量子力学中的量子中心力场与量子振子问题

量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。

在量子力学中，量子中心力场和量子振子问题是两个重要的研究领域。本文将详细介绍量子中心力场和量子振子问题的基本概念、数学描述以及相关应用。

量子中心力场是指由一个中心力场作用在一个粒子上的情况。中心力场具有径

向对称性，即它的大小只取决于粒子和中心之间的距离。在量子力学中，我们可以通过求解薛定谔方程来描述量子中心力场的行为。

薛定谔方程是量子力学的基本方程，它描述了量子系统的波函数随时间的演化。对于量子中心力场问题，薛定谔方程可以写为：

HΨ = EΨ

其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。在量子中心力场问题中，哈密

顿算符可以表示为：

H = -ħ²/2m∇² + V(r)

其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V(r)

是中心力场的势能函数。

对于量子中心力场问题，我们通常使用球坐标系来描述粒子的运动。在球坐标

系下，薛定谔方程可以写为：

[-ħ²/2m(1/r² ∂/∂r(r²∂/∂r)) + L²/2mr² + V(r)]Ψ = EΨ

其中L²是角动量算符的平方，它描述了粒子的角动量。

在量子中心力场问题中，我们可以通过求解薛定谔方程来得到粒子的能级和波

函数。不同的势能函数V(r)会导致不同的能级结构和波函数形式。例如，对于库仑

势能，即V(r) = -k/r，我们可以得到氢原子的能级和波函数。这些能级和波函数的

计算结果与实验观测到的氢原子光谱非常吻合，验证了量子力学的有效性。

量子振子问题是另一个重要的量子力学问题。量子振子可以用来描述一维谐振

子系统，它具有平衡位置和势能。在量子力学中，我们可以通过求解薛定谔方程来描述量子振子的行为。

对于量子振子问题，薛定谔方程可以写为：

HΨ = EΨ

其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。在量子振子问题中，哈密顿算

符可以表示为：

H = -ħ²/2m(d²/dx²) + 1/2kx²

其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是质量，k是弹性常数，x是振子的位移。

对于量子振子问题，我们通常使用位置表象来描述振子的运动。在位置表象下，薛定谔方程可以写为：

[-ħ²/2m(d²/dx²) + 1/2kx²]Ψ = EΨ

通过求解这个薛定谔方程，我们可以得到量子振子的能级和波函数。量子振子

的能级是离散的，即只能取特定的能量值。而波函数则描述了振子在不同能级下的概率分布。

量子振子问题在物理学和工程学中有广泛的应用。例如，在量子力学中，量子

振子是描述固体中晶格振动的重要模型。在量子力学中，我们可以通过量子振子的能级和波函数来计算固体的热容、热导率等性质。此外，量子振子还可以用来描述光子的行为，光子也可以看作是一种量子振子。

总结起来，量子中心力场和量子振子问题是量子力学中的两个重要研究领域。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到量子中心力场和量子振子的能级和波函数。这

些能级和波函数的计算结果与实验观测非常吻合，验证了量子力学的有效性。量子中心力场和量子振子问题在物理学和工程学中有广泛的应用，对于理解和研究微观世界的行为和性质具有重要意义。

量子力学习题解答第八章

第八章：自旋 [1]在x σ?表象中，求x σ?的本征态（解）设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ?的本征函数可表示： βαχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δ i e c 2 11= δ i e c 2 12=

δ 是任意的相位因子。当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δ i e c 2 11= δ i e c 2 12- = 最后得x σ?的本征函数： )(21βαδ += i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ -= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ??? ???=10β ?? ????=21c c χ （7） x σ?的矩阵已证明是 ?? ?? ??=01 10?x σ 因此x σ?的矩阵式本征方程式是： ?? ? ???=? ????????? ??212110 10c c c c λ （8）其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ?本征矢的矩阵形式是： ??????= 1121δ i e x ?? ????-=1122δ i e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。（解）方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)

