《高等数学》单元自测题
高等数学练习题附答案
第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 21lim2x x x →=+- . 3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线()121e x y x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ .A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A ．01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时，tan e1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 45. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.22x →2．()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123n nnn →∞++4．21sinlimx x →+∞5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .6．142e sin lim1exxxxx→⎛⎫+⎪+⎪⎪+⎝⎭7．limx+→四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim22xax x bx x→-+=-+-2．(lim1 xx→-∞+=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa bxf x a b a bxx⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x=处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题6分）第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=. 3.d x = . 4.设sin (e )x y f =，其中()f x 可导，则d y = . 5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()limx f x x f x x x→+--= .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =- 时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x a y x a a =++(4)cos (sin )x y x =2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2ln sin y x x x =+ (2)21cot e xy =(3)y x =3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分） （1）2cos ln y x x = （2）11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题6分）6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题6分）7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0a b >>均为常数，则30lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭. 2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.3arctan limln(12)x x xx →-=+ . 4.曲线2e x y -=的凹区间 ，凸区间为 . 5.若()e xf x x =，则()()n f x 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C ．(0,(0))f 是曲线的拐点D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 .A.()f x 在(0,)δ内单调增加.B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.C.(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分） （1）当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.（2）当02x π<<时，2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0e e 2lim sin x x x xx x-→---（2）21sin 0lim(cos )xx x →（3）10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分） （1）1233()(1)f x x x =-（2）2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln0ex x+=只有一个实根.（本题7分）第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. ， 4.5. 水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.. 2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4) 两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，. 故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．2．3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：拐点6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。
高等数学(医药专业)自测题
第一章章节自测一、填空题（每小题 2 分，共20 分）1. 设函数,)(,ln )(12+==x e x g x x f 则=))((x g f 。
2. 函数)2ln(34+=x xy 的定义域为 。
3. =++-∞→323)2(123lim x x x x 。
4. =→xxx 2sin lim0 。
5. e xkx x =+∞→2)1(lim ，则=k 。
6. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=01001)(x x x x x x f ，则)(lim 0x f x → 。
7. 若32lim22=-+-→x ax x x ，则=a 。
8. 设当0→x 时，2ax 与4tan 2x 为等价无穷小，则=a 。
9. 设函数)0(sin )(≠=a x ax x f 在0=x 处连续，且21)0(-=f ，则=a 。
10. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<-=2131113)(2x x x ax x x f 在1=x 处连续，则=a 。
二、选择题（每小题 3 分，共30 分）1. 函数)1()(+=x x x f 与1)(+=x x x g 在（ ）内表示同一个函数。
A. ]0,1[-； B . ]1,(-∞；C . ),0[+∞；D . ),1[+∞-。
2. 设函数)(x f 的定义域为]1,0[，则函数)12(-x f 的定义域为（ ）。
A. ]21,21[-； B. ]1,21[； C. ]1,0[； D. ]1,21[-。
3. 函数x x x f sin )(3=是（ ）。
A. 奇函数 ；B. 偶函数；C. 有界函数；D. 周期函数。
4. 220sin lim xmx x →（m 为常数）等于（ ）。
