数学物理方法在量子力学中的应用
数学物理方法在物理学中的应用
数学物理方法在物理学中的应用数学物理是研究数学和物理学之间相互关系的学科。
它将数学的工具和方法应用于物理学中，以解决物理学问题。
数学在物理学中的应用可以追溯到古希腊时期，但直到近代才出现了数学物理学这一专门领域。
数学物理方法在物理学中的应用涉及广泛的领域，其中包括力学、电磁学、热力学、量子力学等。
力学是最早受益于数学物理方法的物理学分支之一。
牛顿力学建立了经典力学的基础，并使用数学方法解决了许多力学问题。
例如，人们可以使用微分方程描述和预测物体的运动。
通过将物理规律转化为数学表达式，我们可以通过求解微分方程来计算物体的运动轨迹、速度和加速度。
这种数学物理方法使得力学的研究更加系统和准确。
电磁学也是受益于数学物理方法的重要领域。
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程。
这个方程组由四个微分方程组成，它们描述了电场和磁场的变化规律。
通过求解这些微分方程，我们可以计算电磁场的行为。
麦克斯韦方程组的解有助于我们理解电磁波的传播、光的行为以及电磁波与物质的相互作用等现象。
数学物理方法为我们提供了解决电磁学问题的工具。
热力学是研究热能转化和传递的物理学分支。
数学物理方法在热力学中的应用也十分重要。
例如，我们可以使用微积分和微分方程来描述理想气体的行为。
理想气体状态方程对于工程领域的热力学分析、设计和优化是至关重要的。
此外，热传导方程可以用来描述热量在物体内部的传递过程。
通过求解热传导方程，我们可以计算出物体的温度分布和热传导速率，这对于设计散热系统和优化能源利用至关重要。
量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支。
数学物理方法在量子力学中的应用至关重要。
量子力学使用复数、线性代数和泛函分析等数学工具来描述粒子的波函数和运动方式。
薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以计算出粒子的波函数和能量谱。
这种数学物理方法为我们解释了微观世界中的奇异现象，如量子纠缠、量子隧穿等。
总之，数学物理方法在物理学中发挥着不可或缺的作用。
数学在物理学中的应用研究
数学在物理学中的应用研究在科学研究中，数学和物理学一直密不可分。
数学提供了一套严密的工具和方法，可以帮助物理学家理解和描述自然界的规律。
本文将探讨数学在物理学中的应用研究，并介绍几个典型的例子。
一、微积分和物理学微积分是数学的一个重要分支，也是理解物理学中变化和运动的关键工具。
物理学中常常遇到各种变化的过程，例如速度的变化、加速度的变化等等。
通过微积分的概念，我们可以用数学方法来描述和分析这些变化过程。
以牛顿第二定律为例，它描述了物体的加速度与作用在物体上的力之间的关系。
通过微积分，我们可以求解速度、加速度等物理量与时间的关系，从而更深入地理解牛顿第二定律的含义。
微积分还可以用来解决其他物理学中的问题，比如求解曲线的斜率，计算物体的运动轨迹等等。
二、概率论和统计学在物理学中的应用概率论和统计学是数学中非常重要的分支，它们在物理学中具有广泛的应用。
通过概率论和统计学的方法，我们可以对物理实验的结果进行分析，得出结论的可靠程度。
在量子力学中，概率论和统计学的概念被广泛运用。
量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，其描述了粒子的状态和性质。
通过概率论的方法，我们可以计算出在给定条件下，某个量子系统的状态出现的概率。
统计学的方法还可以用来分析大量粒子的集体行为和性质。
三、线性代数在物理学中的应用线性代数是数学的一个重要分支，它在物理学中有广泛的应用。
在量子力学领域，线性代数提供了一套描述量子态和运算的工具和方法。
量子态可以用复数表示，而线性代数提供了处理复数运算和矩阵运算的工具。
通过线性代数的方法，我们可以求解量子系统的能量本征态和能量本征值，从而得到系统的稳定状态和能量谱。
四、微分方程和物理学微分方程是数学中的重要概念，也是物理学中常常遇到的问题。
物理学中的很多现象都可以用微分方程来描述和求解，例如电路的响应、振动系统的运动等等。
通过微分方程的方法，我们可以求解出物理系统的运动方程，进而预测系统的行为和性质。
量子力学的数学形式
量子力学的数学形式量子力学是描述微观尺度下物质和辐射相互作用的理论框架。
它通过一套严密的数学形式，描述了粒子的位置、动量、能量等物理特性。
下面将介绍量子力学的数学形式以及其在物理学中的重要性。
一、波函数与薛定谔方程在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学量。
波函数的平方表示了找到粒子在某个位置的概率。
对于一个自由粒子来说，波函数满足薛定谔方程：\(-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2Ψ(x)}{∂x^2} + V(x)Ψ(x) = iℏ\frac{∂Ψ(x)}{∂t}\)其中 \(ℏ\) 是普朗克常数，\(m\) 是粒子的质量，\(V(x)\) 是势能函数，\(t\) 是时间。
