判别分析及聚类分析
第11章 聚类分析与判别分析
第十一章聚类分析与判别分析聚类分析与判别分析是两类常用多元分析方法。
聚类分析可以将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强；而判别分析则可以根据已掌握的样本信息建立判别函数，当遇到新的样本点时根据判别函数可以判断该样本点所属的类别。
第一节聚类分析一、聚类分析的基本思想“物以类聚，人以群分”。
分类处理，在现实中极为普遍。
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量化分类研究。
例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类；在经济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费情况，往往需要划分不同的类型去研究；在人口学研究中，需要构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人口的生育和死亡规律。
历史上，这些分类方法多半是人们主要依靠经验作定性分类，致使许多分类带有主观性和任意性，特别是对于多因素、多指标的分类问题，定性分类的准确性不好把握。
为了克服定性分类存在的不足，人们把数学方法引入分类中，形成了数值分类学，进而产生了聚类分析这一最常用的技巧。
聚类分析将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。
其目的在于：使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化。
聚类分析通常可以分为两种：Q型聚类和R型聚类。
Q型聚类是对观测个体的分类，R 型聚类是对变量的分类。
二者在数学上是对称的，没有本质区别。
二、符号说明多元统计分析中要注意区分样本和变量。
每个样品有p个指标（变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量，可以把n 个样品看成p维空间中的n个点。
X表示第k个变量第j次观测值（或称第j个项目的测量值），即：我们用记号jkX=第k个变量第j次观测值jkp个变量的n个观测值可表示如下：11121121222212121212k p k pj j jk jp n n nknpkp X X X X X X X X j X X X X nX X XX 变量变量变量变量观测观测观测观测记为：1112112122221212k p k p j j jk jp n n nknp X X X X X X X X X X X X X X X X ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X 记12(,,,)'jp j j jp X X X X R =∈,表示第j 个样品，它表示p 维空间的一个点。
聚类分析与判别分析
(xi yi )2
i
平方欧氏距离(Squared Euclidean) (xi yi )2 i
绝对距离(Block): Si|xi-yi|
切比雪夫距离 （Chebychev ） Maxi|xi-yi|
1
明考夫斯基距离（Minkowski）
(
xi
yi
)q
q
i
10
（2）相似系数
向量x =(x1,…, xp)与y =(y1,…, yp)之间的相似系数：
夹角余弦cosine
Cxy (1) cos xy
xi yi i
xi2 yi2
i
i
cosθ =1,说明x和y完全相似；接近1，x和y比较相似。
cosθ=0，说明x和y完全不一样；接近0，x和y差别很大。
相关系数
(xi x )( yi y)
Pearson correlation Cxy (2) rxy
1
提纲
1 聚类分析
1-1 概述
1-1-1聚类分析的原理 1-1-2 距离和相似系数 1-1-3 类间距离的算法
1-2系统聚类分析（Hierarchical clustering） 1-2-1 基本思想
1-2-2 分类
1-2-3 SPSS 实现
1-3 k-均值聚类 （ K-Means Cluster)
每一种样品都具有多种特性，或称之为具有多种变量。聚类分析是基于
多变量数据，对n个样品进行分类的一种方法，即将那些相似的样品归为一类， 不相似的样品分别归到各自不容的类别中。
目的：寻找数据中潜在的自然分组结构 和感兴趣的关系。
3
自然分组结构 Natural grouping ： 例如：有16张牌，如何将他们分为一组一组的牌？
聚类分析与判别分析区别
表示
：
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝
ｐ
ａ
＝
１
!
ｘ
ｉａ
ｘ
ｊａ
ｐ
ａ
＝
１
!
ｘ
２
・
ｐ
ａ
＝
１
!
ｘ
２
"
ｉａ
ｊａ
１
≤
ｃｏｓ
!
ｉｊ
≤
１
当
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝１
，
说明两个样品
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
完全相似
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
接
近
１
，
说
明
两
个
样
品
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
相
似
密
切
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
＝０
，
说明
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
完全不一样
；
ｃｏｓ
!
