矩形梁挠度计算
各类梁的弯矩剪力计算汇总表-剪力计算公式一览表
表 1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图注：外伸梁= 悬臂梁+ 端部作用集中力偶的简支梁2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-62）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-73）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-84）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-95 ）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14 ）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11均布荷载 q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载 F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－ 0.188×29.4×5）＝（－ 36.75）＋（ -27.64）＝－ 64.39kN ·mV B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－ 0.688×29.4）＝（－ 36.75）＋（－ 20.23）＝－ 56.98kN[例 2] 已知三跨等跨梁 l ＝ 6m ，均布荷载 q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩 [解 ] M1 ＝ 0.080×11.76×62＝33.87kN ·m 。
2）三跨等跨梁的内力和挠度系数 表 2-12注： 1．在均布荷载作用下： M ＝表中系数×4ql 2；V ＝表中系数× ql ； w 表中系数ql。
100EI Fl 3Fl ；V ＝表中系数× F ； w 表中系数 Fl。
100EI2．在集中荷载作用下： M ＝表中系数×[例 1] 已知二跨等跨梁 l ＝5m ，［解］f ⅜ 跨内帰大 支座弯矩 弯矩荷載图VCXAflM 2-0.5500 -O I OSo-O (O 5Q0.4500.550(Jf≡¾-0,050 -0.500 D.0751-0.050 -0.050 -0,0500,5000.050UHiD跨度中点挠度-0.45(J 0,990 -0.625 0.990L A 4-L073L054-0÷117-0.033 0.383D-0.C67 0.0170.433f t J÷175 -0.150一(L 1500.350-0,075 -0.0750.425ΓJ⅛3.175 -0.075-0.075-0,07S0.050-0.3131 0,677 -0.313λ1620.1370 + 175-o r osα 0,325-0.617-0.4170*033 0.5β3 0.033-0.5670.0830.5730.365 -0.208-O.on-0,017 0.885 -0.313 0.104-0.650 0.500"-W0.650-0,5750 0.575-0.425E146 1.6150.208 1.146- 0,075- 0,50C 0.5000.0750.075-0Λ69-0.9371U46L 615-0.469-0,675-0.375 0,6250.0500.0500.9900.677 L 0.3124 注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数× ql2；V＝表中系数× ql；w表中系数ql 100EI2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数× Fl；V＝表中系数× F；w 表中系数Fl。
挠度换算 L-1 计算结果
