流体力学——平板边界层编程
对于本次编程编程作业，小组运用matlab 和c++两种程序对平板边界层问题和绕过楔形体边界层流动问题进行分析研究。
以下是运用matlab 解决问题的过程。
一、 平板边界层问题该问题可以归结为在已知边界层条件下解一个高阶微分方程,即解0''5.0'''=+ff f 。
Matlab 提供了解微分方程的方法，运用换元法将高阶微分方程降阶，然后运用“ode45”函数进行求解。
函数其难点在于如何将边界条件中1',→∞→f η运用好，由四阶龙格-库塔方法知其核心是换元试算匹配，故在运用函数时通过二分法实现1',→∞→f η是可行的。
程序如下：第一问m 函数function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); dy(1) = y(2); dy(2) = y(3);dy(3) = -0.5*y(1)*y(3);%第一问main 程序[T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') %二分法试算f ’’的初始值以满足f ’趋向无穷时的边界条件，图像上可以清晰看出f ’无穷时的结果 >> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') >> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.5]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') >> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.25]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')>> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.375]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') >> grid on>> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.3125]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') >> grid on>> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.34375]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') grid on>> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.328125]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') grid on>> [T,Y] = ode45('rigid',[0 10],[0 0 0.328125]);%当f ’’为0.328125时，逼近结果已经很好，在0到5的变化范围内已经非常接近精确解 plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') grid on>> [T,Y] = ode45('rigid',[0 5],[0 0 0.335975]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') grid on选取f’’=0.335975时的数据展示，T代表η的变化，Y的第一二三列代表ff,f,'''为形象展示所得结果，如图-1所示：二、楔形绕流边界层问题解决绕过楔形的边界层流动问题与平板问题的不同之处在于微分方程变为0α，其中α可取1，并不失其普遍性，由于β+ffβ+ff'''2=)'1(''-小于-0.199时会发生分离，该微分方程不再适用，故β取值大于-0.199。
其解法与平板绕流类似，在平板绕流基础上增加β的变化即可。
程序如下：第二问m函数function dz = rigid1(t,z)dz = zeros(3,1);t=-0.199; %其中t表示β的变化，可由-0.199至无穷大dz(1) = z(2);dz(2) = z(3);dz(3) = -z(1)*z(3)-t*(1-z(2)^2);第二问main函数[T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') %二分法试算f’’的初始值以满足f’趋向无穷时的边界条件，图像上可以清晰看出f’无穷时的结果>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 