这个方程描述了波函数的演化规律，即波函数随时间的变化。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在任意时刻和位置的波函数。
二、算符与可观测量量子力学中，物理量由算符表示。
算符与波函数之间的作用可以理解为算符对波函数进行了某种操作，并得到了新的波函数。
例如，位置算符 \(x\) 作用在波函数上，得到粒子的位置；动量算符 \(p\) 作用在波函数上，得到粒子的动量。
可观测量是通过实验可以测量得到的物理量，例如位置、动量、能量等。
在量子力学中，可观测量由算符表示。
对于可观测量 \(A\) ，其算符为 \(A\) ，对波函数 \(Ψ\) 进行作用后得到测量值。
三、本征值和本征函数对于可观测量 \(A\) ，存在一系列特殊的波函数满足 \(AΨ_n(x) = a_nΨ_n(x)\)，其中 \(a_n\) 是 \(A\) 的本征值，而 \(Ψ_n(x)\) 是对应的本征函数。
本征值表示测量得到该可观测量时，得到的具体数值；本征函数则表示与该本征值相关的波函数。
例如，位置算符的本征函数是一系列的δ函数。
四、不确定性原理量子力学的不确定性原理是指在位置和动量测量中，存在一个不确定度。
即无法同时精确测量一个粒子的位置和动量。
这是由于位置和动量算符之间存在某种不对易关系。
数学物理方法概述
数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学工具和物理理论相结合，用数学方法来解决物理问题。
数学物理方法在现代物理学的发展中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解自然界的规律，还推动了科学技术的进步。
本文将对数学物理方法进行概述，介绍其基本概念、应用领域以及在物理学中的重要性。
一、基本概念数学物理方法是一种将数学工具应用于物理问题的方法论。
它主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具，以及量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等物理理论。
通过数学物理方法，我们可以建立物理模型，推导物理规律，解决物理问题。
1.1 数学分析数学分析是数学物理方法中的基础工具之一，它包括微积分、级数、极限等内容。
在物理学中，我们经常需要对物理量进行微分、积分运算，利用微积分理论可以描述物理系统的变化规律，求解运动方程等问题。
1.2 微分方程微分方程是描述物理系统演化规律的数学工具，它在数学物理方法中扮演着重要角色。
通过建立微分方程模型，我们可以预测物理系统的未来状态，研究系统的稳定性和动力学行为。
1.3 变分法变分法是一种优化方法，它在物理学中被广泛应用于求解最优控制问题、能量最小化问题等。
通过变分法，我们可以得到物理系统的最优解，优化系统的性能。
1.4 群论群论是一种抽象代数学，它研究对称性和变换的数学结构。
在物理学中，群论被用来研究对称性和守恒律，揭示物理规律背后的对称性原理。
1.5 复变函数复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在量子力学、电磁学等领域有重要应用。
复变函数理论为我们提供了处理振荡、波动等问题的有效工具。
二、应用领域数学物理方法在物理学的各个领域都有广泛应用，包括量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等。
下面我们将分别介绍数学物理方法在这些领域的应用。
2.1 量子力学量子力学是描述微观世界的物理理论，它通过波函数和算符等数学工具来描述微粒的运动和相互作用。
数学物理方法在量子力学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解量子力学的基本原理，推导薛定谔方程，研究量子力学中的对称性和守恒律。
数学物理方法 pdf
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数学物理方法是一门重要的学科，它是数学和物理学的交叉领域，为研究物理
现象提供了强大的数学工具。
数学物理方法在理论物理、应用物理、工程技术等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数学物理方法的一些基本概念和应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一学科。
首先，我们来介绍一些常见的数学物理方法。
微分方程是数学物理方法中的重
要工具，它描述了物理系统中的变化规律。
线性代数也是数学物理方法中的重要内容，它在量子力学、电磁学等领域有着广泛的应用。
除此之外，变分法、特殊函数、复变函数等数学工具也在数学物理方法中扮演着重要的角色。
在物理学中，数学物理方法有着广泛的应用。
比如，在量子力学中，薛定谔方
程描述了微观粒子的运动规律，它是通过数学物理方法得到的。
在热力学中，我们可以通过偏微分方程来描述热传导和热平衡的过程。
在电磁学中，麦克斯韦方程组描述了电磁场的演化规律，它也是通过数学物理方法得到的。