A. 0； B. 1； C. 2m ； D. 21m。
5. 当0→x 时，2x 与x sin 比较，则（ ）。
A. 2x 是较x sin 高阶的无穷小量； B. 2x 是较x sin 低阶的无穷小量；C. 2x 与x sin 为同阶无穷小量，但不是等价无穷小量；D. 2x 与x sin 为等价无穷小量。
《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (4)
自测题二一、单项选择题（每题2分，共30分）．1．函数)(x f y =在0x 处连续是它在0x 处可导的（ ）．（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件． 2．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在（ ）． （A ）在0x 处的切线的斜率； （B ）在点))(,(00x f x 处切线的斜率； （C ）在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切； （D ）在点0x 处的切线的倾斜角．3. 设)(x f 是可导函数，当)(x f 为偶函数，则)(x f '是（ ），当)(x f 是奇函数，则)(x f '是（ ）．（A ）偶函数； （B ）奇函数； （C ）非奇非偶函数； （D ）以上结论都不对． 4．函数在某点处不可导，函数所表示的曲线在相应点处的切线（ ）．（A ）一定不存在；（B ）不一定不存在； （C ）一定存在； （D ）以上结论都不对． 5. 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则=')(a f （ ）． （A ）)(a a ϕ； （B ）)(a a ϕ-； （C ）)(a ϕ-； （D ）)(a ϕ． 6. 函数|sin |x y =在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续可导； （D ）连续不可导．7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续但可导； （D ）连续但不可导． 8. 设xe y 1=，则=dy （ ）． （A ）dx e x1； （B ）dx ex 21-； （C ）dx e x x 121； （D ）dx e xx 121-．9. 函数||x x y =在点0=x 处的导数是（ ）．（A ）x 2； （B ）x 2-； （C ）0； （D ）不存在． 10. 函数||x e y =在0=x 处的导数是（ ）．（A ）1； （B ）1-； （C ）0； （D ）不存在． 11. 已知y x y ln =，则='x y （ ）． （A ）y x ； （B ）y ln ； （C ）x y y y -ln ； （D ）yxy +ln ． 12. 函数)ln(xxb a y +=的导数是（ ）．（A ）)ln ln (1b b a a ba x x x xx ++； （B ）)10ln(-a ； （C ）)(10ln 1x x x x b a b a ++； （D ）)ln ln (10ln b b a a ba xx x xx ++． 13. 设)(sin x f y =，则=dy （ ）．（A ）xdx x f sin )(sin '； （B ）dx x f )(sin '； （C ）xdx x f cos )(sin '； （D ）xdx x f sin )(sin ． 14. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数xx f x F )()(=的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点． 15. 若⎩⎨⎧>+≤=11cos )(x b ax x x x f ，且)1(f '存在，则必有（ ）．（A ）1,1-==b a ； （B ）1sin ==b a （C ）1sin 1cos ,1sin +=-=b a ； （D ）0,1==b a ． 二、填空题（每题3分，共30分）． 1．若)(x f 在a x =处可导，则=--+→hmh a f nh a f h )()(lim．2．若)]1[sin(sin )(2+='x x f ，4)0(=f ，则==4y dydx ．3．若⎩⎨⎧==mty t x ln ，则1=t nn x d yd ．4．若2sin x y =，则)(2x d dy． 5．若已知yx e xy +=，则dxdy． 6．=')(sin xx ．7．='+)1(xx ．8．设)1ln(ax y +=，a 为非零常数，则='y ，=''y ．9．已知t e x tsin =，t e y tcos =则==2πt dxdy ．10．已知)0()(≠='K Ke x f x，则)(x f y =的反函数的二阶导数=22dyxd ．三、计算下列各题（每题10分，共60分）．1．1ln 44+=xx e e y ，求0='x y ． 2．设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ，求40π==y x dxdy ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2arcsin 22tancos t y t t x t ，求0=t dx dy ．4．设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，求)(t f '．5．设⎩⎨⎧==-tt e y te x ，求dx dy ，22dx yd ． 6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0,2sin 0,)(x b x x e x f ax ，且)0(f '存在，求b a 、． 四、（５分）求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy ．五、（５分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f ，试讨论)(x f '在0=x 处的连续性．。
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册第一章 函数与极限一、 选择题： 1．函数1arccos2x y +=的定义域是（ ） (A)1x ≤； (B)31x -≤≤；(C)(3,1)-； (D){}{}131x x x x <⋂-≤≤. 2.函数23,401,03x x x x --≤≤⎧⎨+<≤⎩的定义域是（ ）(A)40x -≤≤；(B)3≤;(C)(4,3)-; (D){}{}4003x x x x -≤≤⋃<≤. 3、函数cos sin y x x x=+是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数()1cos2f x xπ=+的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)12. 5、函数21x x +在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且1122()f x ≤≤； (D)有界，且 2221x x -≤≤+ .6、与()f x =等价的函数是（ ）(A) x ；(B) 2；(C)3； (D) x .7、当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）（A ）2x ； （B ）1cos x -；（C ）tan x x -； （D ）ln(1)x +. 8、设0,0,a b≠则当（ ）时有10101010........lim .........m m m n n x na x a x a ab x b x b b --→∞+++=+++ .(A)m n > ； (B)m n = ；(C)m n < ； (D),m n 任意取 .9、设1,10,01x x x x --<≤⎧⎨<≤⎩,则0lim ()x f x →=( ) (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 .10、0lim x xx →（ ） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在.