高温超导理论

摘要迄今（2010年）距发现高温铜氧化物超导体已25年，各派观点百家争鸣。

高温氧化物超导体所涉及的物理内涵异常丰富，随着掺杂程度的变化它展现出反铁磁性、半导导电行为、超导电性、强关联电子系统以及新型金属行为等。

在这里着重介绍高温超导理论中的Anderson 的空穴子（holon ）和自旋子（spin ）理论，Schrieffer 的自旋袋(spin bag)机制，邻近反铁磁的超导理论，以及Varma 的“边缘”费米液体理论等。

并在最后介绍了一些关于高温超导的最新研究进展。

1．Anderson 非费米液体高温超导理论主张高温铜氧化物超导体正常态是非费米液体的代表人物是P.W.Anderson 。

1987年他提出：高温铜氧化物超导体的母体绝缘相是共振价键态或称量子自旋液体。

这一理论是基于高温铜氧化物与反铁磁的邻近性，邻近金属-绝缘体相变，绝缘磁相为低自旋，具二维性和载流子密度低等特点提出的。

该理论的基本突出点是：认为电荷和自旋自由度明显的分开，这与费米液体的基本点不同。

Pauling 于1938年首先提出金属的共振价键理论。

Pauling 理论认为，在相邻原子上，自旋相反的两轨道电子形成共价键，而这些共价键可以在两个以上的位置之间共振（RVB ）。

1973年Anderson 在针对反铁磁体的奈耳态(Neel state)和spin-peierls 态的讨论中提出了RVB 态新的绝缘体；他认为至少在二维三角格子、自旋S=1/2的反铁磁体中的反铁磁基态，可能是Bethe 在反铁磁线链上提出的单重态配对（singlet ）态类似体。

Anderson 进而提出，经高阶能量修正计算表明，诸单重态配对的移动或“共振”使其状态更稳定。

1987年Anderson 最为基本假设提出：母化合物La 2CuO 4的绝缘态是共振价键态（RVB 态），在共振价键态中预先存在有最近邻自旋单重态配对，在以少量二价离子（Sr 2+,Ba 2+等）掺杂后使原母化合物系统金属化，它们就对产生超导电性起作用。

对于沿格矢τ可迁移的价键中电子对可写00)exp ())i i ik k kb C C C C i k τττ+++↑+↓++↑-↓ψ=ψ=ψ∑∑ （1）对所有最近邻键的线性组合为nn nn b b ττ++=<>=∑ （2）若考虑键长分布则可写为()k k kb a k C C +++↑-↓=∑ （3） 而()0ka k =∑ （4）根据Hirsch 的工作，Anderson 认为对二维简单方格子也可有RVB 态。

RVB 态N 个电子波函数可写为20()N RVB d P b +ψ=ψ (5)其中(1)d i i iP n n ↑↓=-∏ （6）为投影算符以除去在同一格位i 上的双占据态（doubly occupied states ）。

Anderson 论证可将RVB ψ写为如下形式：02]RVB N d k k kP P C ++↑-↓ψ=ψ∏ （7） 若采用准费米子算符(1)i i i C C n ++↑↑↓=- （8） 则可写成02]RVB N k k kP C ++↑-↓ψ=ψ∏ （9） 总之，RVB 态是关于BCS 型函数的适当投影。

对于绝缘态，每一格位i 均被电子占据，|a k |为常数，取1k a =±,Anderson 认为存在一个“赝费米面”（pseudo-Fermi surface ），在其上a k 变号。

当以少量二价离子(Sr 2+,Ba 2+等)替代La 进行掺杂后，原母化合物绝缘体偏离了半填充（pre-existing ）有自旋单重态配对，金属化后的系统将随着掺杂而逐渐演变。

最终出现超导电性。

为进一步更具体地阐述Anderson 上述观点，下面先对RVB 态及高T c 超导用一平均场理论阐述，继而再阐明Anderson 理论中的元激发。

由于高温铜氧化物超导体的超导电性发生于绝缘体-金属相变附近，Anderson 认为可用一个近半填充的单带Hubbard 模型描写该系统：()i j i i i i ij ii H t C C U n n C C σσσσσσμ++↑↓<>=-+-∑∑∑ （10）其中i i i n C C σσσ+=，t 、U 的意义分别是最近邻的跃迁能及在格位i 上的库伦排斥能，μ为化学势。

经正则变换，在无双占据位的子空间可得如下的近似的有效哈密顿：1(1)(1)()4i i j j i i i jij i ij H t n C C n C C J S S σσσσσσμ++--<><>=---++-∑∑∑ （11） 其中24t J U= （12）i i i S C C ++↑↓= （13）对单占据位半填充带1()4i j ij H J S S <>=-∑ （14）而哈密顿（11）式可用于不是半填充带的情况，称为t-J 模型哈密顿量。

如果再加一在次近邻之间跃迁的项（相应的跃迁能以t ’表示），那就称之为t-t ’-J 模型哈密顿量。

定义价键单重态对（valence bond singlet pair ）产生算符)ij i j i j b C C C C +++++↑↓↓↑=- （15） 并以i j t C C σσδ+-近似取代（11）式中第一项，其中δ是掺杂百分数，于是有(..)4i j ij ij i j ij ij ij JH t C C h c J b b n n const σσδ++<><><>=-+-++∑∑∑ （16） 其中i i i n n n ↑↓=+。

