第4讲 循环小数与分数
【广州市】小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
五年级上册数学教案 - 循环小数 人教版
五年级上册数学教案 - 循环小数 - 人教版教学目标：1. 让学生理解循环小数的概念，掌握循环小数的表示方法。
2. 培养学生观察、分析、归纳的能力。
3. 培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
教学内容：1. 循环小数的概念2. 循环小数的表示方法3. 循环小数的性质教学重点：1. 循环小数的概念2. 循环小数的表示方法教学难点：1. 循环小数的概念2. 循环小数的表示方法教学过程：一、导入1. 提问：同学们，我们已经学过了小数，那么你们知道什么是循环小数吗？2. 学生回答，教师总结：循环小数是一种特殊的小数，它的小数部分会一直重复出现。
二、新课1. 讲解循环小数的概念教师通过举例，让学生理解循环小数的概念。
例如，0.3333...，这个小数的小数部分一直是3，所以它是一个循环小数。
2. 讲解循环小数的表示方法教师通过举例，让学生掌握循环小数的表示方法。
例如，0.3333...可以表示为0.$$ \overset{\cdot }{3}$$。
3. 讲解循环小数的性质教师通过举例，让学生了解循环小数的性质。
例如，循环小数是一个无限小数，但它有一个重复的循环节。
三、巩固练习1. 让学生判断下列小数中，哪些是循环小数，哪些不是循环小数。
0.2222..., 0.121212..., 0.123456..., 0.6666...2. 让学生将下列循环小数用简便形式表示出来。
0.4444..., 0.151515..., 0.123123...四、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了循环小数的概念，掌握了循环小数的表示方法，还了解了循环小数的性质。
希望大家能够运用所学知识，解决实际问题。
五、作业布置1. 让学生完成课后练习题。
2. 让学生预习下一节课的内容。
教学反思：本节课通过讲解、举例、练习等方式，让学生掌握了循环小数的概念、表示方法和性质。
在教学过程中，要注意引导学生观察、分析、归纳，培养学生的思维能力。
3.4《循环小数》(教案)2023-2024学年数学五年级上册-人教版
3.4《循环小数》（教案）20232024学年数学五年级上册人教版在今天的数学课上，我们要学习的是五年级上册人教版的《循环小数》这一章节。
我们将探讨循环小数的定义，如何写出循环小数，以及如何判断一个数是否为循环小数。
教学目标是让学生理解循环小数的含义，掌握循环小数的写法，以及能够判断一个数是否为循环小数。
同时，通过实例分析，培养学生对数学问题的解决能力。
在板书设计上，我会将循环小数的定义，写法以及判断方法进行板书，以便学生能够清晰的理解和记忆。
对于作业设计，我会布置一道判断题和一道应用题。
判断题是让学生判断给出的数是否为循环小数，应用题则是让学生运用所学知识，解决实际问题。
课后，我会进行反思和拓展延伸。
对于循环小数的学习，学生是否掌握了基本的定义和写法，是否能够运用所学知识解决实际问题，这些都是我需要思考的问题。
同时，我也会根据学生的学习情况，进行适当的拓展延伸，以提高学生的数学素养。
重点和难点解析：1. 循环小数的定义：循环小数是一个小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数。
例如，1/3=0.3333，其中3就是重复出现的数字。
这个定义是理解循环小数的基础，因此，我会通过具体的例子，让学生深刻理解循环小数的含义。
2. 循环小数的写法：循环小数的写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点。
例如，0.3333可以写作0.$$_3$$。
这个写法是学生容易混淆的地方，因此，我会通过反复的练习，让学生掌握循环小数的写法。
3. 如何判断一个数是否为循环小数：判断一个数是否为循环小数，需要看它的小数部分是否从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现。
这个方法是解决循环小数问题的关键，因此，我会通过具体的例子，让学生学会如何判断一个数是否为循环小数。
4. 循环小数的性质：循环小数的性质包括：循环小数的位数是无限的；循环小数可以转化为分数；循环小数可以进行四则运算等。
无限循环小数化分数的讲解
关于无限循环小数化分数的详细讲解在数学领域，小数与分数之间的转换是一项基本技能，它有助于我们更深入地理解数值关系和进行精确计算。
其中，无限循环小数化为分数是一个相对复杂但也非常有趣的主题。
本文将详细讲解这一过程，旨在帮助读者掌握这一数学技巧。
