21-7氢原子问题的量子力学处理
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
教师：
胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
《大学物理》
教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
《大学物理》
教师：
胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
物理 量子力学处理
定态薛定谔方程表示为： 定态薛定谔方程表示为：
1 2 ψ 1 ψ (r )+ 2 (sinθ ) 2 r θ r r r sinθ θ
1 e2 2ψ 2m )ψ = 0(1) + 2 2 + 2 (E + 2 4πε0r r sin θ
设方程的解
ψ = ψ (r,θ , ) = R(r)Θ(θ )Φ( )
量子力学习题课
一、选择题 1、金属的光电效应的红限依赖于： 、金属的光电效应的红限依赖于： （A）入射光的频率 ） （C）金属的逸出功 ） （B）入射光的强度 ） （D）入射光的频率和金属的逸出功 ） 与金属性质有关。 A= eU0 与金属性质有关。 =
A 解： ∵ν 0 = h
C
2、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 、光电效应和康普顿效应都含有电子与光子的相互作用过程， 在下列几种理解中，正确的是： 在下列几种理解中，正确的是： （A）两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒 ） 和能量守恒定律； 和能量守恒定律； （B）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； ）两种效应都相当电子与光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的过程； ）两种效应都属于电子吸收光子的过程； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于 ）光电效应是吸收光子的过程， 光子与电子的弹性碰撞过程。 光子与电子的弹性碰撞过程。 光电效应过程： 解：光电效应过程： 电子吸收光子，过程能量守恒。 电子吸收光子，过程能量守恒。 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。过 康普顿效应： 为光子与电子弹性碰撞过程。 程满足能量守恒和动量守恒。 程满足能量守恒和动量守恒。
= ∑2(2l + 1) = 2n2
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢原子的量子力学处理方法
2s
n=2
2p
4
2P 在 几率最大
3p
3s
n=3
3d
3d在
几率最大
9
比较:量子力学与玻尔理论的异同
玻尔理论
量子力学
异:
电子只允许出现在轨道上
r从 电子都可能出现
同:
轨道 r
几率最大处
6.电子的自旋角动量量子化
实验证明，电子存在自旋运动
自旋角动量
n=1,2,3........称为主量子数
当E>0时，R(r)总有解，即E是连续的
3.角动量的量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程（2），（3）才有解
这说明角动量只能取由l 决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的，称l 为副量子数，或角量子数 。
4.空间的量子化
角动量是矢量，其在空间的方位取向是不连续的，而且 L 在 Z 方向的投影值必须满足：
自旋量子数
Z方向投影
自旋磁量子数
总之，描述原子中的电子状态共有四个量
3. 磁量子数
决定电子绕核运动角动量的空间取向
4. 自旋量子数
决定电子自旋角动量的空间取向
1. 主量子数 n=1,2,3..... 决定电子在原子中的能量
2. 角量子数 l=1,2,3.....n-1 决定电子绕核运动的角动量
共 2l+1 个值
空间量子化示意图
0
1
2
3
2
3
1
0
1
2
2
1
0
1
1
l
.
0
l
=
0
l
=
1
l
=
2
l
氢原子方程的解
五、方程（5）的解
在方程（5）中，令 x cos ，则
d d dx sin d
d dx d
dx
d sin d
d
dx
代入（5）中得
d [(1 x2 ) d ] ( m2 ) 0
dx
dx
1 x2
此即连带勒让德方程
由于 在 0 到 之间变化，则 x 在-1 到 1 之间变化，此限制决定了 ( ) 的解的特性。
12/12
Pl[m ] ( x) ( Pl ) m阶导数
m
(x)
p
m l
(x)
(1
x2)
2
p
[ l
m
]
(
x
)
由归一化条件得：
(x) (1)m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Plm
(cos
)
六、方程（4）的解------球谐函数 方程（4）的解，可由方程（5）、（6）的解相乘得到
Y ( ,) ( )()
1 6
Zr a0
Zr
)re 3a0
R32 (r )
4 81 30
(Z a0
Zr
)7 / 2 re 3a0
7/12
十一、波函数图 （1）、径向波函数，概率密度图