二、求下列函数的定义域： 1sin(21)arctan ;y x x =++、 2、()x φ=三、 设2(1)231g x x x -=--（1） 试确定,,a b c的值使 2(1)(1)(1)g x a x b x c-=-+-+ ； （2） 求(1)g x +的表达式 . 四、 求2()(1)sgn f x x x=+的反函数1()f x -.五、 求极限：1、2221lim (1)n n n n →∞++- ； 2、3x → ； 3、2lim(1)xx x →+ ； 4、1lim (1)xx x e→∞- ； 5、当x ≠时，limcos cos ........cos 242n n x x x→∞ ；6、21sinlimx x →+∞.六、 设有函数sin ,1()(1)1,1ax x f x a x x <⎧=⎨--≥⎩试确定a的值使()f x 在1x =连续 . 七、 讨论函数1arctan1()sin2x x f x xπ-=的连续性，并判断其间断点的类型 .八、 证明奇次多项式： 2120121()n n n P x a xa x a ++=+++L 0(0)a ≠至少存在一个实根 .第二章 导数与微分一、 选择题： 1、函数()f x 在点0x 的导数0()f x '定义为（ ） （A ）00()()f xx f x x+∆-∆； （B ）000()()limx x f x x f x x →+∆-∆；（C ）00()()limx x f x f x x →-∆； （D ）000()()limx x f x f x x x →--；2、若函数()y f x =在点0x 处的导数0()0f x '=，则曲线()y f x =在点(0,()x f x )处的法线（ ）（A ）与x 轴相平行；（B ）与x 轴垂直；（C ）与y 轴相垂直；（D ）与x 轴即不平行也不垂直：3、若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x ( )（A ）必不可导； （B ）必定可导；（C ）不一定可导； （D ）必无定义.4、如果()f x =（ ），那么()0f x '=. (A) arcsin2arccos x x +；(B) 22sec tan x x +；(C) 22sin cos (1)x x +-；(D) arctan x +arc cot x .5、如果2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末（ ） （A ）1a b ==； （B ）2,1a b =-=-； （C ）1,0a b ==； （D ）0,1a b ==. 6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时， ()f x 的n 阶导数()()n fx 是（ ）（A ）1![()]n n f x +； （B ） 1[()]n n f x +； （C ） 2[()]nf x ； （D ）2![()]nn f x . 7、若函数()x x t =,()y y t =对t 可导且()0x t '≠,又()x x t =的反函数存在且可导，则dydx =（ ）（A ）()()y t x t '； （B ）()()y t x t '-'； （C ）()()y t x t ''； （D ）()()y t x t '.8、若函数()f x 为可微函数，则dy （ ）（A ）与x ∆无关；（B ）为x ∆的线性函数；（C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小；（D ）与x ∆为等价无穷小. 9、设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0xx+∆时，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）∞.10、设函数()y f x =在点0x 处可导，且0()0f x '≠，则 0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）∞ .二、求下列函数的导数：1、2sin ln y x x =； 2、cosh xy a = （0a >）； 3、2sec (1)xy x =+ ； 4、2ln[cos(103)]y x =+；5、设y 为x的函数是由方程arctanyx=确 定的；6、设2x yy=+，322()u xx =+，求dydu .三、证明sin tx e t =，cos ty e t =满足方程222()2()d y dyx y x y dx dx+=- .四、已知()cos ,0(),0g x xx f x xa x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =，1、确定a 的值，使()f x 在0X =点连续；2、求()f x ' 五、设ln ,y x x =求()(1)n f .的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章 微分中值定理一、 选择题： 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法 .（B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
大一高等数学单元自测题
1.设是以3为周期的奇函数，且，则（）A.2B.-1C.1D.-2 正确答案：1解题思路：因为是以3为周期的奇函数，所以。
2.设，则=（）．A. B.6 C.0 D.2 正确答案：解题思路：因，故=．3.设则（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：．4.为无穷小量的条件是（）。
A. B. C. D.正确答案：解题思路：，则所以．5.函数的微分（）．A. B. C.D.正确答案：解题思路：=．6.设，则（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：。
7.（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：。
8.已知曲线，则这条曲线平行于直线的切线方程为（）．A. B.， C.，D.正确答案：，解题思路：因曲线在任意一点的切线斜率，故所求切线的斜率，从而，所以切点为和，所求切线方程为，和，即，．9.下列各对函数中，表示同一函数的是（）A.和B.和C.和D.和正确答案：和解题思路：和是同一函数，其余三项中的函数定义域不同。
10.曲线在点处的切线斜率为（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：对此方程两边求的导数，得，故，从而切线的斜率为．11.=（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：==．12.函数的定义域为（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：要函数有意义，必有，故其定义域是：．13.=（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：因，故．14.函数的间断点为（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：因函数为初等函数，而初等函数在其定义域内都是连续的，故函数的间断点为其没有定义的点．15.=（）。
A. B. C. D.不存在正确答案：解题思路：=．16.设，则（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：，以此类推，。
17.如果函数具有任意阶导数且，则（）．A.-B.-4C.4D.正确答案：-4解题思路：设。
18.=（）。
A. B. C. D.正确答案：解题思路：===．19.设，则的值为（）。
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.