1]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0.5]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0.25]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0.15]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')>> grid on>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0.05]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')>> grid on>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0.025]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')grid on%当f’’为0.025时，逼近结果已经很好，在0到5的变化范围内已经非常接近精确解plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')grid on>> [T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 0]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')grid on选取β=-0.199,f’’=0.025时的数据进行展示，程序代码中T代表η的变化，y(i)的代表''f的值。
第二个问题的数据如下表：f,f,'当β变化时，只需要更改主程序中t的值即可，再运用main程序解微分方程即可得到相应的解。
三、优化楔形绕流问题的算法初值的选取对于减少计算量有很大帮助，首先考虑运用拟合得到经验性公式，尝试如下：在β变化时按此式（其中t代表β）f''=-0.2877t^2+1.1892t+0.3915变化f’’相应的初值利于快速得到结果。
该式子是由二阶拟合多组数据得到的结果。
具体程序为x = [-0.1988 -0.19 -0.18 -0.16 -0.14 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.80 1.00 1.20 1.60 2.00];y = [0 0.0860 0.1285 0.1905 0.2395 0.3191 0.4696 0.5870 0.6869 0.77680.8542 0.9277 0.9960 1.120 1.233 1.336 1.521 1.687];A = polyfit(x,y,2)z = polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%f''=0.2133*t^3-0.8160*t^2+1.4229*t+0.4189 三阶公式%f''=0.2826*t^5-1.4303*t^4+2.6049*t^3-2.1971*t^2+1.5037*t+0.4723 五阶公式图像如图-3因此，在β发生变化时只需要在主程序中相应的变化t值即可。
例如取β=1.2时，由f''=-0.2877t^2+1.1892t+0.3915式子可得初值为1.4030,更改m函数中t值为1.2，再调用main函数，并赋予f’’新的初值，如下：[T,Y] = ode45('rigid1',[0 5],[0 0 1.3199]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')grid on应用过程中发现f’并不能较快的趋近于1，即使运用四次拟合公式（f''=0.2826*t^5-1.4303*t^4+2.6049*t^3-2.1971*t^2+1.5037*t+0.4723）也不能较快的得到收敛的结果，其主要原因是精度达不到要求和拟合本身的误差过大。
《流体力学》课件 4.3 普朗特边界层方程
2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
平板边界层实验指导1213
平板边界层实验指导一．实验目的1）测量平板边界层流速剖面，加深对边界层概念的认识；了解层流和湍流边界层的差异。
2）掌握热线风速仪和皮托管测速技术。
二．实验原理U 大Re 数绕平板流动，在平板边界附近有一个薄层，流速从平板处的零值，经过该层迅速增大到接近来流速度U ，此薄层被称为边界层。
通常定义0.99u =处到平板的距离为边界层厚度。
在平板的前段，边界层内流动呈层流状态，即层流边界层。
建立直角坐标系如图1，原点在平板前端，x 轴沿来流方向，轴垂直平板。
定义局地雷诺数y Re x Uxν=，ν为流体的运动学粘性系数。