一、无限循环小数的定义与性质无限循环小数，是指小数点后某一段数字无限重复出现的小数。
例如，1/3=0.333...中，“3”就是无限重复的数字，因此我们称1/3为一个无限循环小数。
这类小数具有一种特殊的性质，即它们都可以表示为两个整数的比，也就是说它们都是有理数。
二、无限循环小数化分数的一般方法将无限循环小数化为分数，我们通常使用的方法是通过代数运算来找到一个与之等价的分数表达式。
以下是具体步骤：1. **确定循环节**：首先，确定小数中无限重复的数字段，即循环节。
例如，在0.76333...中，“3”是循环节。
2. **设置等式**：设无限循环小数为x，然后根据循环节的长度和位置，将x乘以一个适当的10的幂，使得新得到的数的小数部分仅包含循环节。
例如，对于0.76333...，我们可以设x=0.76333...，然后考虑乘以100（因为循环节在小数点后第三位开始），得到100x=76.333...。
3. **建立方程**：接下来，用新得到的数减去原数，以消除循环节。
继续上面的例子，我们有100x-x=76.333...-0.76333...，即99x=75.57。
4. **求解方程**：最后，解这个方程找到x的值。
在我们的例子中，x=75.57/99。
注意，这个结果可能还需要进一步简化。
三、特殊情况的处理上述方法适用于循环节从小数点后某一位开始无限重复的情况。
然而，有些无限循环小数的循环节从小数点后的第一位就开始，例如0.666...。
对于这种情况，我们可以直接将其写为分数形式，即0.666...=2/3。
这是因为，这类小数实际上就是某个整数被1、10、100等除的结果。
2014暑假 五年级 精英班 第4讲 循环小数 教师版
第四讲 循环小数知识要点：一、循环小数定义一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。
一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
二、循环小数分类循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3&和0.428571&&，不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如0.2357&& 三、分数化小数把分数化成小数，有三种可能：化为有限小数、纯循环小数或混循环小数。
（1）如果一个最简分数的分母分解质因数后只含有2和5，那么这个分数会化成有限小数，比如38，1725，3140，89200等，都会化成有限小数。
（2）如果一个最简分数的分母分解质因数后既不含2，也不含5，那么这个分数会化成纯循环小数，比如511，1321，1109，342673等，都会化成纯循环小数。
（3）如果一个最简分数的分母分解质因数后既含有2或5，又含有其他质因数，那么这个分数会化成混循环小数，比如114，752，101295，119390等，都会化成混循环小数。
四、循环小数化分数（1）纯循环小数化分数以0.123&&为例 令0.123a =&&，则1000123.123a =&&， 两式相减，得123999123999a a =⇒= 该方法名为“错位相减法”。
结论：纯循环小数化分数，分子为循环节中数字所组成的数，分母形如999L ，其中9的个数为循环节所含数字的个数（2）混循环小数化分数以0.1234&&为例 令0.1234a =&&，则10012.34a =&&，100001234.34a =&&，两式相减，得12341299001234129900a a -=-⇒=。
循环小数与分数的转化教案
循环小数与分数的转化教案一、教学目标1、了解循环小数和分数的概念。
2、掌握将循环小数转化成分数的方法。
3、掌握将分数转化成循环小数的方法。
4、能够熟练地应用所学知识，解决实际问题。
二、教学重点1、掌握将循环小数转化成分数的方法。
2、了解将分数转化成循环小数的方法。
三、教学难点1、如何将分数转化成循环小数。
2、如何通过循环小数判断其对应的分数为何。
四、教学方法1、讲授法：通过讲解理论知识来使学生初步了解循环小数和分数的概念，并介绍相应的转化方法。
2、举例法：选取相关的例子，进行实际操作，使学生更深刻的理解循环小数和分数的转化方法。
五、教学内容1、循环小数和分数的概念循环小数是指小数部分无限重复循环的数，例如，0.6666…，0.2857142857…等。
可以表示为a.bbb…（循环的小数部分）。
分数是指一个数可以表达为两个整数的比值的数，其中分母不等于零，例如，1/2，3/4等。
2、将循环小数转化成分数的方法步骤一：设循环数为x。
步骤二：将x乘以10的n次方，n为循环节长度。
步骤三：将x乘以10的n次方减去x，记作y。
步骤四：设分数为a/b（最简分数）。
步骤五：根据步骤三的y，列式子a/b=y/10的n次方-1。