第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
高数笔记单元测试题及答案
高数笔记单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 无定义2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 函数 \( y = \ln x \) 的定义域是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)4. 曲线 \( y = x^3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 函数 \( f(x) = 3x - 2 \) 的反函数是：A. \( x = 3y - 2 \)B. \( y = \frac{x + 2}{3} \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( x = \frac{y + 2}{3} \)6. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. 17. 函数 \( y = \sin x \) 的周期是：A. \( 2\pi \)B. \( \pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \)8. 函数 \( y = e^x \) 的导数是：A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( 1 \)9. 微分 \( dy \) 与 \( dx \) 的关系是：A. \( dy = f'(x) dx \)B. \( dy = f(x) dx \)C. \( dx = f'(x) dy \)D. \( dx = f(x) dy \)10. 若 \( \int f(x) dx = F(x) + C \)，则 \( \int f'(x) dx \) 是：A. \( f(x) \)B. \( f'(x) \)C. \( F(x) \)D. \( C \)答案：1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A二、简答题（每题5分，共10分）1. 什么是泰勒级数？请给出 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
高等数学测试题及答案1-9章全
高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。
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《高等数学》单元自测题
第一章 极限与函数的连续性
专业 班级 姓名 学号
一、 填空题：
1．设()x
x x f +-=11，则()[]x f f =_____________。
2． =<<+-∞→)0(lim b a b a b a n
n n
n n ________ __。
3． ()x
x x 3021lim -→=_______ ___。
4． =++∞→x
x x x 1sin 2332lim 2___ _______。
5． 已知0→x 时()11312-+ax
与1cos -x 是等价无穷小，则=a __________。
6． 函数
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x
的连续区间是_____ _____。
二、 选择题：
1．设函数()x f 的定义域是[]1,0，2
10<
<a ，则函数()()a x f x g +=()a x f -+的定义域是（ ）。
（A ）[]a a -1,； （B ）[]a a +1,； （C ）[]a a --1,； (D) []a a +-1,。
2．已知极限0)2(lim 2=++∞→kn n
n n ，则常数=k （ ）。
(A) 1- ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。
3．若()A x f x x =→0
lim ，则下面选项中不正确的是（ ）。
(A) α+=A x f )(，其中α为无穷小； (B))(x f 在0x 点可以无意义；
(C))(0x f A = ； (D) 若0>A ，则在0x 的某一去心邻域内0)(>x f 。
4． 当0→x 时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。
(A) 2sin x ； (B) 2cos 1x -； (C) ()21ln x +； (D) ()
1e -x x 。
5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0
),1ln(1
0,0,
sin )(x x x x b x x ax x f 在点0=x 处连续，则常数b a ,的值为（ ）。
(A) 0,0==b a ； (B) 1,1==b a ；
(C) 1,1-=-=b a ； (D)1,1-==b a 。
6． 方程014=--x x 至少有一个根的区间是（ ）。
(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，； (B) ⎪⎭⎫
⎝⎛121，； (C) ()21，； (D)
()32，。
三、 计算下列各题：
1．求函数1e e +=x x
y 的反函数，并求反函数的定义域。
2．求极限()11lim --+∞→n n n n 。
3．求极限⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++∞→n n n n n n 2222211lim 。
4．求极限⎪⎭⎫
⎝⎛---→1311
lim 31x x x 。
5．设82lim =⎪⎭⎫
⎝⎛-+∞→x
x a x
a x ，求常数a 。
6．求极限()212
0tan 31lim x x x +→。
7．讨论函数()()()1122--=
x x x x x f 的间断点及其类型。
四、 证明题：
1. 设21=x ，)1(211n
n n x x x +=+() ,2,1=n ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求极限值。
2. 设函数()x f 在[]b a ,上连续，且()b x f a <<。
证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使()ξξ=f 。