8/12
（2）、角向波函数，概率密度图
9/12
10/12
（3）、总图
11/12
十二、轨道能级图 （1）、氢原子轨道能级图
（2）、多电子原子轨道能级图
归一化系数是：
Nlm
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
1 2
归一化的 Y ( , ) 解是缔合勒让德函数：
Ylm ( ,) NlmYlm ( ,) (1)m
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
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例题7、戴维孙----革末实验中, 以电子射向晶体镍的表面, 该实验用来[A] (A) 测定电子的荷质比 (B) 确定光电效应的真实性 (C) 表明电子的波动性 (D) 观察原子能级的不连续性 例题8、实物物质的波动性表现在一个衍射实验中, 最早的 实验名称叫[A] (A)戴维逊－革末实验 (B)弗兰克－赫芝实验 (C)迈克尔逊－莫雷实验 (D)斯忒恩－盖拉赫实验
m e4 1 En , n 1,2, 2 2 2 (4 0 ) n
h L l (l 1) 2 h Lz ml 2
二、四个量子数 氢原子微观运动状态可用能量E、角动量L，角动量分量Lz、 自旋角动量S这四个物理量完全确定，每一物理量有一相应的量子 数，即四个量子数完全确定氢原子的量子态。
写电子轨道角量，l的数目为n。 3、磁量子数ml——空间量子化 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量。
Lz ml , ml 0. 1,2, l
ml的数目为2l+1。空间量子化由塞曼效应证明。
4、自旋磁量子数ms——电子自旋
确定自旋角动量在外磁场方向上的分量
S
s(s 1)
1 s 2
§21-7 氢原子问题的量子力学处理
一、氢原子的量子力学解法 1、势函数
e U 4 0 r 2、定态薛定谔方程
2m e Ψ 2 (E )Ψ 0 4 0 r
2 2
2
3、方程求解结果
(r ) (r, , ) Rnl lml ( )ml ( )
| n, l , ml , ms
1、主量子数n——能量量子化（大体上确定原子中电子的能量）
En 13.6 eV , n 1, 2, 2 n
能量量子化由弗朗克——赫兹实验证明 2、角量子数l——角动量量子化 又称轨道量子化（确定电子轨道角量）。
L
l (l 1), l 0,1,n 1
2p 3p 3d
4p 5p 6p
4d 5d 6d
4f 5f 6f
5g 6g
6h
例题1、（1）当n、l、ml一定时，（2）当n、l一定时，（3） 当n一定时，可能的量子态有几个？ 解： （1）当n、l、ml一定时，ms取±1/2，故可能的量子态有2个。 （2）当n、l、一定时，ms可能取2个值，ml可能取（2l+1） 个值，故可能的量子态有2（2l+1）个。 （3）当n一定时，ml可能取（2l+1）个值，ms可能取2个值， 故可能的量子态有：
l (l 1) 得
L 0,
2, 3
例题5、氢原子中处于２ｐ状态的电子，描述其量子态的四 个量子数（ｎ，L，ｍL，ｍS）可能取的值为:[C] （A） （３，２，１，－1/2）． （B） （２，０，０，1/2）． （C） （２，１，－１，－1/2） （D） （１，０，０，1/2）． 例题6、有人否定物质的粒子性, 只承认其波动性. 他们认为 自由粒子是一个定域波包. 这种理论的局限性可用哪个实验来说 明 ?[B] (A) 光电效应 (C) 戴维逊－革末实验 (B) 康普顿散射 (D) 弗兰克－赫芝实验
l n 1 l 0
2(2l 1) 2n 2
例题2、n=2的氢原子有哪些可能的量子态？ 解：当n=2，l取值0，1。 当l=0时，ml=0，ms =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 0 0 –1/2>，|2 0 0 1/2>。 当l=1时，ml=-1，0，1，ms =-1/2，1/2可能的量子态有： |2 1 -1 –1/2>，|2 1 -1 1/2>。ml=-1 |2 1 0 –1/2>，|2 1 0 1/2>。ml=0 |2 1 1 –1/2>，|2 1 1 –1/2>。ml=1
共有8个可能的量子态。
例题3、3d的氢原子有哪些可能的量子态？ 解：对3d态的电子，n=3，l=2，则ml=0，±1，±2。 当ml=-2时：|3 2 -2 –1/2>、|3 2 -2 1/2> 当ml=-1时：|3 2 -1 –1/2>、|3 2 -1 1/2> 当ml=0时：|3 2 0 –1/2>、 |3 2 0 1/2> 当ml=1时：|3 2 1 –1/2>、 |3 2 1 1/2> 当ml=2时：|3 2 2 –1/2>、 |3 2 2 1/2> 例题4、氢原子处于第二激发态，求轨道角动量的可能取值有 哪些？ 解：处于第二激发态的氢原子，n=3，l=0，1，2， 由 L
自旋量子数。
S z ms
1 1 ms , 2 2
自旋磁量子数。
电子的自旋由乌仑贝克——哥德斯密特提出，史特恩——盖拉 赫实验证明了电子自旋的存在。
三、电子态及原子态的表示法
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h)
n =1 1s n =2 2s n =3 3s n =4 4s n =5 5s n =6 6s