第三章量子力学初步
量子力学 第三章知识点
−V0 , 0 < x < a; 0, x < 0, x > a.
作者：张宏标（任课教师）
5
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
C ∆1 = = A ∆
2
2i β k ( k − β ) sinh β a + 2iβ k cosh β a
2 2
(k
2
− β 2 ) sinh β a + 2i) sinh β a
R =
B = A
2
(k
2
+ β 2 ) sinh 2 β a + 4k 2 β 2
> 2 d 2 − = V0 ψ ( x) Eψ ( x) − 2 2m dx 2 2 > d −= ψ ( x) Eψ ( x) 2m dx 2
取k =
(0 < x < a) ( x < 0, x > a ) ( x < 0, x > a ) (0 < x < a)
其中 v 是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下， 入射几率流密度是 j = A 2 v I I 反射几率流密度是 j = B 2 v R R 透射几率流密度是 j = C 2 v T T
作者：张宏标（任课教师） 1
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
3..2量子力学初步
§3、2 量子力学初步3．2．1、物质地二象性①光地二象性：众所周知，光在许多情况下<干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下<如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字.因而对光完整地认识应是光具有波粒二象性.一个光子地能量： E=hv v是光地频率，h是普朗克常数光子质量：光子动量：②德布罗意波德布罗意把光地波粒二象性推广到实物粒子.他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有地特性.第一个实物粒子在自由运动时所具有地能量为E、动量为p，这样地自由粒子必定对应一个振动频率为v、波长为λ地平面简谐波.这两组特征量之间地关系仍是自由地实物粒子所对应地平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它地客观真实性已为许多实验所证实.物质波地物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成地，波在空间某处振动状态地强弱可用该处振幅地平方M来表征.对于光波，若某处振幅平方较大，则该处地光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现地可能性较大，物质波也是如此.物质波若在某处振幅地平方较大，则实物粒子在该处出现地可能性较大，可能性地大小可定量地用数学上地概率大来表述，物质波各处振幅地平方便与粒子在该处出现地概率联系起来，这就是物质波地物理意义.例1、试估算热中子地德布罗意波长.<中子地质量）热中子是指在室温下<T=300K）与周围处于热平衡地中子，它地平均动能它地方均根速率，相应地德布罗意波长这一波长与X射线地波长同数量级，与晶体地晶面距离也有相同地数量级，所以也可以产生中子衍射.3．2．2、海森伯测不准原理设一束自由粒子朝z轴方向运动，每一个粒子地质量为m，速度为v，沿z轴方向地动量P=mv.这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z轴垂直地波阵面上沿任何一个方向<记为x方向）地动量取精确值.波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现地概率相同，这意味着粒子地x位置坐标可取任意值，或者说粒子地x位置坐标不确定范围为.为了在波阵面地某个x位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子.实验上可等效地这样去做：在波阵面地前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x轴垂直地狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实地镊子.如果狭缝地宽度为△x，那么对于通过狭缝地粒子可以判定它地x位置不确定范围为△x.△x越小，通过狭缝粒子以x位置就越是确定.然而问题在于物质波与光波一样.通过狭缝即会发生衍射，出射波会在缝地上、下两侧散开，或者说通过狭缝地粒子既有可能继续沿x轴方向运动，也有可能朝x轴正方向或负方向偏转地向前运动.偏向地粒子必对应地取得x方向地非零动量，即有，这表明出射粒子在x方向地动量不再一致地为，因此x方向动量有不确定性，不确定范围可记为.缝越窄，△x越小，粒子地x位置越接近准确，但衍射效应越强，越大，粒子地x方向动量值越不准确.反之，缝越宽，△x越大，粒子地x位置越不准确，但衍射效应越弱，越小，粒子地x方向动量值越准确.总之，由于波动性，使粒子地x位置和x方向动量不可能同时精确测量，这就是测不准原理.由近代量子理论可导出△x与之间地定量关系，这一关系经常可近似地表述为：h对y和z方向，相应地有：,有时作为估算，常将上述三式再近似取为：在经典力学中，运动粒子任意时刻地位置和动量或者说速度都可以精确测定，粒子地运动轨道也就可以确定.在量子理论中，运动粒子在任意时刻地位置和动量或者说速度不能同时精确测定，粒子地运动轨道也就无法确定.微观世界中，粒子地运动轨道既然不可测，也就失去了存在地意义.如在经典力学中，可以说氢原子中地电子绕核作圆轨道或椭圆轨道运动.在量子力学中，只能说粒子在核周围运动，某时刻电子地位置可能在这里，也可能在那里.描述这种可能性地概率有一个确定地分布.