从平板前端向后，在某个x 位置以后，Re x 足够大，边界层内流动变得不稳定；继续向后，当Re x 超过临界值Re xc 后，边界层内流动发展为湍流。
Re xc 被称为转捩雷诺数，其大小受多种因素影响，包括来流湍流度、平板粗糙度和其他扰动等。
对光滑平板边界层的观测研究表明，在低湍流度风洞中（湍流度低于1%），Re xc 可达；对于较大的来流湍流度，Re 610xc 也可以低至几千甚至几百。
在层流边界层中，粘性力与惯性力同量级。
除平板前端外（Re 100x <），层流边界层流速剖面满足Blasius 解，即()u Uf η′=，f满足200,0,1f ff f f f ηη′′′′′+=⎧⎪′===⎨⎪′=∞=⎩--------------------(1)其中η=该速度剖面如图2所示。
相应地，层流边界层厚度c δ≈从固壁向外，湍流边界层可分为粘性底层、过渡区和湍流核心区。
在粘性底层内，分子粘性应力远大于湍应力，流速呈线性分布。
在湍流核心区，情况正好相反，分子粘性可略，流速呈对数分布。
设u u u +∗=，yu y ν∗+=，其中u为脉动平均流速，u ∗=为摩擦风速，wτ为壁面上的切应力，ρ为流体密度。
在粘性底层u y +=+，-------（2-1） 在湍流核心区1ln u y κ++=C +，-------（2-2）常数和由实验确定。
平板层流边界层内速度分布规律
在流体力学中，平板层流边界层是一个非常重要的概念，它描述了流体在平板表面附近的流动情况。
在平板层流边界层内，流体的速度分布呈现一种特定的规律，这种规律可以用数学公式来描述。
根据实验和理论分析，我们发现平板层流边界层内的速度分布呈现线性分布的特点。
也就是说，在边界层内，流体的速度随着离开平板表面的距离的增加而线性增加。
这种线性分布规律可以用公式表示为：u = u0 + βx，其中u是x位置处的速度，u0是平板表面处的速度，β是速度梯度，x是距离平板表面的距离。
这个公式非常简单，但它却准确地描述了平板层流边界层内速度分布的基本规律。
这个规律是通过大量的实验和理论分析得出的，具有很高的可信度。
通过这个公式，我们可以了解到流体的速度是如何随着离开平板表面的距离而变化的，这对于理解流体动力学的基本规律和解决实际工程问题具有重要的意义。
此外，平板层流边界层的形成还受到多种因素的影响，如流体本身的性质、平板表面的粗糙度以及流体的流动条件等。
不同的流体和流动条件下，平板层流边界层的形成机制和速度分布规律可能会有所不同。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况对平板层流边界层的速度分布进行测量和计算，以便更好地理解和控制流体流动。
总之，平板层流边界层内速度分布的线性规律是一个非常重要的流体动力学概念，它对于理解流体动力学的基本规律和解决实际工程问题具有重要的意义。
通过深入研究和探索这个规律，我们可以更好地掌握流体动力学的本质，为未来的科学研究和技术创新提供更加
坚实的基础。
平板层流边界层编程说明
g z n f 0 1 3
2. 求解关于无量纲流函数f的常微分方程组，得到无量纲速度；
1 df1 f f f 0 f2 2 d f1 0 0 转换为常微分方程组 f 0 0 df 2 f3 f 2 0 0 f 0 0 d 1 3 f 0 3 df 3 1 f f 1 f 0 1 3 3 d 2 u ? 四阶 Runge- Kutta法求解 U v ? U
五、程序框图
设定η合理的分析范围和步长
采用四阶Runge-Kutta法求解置换函数 g，得到待定系数β
根据β，采用四阶Runge-Kutta法求解 无量纲流函数f
确定无量纲速度u、v
画出u、v的分布曲线
六、参考示例
u U f v 1 f f U 2 U x
四、程序的原理说明
设定η合理的分析范围和步长，采用改进的四阶Runge-Kutta 法进行求解： 1. 求解关于置换函数g的常微分方程组，确定待定系数β；
dg1 1 dz g 2 g 2 gg 0 g1 0 0 转换为常微分方程组 g 0 0 dg 2 g3 g 2 0 0 g 0 0 dz g 3 0 1 dg 1 3 g1 g 3 g 0 1 2 dz
平板层流用四阶Runge-Kutta法分析二维平板层流边界层流动。 求解：流场内无量纲流函数及其各阶导数，画出速度分布曲 线。
二、问题的描述
U∞
η
f 1
f 0 0,
《水力学》课件——第九章 边界层理论基础
位移厚度 1
因为有了边界层，使通
y
过断面的流量比理想流体
流动时减少了
(U ux ) d y
0
δ
0.99U ux
把这些流量折合成理想
流体流动通过一个厚度 1
δ
的流量，这个厚度就叫做
1
位移厚度。
根据定义
u
1 = (1
0
x )d y U
y
0.99U
边界层使来流的流线
向外排挤了位移厚度的
δ
ux
距离，所以位移厚度也
u x (U
0
根据定义
u
2=
x (1 0U
ux) d y u x)d y U
