公因数和最大公因数
公因数和最大公因数的概念
公因数和最大公因数的概念
最小公倍数和最大公因数是学习初等数学的重要概念，是日常生活中非常普遍的数学应用。
它们两个概念紧密联系，互相帮助我们解决一些复杂的问题。
最小公倍数指的是一组自然数中所有数的乘积除以它们的最大公因数，也就是说，它是这些自然数中能同时整除所有数的最小正整数倍数。
最小公倍数常用来有效地求解多个自然数互质关系的最小数，可以用来求解方程组等问题。
最大公因数指一组非零正整数中，最大整数能被它们整除，同时也能整除它们之间的积，被称为它们的最大公因数。
最大公因数可以用来求解多个不是互质关系的数的最大数，可以有效解决多项式的分解式等问题。
如果想快速求解最小公倍数和最大公因数，可以使用辗转相除法或者更好的算法，这样可以极大地提高效率。
同时，最小公倍数和最大公因数也有着广泛的应用，在科学计算中、密码学、网络通信以及金融方面都有着广泛的应用。
因此，最小公倍数和最大公因数是学习初等数学的重要概念，既有着重要的数理意义，又有着广泛的应用价值，值得我们加以挖掘与研究。
公因数和最大公因数精品PPT课件
我们可用下图表示8和12的因数。
8的因数
12的因数
12 4
12 4
8
3 6 12
8的因数 12的因数
8的因数 12的因数
8
12 3 6 4 12
8和12的公因数
是它们的最大公因数
在18的因数上画“ ”,在30的因数上画“ ”.
还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好 铺满这个长方形？有什么规律呢？
1、2、3、6……既是12的因数， 又是18的因数，它们是12和18的公因 数。 其中6是最大的公因数，叫做它 们的最大公因数。
4是12和18的公因 数吗？为什么？
归纳总结
1 两个数或几个数公有的因数叫作
它们的公因数，其中最大的一个
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
18和30的公因数有1、2、3、6
。
最大公因数是 6 。
怎样求18 和27 的最大公因数？ （l）学生先独立思考，用自己想到的方法
试着找出18 和27 的最大公因数。 （2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。
列举
方法二：筛选 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18 再看18 的因数中有哪些是27 的因数，再看 哪个最大。
2.把15和20的因数.公因数分别填在下面 的圈里,再找出它们的最大公因数.
15的因数 20的因数
3
1 2 10
15
5 4 20
15和20的公因数
公因数和最大公因数的应用
公因数和最大公因数的应用
一、截木棍、截纸片（长方形）类
1、把一张长1米20厘米，宽80厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，不允许剩余，至少能裁成几块这样的正方形？
2、有一个长方体，长70厘米，宽50厘米，高45厘米，切成同样大小的小正方体，切后不许有剩余（损耗不计），小正方体木块的棱长最大是多少？照此切开，最后能切成多少个小正方体？
二、平均分组、装箱类
1、六年级3个班，分别有24个人，36个人，42个人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，每个班同学不能打乱，每组最多可以分多少人？各班可以分成几组？
2、超市仓库里面装着整箱的洗衣粉2010袋，每箱洗衣粉的袋数相等，拿出几箱后还剩1830袋，每箱洗衣粉最多有多少袋？
三、种树、插旗类
1、一个长方形的广场长200米，宽140米，计划在广场的四周种树，广场四个角各种一棵树，并要求相邻两树之间的距离相等
（1）在各个方案中，相邻两树之间的最大距离是多少？
（2）在各个方案中，至少要在广场的四周种几棵树？
2、为了迎接世博会，在如图所示的街道右侧等距离地插上彩旗，且要求两端和转弯处都必须要插旗，已知AB长1440米，BC长1680米，那么这条街道最少要插几面彩旗？
C B
A
3、短除法求两个数、三个数最大公因数的步骤：
（1）依次除以两个数或三个数的（），直到所得的商（）
（2）将所有的（）连乘，所得的积就是这两个数或三个数的最大公因数。
公因数和最大公因数课件
地面，可以吗？
18÷4=4（块）……2（厘米）
12÷4=3（行）
结论：边长是4厘米的正方形不能正好铺满。
12 厘 米
18厘米
12 厘 米
18厘米
12 厘 米
18厘米
12 厘 米
18厘米
边长是1厘米的正方形