上式第二项的负号表示诸单重态配对会发生零动量态的玻色凝结。

转到动量空间并作Hartree-Fock 近似得22,33()(..)()44k k k kk k k kJN H C C C C h c p σσσεμγ+++↑-↓=--∆++∆+∑∑ （17）这是平均场近似的结果。

式中24t J U=，而序参量∆和p 定义为ij b ∆=<> （18）,i j p C C σσ+=<> （19）其中i,j 表示最近邻。

带能量k ε为(2)(cos()cos())k x t pJ k a kya εδ=-++ （20）而(2)kk t pJ εγδ=-+（21）（17）式为BCS 类型。

以玻戈留波夫变换使（17）式对角化，得准粒子能量为k E =（22）相应的准粒子算符以k α、k β表示。

经由使自由能极小的程序得∆、p 的方程为2tanh /2183k k k kE NE J βγ=∑ （23）tanh /21()k k k kE NE βεμδ-=∑ （24） 对半填充带0δμ==时，方程（24）具有p=0的解；于是RVB 态绝缘体是这些方程的自洽解，此时无长程序，并没有超导转变。

当对母体化合物掺杂后，系统偏离半填充带。

由此平均场理论得到能隙与序参量∆的关系为Gap =（25）其中2W 表示带宽（t δ）。

选取若干组(t,U,δ)参量值作数值计算发现：T=0K 下能隙与T c 之比值对所取参量值很敏感。

在适当选值下2Gap/T c 与BCS 理论值接近。

数值计算还表明，在对参量的合理选值下，于0.150.2δ≈附近，超导转变温度陡然下降，大体与实验数据相对应。

此中物理原因为，当δ增加时，带宽（t δ）增加，而当带宽可与键合能（J ）相比时，就开始了电子对的拆对过程，于是超导转变温度下降。

数值计算还表明，T c 对t 值很敏感，t 大时，T c 增加；这可以解释为什么对高温铜氧化物超导材料加压时T c 将增加。

上面介绍了BZA 的平均场理论，它以实际的电子费米子系统研究了高温铜氧化物超导相变。

随后Kivelson 等提出，Anderson 理论中的元激发是自旋子（spinon ）和空穴子(holon)。

在格位i ，他们提出有四种可能的态，见表1。

表1 Anderson 理论中的四种可能的态用算符表示法可写为|00|i i e e +><→ （26） |0|i i e s αα+><→ （27） ||i i d d αβαβ+><→ （28） ||i i d s ααβα+><→ （29）e i ，d i 算符满足玻色对易关系：[,]i j ij e e δ+= （30） [,]i j ij d d δ+= （31）[,]0i i e d += （32）而i s σ满足费米对易关系：''[,]i j ij s s σσσσδδ++= （33）其中下标σα=时表示自旋↑，σβ=时表示自旋↓。

称i s σ为自旋子算符。

e i 为空穴子（holon ）算符。

而将裸电子算符表为i i i i i C e s d s σσσσ+++-=+ （34）式中σ=+（对α），σ=-（对β）。

完备条件可写为：1i i i i i i e e d d s s σσσ+++++=∑ （35）以（34）式代入（10）式得0'H H tH =+ （36）其中0()()i j i j i j i i i i i i ij i iH t e e d d s s U d d e e d d N σσσμμ++++++<>=--++--∑∑∑ （37）'[()..]i j j i i j ij H e d e d s s h c αβ++<>=-++∑ （38）其中N 为格位数。

注意e +相当于产生一个空位，d +相当于双占据位，电荷分别为+e 和-e ；于是从（34）看出，i s σ+为中性。

用正则变换S 以消去（36）式中的H ’项，由0'[,]0tH H S +=略去2(/)t U 高级项并限于讨论由（35）所确定的子空间，则有()..ij j i j i ij tS e de d s s h c Uβα++++<>=++∑ （39）有效哈密顿H eff 为0[]eff i j j i i j j j ij H H J s s s s s s s s αββαααββ++++<>=-+∑ （40）其中24t J U=。

在足够低的温度下，设将所有的玻色子置于零动量态，并令,i i e e d d →→（e及d 为C-数）；经傅里叶变换并作Hartree-Fock 近似得2220222201(2)()21()(2)2k k k k k H J J s s UNd N e d N N e d N J Nσσσεργρλμμλλρρ+=--+++--++-++∑（41）其中λ为保证（35）式约束的拉格朗日乘子，而222()k k t e d εγ=-- （42）cos cos k x y k k γ=+ （43）k k k s s σσ+∆=<> （44）01kk Nρ=∆∑ （45）1kk kNργ=∆∑ （46）在绝缘态没有e i ,d i 荷电玻色子，而对自旋子于T=0K 时则有1,0,k k k Fk s s k k σσ+⎧∆=<>=<⎪⎨∆=⎪⎩当在其他情况下（47） Anderson 认为这表示，在RVB 基态（绝缘态）由自旋子充满而形成赝费米海（PFS ）；自旋子元激发谱为k 22E (cos cos )x y Jk k π=-+ （48）事实上，在Anderson 理论中，诸自旋子组成中性费米液体（纯量子自旋液体），而RVB 基态则对应于诸自旋子充满PFS 。