除了在理论物理中的应用，数学物理方法也在应用物理和工程技术中有着重要
的地位。
比如，在材料科学中，我们可以通过微分方程和变分法来描述材料的力学性质。
在电子工程中，复变函数和傅里叶变换被广泛应用于信号处理和通信系统。
总的来说，数学物理方法是一门重要的学科，它为我们理解和应用物理现象提
供了强大的数学工具。
通过学习数学物理方法，我们可以更好地理解自然界的规律，并且可以将这些方法应用于实际问题的解决中。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，激发大家对数学物理方法的兴趣，进一步深入学习和研究。
数学物理中的偏微分方程和量子力学
数学物理是研究自然界中各种现象和运动规律的一个重要学科领域。
而偏微分方程是数学物理中的重要工具，它在描述和解析各种动态过程和问题中起着至关重要的作用。
其中，量子力学则是偏微分方程在物理领域中的具体应用之一。
量子力学是描述微观粒子行为的一套物理理论，是20世纪初诞生的一门新的物理学科。
它以波函数为基础，通过对波函数的求解来研究物质的量子性质。
而波函数是由薛定谔方程给出的偏微分方程。
薛定谔方程是量子力学中的核心方程之一，它描述了微观粒子的波动性质和能量。
薛定谔方程是一个二阶偏微分方程，它的数学形式如下：iℏ∂Ψ/∂t = -ℏ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，ℏ是普朗克常数，t是时间，Ψ是波函数，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V是势能。
薛定谔方程通过求解波函数Ψ，得到微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程不仅仅描述了微观粒子的波动性质，还给出了量子力学中的诸多重要现象。
例如，波函数的平方模给出了粒子在空间中的概率密度分布，因此可以计算出粒子在不同位置上的出现概率。
此外，波函数在时空中的演化也可以通过求解薛定谔方程得到，从而揭示了微观粒子的运动规律和态的变化。
薛定谔方程的求解是数学物理中的一大难题，因为它是一个复杂的偏微分方程。
对于一些简单形式的势能，薛定谔方程可以通过解析方法求解。
然而，在实际问题中，由于势能的复杂性和系统的复杂性，往往需要借助数值方法进行求解。
数值方法基于偏微分方程离散化的思想，通过离散化时间和空间，并引入适当的差分格式，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代计算逼近真实解。
通过数学物理中的偏微分方程，我们可以更好地理解和揭示量子力学中的微观粒子现象和动力学行为。
偏微分方程不仅仅应用于量子力学，还应用于其他领域，如流体力学、热传导、电磁学等。
因此，对于偏微分方程的研究和应用具有广泛的意义和重要性。
总之，偏微分方程在数学物理中的应用是相当广泛和重要的。
量子力学作为数学物理中的一个重要分支，依赖于偏微分方程的描述和求解，通过薛定谔方程揭示了微观粒子的波动性质和门限行为。
数学物理方法 应用
数学物理方法应用
数学物理方法是将数学和物理学相结合的一种方法，它是物理学的基础和核心。
它包含许多不同的技术和工具，例如微积分，偏微分方程，矩阵运算和变分原理等。
这些技术和工具在解决物理学问题时非常有用，它们在天文学，力学，电磁学，量子力学和统计力学等领域中得到了广泛的应用。
在天文学中，数学物理方法常用于计算行星轨道及天体的运动。
在力学中，数学物理方法可用于求解刚体运动、弹性体振动和气体动力学等问题。
在电磁学中，数学物理方法可用于求解电磁场分布和电磁波传播。
在量子力学中，数学物理方法被广泛应用于研究原子和分子结构，以及粒子物理学中的粒子交互作用。
在统计力学中，数学物理方法可用于研究热力学和相变等问题。
除了在物理学中的应用，数学物理方法还在其他领域中得到了广泛的应用。
生物学家使用数学物理方法来研究生物系统的动态和稳定性。
金融学家和经济学家使用数学物理方法来分析市场趋势和金融风险。
工程师使用数学物理方法来设计和优化系统和设备，例如制造和航空工程中的机械系统和材料科学中的材料性质。
总之，数学物理方法是物理学和其他科学领域中不可或缺的一部分。
它们为我们提供了解决复杂问题的工具和技术，以及对自然现象和系
统的深入理解。
数学物理方法参考答案
数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。
在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。
它包括了导数、积分和微分方程等内容。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。
下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。
可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。
可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。