边长是2厘米的正方形
边长是3厘米的正方形 边长是6厘米的正方形
1、2、3、6 与 12和 18
18 和27 的最大公因数=3×3= 9
两个数所有公有质因数的积，就是这两 个数的最大公因数。
求18和27的最大公因数
3 1 8 27
36 9
2
3
用公有的质因数3除 用公有的质因数3除
除到两个商是互质数为止
18和27的最大公因数是 3×3＝9
方法六：短除法
方法六： 如果要求最大公因数的两个数很大以上方法
拓展一下： 在此基础上再想一想求两
个数的最大公因数我们还可 以怎样解？一起来看18和27 的公约数，我们可以怎样求？
怎样求18 和27 的最大公因数？
列举
方法二：筛选 先找出18 的因数：1，2 ，3 ，6 ，9 ，18 再看18 的因数中有哪些是27 的因数，再看 哪个最大。
方法三： 筛选 先写出27 的因数，再看27 的因数中哪些是18 的 因数。从中找出最大的。 27 的因数：1，3，9，27
能铺几行呢？
12÷1=12（行）
结论：每行铺18块，铺12 行，刚好铺满。
方法2：
12 选用边长为2厘
厘
米 米的正方形地砖来 铺地面。
18厘米
18÷2=9（块）
方法2：
12
厘 米
选用边长为2厘
最大公因数与公因数
4和8
16和32
1和7
8和9
4和8的最大公因数是： 16和32的最大公因数是： 1和7的最大公因数是：
4 16
1
8和9的最大公因数是：大公因数；1和任何非0自然数的最大公因数是1；两个连续的自然数的 最大公因数是1。
巩固练习
1．请找出下面各组数的最大公因数：
5和7
34 和 17 3
3
16 和 48
15 和 16
6
15
1
17
16
1
★A=2X3X5，B=2X3X2，A和B的
最大公因数是（
）。
★A和B是两个相邻的非零的自然数，
它们的最大公因数是( )
★整数A除以整数B(A、B不为0，)商
是13,那么A和B的最大公因数是（ ）
★所有非零自然数的公因数是（ ）
★和24相邻的两个自然数是（ ）和
A. 1
B. 3
C. 4
D. 9
A
(2) 16 和 48 的最大公因数是______。
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
(3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因
数是______。
D
A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。
7 9 ( )1
； （4）甲是乙1的，倍2，数3，，甲6、乙的最大公因数是——。
6 1
1 18
乙
在相应的( )里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。
72 36 ( 3)6 24 ( 1)2 18 ( 6) 15 ( 3) 10 ( 5)
找出下面每组数的最大公因数。
公因数和最大公因数
第七课时公因数和最大公因数教学时间：教学目标1.在具体的操作活动中，探究度理解公因数和最大公因数的含义，能在集合图中分别表示出两个数的因数和它们的公因数。
2.学会用列举的方法找出100以内两个数的公因数和最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简洁的方法，进行有条理的思考。
教学重难点重点：寻找两个数的最大公因数，在集合图中分别表示出两个数的因数的它们的公因数。
突破方法：让学生利用对公因数的含义的理解，自主探究解决问题的方法，通过列举和集合两种不同的思路，启发学生从不同角度找出两个数的公因数和最大公因数。
难点：用列举的方法找出100以内两个数的公因数和最大公因数。
突破方法：重点练习学生找一个数的因数的准确性和速度，从而提高学生找两个数的公因数的准确性和速度。
教法与学法教法：教师从学生已有的知识和经验出发，引导学生通过具体的操作和交流活动，理解两个数的公因数的含义。
学法：学生通过小组合作、自主探究，感受解决问题策略的多样性，从而掌握新知。
教具准备长18厘米、宽12厘米的长方形纸片一张，边长6厘米和边长4厘米的小正方形纸片若干张，多媒体课件。
教学过程一、谈话导入谈话：之前我们已经学习过因数，你能说说18的因数有哪些吗？12的因数呢？你是怎样找一个数的因数的？指名学生口答。
揭示课题：今天这节课我们学习的新知识就和因数有密切的联系。
（板书课题）二、互动新授1．教学例9。
（1）操作活动。
出示长18厘米、宽12厘米的长方形和边长分别为4厘米、6厘米的正方形纸片。
让学生分别用正方形纸片铺长方形。
