上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)
2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版
第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。
上海版矩阵与行列式基础练习题
上海版矩阵与行列式基础练习题换的方法求解:⑴32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩； ⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4、已知函数f(x)=x a x +1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
5、计算D=a a aaa -----1101101的值6. 用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=+-0162032y x y x ； （2）⎩⎨⎧=+=++5lg 4lg 301lg 5lg 2y x x y ．7. 若关于x 、y 、z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++m z x mz m y x z y x 212有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．1． (上海 3) 若行列式417 5 x x 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是______ 2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是 。
3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为 。
4.(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．5．(2012年高考上海卷理科3)函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .6．【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______．7． 【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式,021421=-x 则=x ．计数原理(20131220)作业[1]10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数c+=2axbxy+的系数a，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？[3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[4]4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？7．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？8.在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×10 0米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？9．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？10.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？11.4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？12.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？矩阵与行列式(20131220)课后作业答案本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级：姓名：一、填空选择题：（每题3分，共36分）1、已知46xAy⎛⎫= ⎪⎝⎭，13uBv⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B=，那么A+AB=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36302026 。
沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第七章 矩阵与行列式、算法初步、复数 本章测试
沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试一、单选题(★★) 1. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的（）．A．1B．C．D．(★★) 2. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．i<6B．i<7C．i<8D．i<9(★★★) 3. 关于，的方程组，则下列说法错误的是（）．A．一定有解B．可能有唯一解C．可能有无穷多解D．可能无解(★★★) 4. 设为复数，且，则（）．A．B．C．D．为虚数(★) 5. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1(★★★) 6. 当时，（）A．1B．-1C．D．(★★) 7. 设，方程的根有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个(★★) 8. 设，那么为纯虚数的充要条件是（）A．B．且C．D．且(★) 9. 已知，，则三个不同点，，共线是的（）．A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件(★) 10. 设的共轭复数是，若，，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 11. 某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，…，，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）．A．，B．，C．，D．，(★★★) 12. 方程在复数集中的解有( )A．2个B．4个C．6个D．8个(★★) 13. 对一元二次方程下列命题中不正确的是（）．A．两根，满足，B．两根，满足C．若，则方程有两个不等实根D．若，则方程有两个等根(★★★) 14. 方程的根的情况是（）．A．有两个不等实根B．有一对共轭虚根C．有一个实根，一个虚根D．有两个不共轭虚根二、填空题(★) 15. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i( 是虚数单位)，则其共轭复数=____________ (★★★) 16. 关于，的方程组无实数解，则________．(★) 17. 若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则 x满足的条件是________________________ .(★★★) 18. ，，则________．(★★★) 19. 分解因式：________．(★★) 20. ________．(★★) 21. 方程的解为________．(★) 22. 若关于的方程有实根，为虚数单位，则实数的取值为________．(★) 23. 某算法的程序框图如图所示，则输出量与输入量满足的函数关系是________ ．(★★) 24. 若是纯虚数，则实数的值是 _____ ．(★★) 25. 实数取________时，方程组有非零解．(★) 26. 在行列矩阵中，记位于第行第列的数为．当时，________．三、解答题(★) 27. 已知，试求实数，的值．(★★★) 28. 若满足，则判断的形状．(★★★) 29. 设复数集合，求集合中元素的模的范围．(★★) 30. 已知方程有两根，，且，，满足，求实数．(★★) 31. 直线与双曲线交于点，，点的坐标为，求的面积．(★★★)32. 已知分别为中角，，的对边，若满足，试判别的形状．(★★★) 33. 已知复数，，，，，满足，．（1）若所对应点在圆上，求所对应点的轨迹；（2）是否存在这样的直线，对应点在上，所对应点也在直线上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，请说明理由．四、双空题(★★) 34. 随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则如图所示的程序框图输出的 _______ ，表示的样本的数字特征是 ________ ．（注：框图上（右）中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）。