量子力学中的量子力场和粒子交换

量子力学中的量子力场和粒子交换量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论框架，其中量子力场和粒子交换是重要的概念。量子力场是指填满整个空间的场，作为粒子的载体，影响着它们的运动和相互作用。而粒子交换则是指在量子力场中，粒子通过交换其他粒子而相互作用的过程。本文将探讨量子力学中的量子力场和粒子交换的概念和重要性。一、量子力场的概念和作用量子力场是量子力学中的基本概念之一，它描述了粒子存在的空间。量子力场可以被看作是填满整个空间，处处存在的场，其通常用波函数来描述。不同的粒子对应着不同的量子力场，例如电磁力场、强相互作用力场和弱相互作用力场等。量子力场的作用是存在粒子的空间中，使粒子产生相互作用。在量子力场中，粒子通过感受到场的存在而相互作用。例如，在电磁力场中，带电粒子受到电磁场的力作用；在强相互作用力场中，核子受到强相互作用力的束缚。量子力场可以通过粒子的量子场论来描述，其中量子场论的基本原理是将场和粒子统一起来，用场算符来描述粒子的产生和湮灭。在这种描述下，通过量子力场的激发，粒子可以被认为是由量子力场产生的。二、粒子交换的过程和重要性

粒子交换是量子力学中的重要概念之一，它是粒子之间相互作用的基础。在粒子交换的过程中，通过交换粒子，粒子之间可以传递力和能量，从而产生相互作用。在粒子交换的描述中，泡利原理起到了重要的作用。泡利原理指出，相同自旋的费米子（如电子、中子）不能在同一量子态上存在，否则会产生排斥力。这就是为什么电子不能全部落在低能量态上的原因。在量子力学中，粒子交换有着重要的实际应用。例如在原子间相互作用中，通过电子的交换，原子之间产生了化学键；在固体中，通过电子的交换，产生了电子的能带结构，影响了电子的导电性能。粒子交换还在强相互作用力中起到关键作用。强相互作用力是负责核子之间的相互作用，通过介子的交换来传递力。这使得质子和中子相互结合形成了原子核。三、量子力场和粒子交换的研究量子力场和粒子交换是当代理论物理研究的重点之一。通过对量子力场和粒子交换的研究，可以深入理解微观粒子的行为。研究者通过利用量子场论的方法，尝试解释标准模型中的所有粒子和相互作用，并且试图将引力也引入到量子力场的框架中，以构建统一的物理理论。在粒子交换的研究中，也涌现出了许多重要的物理概念，如弦理论等。这些理论试图通过解释粒子交换的微观机制，进一步揭示宇宙的结构和演化。

2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记

2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记一、考研真题与解题的思路 43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。[浙江大学2014研] 【解题的思路】对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。【解答】由玻恩近似可得微分散射截面为【知识储备】玻恩近似法 ①适用条件（高能散射） ②微分散射截面

其中U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k → 分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。【拓展发散】对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。 44设算符A 和B 不对易，，但A 和B 都与C 对易，即，，试证明：（1），n 为正整数；（2） [厦门大学2012研] 【解题的思路】根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。【解答】（1）因为所以

（2）【知识储备】 ①e指数函数的展开式 ②对易式中满足的基本恒等式 [A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C] [A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C [AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B [A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。（1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即

求解粒子的能量本征值和本征函数。（2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？ [南京大学2002研] 【解题的思路】分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。【解答】（1）当时，；当时，粒子的转动惯量为，对应的哈密顿量为。由定态薛定谔方程可得即令求解得由波函数的连续性可得，即，所以

量子力学中的量子力场论

量子力学中的量子力场论量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它描述了微观世界中粒子的性质和相互作用。而在量子力学中，量子力场论是一种重要的理论模型，用于描述微观场与微观粒子的相互作用。本文将探讨量子力学中的量子力场论，并阐述其在解释自然现象、发展科技以及理论物理学研究中的重要性。一、量子力场论的基本概念和原理量子力场论是由量子力学和场论相结合而形成的理论框架。它基于场的概念，将微观粒子视为场的激发态，描述了场与粒子的相互作用。量子力场论是一种量子场论，它使用量子力学的数学形式，即算符和态矢量，来描述粒子和场的相互作用过程。二、量子力场论的发展历程量子力场论的发展具有悠久的历史。早在20世纪30年代，费曼、朗道、施温格等科学家就提出了量子电动力学（QED），用于描述电磁场与电子的相互作用。随后，随着物理学的发展，人们逐渐将量子力场论应用于其他相互作用力的研究，如弱力和强力相互作用。三、量子力场论的物理原理量子力场论建立在相对论和量子力学的基础上，融合了量子场的概念和量子力学的数学形式。它利用拉格朗日量和哈密顿量描述场与粒子的动力学行为，并使用路径积分和费曼图等方法计算物理过程的概率振幅。