提问：哪种正方形纸片能正好铺满这个长方形？分组操作活动后，指名在黑板上操作。
操作后进一步启发学生思考：为什么边长6厘米的正方形纸片正好能铺满这个长方形？引导学生初步认识到：6既是18的因数，又是12 的因数。
（2）思考延伸讨论：还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？学生在小组内交流并汇报自己的想法。
第五讲 公因数与最大公因数(学生)
第五讲 公因数与最大公因数1. 结合解决问题理解公因数与最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法；2. 进一步发展初步的推理能力，在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据的进行思考。
知识装备：一个数时，最大因数是本身，最小因数都是1。
先找因数，再找公因数，然后找公因数中最大的一个。
初级挑战1471被一个两位数除，余数为37，求这个两位数。
思维导航：整数A 能被整数B 除，B 就叫做A 的因数。
被除数-余数=除数×商能力探索1用自然数A 去除498，450，414，得到相同的余数，则A 最大是多少？最大公因数：几个数公有的因数是公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
用符号（ ）表示；初级挑战2288的全部因数有多少个？所有因数相加的和是多少？思维导航：计算一个整数的因数的个数，其中质因数分解发挥着重要作用．能力探索2求下面各数的因数的个数。
72 60 144 120中级挑战1求下面各组数的公因数与最大公因数。
45和18 51和17 28和96 24、38和18能力探索3两个小于150的数的积是2028，它们的最大公因数是13，求这两个数。
中级挑战2用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，若每个花束的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有多少朵花？思维导航：有时解题方法是隐藏在条件中得，需要仔细分析才能发现。
能力探索4有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根，要把它们截成一样长的铁丝，且不浪费，问截下的铁丝最长多少分米，可截多少根．聪明泉理性思维的精华数学的思维是严密的，最讲究秩序的。
确实，五花八门的几何图形，如三角形、圆、多边形、长方体、圆锥面等等，居然可以从一组平凡的公理出发，步步为营，依次展开，推论出一系列的前后有序的定理链条，最后构成了欧氏几何学。
另外，我们能从一堆乱麻似的数据中，找到一些关系，写成方程式，而且可以按部就班地把未知数一一解出来。
公因数和最大公因数-课件
24cm
36cm 2021/84/6是2244÷和1326=的2 公因36数÷吗12？=3为什么？ 5
12和18的公因数有哪些？ 最大公因数是几？
1.分别写出12和18的所有的因数, 再找出公因式. 2.先找出12的因数,再从12的因数中 找出18的因式.
12和18的公因数中最大的一个是6, 6就是12和18的最大公因数.
2021/4/6
17
10.把一张长方形纸(如下图)裁成同样大小，面积尽 可能大的正方形,纸没有剩余,至少可裁多少个?
边长 4cm
12cm
2021/4/6
20cm
18
11.把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带 且没有多余பைடு நூலகம்每根短彩带最长是多少厘米?
45cm
30cm
(45,30) =15 45的因数: 1,45, 3,15, 5,9 ; 30的因数: 1,30, 2,15, 3,10, 5,6; 45和30的公因数: 1, 3, 5, 15.
5和15 21和7 11和33 60和12
3和5 12和1
8和9 4和15
你发现了什么?和大家交流.
2021/4/6
14
7.写出每组数的最大公因数.
7和10 4和9
12和24 27和3
14和21 9和12
2021/4/6
15
8.你能说出下面每个分数中分子和分母 的最大公因数和最小公倍数吗?
6
15
多有几位同学吗?
2021/4/6
23
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/6
24
2021/4/6
21
14.写出每组数的最小公倍数.
4和9 (4,9)=36
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