1 挠度换算： L-11.1 基本资料1.1.1 工程名称： ： 工程一1.1.2 弹性挠度 fd ＝ 2mm ； 中梁弹性刚度增大系数Bk ＝ 1.5，边梁 Bk ＝ (1 + Bk) / 2 ＝ 1.251.1.3 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值 Mk ＝ 50.00kN ·m按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值 Mq ＝ 40.00kN ·m1.1.4 受拉区纵筋实配面积 As ＝ 628mm ，受压区纵筋实配面积 As' ＝ 0.3As ＝ 188mm1.1.5 矩形截面，截面尺寸 b ×h ＝ 200×400mm ； ho ＝ 362.5mm ；计算跨度 lo ＝ 3000mm1.1.6 混凝土强度等级为 C25； ftk ＝ 1.779N/mm ，混凝土弹性模量 Ec ＝ 27871N/mm ； 钢筋弹性模量 Es ＝ 200000N/mm1.2 弹性刚度 BcBc ＝ Bk * Ec * I ＝ 1.5*27871*200*400^3/12 ＝ 44593.09kN ·m1.3 按荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的刚度 B1.3.1 荷载效应的标准组合作用下受弯构件的短期刚度 Bs1.3.1.1 裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数 ψσsk ＝ Mk / (0.87 * ho * As) （混凝土规范式 8.1.3－3）σsk ＝ 50000000/(0.87*362.5*628) ＝ 252N/mm矩形截面，Ate ＝ 0.5 * b * h ＝ 0.5*200*400 ＝ 40000mmρte ＝ As / Ate （混凝土规范式 8.1.2－4）ρte ＝ 628/40000 ＝ 0.0157ψ ＝ 1.1 - 0.65 * ftk / (ρte * σsk) （混凝土规范式 8.1.2－2）ψ ＝ 1.1-0.65*1.78/(0.0157*252) ＝ 0.8081.3.1.2 钢筋弹性模量与混凝土模量的比值：αE ＝ Es / Ec ＝ 200000/27871 ＝ 7.181.3.1.3 受压翼缘面积与腹板有效面积的比值 γf'矩形截面，γf' ＝ 01.3.1.4 纵向受拉钢筋配筋率 ρ ＝ As / (b * ho) ＝ 628/(200*362.5) ＝ 0.008661.3.1.5 钢筋混凝土受弯构件的短期刚度 Bs 按混凝土规范式 8.2.3－1 计算： Bs ＝ Es * As * ho ^ 2 / [1.15ψ + 0.2 + 6 * αE * ρ / (1 +3.5γf')]＝ 200000*628*362.5^2/[1.15*0.808+0.2+6*7.18*0.00866/(1+3.5*0)] ＝ 10985.62kN ·m1.3.2 考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数 θρ' ＝ As' / (b * ho) ＝ 188/(200*362.5) ＝ 0.0026按混凝土规范第 8.2.5 条，θ ＝ 1.881.3.3 受弯构件的长期刚度 B 按混凝土规范式 8.2.2 计算：B ＝ Mk / [Mq * (θ - 1) + Mk] * Bs ＝ 50/[40*(1.88-1)+50]*10985.62＝ 6446.96kN ·m1.4 挠度 f ＝ fd * Bc / B ＝ 2*44593.09/6446.96 ＝ 13.83mmf / Lo ＝ 1/217______________________________________________________________________________ 【MorGain 结构快速设计程序 V2006.09.1566.1569】 Date：2006-11-16 10:24:39________________________________________________________。
混凝土梁的挠度控制方法
混凝土梁的挠度控制方法一、前言混凝土梁在实际建筑中应用广泛，但长期使用后可能会出现挠度过大的问题，影响结构的稳定性和美观度。
因此，挠度控制是混凝土梁设计中的一个重要问题。
本文将从材料选用、截面形状、受力方式、支座形式、施工工艺等方面，详细介绍混凝土梁的挠度控制方法。
二、材料选用1. 水泥：要求水泥标号高，强度大，掺杂较少，保证混凝土的强度和稳定性。
2. 骨料：应选用坚硬、强度高的骨料，如石子、卵石等。
同时，骨料的粒径应控制在一定范围内，以保证混凝土的均匀性。
3. 砂：如果使用砂，则要求砂的掺杂较少，粒度均匀。
三、截面形状1. 矩形截面：矩形截面是混凝土梁中最常见的截面形状，其优点是易于施工和计算。
2. T形截面：T形截面可增加混凝土梁的强度和刚度，从而提高其抗弯性能和抗挠性能。
3. I形截面：I形截面适用于跨度较大的梁，其优点是抗弯性能和抗挠性能较好。
4. 圆形截面：圆形截面适用于曲线形状的梁，其优点是美观度高，但抗弯性能较差。
