第六章 中心力场 量子力学教学课件
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量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学(第六章)
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2
1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变
量子力学基础知识PPT讲稿
Plank
The Nobel Prize in Physics 1918
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(3).光子具有一定的动量(p)
P = mc = h /c = h／λ
光子有动量在光压实验中得到了证实。 (4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子撞击时， 产生光电效应，光子消失，并把它的能量h转移给电子。电子吸收的能量，一 部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子的动能。
Germany Berlin University Berlin, Germany
1858在金属表面上，金属发射出电子的现象。
.1 只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电
子，不同金属的临阈频率不同。 2.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。 3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
“光子说”表明——光不仅有波动性，且有微粒性，这就是光的波粒 二象性思想。
Einstein
The Nobel Prize in Physics 1921
"for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions"
第一节.微观粒子的运动特征
电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象 性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现 象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量子力 学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。
81量子力学第六章中心力场郭华忠PPT课件
系数bν的递推公式
(s) b1(s1)(s)l(l1)b
注意到 s = +1
l 1 ( l 2)( l 1)l(l 1)b
(
l 1 l)( 2l
2)
b
6
（三）使用标准条件定解
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
与谐振子问题类似，为讨论 f (ρ) 的收敛性现考察级 数后项系数与前项系数之比：
0
0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
R u f ( )e / 2
r
e / 2
b s 1
0
[s(s1)l(l1)b]0s2 [(s)(s1)l(l1)b]s2
1
令 ν'=ν-1
: 第一个求和改为 [(s)b]s10
0
即
b s
0
1
0
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
[( 1 s )( 1 s 1 ) l(l 1 )b ] 1 s 1
0
[ s ( s 1 ) l ( l 1 ) b 0 ] s 2 0 { [ s 1 ) ( ( s ) l ( l 1 ) b 1 ] ( s ) b ] } s 1 5 0
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d2u 2Z2e2 l(l1 )
d2r 2
r 2|E | r2
u0 3
d d2u 2r 2 Z 22 e1 r1 4 8 |2E | l(lr 21) u0令
2
8 | E |
2
2Ze 2 2
Ze 2
2| E |
（2）求解
量子力学(全套) ppt课件
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
24
（3） 光子的动量
光子不仅具有确定的能量 E = hv，
而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
自然之美要由整数来表示。例如：
奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。
这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。
第六章 中心力场
ˆ2 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ l =− + U (r ) ⎜r ⎟+ 2 2 2mr ∂r ⎝ ∂r ⎠ 2mr ˆ ˆ pr2 l2 =− + + U (r ) 2 2m 2mr
径向动能 角动量平方算符有关的转动动能
1 ∂ ˆ pr ≡ r r ∂r
Atomic physics and quantum mechanics
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 R ∂X ∂Y ∂Z
书102页
x
O
y
— 折合质量
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
8
Atomic physics and quantum mechanics
以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程
2 ⎡ 2 2 ⎤ 2 ⎢− 2M ∇R − 2m ∇ +U (r )⎥ψ (r , R) = Etψ (r , R) ⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ ˆ 哈密顿量 H 被分成相互不关联的两项之和 H = H R + H r ，
ˆ HR = −
2
2M
∇2 R
ˆ Hr = −
2
2m
∇ 2 + U (r )
分别表示质心作自由运动和电子对核的相对运动。
9
Atomic physics and quantum mechanics
二 变量分离
假设氢原子的波函数由质心的平动波函数 ϕ ( R) 和电子对核的 相对运动的波函数 φ (r ) 的乘积来表示
Atomic physics and quantum mechanics
2
⎞ + U (r ) ⎟ R (r ) = ER (r ) ⎠
Chapter 6 中心力场
d2 2 dRl (r ) l (l + 1) Rl (r ) + Rl (r ) = 0 − 2 2 (11) dr r dr r
在正则奇点 r=0 邻域,设 Rl ( r ) ∝ r ,代入式
s
(11)得:
s ( s + 1) − l (l + 1) = 0
s = l , −(l + 1)
(12)
(18) Rkl (r ) = Ckl jl (kr ) 其中 Ckl 为归一化常数，k (或能量E)由边条件 (11)确 定,
(5)
代入式(4)，可得出径向波函数 Rl (r ) 满足的 方程:
d2 2d l (l +1) ⎤ ⎡ 2µ R (r) + Rl (r) + ⎢ 2 ( E −V (r)) − 2 ⎥ Rl (r) = 0 2 l dr r dr r ⎦ ⎣
(6) 在求解方程(6)时，有时作如下替换是方便的。 令
0 ≤ r ≤ a, l = 0
2
(8) (9)
满足
∫
a
0
⎡ χ nr l (r ) ⎤ dr = 1 ⎣ ⎦
不难看出，半径为 a 的无限深球方势阱中的
l = 0 的能级和波函数，与一维无限深方势阱
(宽度为a)中粒子能级和波函数完全相同，只 是在那里量子数 n = 1, 2,3 ,相当于这里的 径向量子数 (nr + 1) , nr = 0,1, 2,3 。 其次考虑 l ≠ 0 的量子态，此时，径向波 函数 Rl (r ) 满足下列微分方程： 2 ⎡ 2 l (l + 1) ⎤ Rl (r )′′ + Rl (r )′ + ⎢ k − 2 ⎥ Rl (r ) = 0 r r ⎦ ⎣ (10) 0≤r ≤a
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
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X x x2 X x2 x x2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
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2 2
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m1 m1 m2
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2 2
1 M
(ny , nz ) 种数 N+1, N, N-1, ……， 2, 1
能级简并度为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第27页
§4 氢原子
