2021年(重庆卷)试题及点评2

【解读报告作者】姓 名：陈朝东工作单位：西南大学数学与统计学院姓 名：谭 艳工作单位：西南大学数学与统计学院姓 名：蒲秀琴工作单位：西南大学数学与统计学院姓 名：朱 丹工作单位：西南大学数学与统计学院姓 名：万奉平工作单位：四川省汉源二中姓 名：梅俊雷工作单位：西南大学数学与统计学院姓 名：高正刚工作单位：四川省雅安中学2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =(A) 7 (B) 15 (C) 20 (D) 252.不等式0121≤+-x x 的解集为 (A) ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 (C) [)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. (D) [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是(A) 相离 (B) 相切 (C) 相交但直线不过圆心 (D)相交且直线过圆心 4.82x x 的展开式中常数项为 (A) 1635 (B) 835 (C) 435 (D) 105 5、设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）36、设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且c b c a //,⊥，_______=b a（A 5 （B 10 （C ）5 （D ）107、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件8、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f9、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12a ，且长为a 2棱异面，则a 的取值范围是（A ）2) （B ）3) （C ）2) （D ）3)10、设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上11、若()()12i i ++=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += . 12、n = .13、设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,3,513A B b === 则c = . 14、过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = . 15、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。

三 解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ） 求函数()f x 的极值。

17、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响. （Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望.18、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分.）设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+，其中.0>ω（Ⅰ）求函数()y f x = 的值域；（Ⅱ）若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值。

19、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分.）如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点（Ⅰ）求点C 到平面11A ABB 的距离;（Ⅱ）若11AB AC ⊥,求二面角 11A CD C --的平面角的余弦值。

20、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分.）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程. 21、（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分.）设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠。

（I ）求证：{}n a 是首项为1的等比数列；（II ）若21a >-，求证：1()2n n n S a a ≤+，并给出等号成立的充要条件。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）试题答案与解读第Ⅰ卷二.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【解读与点评】}{n a 中，在等差数列5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =A B CD 1A 1B 1C 题（19）图A.7B.15C.20D.25解法1 选（B ）．（求解对照）由已知有15242451,5551522a a a a a a S ++==⇒=⨯=⨯= 解法2 选（B ）．（求解对照）由已知有2115141115(51),515.3522a a d a d S a a a d d =+==-⎧⎧⨯-⇒=+=⎨⎨=+==⎩⎩ 解法3 选（B ）．（求解对照）由已知有1524351234526,15.a a a a a S a a a a a +=+===++++=点评：（1）本题考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和的公式及性质。

（2）解法1由条件出发利用等差数列的性质，通过等差数列项的下标的和相等，则相应的项的和也相等，通过1524a a a a +=+的代换，便可求出5S 的值。

解法2则由所给两项求出首项和公差，再由等差数列前n 项和的公式求得5S 。

解法3与解法1有相似之处，也是通过项的下标和相等，则相应的项的和也相等，不同的是在最后求解5S 时，解法3仍然延用下标与项的关系得到，而解法1则是运用等差数列前n 项和的公式得到。

（3）本题与2011第11题的思想方法极为类似，考查的知识点仅限于等差数列，难度较小，属热身题。

2．【解读与点评】 不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 解法1 选（A ）．（求解对照）由已知有 由1021x x -≤+，则该不等式是不等式组21010x x +<⎧⎨-≥⎩与21010x x +>⎧⎨-≤⎩的解集的并集，前者x ∈∅，后者1,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，所以原不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21。

解法2 选（A ）．（求解对照）由已知有因为两个数的商与这两个数的积同号，所以1021x x -≤+还可化为解不等式(21)(1)0x x +-≤（其中210x +≠），它的解集是⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21。

所以，原不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21。

解法3 选（A ）．（求解对照），由排除检验法，因为解集中不含12-，所以排除B,D ，又因为21022+1-≥⨯，故2不在满足条件的范围内，所以排除C ，答案为A. 点评：（1）此题考查分式不等式的求解。

（2）分式不等式的求解一般有两种方法，一是将其转化为不等式组求解，二是将其转化为整式不等式求解，两者需要注意转化的等价性，防止增解。

解法1、2刚好对应了这两种方法，解法3是在做选择题时比较常用的排除法。

（3）与去年不等式的考查知识点（运用基本不等式求最值，巧用“1”换元解决不等式问题）相比，今年考查侧重点不同，主要是不等式中的分式不等式，难度较小，属容易题。

（4）本题可源于湘教版必修四P87例5，该例给出了两种此类分式不等式的解法，并在最后还提示学生可以进一步思考更多的解法。

与书上例题相比，本题对不等式的基本性质考查减弱，并成功转向对分式的性质的考查。

3.【解读与点评】对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解法1 选（C ）．（求解对照）由已知有直线1y kx =+过一定点(0,1)，该点在圆内，故直线与圆相交，但圆心（0,0）不在直线上。

解法2 选（C ）．（求解对照）由已知有圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为d ，2d r ==≤=点评：（1） 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及恒过定点的直线方程。

（2）直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小来判断。

当0d r ≤<时，直线与圆相交；当d r =时，直线与圆相切；当d r >时，直线与圆相离。

（3）直线与圆的位置关系的判定与应用一般多从几何性质入手。

（4）与前三年的相关考查点相比，本题与2009年第一题类似，相比之下难度增加在斜率不确定，但与2010和2011年相比，难度减小。

整体而言，本题考查的都是基础知识点，属容易题。

4．【解读与点评】8的展开式中常数项为 A.1635 B.835 C.435 D.105 解法1 选（B ）．（求解对照）由已知有取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为448135()28C ⨯=解法2 选（B ）．（求解对照）由已知有展开式为8821881()2r r r r r r r T C C --+== 令820r -=，解得4r =。