上海市华东师范大学第二附属中学实验班用高三数学习题详解 第十章 矩阵与行列式初步 含解析
第十章 矩阵与行列式初步10.1 矩阵的定义及其运算1．设矩阵121052312432563241⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，，A B C 求（1）+A B ，（2）()++A B C ，（3）2-+A B C ，（4）32-B A ．解：（1）225588⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（2）7487129⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（3）10671106⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（4）1401016-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭．2．设矩阵24241236-⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭，A B ，求AB 和BA ．解：242416322424001236816361200----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⋅==⋅=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬------⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭，AB BA ． 3．求下列矩阵的乘积：（1）()317156425⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭．（2）212103032141⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭．（3）301601054234215321⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭． 解：（1）{}3736．（2）72164⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（3）2124222324291311⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 4．设矩阵215031400306760213221215624--⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪---⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，A B C ． 求（1）()2-A B C ．（2）3+A BC ． 解：（1）30335422557383618-⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪-⎩⎭．（2）188104913634314-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭． 5．在一次校运会中，高二年级的三个夺冠热门班级获得前六名的项目数如表1所示，而每一种名次可获得如表2所示相应的积分．表1 名次第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 第六名 A 班 5 2 3 4 5 3 B 班187212如果现在要求按前6名的得分统计各个班的团体总分，进而决定各班在年级中的名次，那么，哪个班级最终获胜了呢？（要求用矩阵运算）解：()10645224535012121210399321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭A S ；()106418721210482862292321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭B S ；()10646124366068126698321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭C S ；所以A 班最终获胜了． 6．设矩阵1001⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭A ，⎧⎫=⎨⎬⎩⎭x B y ，求AB ；并说出矩阵A 对矩阵B 产生了怎样的变换？ 解：⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭x AB y ，产生了一个镜像变换，类似于直角坐标系中关于X 轴对称．10.2 矩阵变换求解线性方程组1．写出方程123123121232152232353-+=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩x x x x x x x x x x x 的系数矩阵和增广矩阵．解：系数矩阵112151203315-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭，增广矩阵1121151220323153-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭． 2．对下列方阵施以初等变换，使之成为单位方阵： （1）113327133-⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭，（2）321111111⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪--⎩⎭解：（1）()122113113113327101101133133110----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→−−−−−−→−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭第一行加到第三行第三行乘以第一行乘以加到第二行第三行加到第一行第三行不变第二行不变第二行不变 ()()()211203001001101101100110110110---⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭三一第二行乘以加到第一行第一行乘以加到第二行第一行乘以加到第行第三行不变第三行不变第行不变001100100010010001⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭交换第一行和第二行交换第二行和第三行（2）()()()21115112321321321111111110111001001---⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→-−−−−−−−−→-−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭三第二行乘以加到第一行第一行乘以第二行乘以加到第三行第行乘以加到第一行第三行乘以加到第二行第三行不变第三行乘以 ()()11100100110010001001--⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎩⎭第二行乘以加到第二行第二行乘以第三行不变3．把矩形23822122121314A -⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭化为行最简形矩阵．解：10322201330000⎧⎫⎪⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭．4．用矩形的初等变换解下列线性方程组：（1）1212323312234115x x x x x x x +=-⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩．（2）12312312321352752x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=-⎨⎪-++=⎩．（3）1212123232328233x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎨⎪++=⎩．（4）12312312322313250x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--+=⎩．解：（1）8757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．（2）无解．（3）212x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（4）503x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．5．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________．解：201112000112--⎧⎪⎨⎪⎩． 6．设A 是一个n n ⨯的矩阵()11*k k A AA A A k +⎧=⎪⎨=⋅∈⎪⎩N ．若1101A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求： （1）2A ，3A ．（2）猜测()*n A n ∈N ，并用数学归纳法证明．解：（1）223111213010101A A ⎧⎫⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，．（2）()*101n n A n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭．10.3 二阶行列式与二元线性方程组1．计算下列二阶行列式的值： （1）35571--．（2）sin cos cos sin αααα--．解：（1）()3553535071-=---=-． （2）22sin cos sin cos cos 2cos sin ααααααα-=-+=-．2．用二阶行列式求解方程组12123234x x x x +=⎧⎨-=-⎩．解：1131135510234324x y D D D ==-==-==-----，，； 1212y xD D x x D D ====，，所以方程组的解为1212x x =⎧⎨=⎩． 3．设a ∈R ，若方程组()()120320a x y x a y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩除00x y ==，外，还有其他解，求a 的值．解：120432a a-=⇒-或1-．4．已知方程组()()()11232a x ay a a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩R ，恰有一解，求x y +的最小值，并求此时a 的范围． 解：()()()1132323a aD a a a a a a -==-+-+=-++， 1113,42322x y a a D a D a a a -==-==-++． 3433a a x y --==--，． ()()()()7203341341343332743aa a a x y a a a a a -⎧<⎪⎪--⎪+=+=-+-=⎨⎪-⎪>⎪⎩≤≤．x y +的最小值为13，此时a 的范围是34a ≤≤．10.4 三阶行列式1．用对角线法计算下列行列式： （1）623251469----．（2）a cb ba c cba． 解：（1）182．（2）3333a b c abc ++-． 2．利用行列式解下列方程组：（1）()()415332x y y y z z⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩．（2）25314510x y x z y z +=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩．（3）123123123323154329547x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩．解：（1）1524513x k y k z k ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）435215325x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．3．利用行列式性质，化简并计算下列行列式： （1）682152056341---．（2）111a b cbc a c a b+++．（3）215326121236132623--解：（1）()()6821520566083026060480341--=-⋅-⋅-+⋅+=-．（2）()()()()2211110111ab cbc a c a bb c a a b c ab b ac c a b c b c c b ca b a b cca b++++=-++=+---+++-=+++．（3）2153261212411115311272363942336649108132623-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅---⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-．4．展开行列式，证明下列行列式的值为零： （1）000ma nab c nb c m ---．（2）254123131352323143--+． 解：（1）000000ma nabcnb c cnb ma nab mnabc mnabc cc mc m ---=+=+=---． （2）()()2541231313522756411727370323143--+=⋅-⋅-+⋅---⋅+⋅=．5．用行列式性质证明：（1）111111*********2222b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++（2）()()()222111a a bb a b bc c a cc =---． 证明：（1）11111111111111111222222222222222222222b c c a a b b c a b a b b ca ab bc c a a b b c a b a b b c a a b b c c a a b b c a b a b b c a a b ++++-++++++=+-+=++++++-+++111111111111111122222222222222222232a b c a b a b c b a b b c a b ca b c a b a b c b a b b c a b c a b c a b a b c b a b b c a b c ++++=-++=-+=+=++++．（2）()()()()()()()222222222111a ab b bc b c a c b a c b b c bc ab ac a a b b c c a c c =---+-=--++-=---．6．[]0πθ∈，，且1cos sin 0cos sin 01sin cos θθθθθθ-=，，则θ=__________． 解：1cos sin π00cos sin 12sin cos 1sin 241sin cos θθθθθθθθθθ=-=-=-⇒=，．7．设行列式111222333a b c D a b c a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）． A ．D -B ．DC ．2D D ．2D - 解：111111111111111112222222222222222233333333333333333223232232322323c b c a b c c b a b c c b a a b c c b c a b c c b a b c c b a a b c D c b c a b c c b a b c c b a a b c ++++++++=++==--=-+++++，选Ａ．8．如行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）．A ．6D -B ．6DC ．4D D ．4D -解：313233313233111213212223212223212223111213111213313233333222666a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a =-==---，选B ． 9．