量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱 和化学元素周期律给予了相当满意的解释。
氢原子是最简单的原子，其Schrödinger方程可以严格 求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。
2 3π 10.904 12.323 13.698
3 4π 14.066 15.515 16.924
10
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
A5. 合流超几何函数
合流超几何微分方程为 α，γ为参数。在z→0邻域， 令y=zs, 可得
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
第六章 中心力场
教学内容
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质 §2 无限深球方势阱 §3 三维各向同性谐振子 §4 氢原子
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
要满足束缚态边条件，要求F(α,γ,ξ)中断为 一个多项式。 要求α=0 or 负整数
这就要求
这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第24页
径向波函数为 归一化后
能级简并度
能级均匀分布，间隔ħω。
能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l. 给定能级EN, nr = 0, 1, 2, 3, …… ， (N-1)/2 or N/2
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
非束缚态，E连续变化。
束缚态，E取离散值。
由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr, nr= 0, 1, 2, …， （代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l， l一定，E随nr增大而增大。 nr一定，E随l（离心势能）增 大而增大。
光谱学习惯，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的态记为s, p, d, f, g, h, i.
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
1
1
3
1 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R32(r)
( r) e 3/ 2
2
11
a0
81 15 a0
2
3
1 a0
r
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第36页
粒子能量本征值为
归一化，
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第14页
l≠0时，径向方程为 引入无量纲变量ρ=kr,
球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl(ρ)与球Neumann 函数 nl(ρ), ρ→0时，
球方势阱的解取为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第15页
当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl(ξ)=0的 根为 粒子的能量本征值为
相对应的径向本征函数为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第16页
L
nr
0
1
Hale Waihona Puke 230 π 4.493 5.767 6.988
1 2π 7.725 9.095 10.417
Fang Jun 第35页
最低的几条能级的径向波函数是：
n 1,
R e 2 r / a0
10
a03/ 2
n 2,
R20 (r)
(2 r)e 3/ 2
1 2a0
1
1 2 a0
r
a0
R (r) re 3/2
1
1
2
1 a0
r
21
2a0
a0 3
n 3,
R30 (r)
1 3a0
3/2
本征函数可以分离变量， 相当于选取(Hx, Hy, Hz)为对易守恒量完全集，共同本征态为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第26页
相应的能量本征值为
能级简并度
给定 N，
nx = 0, 1, 2, ……， N-1, N
ny + nz = N, N-1, N-2, ……， 1, 0
r→0时，只有Rl(r) ∝rl是物理上可以接受的。等价地，要求
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
径向方程的一个定 解条件。
Fang Jun 第8页
两体问题化为单体问题
实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分 别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r) 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第11页
分离变量
描述质心运动（自由粒子 能量本征方程）平面波解
两体问题
描述相对运动， E 是相对运动能量 （单粒子能量本征方程）
单体问题
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第30页
再令 这正是合流超几何方程
合流超几何方程的解为合流超几何函数F (, , )，故方 程的解为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第31页
当k时
Ck Ck1
1, k
和e
的级数展开系数的比值相同
Rnl (r) Nnl le 2F (n l 1, 2l 2, )
2r
na
2
nlm (r, , ) d 1
0
Rnl (r)
2r 2dr
1
4 0
Ylm ( , )
2d
1
a是Bohr半径
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
l = N - 2 nr = N, N-2, N-4, N-6, …… , 1(N奇) or 0(N偶) N偶时， 能级简并度（N奇同样结果）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第25页
直角坐标系
采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为ω相同 的三个彼此独立的一维谐振子
氢原子内电子状态的光谱学标记
l= 0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5
s
p
d
f
g
h
n = 1 1s n = 2 2s 2p n = 3 3s 3p n = 4 4s 4p n = 5 5s 5p n = 6 6s 6p
3d
Fang Jun 第18页
s=0 时的级数解，
要求方程左边各次项为0， 由此可得 c0=1, 得出级数解，合流超几何函数
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第19页
k→∞, ck/ck-1~1/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致， s=1-γ 时
级数解为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第34页
综上，氢原子束缚定态的波函数
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
Rnl (r) Nnl le 2F (n l 1, 2l 2, )
2r
na
a是Bohr半径
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相 对坐标r
I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
z
1
r1
r
R + r2 2
xO
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
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R
1 m1
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1 m1
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m2 m1 m2
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(ny , nz ) 种数 N+1, N, N-1, ……， 2, 1
能级简并度为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
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§4 氢原子
量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱 和化学元素周期律给予了相当满意的解释。