四、量子力场论的重要应用量子力场论在物理学的研究中具有广泛的应用。在粒子物理学中，量子力场论用于描述基本粒子与基本相互作用力，如电磁力、弱力和强力的相互作用过程。它解释了基本粒子的发现和性质，如夸克、轻子和强子等。此外，量子力场论还用于解释和预测粒子物理的实验结果，为实验验证提供了理论基础。五、量子力场论的发展趋势随着科学技术的不断进步和实验技术的不断提高，量子力场论仍在不断发展。新的理论模型和计算方法的出现不断推动着量子力场论的完善和发展。例如，超对称性、弦论等新理论给量子力场论带来了新的观点和挑战，为理论物理学的发展提供了新的方向。六、总结量子力场论是量子力学中的重要理论模型，描述了微观粒子与场的相互作用。它在解释自然现象、推动科技发展以及推动理论物理学的研究方面发挥着重要作用。随着科学技术的不断进步，量子力场论仍在不断发展，为我们深入理解微观世界提供了强有力的工具和理论基础。

量子力学作业习题

量子力学作业习题第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器

量子力学问题

量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础。 19世纪末，经典力学和经典电动力学在描述微观系统时的不足越来越明显。量子力学是在20世纪初由马克斯·普朗克、尼尔斯·玻尔、沃纳·海森堡、薛定谔、沃尔夫冈·泡利、德布罗意、马克斯·玻恩、恩里科·费米、保罗·狄拉克等一大批物理学家共同创立的。通过量子力学的发展人们对物质的结构以及其相互作用的见解被革命化地改变。通过量子力学许多现象才得以真正地被解释，新的、无法直觉想象出来的现象被预言，但是这些现象可以通过量子力学被精确地计算出来，而且后来也获得了非常精确的实验证明。除通过广义相对论描写的引力外，至今所有其它物理基本相互作用均可以在量子力学的框架内描写（量子场论）。关键现象光与物质的相互作用黑体辐射 19世纪末，许多物理学家对黑体辐射非常感兴趣。黑体是一个理想化了的物体，它可以吸收，所有照射到它上面的辐射，并将这些辐射转化为热辐射，这个热辐射的光谱特征仅与该黑体的温度有关。使用古典物理这个关系无法被解释。通过将物体中的原子看作微小的量子谐振子，马克斯·普朗克得以获得了一个黑体辐射的普朗克公式。但是在引导这个公式时，他不得不假设这些原子谐振子的能量，不是连续的（这是古典物理学的观点），而是离散的：

E = nhν n 这里n是一个整数，h是一个自然常数。（后来证明正确的公式，应该以n+ 1 / 2 来代替n，参见零点能量）。1900年，普朗克在描述他的辐射能量子化的时候非常地小心，他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。其值为 Js 。光电效应 1905年，阿尔伯特·爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论，提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。海因里希·鲁道夫·赫兹和菲利普·莱纳德等人的实验，发现通过光照，可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度，只有当光的频率，超过一个临限值后，才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能，随光的频率线性升高，而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子（光子这个名称后来才出现）的理论，来解释这个现象。光的量子的能量为在光电效应中这个能量被用来将金属中的电子射出（逸出功）和加速电子（动能）：这里m是电子的质量，v是其速度。假如光的频率太小的话，那么它无法使得电子越过逸出功，不论光强有多大。照射时间有多长,都不会发生光电应,而入射光的频率高于极限频率时,即使光不够强,当它射到金属表面时也会观察到光电子发射. 原子结构 20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。但是这个模型有两个问题无法解决。首先，按照经典电磁学，这个模型不稳定。按照电磁学，电子不断地在它的运转过程中被加速，同时应该通过放射电磁波丧失其能量，这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱，由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱由一个紫外线系列（来曼系）、一个可见光系列（巴耳末系）和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。 1913年，尼尔斯·玻尔提出了以他命名的玻尔模型，这个模型为原子结构和光谱线，给出了一个理论原理。玻尔认为电子只能在一定能量E n的轨道上运转。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道（E n），跃到一个能量比较低的轨道（E m）上时，它发射的光的频率为。

量子力学习题问题详解

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?），故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。（22 x e dx /∞-α-∞ = α?）解：1.由归一化条件可知：

22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:

