量子力学第三章
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
= 0
3. 算符对易关系的运算法则：
ˆ ˆ ˆ ˆ <1>[ A, B] = [B, A ] ； ˆ ˆ <2>[A, A] =0； ˆ c <3>[ A, c] =0 （ 为复常数） ； ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <4>[ A, B C] =[A, B] +[A, C] ；
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = L y L y Lx L y Lx L y + L y Lx L y Lx L y L y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + L z L z L x L z L x L z + L z L x L z L x Lz Lz
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例： [Lx , L y ]Y00 L x L y L y L x Y00 0
ˆ ˆ 但 [L x , L y ] 0
ˆ i (sin ctg cos ) Lx
ˆ i (cos ctg sin ) Ly
(矢量式)，
即角动量算符的定义式。
ˆ2 ,L ] [L2 , L ] [L2 ,L ] 0 ； ˆ ˆ ˆ ˆ [L ˆ x b. 利用 L L iL可以证明： y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ L2 , L x ] = L2 L x L x L2
ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ 3 ˆ 2ˆ ˆ 2ˆ = L x + L y L x + Lz Lx L x L x L y Lx Lz
第3章_量子力学中的角动量
U = −M ⋅ B = −MB cosθ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz
= − ∂U ∂z
=
M
∂B cosθ ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cosθ =+1 和-1 两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电
36
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1）、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
40
χ (1) = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ (2) = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (3) = χ1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (4) = χ−1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) 3、耦合表象（ S 2, Sz ）的基矢 （ S 2 , Sz ）的本征态可以由（ S1z ，S2z ）的本征态 χ1/ 2 (s1z ) ，χ−1/ 2 (s1z ) ，χ1/ 2 (s2z ) ，χ−1/ 2 (s2z ) 组合得到 χ11 = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ1,−1 = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z )
量子力学 第三章知识点
−V0 , 0 < x < a; 0, x < 0, x > a.
作者：张宏标（任课教师）
5
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
C ∆1 = = A ∆
2
2i β k ( k − β ) sinh β a + 2iβ k cosh β a
2 2
(k
2
− β 2 ) sinh β a + 2i) sinh β a
R =
B = A
2
(k
2
+ β 2 ) sinh 2 β a + 4k 2 β 2
> 2 d 2 − = V0 ψ ( x) Eψ ( x) − 2 2m dx 2 2 > d −= ψ ( x) Eψ ( x) 2m dx 2
取k =
(0 < x < a) ( x < 0, x > a ) ( x < 0, x > a ) (0 < x < a)
其中 v 是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下， 入射几率流密度是 j = A 2 v I I 反射几率流密度是 j = B 2 v R R 透射几率流密度是 j = C 2 v T T
作者：张宏标（任课教师） 1
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学 第三章
−ρ / 2
[s(s −1) − l(l + 1)]b0 ρ
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s−2
+ ∑[(ν + s)(ν + s − 1) − l(l + 1)]bν ρν +s−2
ν =1
∞
∑ bν ρ ν
s+ν −1
:
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
即
b ≠ 0 0 s ≥ 1
对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。
个取值。 ˆ 对给定的 l ， m 有 ( 2l + 1) 个取值。 L2 的本征值是 ( 2l + 1) 度 简并的。 简并的。
∑[(ν + s)(ν + s −1) − l(l +1)]bν ρ ν
=0
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为： 把第一个求和号中ν= 项单独写出，则上式改为：
u αf (ρ )e R= = r ρ =e
−ρ / 2 =0
四、讨论： 讨论：
ˆ ˆ a. Ylm 是 L z , L2 得共同本征函数 .
ˆ L2 Ylm = l(l + 1)h 2 Ylm
ˆ = −ih ∂ 作用于 Ylm 上，有： 而让 L z ∂ϕ ∂ m ˆ L z Ylm (θ, ϕ) = − ih [(−1) m N lm Pl (cos θ)e imϕ ] ∂ϕ
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
dinger 方程 o 接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由 Schr
推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或 海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得 出一些重要结论。
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
ˆ F 1 ˆH ˆ H ˆF ˆ ) dx dx ( F t i
ˆ 1 d F F ˆ,H ˆ] 即： [F dt t i
(1)