也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。
3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。
可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。
二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。
它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。
在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。
下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。
可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。
也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。
2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。
可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
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数学物理方法的一个应用中心力场薛定谔方程的求解中心力场薛定谔方程的解背景：在高中我们就知道了描述一个电子的状态有3个量子数（不考虑自旋），分别是n 、l 、m ，但并不知道这几个量子数是怎么来的，现在我们知道了这个问题是求解薛定谔方程得到的，在这个方程的求解过程中用到了很多数学物理方法课上学到的知识和基本思想。
一、 算符和球坐标因为要求解的问题是在中心力场的作用下，所以用球坐标比较方便。
sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩将,,r θϕ表示成x 、y 、z 的函数2222cos /tan /r x y z z r y x θϕ⎧=++⎪=⎨⎪=⎩利用直角坐标与球坐标之间的变换关系,求得偏导数：r x x r x x r y y r y y r z z r z z θϕθϕθϕθϕθϕθϕ⎧∂∂∂∂∂∂∂=++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=++⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎩sin cos sin sin cos rx ry rz θϕθϕθ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩1cos cos 1cos sin 1sin x r y r zr θθϕθθϕθθ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=-⎪∂⎩1sin sin 1cos sin 0x r y r z ϕϕθϕϕθϕ⎧∂=-⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩由上面结果得：11sin sin cos cos cos sin 11cos sin sin cos sin sin 1cos sin x r r r y r r r z r r φθϕθϕθθϕφθϕθϕθθϕθθθ∂∂∂∂⎧=+-⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂=-⎪∂∂∂⎩（1）轨道角动量算符：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆx z y y x z z y x L yP zP i y z z y L zP xP i z x x z L xP yP i x y y x ⎧⎛⎫∂∂=-=--⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=-=--⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪⎛⎫∂∂⎪=-=-- ⎪∂∂⎪⎝⎭⎩则角动量算符在球坐标中的表达形式ˆ(sin ctg cos )xL i ϕθϕθϕ∂∂=+∂∂ ˆ(cos ctg sin )yL i ϕθϕθϕ∂∂=--∂∂ ˆzL i ϕ∂=-∂定义角动量平方算符：2222222211ˆˆˆˆsin sin sin xyzL L L L θθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=++=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦ （2）哈密顿量算符：2^2()2H U r μ=-∇+其中μ是折合质量：e He Hm m m m μ=+2222222x y