2013年西南大学线性代数作业及答案

2013年春 西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理)第一次作业【单选题】9.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n 个。

【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5【单选题】5. 行列式A 的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A 的值等于0，则k 的取值应是：C:k=3或k=1【单选题】6. 6.排列3721456的逆序数是：C:8【单选题】7. .行列式A 的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a ，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a 的代数余子式是：B:-29【单选题】8.已知四阶行列式D 中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值等于. C:-15【论述题】行列式部分主观题 行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c b a = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式38114112--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： x=27，y=36，z=—45第二次作业【论述题】矩阵部分主观题 矩阵部分填空题1．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453641126= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---126641453 2．已知矩阵A=（1，2，3），则=A A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 3．若4阶方阵A 的行列式|A|=2，则|A 3|= 8 。

4．设A 为3阶矩阵，若已知=-=mA m A 则,4m -．5. 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311的伴随矩阵是2131⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 6．设A 是3阶方阵，且A 2=0，则A 3= 0 . 7．设A 为2阶方阵，|A|=2，则=-1A 12矩阵部分计算题1．已知矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2110154214321，求矩阵Ａ的秩． 解：对矩阵作以下初等变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2110154214321A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---228011404321 →791012342211110101444404110000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦可以看出：r （A ）=22.设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120340005,求1-A 解：A =11500420435(1)5(2)10031021+=⨯-=⨯-=-≠，所以A 可逆。

111143(1)221A +=-=-,121204(1)002A +=-=,131304(1)002A +=-=, 同法可得：210A =,225A =,2310A =-,310A =,3215A =-,3320A =.112131122232132333200051501020A A A A A A A A A A *-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12001105151001020A A A -*-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=100513022012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3．设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡543022001，求A *和A －1解：100220100345A ==≠,所以A 可逆。

易得：1110A =，1210A =-，132A =， 210A =，225A =，234A =-，310A =，320A =，332A =。

于是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=*24205100010A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==*-51525102110012420510001010111A A A 4．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312021001，求A -1。

解：10012060213A ==≠，所以A 可逆。

易得：116A =，123A =-，133A =-，210A =，223A =，231A =-， 310A =，320A =，332A =。

于是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=*213033006A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==*-316121021210012130330066111A A A 5．设)(ij a A = 为三阶矩阵，若已知|A|=2，求||A|A|． 解：162443===⋅=A A A A A第三次作业【单选题】11. 矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r.B:A中线性无关的列向量最多有r个。

【单选题】10.矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是：C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。

【判断题】9. 若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没有意义。

正确答案：错误【多选题】8. 齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。

D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是AX=0的解。

【多选题】7. n阶矩阵可逆的充要条件是：A：r(A)=n B：A的列秩为n。

【多选题】6.向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,…,as 中至少有一个非零向量。

D：a1,a2,…,as中有一个线性无关的部分组。

【多选题】5. 向量组a1,a2,...,as线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,…,as 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

D：a1,a2,…,as中至少有一部分组线性相关【单选题】4. 矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m【判断题】3.若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。

正确答案：正确【多选题】1. 向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。

C：a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例D：a1,a2,…,as中任一部分组线性无关【判断题】2. 若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义正确答案：正确【论述题】关于线性方程组的主观题线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x=0的系数阵A的秩为r，当r= n 时，则A x=0 只有零解；当A x=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为n-r .2．设η1，η2为方程组A x=b的两个解，则η1－η2或η2－η1是其导出方程组的解。

3．设α0是线性方程组A x =b 的一个固定解，设z 是导出方程组的某个解，则线性方程组A x =b 的任意一个解β可表示为β= α0+z .4．若n 元线性方程组A x =b 有解，R （A ）=r ，则当 [r =n 时，有惟一解；当 ,r ＜n 时，有无穷多解。

5．A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组A x =0有非零解的充要条件是 R （A ）＜n .6．n 元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0 。

7 线性方程组Ax =b 有解的充要条件是r (Ab )=r (A ) 。

8．设1u 是线性方程组A x =b 的一个特解，r n v v v -,,,21 是其导出组的基础解系，则线性方程组A x =b 的全部解可以表示为u = r n r n v c v c v c u --++++ 221111．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-+-=+-22334731243214321421x x x x x x x x x x x 的通解.答案：通解为：x = k 1),(001010110121212R k k k ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 答案：基础解系为v 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1001,00122v3．求非齐次线性方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+-+322212432143214321x x x x x x x x x x x x 答案：同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+121023123434241x x x x x x ，通解为)(21330101R k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4 求方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=--+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 答案：化为同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-757975767171432431x x x x x x通解为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00757610797101757121k k x 5．已知线性方程组1324321=+++x x x x 4324321-=-++x x x x 4234321-=---x x x x 6324321-=--+x x x x（1）求增广矩阵（Ab ）的秩r （Ab ）与系数矩阵A 的秩r （A ）； （2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。