(完整word版)量子力学16

§3—9 电子在库仑场中的运动
一、粒子在中心力场中的运动
特点：()()U r U r =与θ、ϕ无关，中心对称。

回顾经典物理学中的中心力场： 在直角坐标系中,粒子的动能为
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==2
22221dt dy dt dx v T μμ
在极坐标系中，动能可表示为
2222222
1()222r dr rd dr d T v v r dt dt dt dt ϕμϕμϕμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
粒子的总能量为
U v v U T E r ++
=
+=2
22
2
ϕμ
μ
因为粒子的角动量
ϕμθμv r v r L ==sin
所以 r
L v μϕ= 能量
第二项
第一项
U r L v U r L v E r r
++=++=2
2
22222
22122μμμμμ
式中，第一项2
2221⎪⎭⎫
⎝⎛=dt dr v r μμ称为径向动能，它是由r 的大小改变引起的;第二项)(2)(22r U r L r U +='μ称为
有效势能，其中2
212r L U μ=是由r
的方向改变引起的，称为离心势能.这是因为 2222
3
2321)(ωμϕμμμμμϕϕr dt d r r r v r
v r r L dr dU F =⎪⎭⎫ ⎝⎛====-= 即具有转动参考系中的离心力的形式，所以1U 称为离心势能。

在量子力学中，球坐标系下有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇22222
2
sin 1sin sin 11ϕθθθθθr r r r
所以体系的哈密顿算符为
2
22
22222ˆ()
211sin ()2sin sin ˆˆ()r
H
U r r U r r r r T
T U r ϕ
μ
θμθθθθϕ=-∇+⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++ 式中，第一项22
22ˆˆ22r r
p
T r r r r μμ
∂∂⎛⎫=-=
⎪∂∂⎝⎭称为径向动能。

其中径向动量算符为 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∂∂-=r r i p
r 1ˆ r r p p ˆˆ=+ 因为
22
222
2222222
22111ˆ112r p
r r r r r r r r r r r r r r r r
r r r r r r ψψψψψψψψψψψψ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪⎪ ⎪
⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂=--+++=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
∂∂⎛⎫=-
⎪∂∂⎝⎭
所以，称为径向动量平方算符
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂-=r r r r p r
2222ˆ
第二项2
22222
22ˆsin 1sin sin 12ˆr L
r T μϕθθθθθμϕ
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-= 。

中心力场的薛定格方程为
[]
ψψϕ
E r U T T r
=++)(ˆ
ˆ
利用分离变量法，令
),()(),,(ϕθϕθψlm Y r R r =
代入到薛定格方程中,得
),()(),()()(2ˆˆ2
2ϕθϕθμlm lm r Y r ER Y r R r U r L
T =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++ 利用Y l l Y L
22)1(ˆ +=，并约去Y ，则有 )()()(2)1(ˆ2
2r ER r R r U r l l T r =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++μ 即
)()()(2)1(22
2222r ER r R r U r l l r r r r =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-μμ 这就是中心力场中径向波函数满足的方程。

二、电子在库仑场中的运动
质量为μ、带电e -的电子受核电荷Ze 的吸引势能为
r
Ze r Ze r U s 2
024)(-
=-=πε (令022
4πεe e s =） 由于
2
222
11()d dR d r rR r dr dr r dr ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 所以，库仑场中径向波函数满足的方程可以写成
)()(2)1()(1222222
2r ER r R r l l r Ze rR dr d r s =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++-+-μμ 令r r u r R /)()(=，则方程变形为
)()(2)1()(2222222r Eu r u r l l r
Ze dr r u d s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-μμ 径向薛定格方程与一维薛定格方程相比较，形式上相似,但有两点区别:
(1）独立变量r 是从∞→0，而不是从+∞→∞-，且为了保证波函数满足标准条件，必须附加边界条件
0)0(=u
（2)有效势能22
2
(1)()2s effective
Ze l l U r r r μ+=-+
代替了势能)(r U ，相比之下多了
离心势能2
2
2)1(r l l μ +（即横向动能）这一项.
这个向心力由)(r U （如引由于电子绕中心旋转,有离心倾向,需要一个向心力,
力场)提供，2
2
2)1(r l l μ +致使)(r U 对径向运动的作用减小了，相当于引力势能的绝
对值减小了2
2
2)1(r l l μ +。

可见，当0>E 时，对于任何E 值，电子均处于非束缚态,波函数为非平方可积函数，体系的能量具有连续谱,这时电子可离开核而运动到无限远处(电离）.当0<E 时，电子处于束缚态，波函数为平方可积函数,体系的能量具有分立谱。

下面的结论是0<E （束缚态）的情况。

利用数学运算，可以求得方程的解)(r u 。

径向薛定格方程的解为
电子的能级 2
2
4
22
n e Z E s n μ-
= ,3,2,1=n
径向波函数 )(r R nl （实函数） 总的波函数为 ),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r = 主量子数 3,2,1=n
角量子数 1,,2,1,0-=n l 磁量子数 l m ±±±= ,2,1,0 能量的简并度 21
0)12(n l n =+∑-=
如果波函数已经归一化，则
2*200
222*
00
(,,)(,,)sin ()(,)(,)sin 1
r nl lm lm r r r r drd d R r r dr Y Y d d ππ
θϕ
ππ
θϕψθϕψθϕθθϕ
θϕθϕθθϕ∞===∞
=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰
可得径向波函数)(r R n 的归一化条件为
120
2
=⎰
∞
dr r R n
前几个径向波函数
/103/2
2r a R e a
-=
/22012r a
r R e a -⎫=
-⎪⎭
/221r a
R -=
2/330221327r a
r r R e
a a -⎡⎤⎛⎫=
-+⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦
/33116r a
r R e a -⎫=
-⎪⎭
2
/332r a
r R e a -⎫=⎪⎭
小 结
一、粒子在中心力场中的运动 ()()U r U r = 体系的哈密顿算符为
2
2
222211ˆsin ()2sin sin H r U r r r r θμθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦
),()(),,(ϕθϕθψlm Y r R r =
二、电子在库仑场中的运动
r
Ze r Ze r U s 2
024)(-
=-=πε （令022
4πεe e s =） 电子的能级 2
24
22 n e Z E s n μ-
= ,3,2,1=n
径向波函数 )(r R nl （实函数) 总的波函数为 ),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r = 主量子数 3,2,1=n
角量子数 1,,2,1,0-=n l 磁量子数 l m ±±±= ,2,1,0 能量的简并度 21
0)12(n l n =+∑-=。