量子力学讲义第五章

第五章中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22 ()2V r μ =-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即 ˆ0l t ∂=∂ ˆˆ[,]0l H = 2 22221ˆ()22l H r V r r r r r μμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ( ) 2ˆ,,z H l l 构成力学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征方程)：2 22 22 1()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。取ψ为 () 2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm r R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是() 2 ,z l l 共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222 2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫ ++-= ⎪⎝⎭ 径向方程可写为：()()2222 2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤ ++-=⎢⎥⎣⎦ ，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：() ()l l r R r r χ= ；径向方程简化为：()()2 222 2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣ ⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，

量子力学例题与解答

《量子力学》复习例题与题解一、基本概念 1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E ==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。 2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为力学量算符Q ˆ的相应于本征态n ψ的本征值。 4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。 5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。 6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2 ),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x 附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数

为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t x ψ必须归一化，即 1),(2 =⎰ τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数 8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆn n n E H ψψ=可以严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要的精度逐步进行一级、二级或高级修正。 10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。 11. 定态具有以下特征的态称为定态：能量E 一定（与时间t 无关）;概率分布一定，即 2 ),(t x ψ一定（与时间t 无关）；力学量的平均值一定，即>

大学物理中的量子力学问题

大学物理中的量子力学问题量子力学是现代物理学的基础学科之一，研究微观粒子的行为和性质。在大学物理学习中，量子力学问题是一个重要的考点，涉及到波粒二象性、薛定谔方程、量子力学运算符等概念和原理。本文将就大学物理中的量子力学问题展开讨论。 1. 波粒二象性在经典物理学中，物质可以被看作是粒子的形式，而在量子力学中，物质既具有粒子性，也具有波动性。例如，光既可以被看作是粒子（光子），又可以被看作是波动的电磁场。这种波粒二象性在量子力学中有着重要的意义，解释了许多实验现象，如光的干涉和衍射。 2. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的核心方程，描述了微观粒子的运动和状态演化。薛定谔方程是一个偏微分方程，其解被称为波函数，用来描述粒子的行为和性质。常见的薛定谔方程形式为： Hψ = Eψ 其中，H为哈密顿算符，ψ为波函数，E为粒子的能量。薛定谔方程具有线性叠加原理，即如果ψ₁和ψ₂是薛定谔方程的解，那么它们的线性组合a₁ψ₁ + a₂ψ₂也是薛定谔方程的解。 3. 算符和测量

在量子力学中，算符是一种对波函数进行运算的数学工具，用来描述物理量和相应的测量结果。常见的量子力学算符包括位置算符、动量算符和能量算符等。测量是量子力学中的基本操作，它通过运用算符获取粒子的某个性质或者物理量的取值。然而，不同于经典物理，量子力学中的测量结果是不确定的，只能给出一系列可能的取值，并且测量操作会引起波函数的塌缩。 4. 不确定性原理量子力学的不确定性原理是由海森堡提出的重要原理，描述了粒子的某些物理量（如位置和动量）的测量精度存在固有的限制。不确定性原理表明，无法同时精确测量粒子的位置和动量，粒子的位置和动量之间存在一种不确定性关系。这种不确定性关系限制了我们对于微观世界的认识，揭示了量子物理学的独特性质。 5. 量子力学的应用量子力学不仅是一个基础性的学科，还在许多领域中有着广泛的应用。在固体物理中，量子力学解释了电子在晶格中的行为和导电性质；在原子物理中，量子力学解释了原子光谱和辐射现象；在粒子物理学中，量子力学解释了基本粒子的性质和相互作用。随着技术的进步和研究的深入，量子力学的应用将更加广泛。综上所述，大学物理中的量子力学问题是一个复杂而有趣的领域，涉及到波粒二象性、薛定谔方程、量子力学算符等基本概念和原理。通过对这些问题的深入学习和理解，我们能够更好地认识微观世界，