一位同学对三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（其中()123i i i a b c i =，，，，不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组有无穷个解； 结论2：当0D =，且x y z D D D ，，都不为零时，方程组有无穷个解； 结论3：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）． （1）230231232x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）2020240x y x y z x y +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩；（3）212032x y x y z x y z +=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩．A ．（1）（2）（3）B ．（1）（3）（2）C ．（2）（1）（3）D ．（3）（2）（1）解：带入逐一检验即可，选B ．10．在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，求ABC △的面积． 解：sin sin 0002sin sin 2cos cos 01C B b c b C B c A A =-=-， ()1π2sin sin 2sin sin cos 0cos 23R C B C B A A A -=⇒==，，2221cos 422b c a A b bc +-==⇒=，1sin 2ABC S bc A ==△10.5 三阶行列的展开与三元齐次线性方程组1．利用代数余子式展开下列三阶行列式并求值，并用对角线法验算：（1）122451314-．（2）584345463---． 解：（1）()12245112121321921263843314=⋅-⋅+⋅-=--=--．（2）()()()584345512308920418162102328450463--=⋅---⋅+-⋅-=---=--． 2．利用行列式按行或按列展开式计算三阶行列式：104014131D =．解：1041201014145493113131=⋅+⋅=--=-． 3．计算下列行列式：（1）837504922---．（2）152552515552515---．（3）64227828362035135-．解：（1）()837504883467104922-=⋅-⋅-⋅-=---．（2）()()()1525525155152251252537525562575200052515--=⋅++⋅--+⋅-=--．（3）6422782836226802035135-=-．4．解下列齐次线性方程组：（1）023204540x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（2）202020x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（3）670510504370x y z x y z x y z --=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩．解：（1）0x k y z k =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）x k y k z k =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．5．已知1023142x x 的代数余子式120A =，则代数余子式21A =__________．解：12211023124022442x A x x A x x =--=⇒==-=-，．6．1010411a a 大于零的充要条件为__________．解：()()210101011411a a a a =->∈-∞-+∞，，，∪． 7．问λμ，取何值时，齐次线性方程组1231231220020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：111101121λμλμ=⇒=或0μ=．9．()2*4n n n ∈N ，≥个正数排成一个n 行n 列的矩阵111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，其中()11ik a i n k n ，≤≤≤≤表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且2134820a a ==，． （1）求11a 和ik a ． （2）计算行列式11122122a a a a 和im ik jm jka a a a ．（3）设()()112132...n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．解：（1）()211122212i i ik k a a a k --===+．（2）1112212223046a a a a ==． ()()()()1111121212120im iki j i j jm jk a a m k k m a a ----=++-++=；（3）()()()()2123......12122221221222n n n n A n n n A n n n -=++⋅+-⋅++⋅=+⋅+⋅+-⋅++⋅，． 两式相减，得()()323321n n n n A n A n =⋅-++=-，．当*3n m m =∈N ，时，()381m n A n +=-． ①1m =时，()38121n -=显然能被21整除； ②假设m k =时，()381k -能被21整除，结论也成立． 由①、②可知，当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．。
行列式习题及答案
行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。
（完整版）第一章行列式与矩阵的计算的练习（含答案）
（完整版）第一章行列式与矩阵的计算的练习（含答案）行列式及矩阵的计算（课堂练习）一、填空1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则2A -= -242. 设12,01A -??= 1()32x g x x -=-+，则()g A =0800-??3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若3,A B =则=,,,,6αβγβγα+=4.行列式11111111---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=kA 1021k ??。
（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=，1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n +解：11231232,,,2,,,Dαααβαααβ=+-14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 .解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3二、判断题1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =.（× ）2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ）三、行列式计算（1）4333343333433334ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=n D 解：nD n c c c c c c +++13121M 43313343133341333313ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 11312r r r r r r n ---M 10100001033313ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231149118271D --=--解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－1）＝－240五、a 为何值时，线性方程组：-=++=++=++aax x x x ax x x x x a 322321321321有唯一解？解：2)1)(2(111111det -+==a a aa a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.。