z∂∂∂∇=++∂∂∂则哈密顿算符在球坐标中的表示形式为：22^222222111[()(sin )]()2sin sin H r U r r r r r r θμθθθθϕ∂∂∂∂∂=-+++∂∂∂∂∂二、 中心力场的薛定谔方程考虑一个电子和原子核的体系，显然势能是两个电荷之间的静电相互作用：20()4Ze U r rπε=-如果记s e = 则2()s Ze U r r=-由于势函数不随时间变化所以H 原子的状态满则定态薛定谔方程：^H E ψ=ψ带入哈密顿算符的球坐标表达式得到如下方程：22222222111sin ()2sin sin r U r E r r r r r θψψψμθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦进一步表示为：22222222111[][sin ]()22sin sin r U r E r r r r ψψψθψψμμθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫--++= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ (1) 再将角动量平方算符的表达式2222222211ˆˆˆˆsin sin sin xyzL L L L θθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=++=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦ 带入（1）原方程可以写为^222221[]()22L r U r E r r r r ψψψψμμ∂∂-++=∂∂ （2）因为()U r 是中心力场只与r 有关，所以ψ也可以分为两部分：(,,)()(,)r R r Y ψθϕθϕ=（3）这里用到了分离变量法求解偏微分方程的思想。
将（3）代入（2）整理得：2^2222112(,)[()][()](,)d d r L Y r R r E U r Y R dr dr μθϕθϕ=+-（4）可以看出（4）式的左边只与,θϕ有关而右边只与r 有关因而右边和左边必然同时等于一个常数，记为λ。
于是我们得到一个偏微分方程：^22(,)(,)L Y Y θϕλθϕ=（5）和一个常微分方程：22222[()()]()()22d d r U r R r ER r r dr dr r λμμ-++= （6）容易看出这两个方程都是本征方程，其中（5）是2λ 的本征方程，（6）是能量的本征方程。
下面进一步用分离变量法求解方程（5）(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ （7）把^2L 的表达式和（7）式带入（5）中，可以得到：222sin 1(sin )sin d d d d d d θθλθαθθΘ+=-=ΘΘΦ （8）在这里我们引入了一个常数α，于是我们又得到了2个方程，对第一个方程：220d d αΦ+Φ=Φ （9）容易得到其通解为,0,Ae Be C D αϕα⎧+≠⎪Φ=⎨+=⎪⎩ （10）再根据周期性边界条件()(2)ϕϕπΦ=Φ+得0α=时D=0，0α≠时必须是整数，以m m ≡，于是我们得到方程（9）的特解,0,1,2,im m m ϕΦ==±± （11）是归一化系数。
显然波函数（11）是算符^z L 的本征函数。
))im im d i m d ϕϕϕ-=于是我们得到了角动量在z 方向的投影大小为m 。
可以看出这个正是波尔的角动量量子化条件，但在这里不是假定而是求解薛定谔方程的结果。
下面我们再求解由（8）引出的另一个方程：22sin (sin )sin d d m d d θθλθαθθΘ+==Θ （12）为了求解这个方程，做如下变换：cos u θ=代入Θ后得到新的函数()()P u θΘ=于是（12）变为 222[(1)]()01d dP m u P du du u λ-+-=- （13）结果一：(1),0,1,2,0,1,2,,l l l m lλ=+=±±=±±±于是从方程（12）我们得到 ^222,,(1)l m l m L Y L Y l l ==+（14）结果二： 方程（13）的解为()()ml P u P u =（15）()ml P u 是关联勒让德函数22()(1)()mmm l lm dP u u P u du=- （16）其中21()(1)2!l ll l ld P u u l du=- （17）是勒让德多项式。
所以，我们得到角动量平方算符^2L 的本征函数(,)(cos )mim lm lm lY N P e ϕθϕθ= （18）其中lm N 由正交归一化条件求得2*0(,)(,)sin d d lm l m l l m m Y Y ππθϕθϕθθϕδδ''''=⎰⎰1/2()!21(1)()!4m lm l m l N l m π⎡⎤-+=-⎢⎥+⎣⎦称l=0的状态为s 态，l=1的状态为p 态,l=2的状态为d 态，等等。
