高一数学平面向量PPT精品课件
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高一数学《平面向量基本定理》(课件)
A
C
a
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
C
a
A
e1
a
O
C'
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(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
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2
A
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O A'
M
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2
B
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a
A
e1
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平面向量基本定理:
平面向量基本定理:
N
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
高一数学平面向量知识点复习ppt公开课获奖课件
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
第8页
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
第14页
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
第12页
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
第6页
例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
第8页
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
第14页
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
第12页
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
第6页
例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
高一数学平面向量复习课件
数乘向量
要点一
总结词
数乘向量是将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向 量。
要点二
详细描述
数乘向量是一种扩展了向量加法的运算。给定向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x, y)$和一个实数$k$， 数乘后的向量$koverset{longrightarrow}{a} = (kx, ky)$ 。当$k > 0$时，数乘后的向量方向与原向量相同；当$k < 0$时，数乘后的向量方向与原向量相反；当$k = 0$时 ，数乘后的向量为零向量。
VS
详细描述
正定性指的是当两个向量的夹角为锐角时 ，它们的数量积大于0；当夹角为直角时 ，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量 积小于0。负定性指的是当两个非零向量 的夹角为π弧度时，它们的数量积小于0 。齐次性指的是向量的数量积满足齐次性 ，即对于任意实数λ和μ，有 (λa+μb)·c=λ(a·c)+μ(b·c)。
高一数学平面向量复
习课件
汇报人：
202X-12-30
• 平面向量的基本概念 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积 • 平面向量的应用
目录
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义
总结词
平面向量是二维空间中的有向线段，由起点和终点唯一确定 。
详细描述
平面向量是一种数学对象，表示为起点和终点的有向线段。 它具有方向和长度，通常用箭头表示。在平面直角坐标系中 ，一个向量可以用一个带箭头的线段表示，起点固定在坐标 原点。
向量积的几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算对 象的两个向量，并遵循右手定则
。
大小
向量积的大小等于作为运算对象的 两个向量的模长与其夹角的正弦值 的乘积。
平面向量的概念课件(共34张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
高一数学新课标平面向量课件
在平面上，如果选取互相垂直 的向量作为基底，将为我们研究问 题带来方便.
探究新知
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面 内的一个向量呢？
如图，i，j是分别与x轴、y轴方向 相同的单位向量， 取{i，j}作为基底，则有且只有一对 实数x，y，使得
巩固练习
3．若点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)则AB与CD 有什么位置关系？证明你的猜想.
解：AB∥CD. 证明如下：
因为 AB =(1,-1),CD =(1,-1), 所以 AB=CD . 又因为AB与CD不共线，
所以AB∥CD.
课堂小结 向量
向量基本定理
基本定理 正交分解
a a
e1
e2
m n
( 1()1 )
( 2()2 )
a e1 2e2
a 3 n 3m 2
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量
解比较简单？
进行分
探究新知
正交分解
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2
a＝xi+yj
探究新知
向量的坐标表示
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把 有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作
a＝（x, y）． ① 其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， ①叫做向量a的坐标表示．
追问：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ i =(1, 0) j =(0, 1) 0 =(0, 0)Leabharlann 加法坐标表示坐标表示
减法坐标表示
探究新知
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面 内的一个向量呢？
如图，i，j是分别与x轴、y轴方向 相同的单位向量， 取{i，j}作为基底，则有且只有一对 实数x，y，使得
巩固练习
3．若点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)则AB与CD 有什么位置关系？证明你的猜想.
解：AB∥CD. 证明如下：
因为 AB =(1,-1),CD =(1,-1), 所以 AB=CD . 又因为AB与CD不共线，
所以AB∥CD.
课堂小结 向量
向量基本定理
基本定理 正交分解
a a
e1
e2
m n
( 1()1 )
( 2()2 )
a e1 2e2
a 3 n 3m 2
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量
解比较简单？
进行分
探究新知
正交分解
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2
a＝xi+yj
探究新知
向量的坐标表示
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把 有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作
a＝（x, y）． ① 其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， ①叫做向量a的坐标表示．
追问：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ i =(1, 0) j =(0, 1) 0 =(0, 0)Leabharlann 加法坐标表示坐标表示
减法坐标表示
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5.1
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
7
a
b
C
O BA
c
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解：
B
A
O A C B D O ;
O D F O .
D
F E
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
有关向量的概念：
➢ 向量长度：向量的大小，亦称模.
➢ 零向量：长度为零的向量. ➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ➢ 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量. 共线向量：即平面向量. 如图，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任 取一点O，则可在l上分别作出 O A a ,O B b ,O C c 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
三要素：起点—起点一定在终点前面 方向—在有向线段的终点处画上箭头表 示方向
长度—已知AB，线段AB的长度,记作| AB |
定义：既有大小又有方向的量.
向量表示法： •有向线段法——-有向线段的方向表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向. •其他表示法——-用字母a,b,c等表示，或用表 示向量的有向线段的起点和终点字母表示.
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
7
a
b
C
O BA
c
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解：
B
A
O A C B D O ;
O D F O .
D
F E
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
有关向量的概念：
➢ 向量长度：向量的大小，亦称模.
➢ 零向量：长度为零的向量. ➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ➢ 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量. 共线向量：即平面向量. 如图，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任 取一点O，则可在l上分别作出 O A a ,O B b ,O C c 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
三要素：起点—起点一定在终点前面 方向—在有向线段的终点处画上箭头表 示方向
长度—已知AB，线段AB的长度,记作| AB |
定义：既有大小又有方向的量.
向量表示法： •有向线段法——-有向线段的方向表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向. •其他表示法——-用字母a,b,c等表示，或用表 示向量的有向线段的起点和终点字母表示.