专题14 矩阵与行列式(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
2021届高考数学一轮复习 专题14 矩阵与行列式一、填空题1．（2020·上海普陀·三模）满足sin 0cos xx =的实数x 的取值范围是______． 【答案】,3x k k Z ππ=+∈【解析】试题分析：sin 0x x =，即，∴,3x k k Z ππ=+∈．2．（2020·宝山·上海交大附中高三其他）已知方程102x b x -=-的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =______. 【答案】5 【解析】 解：()212202x x x b x x b b x -=-+=-+=-，因为2a i +是方程的一个根，所以()()22220a i a i b +-++=，即()224440a a b a i -+-+-=， 所以，解得， 故答案为:5.3．（2020·上海杨浦·复旦附中高三期末）在行列式21406532020x--中，第三行第二列的元素3的代数余子式的值为4，则实数x 的值为______. 【答案】2 【解析】在行列式21406532020x--中，第三行第二列的元素3的代数余子式的值为4， 则2124446xx --=-=-，解得2x =.故答案为：2.4．（2020·上海高三专题练习）当实数m ________时，方程组有唯一解． 【答案】1m ≠- 【解析】 因为有唯一解，所以，即22(1)(1)(1)0101m m m m m m --+++≠⇒+≠⇒≠-. 故答案为：1m ≠-5．（2020·上海高三专题练习）若行列式，则 ．【答案】2或3- 【解析】 由题意得， 所以260x x +-=， 解得2或3-．6．（2020·上海高三专题练习）关于x ，y 的方程组无实数解，则m =________． 【答案】 【解析】解：列出行列式系数：114a =，12a m =，21b m =， 21a m =，221a =，22b =，则()()244221mD m m m m ==-=+-， ()222212x m m D m m m m ==-=-，()()232482422y m D m m m m m ==-=-++，当0D =，0x D ≠时，原方程组无解，即当2m =-时，成立， 则当2m =-时，方程组无实数解. 故答案为：.7．（2018·上海交通大学附属中学嘉定分校高三其他）设函数()312xxf x ==，则x =_______.【答案】94【解析】()231x f x x ==-=，即230x =，即，0x ≥，32=，解得94x =. 故答案为：94. 8．（2020·上海高三一模）已知4251λλ-=-，则λ=________ 【答案】3 【解析】 解：4251λλ-=-，解得3λ=， 故答案为：3．9．（2020·上海闵行·高三一模）设函数 11-，则方程()1f x =的解为____________【答案】2x = 【解析】由题意得，即22x x -=，解得2x =或1x =-，由函数定义域可知2x =. 故答案为：2x =.10．（2016·上海徐汇·高三一模（文））若三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，则行列式111a 的值为________________.【答案】1 【解析】先由三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，求出a ，再由二阶行列式的计算法则可计算出行列式111a 的值.联立，解得，由于三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点， 所以，直线30ax y ++=过点，则130a --+=，解得2a =，因此，212111111=⨯-⨯=. 故答案为：1.11．（2020·上海杨浦·高三二模）行列式120235580=_______.【答案】10 【解析】 ．故答案为：10．12．（2020·上海虹口·高三二模）设复数cos sin i z iαα=（i 为虚数单位），若，则tan 2α=________.【答案】1 【解析】 因为， 又， 所以，所以22cos 1sin 20αα--=， 即cos 2sin 20αα-=， 所以. 故答案为：113．（2018·上海徐汇·高二期末）行列式63125142k --中元素3-的代数余子式的值为5，则k =________． 【答案】1 【解析】行列式63125142k --中元素3-的代数余子式为()()12214512kk +-=---=-，解得1k =.故答案为：1.14．（2019·上海市建平中学高三月考）已知数列满足()1*12452n n nn a a n N a a ++--=∈-，则使20192019a >成立的正整数1a 的最小值为__________. 【答案】2019 【解析】由题可知，()()21245n n n a a a +---=，变形可得， 即数列{}2n a -是一个首项为，公差是1的等差数列，故有 故答案为：2019二、单选题15．（2020·上海高三专题练习）已知，(3,1)AC =-，则△ABC 的面积为（ ）． A ．5631-B ．3516- C ． D ．【答案】C 【解析】设的夹角为α，先求出sin α=232ABCS =，又，即得解. 设的夹角为α，所以5cos ||||AB AC AB ACα⨯===所以， 所以12322ABCS==.又.所以△ABC 的面积为. 故选：C.16．（2020·上海高三专题练习）三阶行列式中，1b 的代数余子式是（ ）． A ．1122a c a c B ． C ． D ．1122c a c a【答案】C 【解析】行列式1b 的代数余子式是()222222333313321a c a c c a a c a c c a +=-=-.故选：C.17．（2020·上海高三专题练习）已知()11,AB x y =，，则三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的（ ）．A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】解：∵()11,AB x y =，， 由A ，B ，C 共线得，， ∴12210x y x y -=， 又由11220x y x y =得，12210x y x y -=，∴三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的充要条件，故选：A ．18．（2020·上海高二课时练习）已知ABC 的三边长为,,a b c ，且，则ABC 的形状为（ ）. A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】2221101a cb a a bc ac ab bc c b =++---=，所以222()()()0a b b c c a -+-+-=， 所以a b c ==，所以ABC 是等边三角形． 故选：B ．三、解答题19．（2020·上海高三专题练习）已知三角形三边的和6a b c ++=，又0a b cca b b c a=，求各边之长． 【答案】2a b c === 【解析】因为0a b cca b b ca=，所以3333a b c abc ++=， 又因为3333a b c abc +≥+， 当且仅当a b c ==时，取等号， 又因为6a b c ++=， 所以2a b c ===，20．（2020·上海高三专题练习）判别关于x ，y 的二元一次方程组解的情况，并解方程组：．【答案】当0m =时，0x =，y R ∈，有无穷多解；当1m =时，无解；当0m ≠且1m ≠时，有唯一解22(2)(1)m m x m -=-，【解析】 因为，所以22221(1)(1)(1)1m m m D m m m m m m m--==---=-233322(1)(2)x m m m D m m m m m m m -==--=-，32221(1)1y m m D m m m m m m m -==--=--，当0m ≠且1m ≠时，0D ≠，方程组有唯一解22(2)(1)m m x m -=-，；.当0m =时，0,0x y D D D ===，方程组有无穷多解0x =，y R ∈； 当1m =时，0,0x D D =≠，方程组无解；综合得：当0m =时，0x =，y R ∈，有无穷多解；当1m =时，无解；当0m ≠且1m ≠时，有唯一解22(2)(1)m m x m -=-，. 21．（2020·上海高三专题练习）化简：． 【答案】0 【解析】由三阶行列式的计算方法，可得： 原式sin()sin cos sin sin cos()cos 2cos sin cos βϕβββααϕϕϕϕϕ-=-+cos sin()cos sin cos 2ββϕαϕϕ-+cos [cos cos 2sin()sin ]αβϕβϕϕ+--.22．