即使在这一时刻于某一位置“捕捉”到了该电子，也不能预言下一时刻该电子会出现在什么位置，因为电子地运动没有可供预言地轨道.经典力学中一个粒子可静止在某一确定地位置，量子力学则否定了这种可能性.据测不准原理，如果一个粒子在x、y、z坐标完全确定，即△x=△y=△z=0，那么它地x、y、z方向动量均不可为零，否则，与上面给出地关系式显然会发生矛盾.例2、实验测定原子核线度地数量级为.试应用测不准原理估算电子如被束缚在原子核中时地动能.从而判断原子核由质子和电子组成是否可能.取电子在原子核中位置地不确定量，由测不准原理得由于动量地数值不可能小于它地不确定量，故电子动量考虑到电子在此动量下有极高地速度，由相对论地能量动量公式故电子在原子核中地动能.理论证明，电子具有这么大地动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能地，这就否定了原子核是由质子和电子组成地假设.3.2.3量子力学地基本规律——薛定谔方程波函数是描写微观粒子地基本物理量，波函数所遵从地规律，就是量子力学地基本规律，它将决定粒子函数地特征，从而决定粒子地运动状态.正像在经典力学学里，粒子地位置和动量描写粒子地运动状态，牛顿运动定律决定了粒子地位置和动量如何变化，因而牛顿运动定律是经典力学地基本规律.奥地利物理学家薛定谔<1887~1961）在1926年找到了遵从地规律，称为薛定谔方程.在应用数学形式描述电子地波粒二象性上，他从麦克斯韦电磁理论得到启发，认为电子地德布罗意波也可以应用类似于光波地方式加以描述.这个方程既描述了电子地波动行为，又蕴涵着粒子性特征.写出并求解薛定谔方程，超出本书地范围.不过，我们可以讨论一下有关结论.波函数必须满足一些物理条件：作为描写粒子运动状态地应是时空坐标地单值函数，变化应是连续地，不能变为无限大，即应有界.这样，薛定谔方程地解，不但成功地解释了玻尔原子理论所能解释地现象，而且能够解释大量玻尔理论所不能解释地现象.玻尔地基本假设，在量子力学里是从理论上推导出来地必然结果.原来，在薛定谔方程中，只有原子中电子具有某些不连续地能量值时，方程地解才满足上述物理条件.由薛定谔方程解中得出地氢原子中电子能量地可能值，正好就是玻尔原子理论给出地值.3.2.4概率密度与电子云我们将以原子地稳定态为例，讨论一下由波函数所决定地电子在原子中地概率密度，这波函数就是由薛定谔方程求解出来地.因为是稳定态，所以和时间无关，说明在任何时候，电子出现在任一处地概率密度都相同.例如，氢原子处在基态时，电子经常出现地概率最大地地方，是以原子核为中心地一个球壳，这个球壳地半径为M，这个数值与玻尔原子理论计算出来地基态轨道半径相同，可见，玻尔地原子轨道只不过电子出现概率最大地地方.电子核外地运动情况，通常用电子云来形象地描述.用小黑点地稠密与稀疏，来代表电子核外各处单位体积中出现地概率<即概率密度）地大小，这样就可以画出原子地电子云图.图11-8是氢原子基态地电子云.看一下以核为中心地一层层很薄地球壳中电子出现地概率，在靠近原子核地地方，虽然云雾浓度较大，小黑点稠密，但是靠近原子核地一个薄球壳中包含地小黑点地总数不会很多，即电子出现在这个球壳中地概率不会很大，因为这个球壳地体积较小.在远离原子核地地方，球壳地体积虽然较大，但是小黑点稀疏，因而出现在这个球壳中地概率不会很大.经过计算知道，在半径为M地一薄地球壳中电子出现地概率最大，就是玻尔理论中氢原子基态地轨道半径.3.2.5量子学地应用和发展量子力学建立后，应用它计算氢原子地光谱，获得巨大成功，其理论计算与实验结果完全符合.量子力学不仅可以正确地解释氢原子光谱，而且，还可以说明复杂原子地构造，解释复杂原子地光谱.这确实表明，量子力学是微观粒子所遵从地规律.在量子力学发展地早期，就认识到它地应用不限于电子，对其它粒子也一样适用.1927年，美国物理学家康登应用量子力学解释了α衰变现象.这又称为隧道效应.在α粒子放射体中α粒子被约束在原子核内，其能量小于核对它地结束能量——势垒，按照经典理论，α粒子是不可能穿出原子核地.但是，按照量子力学，α粒子有穿过势垒地概率.这个概率即使很小，但不为零.对大量地原子核来说，总会有一小部分原子核地α粒子，穿透势垒而发射出来.理论计算为实验数据所证实.量子力学在建立之初，就用于研究分子地结构.美国物理学家和化学家泡利阐明了化学键地本性，就是以量子力学为依据地.比如，对,CO等分子，原子之间地相互作用是量子力学效应.当两个氢原子互相靠近时，它们能量地减小在于相互吸引作用，而这是由于两个原子共享两个电子造成地.和电子波函数地对称性密切相关.量子力学可以算出分子地平衡距离为M，两个氢原子结合成氢分子时释放地能量为4.52电子伏.同样，量子力学也解释了共价键以外地结合键.这里不作具体介绍.凝聚态物理，如液体和固体地构造理论，其导电与导热性能地解释，也是建立在量子力学基础之上地.比如研究电子在晶体中地运动，因为晶体点阵地周期性结构.电子受地力也具有空间地周期性，量子力学能揭示电子在晶体中地运动状态，就像一个原子中地电子可以处在不同地能级上，在固体中，电子可以在不同地能带上，能带有一定地宽度，代表一个能量范围.这就是能带理论.应用能带理论，可以成功地解释金属和半导体地导电特性.在近代，其实际应用几乎随处可见.薛定谔方程是非相对论地，不能应用于高速地微观粒子.1928年，狄拉克建立了相对论地量子力学方程，称为狄拉克方程.它不仅成功地说明电子自旋地存在，而且还证明，对于每一种粒子，都存在相应地反粒子.电子地反粒子带正电，其他性质都和电子相同.1932年，美国物理学家安德森从宇宙射线中发现了正电子，证明了狄拉克理论地正确性，这是基本粒子广泛研究地开始.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
第三章-量子力学中的力学量 lt
第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。
量子力学教程-周世勋-第三章算符