显然, 2< 1
§9—4 平板边界层动量积分方程
对平板绕流的如图区域应用动量方程，进口断面选在平板前缘 处，出口断面离前缘距离为x，出口断面厚度为当地边界层厚度 δ(x)，进口断面厚度取为出口断面的δ(x)-δ1(x)，这样通过进 口断面和出口断面的流量是相等的，必有一条流线可以连接两 个断面的厚度，用它作为区域的上边界。
一侧摩擦力
Cf =
摩阻系数
1
D
= 1.328 el
U 2 (bl)
R 1/2
2
二.平板紊流边界层
平板紊流边界层兼有 壁面紊流和自由紊流的
① 粘性底层 0 < y+ < 5 ② 过渡区 5 < y+ < 70
性质，在边界层的外 区，流动特性与圆管紊 流有所不同。
③ 紊流区
+>
<
④ 不稳定区
y 0.4
由于平板首部转捩点前必有一段层流边界层，所以不存在全 程为紊流的边界层，只能是混合边界层。按全程为紊流边界层 的摩擦阻力计算应作修正。
流体力学的边界层
流体力学的边界层
哎呀呀，一听到“流体力学的边界层”这个词，是不是感觉脑袋都大啦？其实我一开始也是这样的，觉得这东西可难可难啦！
你想想啊，咱们平常看到的水流、气流，好像就是那么随意地流来流去，可谁能想到这里面还有这么个神秘的“边界层”呢？
就比如说，咱们在河里玩水，水从咱们脚边流过，感觉凉凉的、滑滑的。
可你有没有想过，靠近咱们脚的那一层水，和远处的水流动的方式不太一样呢？这靠近咱们脚的这一层，就是边界层啦！
有一次，我和小伙伴们做了一个有趣的实验。
我们弄了一个小小的水槽，里面装满了水，然后让水慢慢流出来。
我们发现，在水槽的边上，水好像流得特别慢，就像是被什么东西拖住了一样。
这难道不神奇吗？
再打个比方，就像咱们跑步的时候，身边的风呼呼地吹。
靠近咱们身体的那一层风，跑起来就没那么顺畅，这也像是一种边界层的现象呢！
那这个边界层到底有啥用呢？这可太重要啦！比如说飞机的翅膀，要是不考虑边界层的影响，飞机可能就飞不起来啦！还有汽车的外形设计，也得考虑边界层，要不然风阻大得吓人，得多费油啊！
我就好奇地问老师：“老师，这边界层咋这么神奇啊？”老师笑着说：“孩子，这世界上神奇的东西多着呢，边界层只是其中一小部分。
”我又接着问：“那怎么才能更好地研究它，让它为我们服务呢？”老师摸摸我的头说：“只要你们好好学习，以后就能明白啦！”
我心里就想，哼，我一定要把这神秘的边界层搞清楚！
你说，这流体力学的边界层是不是特别有趣？它就像是一个隐藏在我们身边的小秘密，等着我们去发现，去探索！我觉得啊，只要我们用心去观察，去学习，就能揭开它神秘的面纱，让它为我们的生活带来更多的便利和惊喜！。
流体力学中的边界层理论
流体力学中的边界层理论流体力学是研究流体运动和相互作用的学科。
在流体力学中，边界层理论是一个重要的概念，它描述了流体靠近固体壁面时的流动特性。
本文将介绍流体力学中的边界层理论，从基本原理到应用实例，全面探讨这一理论的重要性和实际价值。
一、边界层现象的定义和意义在流体力学中，边界层是指流体流动中靠近固体表面的一层，其流动特性与远离边界的无限远处的流体不同。
边界层现象的产生和发展对于很多实际问题都具有重要意义。
例如，当空气流过汽车的外表面时，边界层的存在会对气流的分离和阻力产生影响。
准确理解和掌握边界层理论，对于优化设计和改善物体运动性能具有重要作用。
二、边界层理论的基本原理1. 平衡条件边界层理论的基本假设是边界层内的流动是定常流动和局部平衡的。
在这一假设下，可以利用物理量的守恒方程和牛顿运动定律来进行分析和计算。
2. 边界层方程边界层方程是描述边界层内流体运动的关键方程组。
它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程考虑了流体内部各个物理量的平衡和变化，并通过求解边界层方程组可以得到流体在边界层内的运动状态。
3. 粘性效应粘性是边界层理论考虑的一个重要因素。
由于流体的粘性特性，边界层会出现剪切应力和速度剖面变化。
这些粘性效应对于固体表面的摩擦力和阻力产生重要影响，因此必须在边界层理论中加以考虑。
三、边界层理论的应用实例1. 空气动力学在航空航天工程中，边界层理论被广泛应用于翼型设计和气动力分析。
通过准确计算边界层内的流动特性，可以优化飞行器的升力和阻力性能，提高飞行效率。
2. 水力学在水力学领域，边界层理论被用于河流和水泥工程的设计和分析。
通过控制边界层内的水流运动，可以减小底摩擦阻力，提高水流的输送能力。
3. 汽车工程在汽车设计中，边界层理论被用于研究车体表面的空气流动。
通过优化车体形状和减小边界层厚度，可以降低空气阻力，提高汽车的燃油经济性。
四、结语流体力学中的边界层理论是研究流体流动与固体界面相互作用的重要理论框架。
平板边界层实验报告
平板边界层实验报告引言平板边界层实验是一种常见的流体力学实验方法，用于研究在流体与固体界面发生的各种现象和特性。
通过实验可以获取边界层厚度、速度剖面、摩擦系数等参数，对于理解流体边界层的特性具有重要意义。