量子力学中的若干问题

量子力学中的若干问题量子力学是描述微观世界中粒子行为的一种物理理论，它以其奇特的性质和不同于经典物理的描述方式而备受关注。然而，尽管量子力学已经发展了近一个世纪，但仍然存在一些令科学家困惑的问题。本文就量子力学中的若干问题展开讨论。首先，量子力学中的测量问题一直是备受争议的焦点。根据量子力学的传统观点，测量会引起系统的崩溃，使结果变得确定。这意味着在测量之前，粒子处于一个模糊的状态中，只有在测量时，才能得到粒子的确定性结果。这种观点常被称为“波函数崩溃”。然而，这一观点难以解释为何测量的结果总是离散的，而不是连续的。而基于一些新的观点，如多世界诠释和相对论性量子力学，测量并不会引起系统的崩溃，而是导致了不同可能性的分支。其次，量子纠缠问题也是量子力学中的一个重要难题。量子纠缠是指当两个或多个粒子之间发生相互作用后，它们会成为一个整体，不论它们之间有多远的距离。即使在宇宙中两个纠缠粒子相隔遥远，它们的状态仍然是相互关联的。量子纠缠对于量子通信和量子计算具有重要意义，但其背后的机制至今仍不为人所知。这引发了许多关于量子纠缠的深入研究，尝试揭示其原理和应用。另外，隐含变量理论的问题也是量子力学中备受争议的话题之一。隐含变量理论是一种试图解释量子力学中概率性结果的理论，认为在量子力学背后存在一些我们当前无法观测到或者无法理解的隐含变量。然而，隐含变量理论面临的挑战是无法与一些重要实验证据相吻合，如贝尔不等式的实验结果。这使得隐含变量理论难以成为量子力学的替代理论，也使得我们

对量子力学的真正本质还存在着一定的疑问。此外，量子力学中的测量问题与相对论之间的矛盾也引起了科学家们的思考。根据量子力学，测量过程会瞬间地影响粒子的状态，这似乎违背了狭义相对论的局部性原则。虽然我们目前还没有找到一个统一描述量子力学和相对论的理论，但这一问题足以促使我们进一步探索自然界的奥秘。综上所述，量子力学中仍然存在着许多难题和未解之谜。测量问题、量子纠缠、隐含变量理论以及量子力学与相对论之间的矛盾，这些问题使得我们对于微观世界的理解仍然有限。然而，正是这些问题的存在，激发了科学家们的好奇心和追求，推动了我们对于量子力学的深入研究，也帮助我们更好地理解自然界的奥秘。未来的研究将进一步推动量子力学的发展，为解决这些问题带来新的突破综上所述，量子力学中的一些难题和未解之谜，如测量问题、量子纠缠、隐含变量理论以及量子力学与相对论之间的矛盾，仍然存在。这些问题的存在激发了科学家们的好奇心和追求，推动了对量子力学的深入研究。虽然目前还没有完全解决这些问题的理论，但未来的研究将进一步推动量子力学的发展，为解决这些难题带来新的突破，从而更好地理解和揭示微观世界的奥秘

量子力学中的量子场论和场的量子化

量子力学中的量子场论和场的量子化量子场论是描述自然界中基本粒子和相互作用的理论框架，它将经典场论与量子力学相结合。场的量子化是量子场论的基础，通过将经典场转化为量子算符，描述了场的量子性质。本文将探讨量子场论的基本原理和场的量子化的过程。一、量子场论的基本原理量子场论是物理学中最为严谨和普适的理论之一，它描述了所有基本粒子和它们之间相互作用的行为。在量子场论中，物质和相互作用不再由粒子描述，而是由实数或复数值的场来描述。这些场满足特定的运动方程，如克莱因-戈登方程和狄拉克方程。量子场论的基本原理包括： 1. 场的局域性：量子场论要求场的作用仅限于其附近的局部区域，远处的场不会直接影响到局部区域的行为。 2. 粒子的产生与湮灭：场的量子化使得粒子的数目不再是固定的，而是可以产生和湮灭。产生与湮灭算符描述了粒子的产生和消失过程。 3. 相互作用的描述：量子场论通过相互作用哈密顿量描述了粒子之间的相互作用。相互作用项可以将不同场的运动耦合起来，从而描述复杂的物理过程。二、场的量子化过程

