第三章量子力学初步(2018)
对t求一次偏导：
p i p x p x
i p y p
i E p t
2 p x 2
2 p y 2
i
p t
E p
对x、y、z分别求二次偏导：
2 p px i px 2p x
p y
p
p p2 i y py 2p y
2 p pz i pz 2p x
i p z p z
2 p z 2
三者相加：
2 p x
2
2 p y
2
2 p z 2
1 2 2 2 ( px p2 p p y z)
2 p
i
2 2 2 拉普拉斯算符： 2 2 2 2 x y z
费曼 — 这些实验都是用经典方法绝对不能解释的 , 但是量子力学的核心正是包含在这些实验之中
物理, 科学,自然杂志，大学物理等
子弹双缝实验有否 干涉现象?为什么
h h p m
P 12 ( x) P 1 ( x) P 2 ( x)
例1：一质量为40g的子弹以1.0×103m· s-1的速率 飞行，求：德布罗意波的波长。
四、讨论
1.不确定关系是波粒二象性的必然结果
2．不确定关系是物质的客观规律 3．不确定关系在微观粒子中才明显表现出来
x 500m / s ， 例2设电子与 m 0.01kg的子弹均沿x方向运动， 精确度为 0.01 % ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
x 500104 m / s 5 102 m / s
――处在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动 方程，称之为薛定谔方程。
二、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 (r , t ) 在势
场U (r , t )中随时间变化 的规律。 2．具体的势场 U (r , t )决定粒子状态变化的情况，
( r , t ) t
p2 2p
E p
p t
自由粒子:
p
1 p2 2 E 2 2
E p
p2 p 2
2 2 i p t 2
――自由粒子的薛定谔方程。
2．一般粒子的薛定谔方程
粒子受到力场为：
U r, t
2 2 i p t 2
1.空间位置与动量的不确定关系
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2
2.能量与时间的不确定关系
E t / 2
三、应用举例
1.能级自然宽度
E t / 2
2. 粒子不可能同时具有确定的空间位置和动量 3.束缚粒子的最小平均动能,电子不能被束缚原子核内
电子在晶体上的衍射图样
电子双缝干涉实验(1974年, 1989年)
问题－－电子流密度小，电子流密度大各 会产生的现象？
分布无规律－粒 子性，有干涉条 纹－波动性 干涉图样 -- 反映大 量电子的统计分 布? 每次只有单电子 通过缝－可观察 到干涉条纹 波动性是每个粒 子固有的性质
STM观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特 性，光子既有能量又有动量。
原子体系的内部能量是量子化
玻尔理论困难 1.无法解释复杂原子的光谱 2.无法解释氢原子光谱的谱线强度和精细结构 3. 原子处在定态时不辐射,原子的能量是量子化. 这都是同经典理论不符的,但该理论叉是建立在经 典基础上的 我们需要新的思想!
4. 近代物理学中最重要的两个关系式
h p
E mc
2
三、戴维逊和革末实验(1927年) 1．实验装置
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
当 U=54V ， ＝ 500 ， 探测到的反射束强度 出现极大
(2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Edt f (t )
解出： f (t )
(r , t )
i Et Ce
p Ae
i ( Et p.r )
玻恩的观点:波函数代表发现粒子的几率
玻恩的观点:波函数代表发现粒子的几率 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积 内发现粒子的几率。
( x, y , z , t )
2
t时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元 dV dxdydz 内发现粒子的几率：
讨 论
dW ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) dV
具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一 定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p
h
h p
----德布罗意关系式。
E h
与实物粒子相应的波称为德布罗意波，称为德布罗意 波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
h p n k
2：角频率； n ：传播方向上的单位矢量 式中，
n
意常数。
即如果 1 2 n 、是体系可能的状态，那么它 们的的线性组合
cn n 也是体系一个可能的状态
nபைடு நூலகம்
三、定态薛定谔方程 (能量不随时间变化的状态称为定态)
设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 U (r ) 中不
显含时间t，
2 2 i U (r ) t 2
i E t
p
微观粒子的波函数为： (r , t )
2 p 仍满足方程： 2 2 p2 此时 E 2 U (r , t )
2 p
p2 2p
2 2 i U ( r , t ) 则有： t 2
可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。
1.225nm 对于通过电压U加速的电子： U (V )
n 1,2
当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值
实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗 意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、 中子、质子等都具有波动性。