ˆ 显含时间而引 此即为海森伯运动方程。 其中右边第一项是由于 F
起的，即使 不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于 随 t 变 化而引起的，即使 F 不随 t 变化这一项也存在。
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
y
x
y
ˆ ˆ2 L L 0， x t t dL d L2 所以： 0； x dt dt
ˆ L y
ˆ L z ＝0 t t dL y dL z 0； 0 0； dt dt
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
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Cii 测量i
i
Cii 测量i
i
Cii 测量i
i
对不同力学量的测量得到 不同的坍缩结果，算符理 论要回答不同的测量和不 同的测量结果之间的联系！
推荐一本书：《寻找薛定谔的猫》 作者： （美）格里宾 翻译：张广才
三、算符的运算规则及一般特性
（1）线性算符：若算符Ô 满足：
Ô (c1ψ1+c2ψ2)= c1Ô ψ1+c2Ô ψ2
2
eip•r
/
dp
r,t Ci (t)r;Ci i ,
i
4、线性：波函数的特性与态叠加原理保证
C , c11 c2 2
若存在一个映射A将一个量子态映射为另一个量子态
A '
' Aˆ
算符
算符代表对波函数进行某种运算或操作！
如何理解算符是一种操作？可结合态叠加原理与测量 消相干来理解：
其中c1, c2是任意复常数，
例如：
ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符 pˆ i 单位算符 Iˆ 是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 可观测量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的要求。
（2）算符相等
若两个算符Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
(rˆ,
pˆ ,
t
)
二、希尔伯特(Hilbert)空间及算符
定义在某数域上的完备的线性内积空间。 1、矢量：一个给定的量子体系，其所有的量子态。 2、矢量的乘法：内积
任意两个矢量ψ1和ψ2，其内积定义为：
1, 2 1 * 2d C
复数域
3、完备性：态叠加原理保证
r,t
C
p,
t
1
23/
ix
x
pˆxx (ix)x i ixx
xpˆ x pˆ x x i
x, pˆ x i
（6）算符的逆 定义: 设Ô ψ=φ,线性算符Ô 和态φ已知，若能够唯 一的解出ψ,则可定义算符Ô 之逆为Ô -1，且满足: Ô -1φ=ψ
性质 I: 若算符Ô 之逆Ô -1存在,则：
Ô Ô -1=Ô -1Ô =I, [Ô ,Ô -1]=0
pˆ* (i)* i pˆ
（9）转置算符(算符的转置)
算符Û的转置定义为：*U~源自d Uˆ *d可以证明：~ pˆ x pˆ x
Cˆ Aˆ Bˆ C~ˆ B~ˆ A~ˆ
(10)厄密共轭算符(算符的厄密共轭) 算符Ô 之厄密共轭算符Ô +定义为:
*Oˆ d Oˆ *d
可以证明： ~
性质 II: 若Ô ,Û均存在逆算符, 则：
(Ô Û)-1 = Û-1Ô -1
（7）算符的函数
根据算符的加法乘法和逆，可以定义算符的函数。 设给定一函数F(x), 其各阶导数均存在, 其泰勒 级数展开是收敛的，则可定义算符Û的函数：
F (Uˆ ) F n0Uˆ n n0 n!
（8）算符的复共轭(复共轭算符) 算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有 量换成复共轭.
德布洛意物质波假设，量子态的引入 量子态的数学表述：波函数与薛定谔方程
量子态力学量的数学表述：算符
重点掌握内容
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设： 力学量用算符表示，态用本征态的叠加表示；
力学量算符的本征值为力学量的可能观测值 三个力学量取值：确定值、可能值、平均值； 四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量
Oˆ Oˆ *
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
(11) 厄密算符
若一线性算符的厄密共轭等于它本身，则为厄密算符。 性质1：两厄密算符之和仍为厄密算符 性质2：两厄密算符之积一般不是厄密算符，除非两算
符对易
可观测量的算符是厄密算符
§3.2 力学量用算符表示
一、可观测量算符--厄密算符的性质 二、力学量的期望值 三、力学量的可能取值(观测值) 四、力学量可能取值的几率分布 五、表示力学量算符必须满足的条件
r,t
C
p,
t
1
2
3
/
2
e ip •r
/
dp
C
p,
t
r,t
1
2
3/2
e ip •r
/
dr
表象理论，第5章内容 波函数是否存在多种表述
p
*
x,
t
i
x
x,
t
dx
x *x,tx x,tdx
其它力学量
Pˆx
i
x
;
xˆ
x
Fˆ ?
算符引入的规则：
F
F
(r ,
p,
t)
Fˆ
F
算符，角动量算符及能量算符 一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标
算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系） 三个定理: 共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 力学量守恒定理
§3.1 算符及其运算规则
一、算符的引入 二、希尔伯特空间及算符 三、算符的运算规则及一般特性
一、算符的引入
♠、算符之积不一定满足交换率。满足交换律称之为两算 符对易(相容)，反之则为不对易(不相容)。
（5）对易关系
为了表述简洁、运算便利、可以定义算符的对易子： [Ô ,Û]≡Ô Û-ÛÔ ，两算符对易子为0则两算符是对易的， 否则为不对易，比如：
例如：算符
x
pˆ
x
i
x
不对易。
xpˆx
x(i
x
)
（3）算符之和
若两个线性算符Ô 和Û 对体系的任何波函数ψ有： Ô ψ+Û ψ=Êψ
则Ô +Û =Ê；算符Ê称为Ô 和Û 算符之和。
♠、算符求和满足交换率和结合率。 ♠、并不需要定义算符的减法，算符的数乘和加法 可以代替减法运算
Ô -Û =Ô +(-Û )
（4）算符之积
若任意两线性算符Ô 和Û 满足：Ô (Û ψ)=Êψ 则Ô Û =Ê ,即Ê为Ô 和Û 之积，其中ψ是任意波函数。
第三章 量子力学原理(II) 力学量算符
§3.1 算符及其运算规则 §3.2 力学量用算符表示 §3.3 几个基本的力学量算符 §3.4 量子条件 §3.5 不确定原理 §3.6 体系的守恒量
1
引言
1、经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论 的方式描述。
2、量子论并不认为力学量一定有确定取值，对状态 的描述引入了波函数ψ这样一个基本概念，以概率的 特征全面地描述了微观粒子的运动状态。
3、为描述量子态的力学量信息，又引入了一个重要 的基本概念——算符。
这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我 们学习中的重点。
与前面内容的关系：
物质微粒说的形成：原子分子论 原子的内部结构：散射实验与卢瑟福核式结构 原子结构的理论解释：玻尔原子模型 早期量子化假说的回顾，波尔模型的局限性