场的量子化是量子场论的核心内容，它将经典的连续场转化为量子算符，使得场具有量子性质。场的量子化过程一般包括以下步骤： 1. 分解场：将原始场按照空间和时间的分量进行展开，可以得到一系列模式函数和对应的振幅。 2. 量子化：将各个场模式展开后的振幅与产生和湮灭算符关联起来，产生算符对应粒子的产生，湮灭算符对应粒子的湮灭。 3. 建立对易关系：产生和湮灭算符满足一组对易关系，即克莱因-戈登方程和狄拉克方程中的对易关系。 4. 粒子的统计性质：根据算符的对易关系，可以得到产生和湮灭算符之间的对易关系，从而确定粒子的统计性质，如玻色子或费米子。 5. 微扰展开：通过微扰论的方法，可以将场的量子化过程表示为级数展开，从而计算物理过程的概率振幅。三、应用和发展量子场论在现代物理学中有广泛的应用，包括粒子物理学、凝聚态物理学和量子电动力学等领域。量子场论可以描述粒子之间的相互作用，解释强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用。场的量子化过程也是量子电动力学的基础，通过场的量子化，电子、光子和其他基本粒子的相互作用可以用相应的拉格朗日量来描述。除了电动力学，场的量子化也为强相互作用和弱相互作用提供了理论框架。

量子力学中的场与粒子

量子力学中的场与粒子量子力学是现代物理学中的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为。在量子力学中，场与粒子是两个基本的概念。本文将深入探讨量子力学中的场与粒子，并介绍它们之间的关系以及在实验中的应用。在经典物理学中，我们通常将物质看作是由粒子组成的。然而，在量子力学中，物质不仅可以被看作是由粒子组成的，还可以被看作是由场构成的。场是一种空间中的物理量，它可以描述物质的性质和相互作用。在量子力学中，场与粒子之间存在着密切的关系。量子场论是描述场与粒子相互作用的理论。在量子场论中，场被量子化，即被看作是由离散的粒子组成的。这些离散的粒子被称为量子。量子场论的基本假设是，场的激发可以被看作是粒子的存在。这种激发可以通过产生算符和湮灭算符来描述。产生算符可以将场的基态激发到一个粒子态，而湮灭算符可以将粒子态湮灭为场的基态。在量子场论中，场的激发可以被看作是粒子的存在，而粒子的存在又可以通过场的激发来描述。这种双重描述使得量子场论成为了描述微观世界的强大工具。通过量子场论，我们可以描述粒子的产生和湮灭过程，计算粒子的能谱和相互作用等物理量。量子场论在实验中的应用非常广泛。例如，在高能物理实验中，我们可以用加速器产生高能粒子，然后通过与场的相互作用来探测这些粒子。通过测量粒子的能谱和散射截面等物理量，我们可以验证量子场论的预言，并进一步了解微观世界的性质。除了高能物理实验，量子场论还在凝聚态物理、原子物理和量子信息等领域得到了广泛的应用。例如，在凝聚态物理中，我们可以用量子场论来描述电子在晶格中的行为，从而解释材料的电导性和磁性等性质。在原子物理中，我们可以用量子

811量子力学

一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，δ--函数和δ-势阱中的束缚态，一维简谐振子。（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。连续本征函数的归一化，力学量的完全集。力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。（九）多体问题全同粒子系统，氦原子，氢分子。二．考试要求：（一）波函数和薛定谔方程 1．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实， 2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概率解释。