( x, y , z , t )
2
dV 1
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
§3.4 薛定谔波动方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
p Ae
i ( Et p.r )
Ae
p
i ( Et xpx yp y zp z )
波函数分离变量： (r , t ) (r ) f (t )
i df (t ) 1 2 2 [ U (r )] (r ) E f (t ) dt (r ) 2
E为一常数
2 2 [ U (r )] (r ) E (r ) 2
(r0 , t0 )
(r , t )
3．薛定谔方程是量子力学的基本方程 ４. 非相对论的结果,不适合一切
p2 E U (r , t ) 2
0 的粒子
5．态迭加原理
如果 1 2 n、是方程的解，那么它们的的线性组
ci 为任 合 c1 1 c2 2 cn n cn n 也是方程的解，
h 1.66 10 35 m mv
§3.2 不确定原理
一、电子的单缝衍射 (1961年，约恩逊成功的做出)
x d
px p sin
px sin sin p d x
p x p x
h p
x p x p h
第三章 量子力学初步
经典力学、 经典电磁场理论、 经典统计力学
在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云
（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公 式，辐射本领在高频部分趋无穷。（2）“以太漂 移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。 物理学的革命－相对论的建立和量子力学的诞生
1900年，普朗克黑体辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦光电效应光量子 1913年，玻尔氢原子光谱原子的量子态 能量量子化的假设(1)黑体的腔壁由无数个带电的谐振 子组成的.(2)这些谐振子所具有的能量是分立的.物体只能 以 h为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“ 量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。
经过电场加速的电子：
1 m 2 E k 2
h hc 1.225nm 2mEk Ek (ev) 2mc2 Ek
3．实验解释
晶体结构：
n 波程差： 2d sin (2n 1) 2
当 2d sin n 时加强----布拉格公式。
n 波程差：2d sin (2n 1) 2
自由粒子 平面波
i ( pr Et )
自由粒子的波函数
E h
h p n
p Ae
――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为 E 的自由粒子。 波函数代表什么?可否测量?
干涉图像的出现体现 了微观粒子的共同特性， 而且它并不是由微观粒子 相互作用产生的,而是个别 微观粒子属性的集体贡献. 从波的观点来看，极大 值处表示波的强度大，极小 值处表示波的强度小。 用粒子的观点，强度大意味着到达的电子多，每 个电子出现几率大；强度小处意味着到达的电子少， 每个电子出现几率小。
原子物理3
19世纪末的三大发现 揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论 量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义 相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度 匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率 ，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h
具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、 用经典物理学量——动量、坐标来描写微 观粒子行为时将会受到一定的限制 。 2、 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应 该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子 枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后 的横向速度的不确定量。
解： 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv
第三章 量子力学初步
2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
量子力学 第三章 课件
可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即
03第三章 量子力学初步(甲型)
Lord Kelvin
• 第Th一e f朵irs乌t c云am伴e 随int着o e光xi的ste波nc动e w理it论h t而he来，这 一un理du论lat由ory菲th涅eo耳ry和of托li马gh斯t, a·n杨d博wa士s 所dea建lt立wi；th 它by隐Fr含esn着el这an样d的Dr问. T题ho：m地as 球Yo如un何g;在it 弹inv性ol介ved 质the中qu运es动tio，n,例ho如w从co本ul质d t上he说ea这rth种m介ov质e 就是 发thr光ou的gh以an太e？lastic solid, such as essentially is
• 坚and信L热ig和ht 光（都19是00运）动形式的动 • 力Th学e b理ea论uty的a优nd雅cl和ea清rne晰ss，of目th前e
由dy于nam被i两cal朵th乌eo云ry,遮w蔽hic而h 暗ass淡er无ts 光heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds.
