?OFcos∠EHF=2OH22OE?OF+EH?FHOE?OFcos∠EHF=cos∠AOB?cos∠BOC+sin∠AOB?sin∠BOC?cos∠EHF即：cosθ=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cosα（**）cosα=cosθ-cosθ1?cosθ2sinθ1?sinθ2（***）即三面角余弦定理内涵表述：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积.同样可推出三面角正弦定理：三面角正弦定理三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比.如图2，二面角A-OB-C大小记为α，二面角A-OC-B大小记为β，二面角B-OA-C大小记为γ，则有sinαsinθ=sinβsinθ1=sinγsinθ2.实际解决有关高考试题二面角问题时，只要把求二面角的问题转化为考虑三个三角形中角的三角函数问题求解即可.（***）公式方向明确，方法简单.通过公式（**），也可速证最小角定理.图3最小角定理如图3，设A为平面α上一点，过A的直线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α上的一条直线，则∠OAC=θ，∠BAC=θ2，∠OAB=θ1，三角的余弦关系为：cosθ=cosθ1?cosθ2.此式又叫最小角定理（爪子定理），主要用于求平面斜线与平面内直线成的最小角.略证因O-AB-C二面角α=90°，由（**）即得：cosθ=cosθ1?cosθ2.2公式运用“三线四角”公式，将三维空间的对象降到二维（或一维）空间思考，它以最简约、最概括的方式呈现.不仅促进学生对原有“二面角”知识透彻的理解，还可以帮助学生更快捷地获取与弄清二面角概念及其计算公式的内涵和外延，理解结论的由来与适用范围，达到二面角知识学习的精练化、条理化、网络化，从而培养了学生的创新精神和创新意识.应用公式求二面角大小时，只需在棱上任找一点，分别在两个半平面内各引一条射线，使之与棱形成共点三线，由此共点三线两两所成面角.计算三个面角的三角函数值，即可通过公式快速求出相应二面角大小，从而减少作辅助线求解二面角的推理难度.2.1求两相交直线的夹角大小此类题一般条件是已知一个二面角大小及“三线”的二个面角，通过“三线四角”公式求解，求其另一个面角.解题时三面角顶点的确定是关键，应在所求二面角的交线上.有时也可依据三面角正弦定理直接求解.例1（2017年新课标Ⅲ卷理第16题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°；其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）图4解析如图4.由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D.BE为底面圆直径，连结DE，则DE⊥BD，DE∥b.连结AD，等腰ΔABD中，不妨设AB=AD=2.（1）当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=2.又在Rt△BDE中，BE=2，DE=2，故cos∠FBC=cos∠DEC=22，因二面角F-BC-A大小α=90°，由（**）即得：cos∠ABF=cos∠ABC?cos∠FBC=22.22=12，∠ABF=60°，即AB与b成60°角.故②正确，①错误.（2）因A-BC-D二面角大小α=90°，由（**）即得：cos∠ABD=cos∠ABC?cos∠DBC=22cos∠DBC，当∠DBC=0°，cos∠ABDmax=22?1=22，（∠ABD）min=45°，即直线AB与a所称角的最小值为45°，故③正确.∠DBC=90°，cos∠ABDmin=0，（∠ABD）max=90°，即直线AB与a所成角的最大值为90°，故④错误.因此正确的说法为②③.2.2求异面直线的夹角大小此类题一般条件是通过直线平移，转化为已知一个二面角大小及“三线”间二个面角，从而转化为“求两相交直线的夹角大小”类型，再通过“三线四角”公式求解.有时也可借助异面直线的距离公式d=l2-m2-n2±2mncosθ求异面直线的夹角θ大小（其中AC 和BD互为异面直线，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=d，CD=l，AC=m，BD=n）.例2（2017年新课标Ⅱ卷理第10题）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）.A.V=32B.155C.105D.33图5解析如图5，设异面直线AB1与BC所成角记为θ（θ∈（0°，90°]），只要将直线AB1平移过点B（此时平移后直线为A2B）即可.此时二面角A2-BB1-C1大小α=120°.cos∠AB1B=15，sin∠AB1B=25，cos（180°-∠C1BB1）=-cos∠C1BB1=-12，sin（180°-∠C1BB1）=12，由公式（**）得：cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα=cos∠AB1Bcos（180°-∠C1BB1）+sin∠AB1Bsin（180°-∠C1BB1）?cos120°=-[SX （]1[][KF（]5[KF）][SX）]?[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]+[SX（]2[][KF （]5[KF）][SX）]?[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]（-[SX（]1[]2[SX）]）=-[SX（][KF（]10[KF）][]5[SX）].即cosθ=105.因此正?_答案为C.2.3求二面角的夹角大小“三线四角”公式求解二面角大小，一般比“作角求角法”与“法向量法”显得更简洁.此类题一般条件是已知三面角的“三线”的三个面角，求其中二面角的大小.解题识别关键是通过三角函数关系求出三个面角大小，直接代入“三线四角”公式求解即可.有时证明两平面垂直关系也可转换成通过“三线四角”公式求平面二面角的夹角大小为90°即可，并且省去推理证明过程的麻烦.例3（2017年新课标Ⅰ卷文第18题）如图6，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.图6（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.解析（1）设二面角B-AP-D大小为α.因为∠BAP=∠CDP=90°，AB∥CD，所以AB⊥AP，CD⊥DP，AB⊥DP，由公式（***）得：cosα=cos∠BAD-cos∠BAP?cos∠DAPsin∠BAP?sin∠DAP=cos90°-cos90°?cos∠DAPsin90°?sin∠DAP=0，α=90°，即平面PAB⊥平面PAD.（2）设二面角A-PB-C大小为α.由（1）知，四边形ABCD为矩形.设PA=PD=AB=DC=1，则易得PB=PC=AD=BC=2，由公式（***）得：cosα=cos∠ABC-cos∠ABP?cos∠CBPsin∠ABP?sin∠CBP=0-22?120-22?3 2=-33.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