本实验报告将详细介绍平板边界层实验的原理、实验装置、实验过程和实验结果，并对实验结果进行分析和讨论。
实验原理在实验中，我们使用平板边界层实验装置对流体的边界层进行研究。
其原理基于以下几点：1.边界层理论：边界层是指流体流动过程中处于流体与固体物体之间的一层流动区域，其特点是速度梯度较大、流动剪切应力较高。
边界层的特性对于流体的运动、传热和传质等过程具有重要影响。
2.平板边界层：平板边界层是指位于平板表面附近的边界层，它是边界层研究中最常见的情况之一。
通过对平板边界层的研究，可以深入理解边界层的结构、特性及其对流体流动的影响。
3.流动速度剖面：边界层中流体的速度随距离平板表面的距离而变化，一般呈现一定的速度剖面形态。
通过测量流体速度剖面，可以确定边界层的厚度和速度分布特性。
实验装置实验装置由以下几个主要部分组成：1.平板：平板用于产生平板边界层。
通常采用光滑的表面，材质多为金属或塑料。
2.流体：实验中常使用空气或水作为流体介质。
流体通过输送装置注入到实验装置中。
3.流量计：流量计用于精确测量流体的流量，以保证实验条件的准确性。
4.速度测量装置：速度测量装置用于测量流体在平板边界层中的速度。
常见的测量方法包括热线法、激光多普勒测速法等。
5.数据记录系统：数据记录系统用于记录实验过程中获得的各项数据，包括流体流量、速度剖面等。
实验步骤本实验的具体步骤如下：1.准备工作：清洁实验装置，确保平板表面光滑且无杂质。
2.实验装置搭建：按照实验要求搭建实验装置，包括安装平板、连接流体输送装置和速度测量装置。
3.流体注入：启动流体输送装置，将流体注入实验装置中，并调节流量控制阀以控制流体的流量。
4.测速：使用速度测量装置对流体在平板边界层中的速度进行测量。
平板湍流边界层课件
图 11 6 紊流边界层自由边界示意图
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湍流平板边界层的湍动特性
为了深入理解边界层中的紊流结构，常对紊流中两 个相邻测点同时进行脉动流速的量测，以分析紊流 的空间特性。 空间相关函数（space correlation function）:
层中间歇系数 的分布规律如图
11-5所示并可用下式表示：
1 2
1
erf
5
y
0.78
（11-11）
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图 11 5 紊流平板边界层间歇系数[3]
湍流平板边界层的湍动特性
边界层内紊流与边界层外势流的交界面有时称为边界 层的自由（freeboundary）。图11-6为自由边界的示意 图。自由边界随时间而变动，具有随机的性质。光滑
中无量纲量采用 u' v' 表示单位质量切应力的无量纲量。在紧靠壁面处未
U2
能量测到有关数据。
在边界层的外边界，即紊流边界 层与上部势流的交界面处紊流具 有间歇性质。克莱巴诺夫[3]测得 的资料显示，在 y 0.8 处，平
板紊流边界层即具有明显的间歇 性质，而当 y 1.2 时则流速基本 上不再呈现脉 动。平板紊流边界
一般用y 表示x2 ，认为：
粘性底层： 0 y 5 10 过渡区：5 10 y 30 70
对数区： 30 70 y , y 0.2
以上三个区域统称内区。 尾流区（外区）： 0.2 y 1.0
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湍流平板边界层的流速分布与分区结构
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流体力学第六章 边界层理论
流体力学第六章
流体力学第六章
Q
v
uv
u dy
udy U
y x 0 0 x
x 0
而
0
uK1
v y
dy
0
uK1
u x
dy
1 K
2
0
x
uK2dy
1 K
2
x
0
uK2dy
U K2
于是第二个积分
vuKudy
v
0
y K10 y
uK1
dyK1(x10u(dyU uK2)U dyK1UK2)
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u x
v y
0
0
uk 1
udy x
0
ukv
udy y
p x
0
uk dy
0
uk
2u y2 dy
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
流体力学第六章
b(x) a(x)
ddxx(x)dx
x 0
0
uk1
u y
2
dy
uk2dy Uk1
udy
k 1 x 0
k 1 x 0
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
u y
2 dy
(6-2-3)
流体力学第六章
uk2dyUk1 udy
k1 x 0
k1x0
px0ukdyk0uk1uy2dy
(6-2-3)
上式为哥路别夫积分方程。