量子力学 中心力场 氢原子共66页
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
3.6量子力学对氢原子的描述
e 子电荷在原子内的几率分布 ψ
2
称为“电子云” 称为 “ 电子云 ” 。 因 的具体形式， 的具体形式，
ψ nlm 此只要给出氢原子定态波函数 (r , θ , ϕ )
就可计算在此状态下的几率云密度。 就可计算在此状态下的几率云密度。 几率云密度
6. 量子力学与波尔理论对氢原子处理的分 析比较 1）理论出发点不同 ） 波尔理论从实验上得 到的原子的线状光谱 和原子的稳定性出发 量子力学则从实物粒 子的波粒二象性出发
d态电子（l=2）： 态电子（ =2）：
f态电子（l=3）： 态电子（ =3）：
3、几率随 r 的变化 、
R = Cρ e
l
−
ρ
2
L
2 n +1 n +1
(ρ )
在 r —— r + dr 的球壳内找到电子的概率 ω波尔
ω(r)
ω量子
r
n=1 l=0
n=2
0.2 0.1 0 10
n=3 l=0
Pψ = nψ h
子 数 ： n, l, m
n = 1, 2 , 3 ..., l = 0 ,1, 2 , ..., n − 1, m = 0 , ± 1, .. . ± l
角动量大小：L = l ( l + 1) h , Lz = m h
作业题
第三章习题：1、2、7
0.2
l=0
r2R2
0.5 0.4
0.1 0 4 8 12 16
20
l =1 0.1
0.3
l=1
0
10
20 l =2
0.2 0.1 0 2 a1 4 6 r/a1
0.2 0.1 0.1
0
量子力学 第三章3.4 氢原子
Z 3/ 2 a0
2e
Z a r 0
R10 (r )
2 2
Z 3/ 2 a0
2e
2r a0
Z a r 0
1 3 w10 R10 r ( ) 4e a0
r
2
w10 (r )
w 经典
dw10 0 ，则可得： 令 dr
(r10 ) max a0 (玻尔半径)
w 量子
巴尔末公式
若用约化质量 ，则 R 10967758 米－1 与实验值
R实验＝ 10967757 米－1 .6
符合的很好。
3.简并度：
es 4 En 2 2 2n
( n 1, 2,3, )
氢原子（电子）的能量本征值 En 依赖于主量子 数
n 。对于给定的能级 En ， 0,1,2, n 1 共 n 个；而
n 1
给定 , m 0, 1, 2 共 (2 1) 个，所以能级 En 的 简并度 f (n) (2 1) n 2 。
0
氢原子能量的简并度比一般中心辏力场的能级简
1 并度 (2 1) 要大。原因在于库仑势 。这样的中心 r
力场比一般的中心场 V(r ) 具有更多的对称性所致。
同理：
2 x 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 M Xx x M X
2
2 2 2 2 同理可得： y 2 、 y 2 、 2 和 2 的变换式。 1 z1 z 2 2
把这些式子代入薛定谔方程(1)中，可得到以相对坐
标和质心坐标表示的体系薛定谔方程：
内找到电子的几率是：
dWm ( , ) wm ( , )d
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
11讲-氢原子
l −r2 / 2
u (r )～r e
l −ξ / 2
F →re
ξ →∞
l ξ /2
ξ →∞
→∞
9
∴ F (α , γ , ξ )不能作为波函数，必须将其中断为多项式
一、回顾(8)
α = (l + 3 / 2 − E ) / 2
r → 0时，χ l (r ) ∝ r l +1，r → ∞时，χ l (r ) ∝ e − βr ∴ 令χ l (r ) = r l +1e − βr u (r ), 得到合流超几何方程 d d ξ 2 u + (γ − ξ ) u − αu = 0, 其中，ξ = 2βr dξ dξ
2
γ = 2(l + 1), α = l + 1 − 1 / β , β = − 2 E ∴ u (r ) = F (α , γ , ξ ) → 合流超几何级数
Rl′′(r ) + 2r −1 Rl′(r ) + [2 E − r 2 − l (l + 1)r −2 ]Rl (r ) = 0 (1) 寻找Rl (r ) = f (r )u (r ), 考察r = 0，∞时的渐近行为。 r → 0时, Rl (r ) ∝ r , r → ∞时 → Rl (r ) ∝ e
2
ξ →∞
ξ →∞
∴ F (α , γ , ξ )不能作为波函数，必须将其中断为多项式 当α = 0或负整数时，可以达到此目的。 ∴ 设α = −nr , nr = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅, → E = (2nr + l + 3 / 2) 此时，Rl (r )～r l e −ξ / 2 F = r l e −ξ / 2 D(ξ ) → 多项式 Rl (r ) → 0, Rl (r ) → 0,∴ D(ξ )是可以接受的形式。
量子力学 6 氢原子问题
2
在r—r+dr的球壳内，对θ从 0 ，对
2 2 2
从
0 2积分：
nlm d Rnl r r 2 dr Ylm , sin dd
0 0
4
dr
r
Ylm , sin dd 1
0 0
En
z e
3、量子化能量值由n唯一确定，而波函数 nlm r , , 由(n ,l ,m)确定。 一个确定的n ,l可取n个值；
2 n
L2 l l 1 2
Lz m
一个确定的l ,m可取(2l+1)个值。
1 2n 1 1 N 2l 1 n n2 一个确定的En,有： 2 l 0
n 1
个波函数与之对应，其简并度为n2
ˆ ˆ ˆ 例：定态波函数 是总能量算符 H T U 的本征函数，
ˆ ˆ 但有人却把 误认为是 T 和 U 的本征函数，试以
基态氢原子为例，直接证明 不是 基态
ˆ ˆ T 和 U 的本征函数。
证明：
n 1, l 0, m 0
3 2
m
cos eim
9
(7)式：
l l 1, l 0,1,2, m 0,1,2 l
ˆ2 的本征值是 L2 l l 1 2 L
10
将 l l 1代入8中，令＝r : 1 d 2 dRr 1 l l 1 d 4 2 Rr 0 2 d
第三章 量子力学中的力学量
氢原子的能级和波函数 氢原子核外电子的概率分布
第三节
氢原子的能级和波函数
氢原子核外电子在原子核的库仑势场中运动， 设 U 0 , 则
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2