四、受力方式1. 单向受力：单向受力适用于梁的跨度较小，受力方向一致的情况。
2. 双向受力：双向受力适用于梁的跨度较大，受力方向不一致的情况。
五、支座形式1. 固定支座：固定支座适用于跨度较小的梁，可有效控制梁的挠度，但施工难度较大。
2. 滑动支座：滑动支座适用于跨度较大的梁，其优点是施工较为简单，但对支座的精度要求较高。
3. 弹性支座：弹性支座适用于跨度较大的梁，可有效减小梁的挠度，但对支座材料和制造工艺要求较高。
六、施工工艺1. 梁体浇筑：梁体浇筑时，应控制混凝土的流动性和坍落度，保证混凝土在模板内的均匀性。
同时，在浇筑过程中应采取充分的振捣措施，以排除混凝土中的气泡，提高混凝土的密实性。
2. 疏松带设置：为了降低混凝土梁的挠度，可以在梁的上部设置疏松带，以减小梁的自重。
疏松带的设置应根据混凝土的强度和梁的跨度等因素进行优化。
3. 预应力加固：预应力加固是一种有效的挠度控制方法，其优点是可以提高混凝土梁的强度和刚度，从而有效控制梁的挠度。
建筑结构-钢筋混凝土构件裂缝宽度和挠度验算
Bl
Bl
M l (
Ms 1)
Ms
Bs
…8－6
Ms ––– 荷载短期效应组合算得的弯矩。 (恒载＋活载) ––– 标准值。
Ml ––– 荷载长期效应组合算得的弯矩。
(恒载＋活载q) ––– 标准值。
––– 挠度增大系数。 = 2.0 0.4' /
Bs ––– 短期刚度按式(8-5)计算。
3). 最小刚度原则：
e0
e0
Ns Ns
(a)
Ns
Ts
Ns
(b)
Ns
Ns
(c)
图8-1
(d T
(e)
非
为防止温度应力过大引起的开裂，规定了最
荷 载
大伸缩缝之间的间距。表8－1
引
起
为防止由于钢筋周围砼过快的碳化失去对钢
的
筋的保护作用，出现锈胀引起的沿钢筋纵向
裂 缝
的裂缝，规定了钢筋的混凝土保护层的最小
厚度。
通常，裂缝宽度和挠度一般可分别用控制最大 钢筋直径和最大跨高比来控制，只有在构件截面尺 寸小，钢筋应力高时进行验算。
2 裂缝宽度验算
随机性 《规范》在若干假定的基础上，根据裂缝出
现机理，建立理论公式，然后按试验资料确定系 数，得到相应的裂缝宽度计算经验式。
Ns
NNcr
1
ct=ftk
1
NNcr
Ns
(a)
ftk (b)
s ss
max
(c)
图8-2
(d)
1). 裂缝的出现和开展
出现：
当c ftk，在某一薄弱环节第一条裂缝出现，
1). 短期刚度 Bs的计算
M 1 EI r
挠度原始计算公式
挠度原始计算公式
凡是以弯曲变形为主的杆件统称为梁。
当梁弯曲时，其内部也会产生抵抗弯曲的内力。
根据材料形状的不同，其抵抗变形的内力也不同。
直梁（轴线是直线且横截面都相等的梁）的最大弯曲应力计算公式：σmax=Mωmax / W
式中：σmax——最大弯曲应力（MPa）；
Mωmax——梁的最大弯矩（N*mm);
W——抗弯截面系数（mm³）。
抗弯截面系数w（也叫抗弯截面模量），是表示与横截面形状和尺寸有关的抵抗弯曲变形能力的一个几何量。
W大，则σmax小，说明抵抗弯曲的能力强；w小，则σmax大，说明抵抗弯曲的能力差。
w的计算公式：
方形和矩形的W=bh² / 6 ;
圆形（圆钢）的W=πd³ / 32≈0.1d³
工字钢W=1 /6H[BH³-(B-b)h³] 。
也可从钢材手册上直接查到钢材的W值。
薄板弯曲挠度计算公式
薄板弯曲挠度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄板弯曲挠度计算公式是工程力学课程中的重要内容，也是工程设计和结构分析中不可或缺的一部分。
薄板在受力作用下会发生弯曲变形，挠度是描述薄板弯曲程度的重要参数。
通过合理的挠度计算公式，我们可以准确地评估薄板的变形情况，为工程设计提供可靠的依据。
薄板弯曲挠度计算公式的推导过程比较复杂，需要借助数学和力学知识。
一般而言，薄板的挠度计算公式可分为静力法、弹性力学法和有限元法等多种方法。
静力法是最为常用的一种计算薄板挠度的方法，下面我们将对其进行详细介绍。
我们需要了解一些基本概念。
在工程力学中，对于一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，在受到外力作用后呈弯曲状态，其挠度δ可以通过以下公式计算：\[ \delta = \frac{PL^3}{3EI} \]P为受力大小，E为杨氏模量，I为横截面惯性矩。
这是薄板挠度计算公式的一般形式，具体的计算过程需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
静力法是一种比较简单但实用的计算挠度的方法。
该方法主要基于等效荷载原理，即将复杂的荷载系统转化为简化的等效荷载，将薄板弯曲问题转化为梁的弯曲问题。