步骤六：将步骤五中的a/b化简得到分数的形式。
例如，将循环数0.666…转化成分数。
步骤一：设循环数为x=0.666…步骤二：x*10=6.666…步骤三：y=6.666...-0.666 (6)步骤四：分数为a/b（最简分数）。
步骤五：6/10的1次方-1=6/9步骤六：将6/9化简得到分数2/3。
所以，0.666…=2/3。
3、将分数转化成循环小数的方法步骤一：设分数为a/b（最简分数）。
步骤二：将a/b约分，保证分母为2的整数次幂或5的整数次幂。
步骤三：对分子b用除数法，求出其商和余数。
步骤四：将商写小数点右侧，余数乘以10，作为下一次的被除数。
步骤五：根据步骤三的余数，进行第四步和第五步，直到余数为0或者循环节出现。
无限循环小数与分数的互化
1
2 1 2 39 2 1 3 2 6 3 44 3 44 39 3 13
205 73 1 132 132
1 (2)1.25 0. 3 1.25 1.25 0. 6 3
1 1.25 (0. 3 0. 6) 3 1 1 2 4 1.25 ( ) 1.25 3 3 3 3
无限循环小数和分数的互化
小数
有限 小数 无限 小数
无限循环 小数
无限不循 环小数
无限纯循 环小数 无限混循 环小数
一、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例1 把纯循环小数化分数：
6 2 102 34 （1）0.6= （2）3.102= 3 999 3 333 9 3
再 见
二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例2 把混循环小数化分数。
一个混循环小数的小数部 分可化成分数，这个分数 的分子是第二个循环节以 前的小数部分组成的数与 小数部分中不循环部分组 成的数的差。分母的头几 位数是9，末几位是0。9的 个数与循环节中的位数相 同，0的个数与不循环部分 的位数相同。
2503 2 2501 9990 9990
2.0 3 6
36 0 4 2 2 990 110
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可按分数四 则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有 限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题
215 2 213 71 （1）0.215= 990 990 330
353 35 318 53 6 6 （2）6.353=6 900 900 150
五年级数学上册教案-3.4循环小数-人教版
五年级数学上册教案3.4 循环小数人教版我今天要分享的教案是我为五年级学生准备的关于循环小数的教学计划。
这个单元的主要内容是让学生理解循环小数的概念，学会如何表示循环小数，并且能够进行循环小数的加减乘除运算。
我的教学目标是让学生通过学习循环小数，培养他们的逻辑思维能力和数学运算能力。
我期望他们能够理解循环小数的概念，学会如何读写循环小数，掌握循环小数的加减乘除运算方法，并且能够运用循环小数解决实际问题。
在教学难点与重点上，我注意到循环小数的表示方法和循环小数的运算是比较难理解和掌握的。
所以我会在教学中特别强调这两个部分，通过举例和练习，让学生反复练习，直到他们能够熟练掌握。
为了进行有效的教学，我已经准备好了相关的教具和学具。
教具主要包括黑板、粉笔和多媒体教学设备。
学具则包括练习本、计算器和循环小数的辅助学习材料。
然后是练习部分，我会给学生提供一些循环小数的运算题目，让他们独立完成。
我会鼓励他们互相交流和讨论，共同解决问题。
在板书设计上，我会用简洁明了的方式展示循环小数的表示方法和运算规则。
我会用不同的颜色和符号标出循环小数的重点和难点，帮助学生更好地理解和记忆。
对于作业设计，我会布置一些循环小数的练习题目，让学生巩固所学知识。
题目会包括读写循环小数、循环小数的加减乘除运算等。
我会提供详细的答案，以便学生自我检查和复习。
我会进行课后反思和拓展延伸。
我会思考教学中的不足和需要改进的地方，以便更好地为下一节课做准备。
同时，我会给学生提供一些拓展的学习材料和资源，鼓励他们深入研究循环小数的更多知识。
这就是我今天的教案分享。
我相信通过这个教案，学生能够更好地理解和掌握循环小数的概念和运算方法，培养他们的数学能力。
谢谢大家！重点和难点解析：在今天的教案分享中，我认为有几个重点和难点是需要特别关注的。
循环小数的概念和表示方法是学生初次接触的新内容，对于他们来说可能比较抽象和难以理解。
因此，我会在引入部分通过实际问题来引发学生的思考，帮助他们建立起对循环小数的直观认识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四讲 循环小数与分数