（2020·上海高三专题练习）直线y x =与双曲线221x y -=交于点B ，C ，点A 的坐标为，求ABC 的面积．【答案】2【解析】由题意联立方程组可得(B ，(2,C -，进而可得(1,1)AB =-，(3,1)AC =--，再利用111231ABCS -=--△即可得解.由，得2114x =,解得2x =±,不妨设(B，(2,C -， 则(1,1)AB =-，(3,1)AC =---， ∴.23．（2018·cos 0.5sin 0(0)1cos A x A A xA x>按第一列展开得1121312M M -+，记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. (1)求A ；(2)将函数的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在上的值域. 【答案】（1）A =2） 【解析】（1）先根据行列式，求出函数()f x ，再利用二倍角公式，辅助角公式化简，结合()f x 的最大值是4，即可求A ；（2）向左移12π得4sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，横坐标变为原来2倍得()4sin 12g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为，所以，所以. 解(1)11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x==，221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+，max 4f ==，所以A =(2)向左移12π得4sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，横坐标变为原来2倍得()4sin 12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，所以，所以24．（2018·上海静安·高三二模）设函数（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设，若存在x 使不等式成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论. (1)若1a =-,则 由()0f x ≥得, 即或,解得6x ≥或83x ≤, 故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得,当01x <<时,该不等式即为, 设()(2)7F x a x =-+,则有 解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3),若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立, 即存在x 使271x ax -++成立, 即存在x 使成立, 又, 所以,所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞。
上海矩阵与行列式基础练习题
上海版矩阵与行列式基础练习题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：矩阵与行列式习题本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级： 姓名： 一、填空选择题：（每题3分，共36分）1、已知46x A y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13u B v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B =，那么A+AB= 。
2、设231001252437A B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则3A –4B 为 。
3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= .4、设2442,1221A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭則32A B - = ,=AB ，=BA5、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标为 .6、若202137x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. 7、1212a a b b =1,则12122233b b a a =-- _____ 。
8、（1）行列式z kc c y kb b xka a = ；（2）211121__________112-= 9、已知124221342D -=---，则21a 的代数余子式21A = 。
10、已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A11、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=______________12、如果方程组⎩⎨⎧=++=++0101dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为二、简答题（每题8分，共64分）1、已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=533201A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=013164245B 求()AB .2.已知1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别计算23A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，；3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:⑴ 32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩；⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4、已知函数f(x)=xa x+1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
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矩阵、行列式和算法（）姓名 成绩一、填空题1.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 .2.行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 .3.将方程组203253x y z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩写成系数矩阵形式为 .4.若由命题A :“22031xx >-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是 ．5.若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为2,1==y x ，则方程组⎩⎨⎧=++=++03520352222111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程212410139xx ≤-的解集为 . 7.把22111133332224x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为 .8.若ABC ∆的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----，其面积为 .9.在函数()21112xf x xx x x-=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 .图211.矩阵的一种运算,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 .12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= 二.