氢原子是最简单的原子，其Schrödinger方程可以严格 求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。
2 3π 10.904 12.323 13.698
3 4π 14.066 15.515 16.924
10
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
A5. 合流超几何函数
合流超几何微分方程为 α，γ为参数。在z→0邻域， 令y=zs, 可得
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
第六章 中心力场
教学内容
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质 §2 无限深球方势阱 §3 三维各向同性谐振子 §4 氢原子
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
要满足束缚态边条件，要求F(α,γ,ξ)中断为 一个多项式。 要求α=0 or 负整数
这就要求
这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第24页
径向波函数为 归一化后
能级简并度
能级均匀分布，间隔ħω。
能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l. 给定能级EN, nr = 0, 1, 2, 3, …… ， (N-1)/2 or N/2
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
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Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
非束缚态，E连续变化。
束缚态，E取离散值。
由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr, nr= 0, 1, 2, …， （代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l， l一定，E随nr增大而增大。 nr一定，E随l（离心势能）增 大而增大。
光谱学习惯，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的态记为s, p, d, f, g, h, i.
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
1
1
3
1 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R32(r)
( r) e 3/ 2
2
11
a0
81 15 a0
2
3
1 a0
r
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第36页
粒子能量本征值为
归一化，
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
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l≠0时，径向方程为 引入无量纲变量ρ=kr,
球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl(ρ)与球Neumann 函数 nl(ρ), ρ→0时，
球方势阱的解取为
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
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当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl(ξ)=0的 根为 粒子的能量本征值为
相对应的径向本征函数为
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L
nr
0
1
Hale Waihona Puke 230 π 4.493 5.767 6.988
1 2π 7.725 9.095 10.417
Fang Jun 第35页
最低的几条能级的径向波函数是：
n 1,
R e 2 r / a0
10
a03/ 2
n 2,
R20 (r)
(2 r)e 3/ 2
1 2a0
1
1 2 a0
r
a0
R (r) re 3/2
1
1
2
1 a0
r
21
2a0
a0 3
n 3,
R30 (r)
1 3a0
3/2
本征函数可以分离变量， 相当于选取(Hx, Hy, Hz)为对易守恒量完全集，共同本征态为
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Fang Jun 第26页
相应的能量本征值为
能级简并度
给定 N，
nx = 0, 1, 2, ……， N-1, N
ny + nz = N, N-1, N-2, ……， 1, 0
r→0时，只有Rl(r) ∝rl是物理上可以接受的。等价地，要求
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径向方程的一个定 解条件。
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两体问题化为单体问题
实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分 别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r) 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
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分离变量
描述质心运动（自由粒子 能量本征方程）平面波解
两体问题
描述相对运动， E 是相对运动能量 （单粒子能量本征方程）
单体问题
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Fang Jun 第30页
再令 这正是合流超几何方程
合流超几何方程的解为合流超几何函数F (, , )，故方 程的解为
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当k时
Ck Ck1
1, k
和e
的级数展开系数的比值相同
Rnl (r) Nnl le 2F (n l 1, 2l 2, )
2r
na
2
nlm (r, , ) d 1
0
Rnl (r)
2r 2dr
1
4 0
Ylm ( , )
2d
1
a是Bohr半径
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
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l = N - 2 nr = N, N-2, N-4, N-6, …… , 1(N奇) or 0(N偶) N偶时， 能级简并度（N奇同样结果）
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Fang Jun 第25页
直角坐标系
采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为ω相同 的三个彼此独立的一维谐振子
氢原子内电子状态的光谱学标记
l= 0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5
s
p
d
f
g
h
n = 1 1s n = 2 2s 2p n = 3 3s 3p n = 4 4s 4p n = 5 5s 5p n = 6 6s 6p
3d
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s=0 时的级数解，
要求方程左边各次项为0， 由此可得 c0=1, 得出级数解，合流超几何函数
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k→∞, ck/ck-1~1/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致， s=1-γ 时
级数解为
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Fang Jun 第34页
综上，氢原子束缚定态的波函数
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
Rnl (r) Nnl le 2F (n l 1, 2l 2, )
2r
na
a是Bohr半径
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
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ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相 对坐标r
I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
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z
1
r1
r
R + r2 2
xO