下面我们以一种常见的简支边界条件情况为例，介绍具体的计算步骤。
假设我们有一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，受到长度方向均布载荷q的作用，两端为简支边界。
我们需要计算该薄板的等效弯矩M，其计算公式如下：根据薄板挠度计算公式，我们可以得到该薄板的挠度表达式为：通过这个计算公式，我们可以快速准确地计算出简支边界条件下薄板的挠度。
如果有其他不同的受力情况或边界条件，需要进行相应调整。
除了静力法，弹性力学法和有限元法也是常用的计算薄板挠度的方法。
弹性力学法是以弹性理论为基础，考虑了薄板材料的应力应变关系，可以更精确地描述薄板的弯曲情况。
有限元法则是一种数字计算方法，通过将薄板离散成有限个单元，利用计算机进行大规模计算，可以处理更加复杂的挠度计算问题。
[整理版]挠度计算
![[整理版]挠度计算](https://img.taocdn.com/s3/m/4037eafa192e45361066f5ec.png)
箱式空调机组强度计算五洲制冷集团公司生产的空调机组，采用铝合金框架与嵌入式面板式结构。
机组工作时内外部压力差为1000Pa，针对机组在此压力作用下所产生变形，国家标准GB/T14294-2008《组合式空调机组》作出了相应的规定和要求。
我们针对此型机组进行了强度与刚度变形计算。
一．杆的变形及待求量杆弯曲变形后其轴线由直线变成一条光滑的曲线，杆变形后的轴线成为挠曲线。
现在要求计算的是杆横截面的形心在垂直于杆轴线方向的位移, 也称为该截面的挠度。
二．模型的简化由于内部压力的作用，在机组门板上产生作用力，门板是嵌在框架上的，这些作用力通过门板的边缘传递给框架。
假设作用在门板各表面上的力均匀地传递给杆，杆均匀受力，单位ie 长度上的受力位q，如下图所示三挠曲线方程的求解如图所示，由对称性知杆的两支反力为F1=F2=q L/2杆的弯矩方程为M(x)=q LX/2 —q X2/2EIW”=—M(x)=—(q LX/2 —q X2/2)通过两次积分可得:EIW=-q* (LX 3/6 —X4/12)/2+CX+D边界条件是X=O,X=L 处挠度均为零。
将边界条件代入上式得：C=q L3/24 , D=0则杆的挠曲线方程为：W=qX/24EI*(L 3-2LX 2+X3)又因挠曲线是一光滑曲线，故在对称的挠曲线中，最大挠度在杆的中心处设杆长为L 则当X=L/2 时，最大挠度=q L/2*(L 3-2L*L 2/4+L3/8)/24EI = 5qL4/384EI 。
(其中E为弹性模量，铝合金的为79GPa。
I 为惯性矩) 四．惯性矩的计算矩形截面的惯性矩为I=bh3/12(在本设计中b=h，即I=b4/12)由于空调机组的框架为中空的方管，所以该截面的惯性矩为大正方形的惯性矩减去小正方形的惯性矩。
已知立方体框架宽度为50mm，壁厚2mm。
所以b1=0.05m ，b2=0.046m。
所以I= b14/12- b24/12=(0.054-0.0464)/12=1.447*10-7五. 空调机箱的各表面的总受力机箱内静压1000Pa，即内外压差为103pa总受力F=PS=103*(4.7*3)=14.1*10 3N机箱右(左)表面的表面积为 2.5*3=7.5 m2总受力F=PS=103*(2.5*3)= 7.5*10 3 N机箱前(后)表面的表面积 4.7*2.5=11.75 m2总受力F=PS=103*(4.7*2.5)=11.75*10 3N六．求各杆的受力将各块门板上所受的力按照框架支柱及横梁的长度平均分配，使得单位长度上的受力相同。
受弯构件挠度验算计算示例
构与抗震系列微课
受弯构件挠度验算计算示例
授课人 四川建筑职业技术学院
杨晓红
2015.11
目录
受弯构件挠度计算的步骤
例题
思考题
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2
1 、受弯构件变形验算的步骤
1 ）已知条件：构件的截面尺寸、跨度、荷载、材料强度以及
钢筋配置情况
2）计算荷载效应准永久组合下的弯矩Mq 3）计算短期刚度Bs， 受弯构件采用规范公式（7.2.3-1）计算 4）计算长期刚度B ； 受弯构件采用规范公式（7.2.2-2）计算
纵向受拉钢筋为 3 25 ，混凝土强度等级为 C25 ，挠度限
值为l0/200，试验算挠度。
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5
【 解 】 A s = 1 4 7 3 m m 2 ， h 0 = 405 m m （ 纵 筋 排 一 排 ） ，