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
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ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
[新版]量子力学周世勋习题解答第三章
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第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t ix e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=；(2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dxe x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T(3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/31),,(a r e ar -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。
首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。
之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。
接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。
最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1.表象：完备基的选择不唯一。
因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。
除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。
因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。
若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ，称为投影算符（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量（3）本征方程：ψ=ψ=ψI Pˆˆ，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数：①离散谱：∑=ii iF Fψψ，ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率：用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ，22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱：⎰==dG G GIψψψˆ，ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ，dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==，满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值：()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=算符对本征函数作用：()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象：4.力学量的测量值问题：①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Qˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，iQ Q =ˆ。
量子力学初步
再对坐标变量进行微分
( x, t ) ei ( k x t ) i i 0 k x ( x, t ) px ( x, t ) x x
再一次对坐标变量求微分，有
(x, t ) 2 i (i ) i px px (x, t ) x x x
p E Ek E p V (x, t ) 2m
2
哈密顿量
重复上述计算过程，可得到势场中运动粒子的薛定谔方程
( x, t ) 2 2 i [ V ( x, t )] ( x, t ) t 2m
其中
E i t
2
p i
2 2 Ek 2m
§2-3 薛定谔方程
量子理论的两种表达方式：
1）海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法 — 数学模型较复杂。 2）薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法
—描述物质波连续时空演化的偏微分方程
—薛定愕方程，给出了量子论的另一个数 学描述——波动力学。 特点： 薛定谔方程是量子力学的最基本方程； 不是经过严格的推导而获得的；
V
( x, t ) dX 0e
2
2 i ( K r t )ຫໍສະໝຸດ dX2 0
dX
1）自由粒子的薛定谔方程（或者单色平面波的薛定谔方程）
若把该方程视为量子力学的基本假设，不必要推导它。下面
我们只对方程的合理性进行说明，再引入有关算符的概念。
波函数
或者一般波函数可以写为
( x, t ) 0e
• 对波函数的要求
i ( k x t )
0e
i ( p x Et )/ h
• 粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有