量子力学问答题

1. 经典物理学遇到哪些困难？从中得到哪些启示？ 2. 普朗克为了解释自己提出的经验公式，作了怎样的假定？这一假定的思想与经典思想有何区别？ 3. 爱因斯坦重新肯定光的粒子性与牛顿的光的微粒说有何区别？ 4. 普朗克--爱因斯坦关系式有何意义？ 5. 玻尔量子论的两个重要概念和它的缺陷，玻尔量子理论是否可能揭示出微观粒子运动本质？这什么？ 6. 在康普顿效应的初步理论中指出，当散射的时候，波长的改变与散射物理性质无关，这个结论是否正确？这个效应与物质的性质有什么关系？ 7. 徳布罗意提出的实物粒子具有波粒二象性的基本思想是什么？德布罗意关系式与普朗克--爱因斯坦关系式有何区别？ 8. 德布罗意关系式在有外场时是否成立？怎样理解？ 9. 微观粒子具有什么特征？有无根据？ 10. 自由粒子的动能E，若它的速度远小于光速C，则该粒子的德布罗意波长为多少？ 11. 人们曾经对波的理解有哪两种观点？是否正确？ 12. 波和粒子的关系究竟如何？电子是粒子还是波？怎样理解？ 13. 玻恩的统计解释怎样？为什么波函数能描写粒子的一切性质？怎样理解？ 14. 归一化条件的物理意义是什么？波函数的标准条件是什么？ 15. 几率波有哪些重要性质？经典波与几率波的根本区别是什么？ 16. 如何用实验装置来测量粒子的动量？ 17. 为什么薛定谔方程必须是线性方程？ 18. 薛定谔方程在量子力学中的地位，如何来建立它？ 19. 叙述几率流密度矢量的物理意义？ 20. 什么是定态？处于定态下的粒子具有怎样的特征？ 21. 在力场中运动的粒子是否可用定态波来描述？ 22. 薛定谔方程应满足什么条件？ 23. 自由粒子是什么？ 24. 人们对物质粒子的波动性早期理解有哪两种较为普遍的观点？为什么这些现象都是片面的，是不正确的？ 25. 波和粒子的关系究竟如何？怎样理解几率波，为什么说几率波正确地把物质粒子的波动性和原子性统一起来？ 26. 证明一维运动束缚定态都是不简并的？ 27. 为什么一维运动束缚定态波函数是实数？ 28. 什么是束缚态？什么是自由态？什么是基态？束缚态与自由态以能级怎样？ 29. 什么是能量本征值？什么是能量本征函数？H不变，即能量守恒是否意味着能量一定处于能量本征态中？为什么？ 30. 何谓透射系数和反射系数，何谓遂道效应，怎样求出透射系数和反射系数？怎样理解反射系数？ 31. 在什么情况下发生共振透射？怎样理解共振透射？ 32. 线性谐振子的能谱怎样？与旧量子论有何区别？ 33. 在几率分布中有波节存在，粒子怎样通过几率为0的点？ 34. 什么叫算符？量子力学的算符有何性质？ 35. 量子力学中为什么要引进算符来表示力学量？ 36. 证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。

量子力学问题

量子力学问题量子力学问题第一章 1.物理学中的两朵乌云（1）“以太”问题 “以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。（2）固体低温下的比热问题固体的诸原子在各自的平衡位臵附近作小振动，每个振动自由度占有相同的平均能量（包含动能项和势能项），因而摩尔热容为R 3，而在温度趋于零或多原子分子时，实验值小于该理论值：部分自由度被冻结。 2. 紫外灾难与量子假设黑体辐射与紫外灾难当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+ 特殊假设→ 维恩公式长波部分不一致经典电动力学 + 统计物理学→ 瑞利金斯公式（短波部分完全不一致），——紫外灾难。普朗克的能量子假设对一定频率ν的电磁波，物体只能以νh 为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量νh 叫能量子。 3．爱因斯坦与光电效应（利用爱因斯坦方程解释光电效应中为何存在临界频率0ν？）光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。（1）光电效应的规律： a 存在临界频率0ν； b. 光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光强越大，光电子数目越多。 c. 0νν>时，光一照射，几乎立刻（s 910-≈）观测到光电子。（2）爱因斯坦解释解释实验: W mv

h +=2 21ν——爱因斯坦方程逸出功0νh W = 4. 玻尔的原子理论的中心内容：定态假设，频率条件。（1）定态假设原子内部的运动只可能处于一些不连续的稳定状态，称为定态。原子在每一个定态下能量分别都有一定的值，原子的能量只允许取量子化的离散值，称为能级。（2）频率条件原子的能量不能任意连续地改变，只能通过从一个定态到另一定态的跃迁而产生跃迁式的改变。原子从一个能量为n E 的定态跃迁到另一能量为m E 的定态时，将发射或吸收频率为h E E n m mn | |-=ν的光子。（3）量子化条件在量子理论中，角动量必须是的整数倍 =nh pdx x 为坐标，p 为对应的动量，n 为正整数，称为量子数，回路积分是延轨道积一圈。 5 微观粒子的波粒二象性 1924年德布罗意在光有波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，这种与粒子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。光子量子能量νεh = νh E = 动量λ νh c h p =

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。（2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=

量子力学知识点总结

量子力学期末复习完美总结一、填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =⎰ ，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ === =；。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：() 2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性。 6．，为单位矩阵，则算符的本征值为： 1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是实数性和正交完备性。 8．厄密算符的本征函数具有：正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。 9．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ˆx i L ； 0。 11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ∆∆≥ 。自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA 不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15．为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1； m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。 16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2 n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 17．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为：ˆF ψλψ =。 18．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为：力学量算符的本征值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。 19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。 20．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c 的取值为： 1 6 ，的可能值为： 13 ，本征值为出现的几率为： 1 2 。 21．原子跃迁的选择定则为：101l m ∆=±∆=±；，。