0,0l m ==00(,)Y θϕ=1,0,1l m ==±111011(,)(,)(,)i i Y e Y Y e φφθφθθφθθφθ--⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩2,0,1,2l m ==±±22221220(,)(,)cos (,)1)iz i Y e Y e Y φφθφθθφθθθφθ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩212222(,)cos (,)i i Y e Y e φφθφθθθφθ----⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩到这里我们就完成了方程（5）的求解。
求方程（6）22222[()()]()()22d d r U r R r ER r r dr dr r λμμ-++= （6）将库伦势带入方程（6）2()s Ze U r r=-得222221d d 2(1)0d d s Ze R l l r E R r r r r r μ⎡⎤⎛⎫+⎛⎫++-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦（18）令()()u r R r r=则22222d 2(1)0d s Ze u l l E u r r r μ⎡⎤⎛⎫+++-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（19）因为电子处于束缚态所以能量小于0 方程（19）改写为22222d 2(1)0d s Ze u l l E u r r r μ⎡⎤⎛⎫++-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（20）令α=β=r ρα=方程（20）变为222d 1(1)0d 4u l l u βρρρ⎡⎤++-+-=⎢⎥⎣⎦（21）再令12()()u ef ρρρ-=方程（21）变为222d d (1)0d d f f l l f βρρρρ⎡⎤+-+-=⎢⎥⎣⎦（22）利用微分方程的幂级数解法求解方程（22） 设0()s kk k f b ρρ∞+==∑求解方程（22）可以得到()1,2,3,n nβ==所以24222s n Z e E E n μ=-=-（23）可以看出库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分立值，即能量是量子化的。
在空间范围0r ≤<∞内（22）的解为[]1212(21)!(1)!()()()!l l n l l n l f b L l n ρρρ++++--=-+ （24）其中，0b 为一任意常数，21()l n l L ρ++为缔合拉盖尔多项式[]2121110()!()(1)(1)!(21)!!n l l v vn v n l L n l v l v v ρρ--+++=+=----++∑再将()f ρ的表达式回带得()u ρ的表达式进而得到1212()()l l nl nl n l R N eL ρρρρ-++=（25）其中0,1,2,,1l n =-2222s e z zr r n na μρ===220s a e μ= 为波尔半径nl N 为归一化常数，由归一化条件20()()d n ln l n n Rr R r r r δ∞''=⎰得到：132302(1)!2[()!]nl zn l N na n n l ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭前几个径向波函数的表达式()()()()()()000000030000003003/2103/22023/22123/22443033273/22313/22232()2()(2)()()[2()]()]()()Z Z Z Z a Z Z a rZ a rZ Za a rZ a rZ Z Z a a a rZ Z a a rZ Z a a R r eR r r eR r R r r r eR r reR r r e------==-==-+==所以电子的能量本征值以及波函数为24222s n z e E n μ=-(,,)()(,)n l m n l lm r R r Y ψθϕθϕ=主量子数：1,2,3,n = 角量子数：0,1,2,,1l n =- 磁量子数：0,1,2,,m l =±±±前几个波函数的ψθϕ(,,)nlm r 的表达式ψθϕθϕ-⎛⎫==⎪⎪⎭032110010000(,,)()(,)zra z r R r Y e aψθϕθϕ-⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0322200200000(,,)()(,)2zra z zr r R r Y e a a()()()032221021100,,,cos 2zra z r R r Y a ψθϕθϕθ-⎫==⎪⎭()()()032221121110,,,sin 2zra i z r R r Y e a ϕψθϕθϕθ-⎫==⎪⎭ ()()()032221121110,,,sin 2zra i z r R r Y e a ϕψθϕθϕθ----⎫==⎪⎭得到了波函数的表达式就可以根据波函数求得描述体系的各种力学量，如动量能量等。