• 假设相互间只能以热辐射的 形式交换能量
• 每一个物体向外辐射能量， 也吸收其它物体辐射到其表 面的能量
• 温度低的，辐射小，吸收大； 温度高的，辐射大，吸收小
• 经过一个过程后，所有物体的 温度相同，达到热平衡
• 热平衡时，每一个物体辐射的 能量等于其吸收的能量
• 热平衡状态下，吸收本领大， 辐射本领也大
• 基尔霍夫热辐射定律：热平衡 状态下物体的辐射本领与吸收 本领成正比，比值只与T，ν有 关。
E( ,T ) f ( ,T ) 吸收大，辐射也大。 A( ,T )
f ( ,T ) 是普适函数，与物质无关 应当通过实验测量 f ( ,T )
3第三章量子力学初步2
一维无限深势阱中粒子如何运动？
它的波函数如何？能量如何？
解：由于粒子做一维运动，所以有
2
d2 dx2
由于势能 U (x)中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。
因此一维定态薛定谔方程为
2
2
d 2(x)
dx2
U (x)(x)
E(x)
方程的解为定态解 (x,t) (x)ei Et
1．方程的通解
2
2
d 2(x)
子初始时刻的状态 (r0 , t0 ) 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 (r ,t) 。
4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 (r,t) 一般是复数
形式。 (r ,t) 表示概率波， (r , t) 2 是表示粒子在时刻t、
在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态
(x, y, z,t) 2 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现 电子的几率密度。如果 (x, y,大z,t，) 2 则电子出现几率大，
因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，
如果
小，则电子出现几率小，电子出现的数目也
少，此 (处x,为y, z衍,t)射2 极小值处。
W (x, y, z,t) 2 * 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒
x 0 x p x h / 2 px
二、不确定关系
1927年，海森堡首先推导出不确定关系 ：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2 E t / 2
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1:设电子与 m 0.01 kg的子弹均沿x方向运动， x 500m,/精s 确度
原子物理第三章习题答案
原子物理第三章习题答案第三章量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----=?==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E==焦耳151083410986.110/1031063.6---?==。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meV h 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--?=?=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--?=?=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----?==3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-?-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。
试证明之。
证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。
所以，可以将上式的根式作泰勒展开。
只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm h c m eV eVm h -?-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-?-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
量子力学讲义第三章讲义
量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
vAu表示把函数u变成v，就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符，称为线性算符(cc)cAA112211c2A2其中c1,c2是任意复常数，1,2是任意两个波函数。
i，例如：动量算符p单位算符I是线性算符。
2、算符相等对体系的任何波函数的运算结果都相同，即A相等记为B，则算符和算符B若两个算符、BBA3、算符之和B称为算符之对体系的任何波函数有：(ACBB，则A)AC若两个算符、B和。
B，ABA(B)(ABC)CA4、算符之积，定义为之积，记为AB算符与B)A(B)C(ABBA是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即AB5、对易关系BA，则称与B不对易。
若ABB，则称与BBA对易。
若ABA和B，则称A反对易。
若算符满足AB某i例如：算符某,p不对易某1某某(i证明：(1)某p)i某某某某某(i(2)p)某ii某某某显然二者结果不相等，所以：某p某某某p某p某某)i(某p因为是体系的任意波函数，所以某p某某i对易关系某p同理可证其它坐标算符与共轭动量满足zpzziypyyi，zpyp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
ypy某0yp某p某z0某p某y0某pzp，，zppz0yppy0yz某pzpz某0zyzp某p某pz0ypzpzpy0，p某pypyp某0，ppy某0，pzp某p某pz0ypzpzpy0，p某y写成通式(概括起来)：p某i(1)某p某某某0某ppp0其中,某,y,z或1,2,3p量子力学中最基本的对易关系。
对易，B与对易，不能推知与对易与否。
注意：当与B6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,BBA]AB[A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：]i[某,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式：,B]][B,A1)[A,B][A,B,C]C][A2)[A,kB,B,BC,C][A,B，[AB,C]A[B][A,C]B]k[A]]B[A]C,C，[A3)[A,[B]][B,A]][C,[A,B,C,[C]]0——称为Jacobi恒等式。
量子力学第三章
2
a ( n
1 2
( n )
2
2 a
所以
E
n
2
2
于是波 函数：
1 2 ( n ) 2 2 a
( 2 n1)
2 2
2
8 a
2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 n A sin(x ) A cos x A cos x A cos x 2 a 2a
d dx d dx d dx
2 2 2 2 2 2
2
I
0 0 0
V(x)
II
2
II
I -a
II 0 a
III
III
2
III
V(x)
1。单值，成立； 2。有限：当x - ∞ ，
I
II
III
-a
类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II
结果，最后得：
Em
m
2
2
2
2
8a
I
对应 m = 2 n
III
m
0 m 2a x m 0 的偶数
I II
0
C 1e
x
a
C 2e
x
ψ 有限条件要求 C2=0。
x
I
d dx d dx d dx
量子初步复习要点及及答案
第三章 量子力学初步
（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：
A.电子的波动性和粒子性
B.电子的波动性
C.电子的粒子性
D.所有粒子具有二项性
(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：
A .E=h υ， p =λh
; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ
; D. E=ω ，p=λ
(3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压：
A ．11.51⨯106V ； B.24.4V ； C.24.4⨯105V ； D.0.015V
(4）基于德布罗意假设得出的公式V 26
.12=λ Å的适用条件是：
A.自由电子，非相对论近似；
B.一切实物粒子，非相对论近似；
C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似
(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：
A ．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30
(9)按原子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑电子自旋,对氢原子当nl 确定后,对应的状态数为：【A 】
A.2(2l +1);
B.2l +1;
C. n;
D.n 2
(10)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑自旋对氢原子当nl m 确定后对应的状态数为：【B 】
A.1;
B.2;
C.2l +1;
D. n
3．简答题
（1）波恩对波函数作出什么样的解释？
（2）请回答测不准关系的主要内容）
（5）波函数满足标准条件是什么？写出波函数的归一化条件.。