机器学习技术中的降维算法详解
机器学习技术中的降维算法详解在机器学习领域中，降维算法是一种应用广泛且重要的技术。
它可以用来减少数据集特征的维度，以便更好地理解数据并加速机器学习算法的训练和应用。
本文将详细介绍降维算法的背景、原理和常见的几种方法。
1. 降维算法背景随着机器学习技术的快速发展，现代数据集的维度也越来越高。
高维度数据集在数据处理和分析中会带来许多挑战。
首先，高维度数据增加了计算和存储资源的消耗。
其次，高维度数据更容易出现维度灾难问题，即在高维空间中，数据点之间的距离变得更长，导致算法的性能下降。
因此，降维算法成为了解决高维数据挑战的重要工具。
2. 降维算法原理降维算法的原理是通过保留尽可能多的数据信息，同时减少数据集特征的数量。
这样做的目的是在尽可能降低数据集维度的同时，最大程度地保留数据集的结构和信息。
常见的降维算法有两种方法：特征选择和特征提取。
特征选择是选择原始特征集中最相关的特征，以降低数据集的维度。
这种方法是基于特征之间的相关性进行筛选，保留那些对目标变量具有最大相关性的特征。
常见的特征选择算法有相关系数算法、卡方检验算法和信息增益算法。
特征提取是通过线性或非线性变换将原始特征转化为新的特征集。
这些新的特征通常被称为主成分或因子。
特征提取方法可以捕捉到原始数据集中的主要结构和相关性，减少特征的数量。
常见的特征提取算法有主成分分析（PCA）、因子分析（FA）和独立成分分析（ICA）等。
3. 常见的降维算法（1）主成分分析（PCA）：PCA是最常见和最经典的降维算法之一。
它通过线性变换将高维数据映射到低维空间中的主成分方向上。
在PCA中，主要思想是选择激发最大方差的新的特征向量。
这意味着将原始数据向量投影到新的特征空间中，并确保变异性最大。
（2）因子分析（FA）：FA是一种常见的特征提取方法，它用于探索多个观测变量的潜在结构。
FA通过线性组合原始变量来构建新的因子，以解释原始变量之间的协方差和共变性。
这种方法被广泛应用于心理学、经济学和社会科学等领域。
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高中奥林匹克物理竞赛解题方法十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放 一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平 行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运 动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速 运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力 四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四 个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们 把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面 问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面 观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？ 解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π① 圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径 R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
正方形物块A 的 厚度△h=10cm ，质量m=2kg ，物体A 与墙之间的动摩擦因 数μ=0.2，取g=10m/s 2。
求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力，使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A 、B 所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析A 、B 间压力和A 对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A 物体沿墙水平运动时的受力情况。
（1）通过受力分析可知墙对物块A 的静摩擦力大小等于物块A 的重力。
（2）由于物体A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。
又因为物体受竖直向下的重力，所以推力F 方向应斜向上。
设物体A 对墙的压力为N ，则沿垂直于墙的方向，物体B 受到物体A 的支持力大小也为N ，有θμtan ,Mg N N f ==而又因为43tan 53sin ==++∆=θθ所以R L R h 在与墙面平行的平面内，对物体A 沿竖直方向 做受力分析，如图13—3—甲所示有mg F =αsin沿水平方向做受力分析，有 ma f F =-αcos由以上各式，解得 )5/5a r c s i n (,520)()(22==++=a N ma f mg F因此，对物体A 施加的外力F 的大小为205N ，方向沿墙面斜向上且与物体A 水平运动方向的夹角为).5/5arcsin(例4：一质量m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13—4所示，钢件的重心与两柱等距， 两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件 与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。