选择题13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（ ）.A.bda c db ca -= B.ab cd db c a =C.dc db c a 33++ dc b a =D.dc ba db ca -----=15.若,,a b c 表示ABC ∆的三边长，且满足0222=++++++cb a ccc b a b bc b a a a ， 则ABC ∆是（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形16. 右边（图2）的程序框图输出结果S =（ ） A ．20B. 35C. 40 D .45三、解答题：17. 已知P ：矩阵||51||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不小于2，Q ： 行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不小于2.若P 是Q 成立的充分条件．．．．，求实数m 的取值范围.18.已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为q ， （1）求二阶行列式4231a a a a 的值；（2）试就q 的不同取值情况，讨论二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+234231y a x a y a x a 何时无解，何时有无穷多解19.已知函数1sin ()0sin sin 20xxf x xx m =的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为4.试求函数()sin 2cos g x m x x=+（x R ∈）的最小正周期和最值．22213521212325414143456122122321n n n n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎪+++- ⎪ ⎪+++-⎪⎪ ⎪-+-+-⎝⎭L L L M M M M M L L20. 将等差数列21n a n =-*()n N ∈中2n 个项依次排列成下列n 行n 列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为1x ,划去1x 所在的行与列,将剩下元素 按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素2x ,划去2x 所在的行与列L ,将最后剩下元素记为n x ,记12n n S x x x =++L ，求lim n →∞322nS n n +的值。
21.按程序框图3，可以打印出一个数列，设这个数列为{}n x（1）写出这个数列{}n x 的前4项，并建立数列{}n x （2）设1n n n a x x +=-，证明：{}n a 是等比数列； （3）求数列{}n x 的通项公式.图3矩阵、行列式和算法（）答案姓名 成绩 一、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -,2.二元一次方程组的解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记2211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记=x D 2211b c b c ,2211c a c a D y =即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y 的系数后得到的.(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,DD y D D x y x==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。
三阶行列式及对角线法则用333222111c b a c b a c b a 表示算式;其结果是231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++.我们把333222111c b a c b a c b a 叫做三阶行列式; 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素. 4． 三阶行列式按一行(或一列)展开把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为ji +-)1(.三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开. 5.三元一次方程组的解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i记333222111c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记333222111c b d c b d c b d D x =,333222111c d a c d a c d a D y =333222111d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的.(1) 当0≠D 时,方程组有惟一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===DD z D D y D D x z y x(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解. 二、顺序结构：1．依次进行多个处理的结构称为顺序结构。
2、选择结构： 先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构。
3、循环结构：在算法中，像这种需要重复执行同一操作的结构称为循环结构。
矩阵、行列式和算法（）作业答案姓名 成绩二、填空题1.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 0 .2.行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 6 .3.将方程组203253x y z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩写成系数矩阵形式为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡320015130002z y x .4.若由命题A :“22031xx >-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是 (-∞,-2] ．5.若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为2,1==y x ，则方程组⎩⎨⎧=++=++03520352222111c y a x b c y a x b 的解为x = -3 ，y = -5/3 . 6.方程212410139xx ≤-的解集为 [-3,2] .7.把22111133332224x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--421332211y x y x y x .8.若ABC ∆的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 17 .9.在函数()21112xf x xx x x-=--中3x 的系数是 -2 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 2 .解析：若P(x,y)是变换后得到的曲线上任一点。
与P 对应的点为Q(x 0,y 0)且Q 点在直线x+y-1=0上,则⎩⎨⎧=+=+y y bx x ay x 0000⎩⎨⎧--=--=)1/()()1/()(00ab bx y y ab ay x x 代入直线x+y-1=00111=---+--abbxy ab ay x011111=---+--y abax ab b ，此曲线与变换后得到的曲线x-y-1=0是同一条曲线。
故有：⎩⎨⎧-=-=-1111a b ⎩⎨⎧==02b a a+b=2.12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= 1/3 . 解析：在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=，这些向量为： (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)共六个向量。