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
(1)
425.0)5
217(401712.0)53(2535.02132=⨯==；； (2)∙=3.03
1，∙∙=514287.075，∙∙=93.03313， (3)∙=⨯38.0)325(65，∙∙=⨯48571238.0)75267(17567，∙=⨯⨯5280.0)952101(3601013 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同，如40
17因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同如
175
67，因为175=53×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例题精讲
【例1】判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
325，214，25031，7823，117100，850
3 解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，117=33×13，850=2×52×17，
根据上面的结论，得到：
325能化成五位有限小数；25031能化成三位有限小数；214、117100能化成纯循环小数；78
23能化成纯混环小数，且不循环部分有一位；8503能化成纯混环小数，且不循环部分有二位。
将分数化为小数是非常简单的。
反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。
我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。
知识点拨
1、将纯循环小数化成分数。
【例2】将∙5.0化成分数。
【例3】∙∙283.0化成分数.
解： 5555.5105.0=⨯∙ ①
382382.3821000283.0=⨯∙∙ ① 5555.05.0=∙ ② 382382.0283.0=∙
∙ ② 由①-②得：595.0=⨯∙
由①-②得：382999283.0=⨯∙∙ 9
55.0=∙ 999382283.0=∙∙ 例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
例如988.0=∙、992332.0=∙∙、999457754.0=∙∙∙
2.将混循环小数化成分数。
【例4】将∙81.0化成分数。
【例5】将∙∙752.0化成分数。
解： 8888.11081.0=⨯∙ ①
575757.210752.0=⨯∙∙ ① 8888.1810081.0=⨯∙ ② 575757.2571000752.0=⨯∙∙ ②
由②-①得：118)10100(18.0-=-⨯ 由②-①得：2257)101000(752.0-=-⨯∙∙
901781.0=∙ 6617990255752.0==∙∙ 从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
例如：90
179011881.0=-=
∙ 990
1779901178871.0=-=∙∙ 275489900172899001717455417.0==-=∙∙ 掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。
【例5】计算下列各式：
(1)
∙∙∙∙∙∙∙∙++-625.0573.0291.0192.0 (2) ∙
∙∙∙⨯681.0033.0
99055269993759901192999291-++--= 9901186999330-⨯=
990191521999375291-++= 990999185330⨯⨯=
13132990330999666=+=+= 815=
【课后练习】
(1) 下列各式中哪些不正确？为什么？
①∙∙=578125.06437 ②∙∙=095.02213 ③∙∙=702215.029645 ④∙∙=2079.0296
98
(2) 划去小数0.27483619后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如0.274836。
请找出这样的小数中最大的与最小的。
(3) 将下列纯循环小数化成最简分数：∙8.0，∙∙93.0，∙∙132.0，∙∙531.0
(4) 将下列混循环小数化成最简分数：∙∙82.0，∙∙513.0，∙522.0，∙∙715.0
(5) 计算下列各式：
①∙∙∙∙∙∙-++081.0341.0315.0325.0 ②∙∙∙⨯570.03.3 ③∙∙∙∙+0346.08169.0。