两圆柱各绕自己的轴线做 转向相反的转动，角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的 方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动，求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力 的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面 在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到 相对运动的方向，而且钢件的受力不在同一平面内，所以考 虑“降维”，即选一个合适的角度观察。
我们从上往上看，画出俯视图，如图13—4—甲所示。
我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度0υ，左边圆住有向右的速度ωr ,则钢件相对于圆柱的速度是0υ与ωr 的矢量差，如图中△v ，即为钢件相对于圆柱的速度，所以滑动摩擦力f 的方向与△v ，的方向相反，如图13—4—甲所示。
以钢件为研究对象，在水平面上受到推力F 和两个摩擦力f 的作用，设f 与圆柱轴线的夹角为θ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有22000)(22cos 2ωθr v v f vv ff F +=∆== ①再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出F N ， 如图13—4—乙所示，钢件受重力G 和两个向上的支 持力F N ，且G=2F N ，所以把N N F f GF μ==,2代入①式，得 推力N r v v mgr v v F F N 2)(22)(222002200=+⋅=+⋅=ωμωμ例5：如图13—5所示，将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。
解析：要求张力，应在链条上取一段质量元m ∆进行研究。
因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。
作出俯视图13—5—甲，设质量元m ∆两端所受张力为T ，其合力为F ，因为它所对的圆心角θ很小，所以2sin 2θT F =，即F=T θ。
再作出正视图13—5—乙，质量元受重力m ∆g 、支持力N 和张力的合力F 而处于平衡状态，由几何知识可得：2cot 22cotαπθα⋅=⋅∆=Mg mg F所以链条内的张力2cot 22απ⋅==Mg F T 例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。
如果演员和摩托车的总质量为M ，直壁半径为R ，匀速率行驶的速率为v ，每绕一周上升的距离为h ，求摩托车匀速走壁时的向心力。
解析：摩托车的运动速度v ，可分解为水平速度v 1和竖直分速度为v 2，则向心力速度为Rv a 21=。
处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面，其倾角的余弦为22)2(2cos hR R a +=ππ，如图13—6—甲所示。
所以有v hR R v v 221)2(2cos +==ππα向心加速度为：222221))2(2(h R R R v R v a +==ππ 向心力 )4(422222h R RMv Ma F +==ππ 例7：A 、B 、C 为三个完全相同的表面光滑的小球，B 、C 两球各被一长为L=2.00m 的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O 为原点作一直角坐标系z Oxyz ,轴竖直向上，O x 与两球的连心线重合，如图13—7所示。
今让A 球射向B 、C 两球，并与两球同时发生碰撞。
碰撞前，A 球速度方向沿y 轴正方向，速率为s m v A /00.40=。
相碰后，A 球沿y 轴负方向反弹，速率A v =0.40m/s 。
（1）求B 、C 两球被碰后偏离O 点的最大位移量；（2）讨论长时间内B 、C 两球的运动情况。
（忽略空气阻力，取g=10m/s 2） 解析：（1）A 、B 、C 三球在碰撞前、后的运动发生 在Oxy 平面内，设刚碰完后，A 的速度大小为A v ，B 、 C 两球的速度分别为B v 与C v ，在x 方向和y 方向的分速 度的大小分别为Bx v ，Cy Cx By v v v ,和，如图13—7—甲所示， 由动量守恒定律，有0=-Bx Cx mv mv ①A Cy By Ax mv mv mv mv -+= ②由于球面是光滑的，在碰撞过程中，A 球对B 球的作用力方向沿A 、B 两球的连心线，A 球对C 球的作用力方向沿A 、C 两球的连心线，由几何关系，得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==6tan 6tan ππCy Cx By Bx v v v v ③ 由对称关系可知 Cy Bx v v = ④解①、②、③、④式可得 s m v v Cy Bx /27.1==s m v v Cy Bx /20.2==图13—7甲由此解得 s m v v Cy Bx /54.2==设C 球在x >0, y>0, z >0的空间中的最大位移为,OQ Q 点的z 坐标为z Q ，则由机械能守恒定律可写出Q C m g z mv =221 ⑤ 所以 gv z CQ 22= 代入数值解得 z Q =0.32m而Q 点到O z 轴的距离为 )2()(22Q Q Q z L z z L L QD -=--=所以C 球离O 点的最大位移量 Q Q Lz OD z OQ 222=+= ⑥代入数值，得 m OQ 13.1= ⑦由对称性，可得B 球在0,0,0>><z y x 的空间的最大位移量OP 为m OQ OP 13.1== ⑧（2）当B 、C 两球各达到最大位移后，便做回到原点的摆动，并发生两球间的碰撞，两球第一次返回O 点碰撞前速度的大小和方向分别为s m v Bx /27.1= 方向沿正x 轴方向By v =2.20m/s 方向沿y 轴方向 s m v Cx /27.1= 方向沿正x 轴方向Cy v =2.20m/s 方向沿y 轴方向设碰撞后的速度分别为11C B v v 和，对应的分速度的大小分别为x B v 1、y B v 1、x C v 1和y C v 1，由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿x 轴方向，故碰撞后，沿y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的），即y B v 1=By v 方向沿负y 轴方向 ⑨ y C v 1=Cy v 方向沿负y 轴方向 ⑩碰撞过程中，沿x 轴方向的动量守恒，则 Cx Bx x B x C mv mv mv mv -=-11因为Cx Bx v v = 所以x B x C v v 11=即碰撞后两球在x 方向的分速度大小也相等，方向相反，具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失。