ftk=1.78N/mm2，Ec＝2.8×104N/ mm2，Es=2×105N/ mm2，活
故该梁满足刚度要求。
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请思考如下问题：
（1）增加梁刚度的措施有哪些？
（2）受弯构件挠度验算的步骤是什么？
Page
10
谢 谢
2015.11
荷载准永久值系数ψq=0.4，γ0=1.0
（1）计算荷载效应
Mgk= Mqk =
Mq= Mgk +ψqMqk= 74.48+0.4×12.15=79.335kN·m
（2）计算短期刚度Bs
1 gk l0 2 = 8 1 g l 2= k 0 8
1 ×16.55×62=74.48kN·m 8 1 ×2.7×62=12.15kN·m 8
f 1.78 ψ 1.1 0.65 t k 1.1 0.65 0.871 ρ 0.033 152.86 tσ e sq （ 混 凝 土 规 范 公 式 7. 1.2 - 2）
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矩形梁挠度计算
(1).基本资料
挠度验算:L1
弹性挠度fd ＝2.000mm 中梁弹性刚度增大系数Bk ＝1.000
截面尺寸为b×h =200×500 mm
受拉纵筋总面积As = 628 mm
受压纵筋总面积As’= 490 mm
钢筋弹性模量为Es = 200000 N/mm
钢筋弹性模量为Ec = 30000 N/mm
纵向受拉钢筋合力点至截面近边的距离as ＝35mm ho ＝465mm
混凝土抗拉强度标准值ftk ＝ 2.01N/mm
按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mk ＝60.00kN·m
按荷载效应的准永久值组合计算的弯矩值Mq ＝50.00kN·m
设计时执行的规范：
《混凝土结构设计规范》（GB 50010－2002），以下简称混凝土规范
(2).挠度验算
弹性刚度Bc
Bc ＝Bk * Ec * I ＝1.00*30000.00*200*500^3/12 ＝62500.00kN·m
按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率ρte，按下式计算：
ρte ＝As / Ate （混凝土规范8.1.2－4）
Ate ＝0.5 * b * h ＝0.5*200*500 ＝50000mm
ρte ＝As / Ate ＝628/ 50000 ＝0.01256
按荷载效应的标准组合计算的纵向受拉钢筋的等效应力σsk，按下列公式计算：
受弯：σsk ＝Mk / (0.87 * ho * As)
σsk ＝60000000/(0.87*465*628) ＝236N/mm
裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ，按混凝土规范式8.1.2－2 计算：
ψ ＝1.1 - 0.65 * ftk / (ρte * σsk) ＝1.1-0.65*2.01/(0.013* 236) ＝0.660
钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αE
αE ＝Es / Ec ＝200000/ 30000 ＝6.67
受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf’
γf’ = 0
纵向受拉钢筋配筋率ρ ＝As / (b * ho) ＝628/(200*465) ＝0.00675
钢筋混凝土受弯构件的Bs 按混凝土规范式8.2.3－1 计算：
Bs ＝Es * As * ho ^ 2 / [1.15ψ + 0.2 + 6 * αE * ρ / (1 + 3.5γf’)]
＝200000*628*465^2/[1.15*0.660+0.2+6*6.667*0.00675/(1+3.5*0.000)] =22104.979 KNm 考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ
ρ’ ＝As’ / (b * ho) ＝490/(200*465) ＝0.00527
按混凝土规范第8.2.5 条，θ ＝1.688
受弯构件的长期刚度B，可按混凝土规范式8.2.2 计算：
B ＝Mk / [Mq * (θ - 1) + Mk] * Bs ＝60/[ 50*(1.688-1)+ 60]*22104.98 = 14050.53 KNm
挠度 f ＝fd * Bc / B ＝2.00*62500.00/14050.53＝8.90mm
f / Lo ＝1/ 899。