ｉｊ
接近
０
，
说
明
ｘ
ｉ
与
ｘ
ｊ
差别大。把所有两两样品的相似系数都
通过聚类分析可以达到简化数据的目的
，
将
众多的样品先聚集成比较好处理的几个类别或子
集
，
然后再进行后续的多元分析。
比如在回归分析
中
，
有时不对原始数据进行拟合
，
而是对这些子集
的中心作拟合
，
可能会更有意义。又比如
，
为了研
究不同消费者群体的消费行为特征
，
「聚类分析与判别分析」
「聚类分析与判别分析」聚类分析和判别分析是数据挖掘和统计学中常用的两种分析方法。
聚类分析是一种无监督学习方法，通过对数据进行聚类，将相似的样本归为一类，不同的样本归入不同的类别。
判别分析是一种有监督学习方法，通过学习已知类别的样本，构建分类模型，然后应用模型对未知样本进行分类预测。
本文将对聚类分析和判别分析进行详细介绍。
聚类分析是一种数据探索技术，其目标是在没有任何先验知识的情况下，将相似的样本聚集在一起，形成互相区别较大的样本群。
聚类算法根据样本的特征，将样本分为若干个簇。
常见的聚类算法有层次聚类、k-means聚类和密度聚类。
层次聚类是一种自下而上或自上而下的层次聚合方法，通过测量样本间的距离或相似性，不断合并或分裂簇，最终形成一个聚类树状结构。
k-means聚类将样本划分为k个簇，通过优化目标函数最小化每个样本点与其所在簇中心点的距离来确定簇中心。
密度聚类基于样本点的密度来判断是否属于同一簇，通过划定一个密度阈值来确定簇的分界。
聚类分析在很多领域中都有广泛的应用，例如市场分割、医学研究和社交网络分析。
在市场分割中，聚类分析可以将消费者按照其购买行为和偏好进行分组，有助于企业制定更精准的营销策略。
在医学研究中，聚类分析可以将不同患者分为不同的亚型，有助于个性化的治疗和药物开发。
在社交网络分析中，聚类分析可以将用户按照其兴趣和行为进行分组，有助于推荐系统和社交媒体分析。
相比之下，判别分析是一种有监督学习方法，其目标是通过学习已知类别的样本，构建分类模型，然后应用模型对未知样本进行分类预测。
判别分析的目标是找到一个决策边界，使得同一类别内的样本尽可能接近，不同类别之间的样本尽可能远离。
常见的判别分析算法有线性判别分析（LDA）和逻辑回归（Logistic Regression）。
LDA是一种经典的线性分类方法，它通过对数据进行投影，使得同类样本在投影空间中的方差最小，不同类样本的中心距离最大。
逻辑回归是一种常用的分类算法，通过构建一个概率模型，将未知样本划分为不同的类别。
聚类分析和判别分析
18
24 30 36 42 48 54 60 66 72
0.69
0.77 0.59 0.65 0.51 0.73 0.53 0.36 0.52 0.34
1.33
1.41 1.25 1.19 0.93 1.13 0.82 0.52 1.03 0.49
0.48
0.52 0.30 0.49 0.16 0.35 0.16 0.19 0.30 0.18
i i
( xi x ) 2 ( yi y ) 2
i i
i
当变量的测量值相差悬殊时,要先进行 标准化. 如R为极差, s 为标准差, 则标 准化的数据为每个观测值减去均值后 再除以R或s. 当观测值大于0时, 有人 采用Lance和Williams的距离
1 | xi yi | x y p i i i
Number of Cases in each Cluster Cluster 1 2 3 4 1.000 1.000 2.000 15.000 19.000 .000
Valid Missing
结果解释
参照专业知识，将儿童生长发育分期定为： 第一期，出生后至满月，增长率最高； 第二期，第2个月起至第3个月，增长率次之； 第三期，第3个月起至第8个月，增长率减缓； 第四期，第8个月后，增长率显著减缓。
k-均值聚类：案例
为研究儿童生长发育的分期，调查1253名1月至7岁儿 童的身高（cm）、体重（kg）、胸围（cm）和坐高（cm） 资料。资料作如下整理：先把1月至7岁划成19个月份段， 分月份算出各指标的平均值，将第1月的各指标平均值与出 生时的各指标平均值比较，求出月平均增长率（%），然后 第2月起的各月份指标平均值均与前一月比较，亦求出月平 均增长率（%），结果见下表。欲将儿童生长发育分为四期， 故指定聚类的类别数为4，请通过聚类分析确定四个儿童生 长发育期的起止区间。
判别分析与聚类分析的基本原理
判别分析与聚类分析的基本原理数据分析是在如今信息时代中，越来越重要的一项技能。
在数据分析的过程中，判别分析和聚类分析是两个非常重要的方法。
本文将介绍判别分析和聚类分析的基本原理，以及它们在数据分析中的应用。
一、判别分析的基本原理判别分析是一种用于分类问题的统计方法，其目的是通过学习已知类别的样本数据，来构建一个分类器，从而对未知样本进行分类。
判别分析的基本原理可以简单概括为以下几个步骤：1. 数据预处理：首先需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、特征选择等，以获得更好的数据质量。
2. 特征提取：在进行判别分析之前，需要将原始数据转化为有效的特征。
特征提取的方法有很多种，常用的包括主成分分析、线性判别分析等。
3. 训练分类器：利用判别分析算法对已知类别的样本数据进行训练，建立分类模型。
常用的判别分析方法有线性判别分析、二次判别分析等。
4. 分类预测：通过训练好的分类器，对未知样本进行分类预测。
分类预测的结果可以是离散的类标签，也可以是概率值。
判别分析广泛应用于医学、金融、市场营销等领域。
例如，在医学领域，可以利用判别分析来预测疾病的状态，辅助医生做出诊断决策。
二、聚类分析的基本原理聚类分析是一种无监督学习方法，其目的是将相似的数据对象分组，使得同一组内的对象相似度较高，不同组间的相似度较低。
聚类分析的基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 选择相似性度量：首先需要选择一个合适的相似性度量，用于评估数据对象之间的相似程度。
常用的相似性度量包括欧氏距离、曼哈顿距离等。
2. 选择聚类算法：根据具体的问题需求，选择合适的聚类算法。
常用的聚类算法有K-means、层次聚类等。
3. 确定聚类数目：根据实际问题，确定聚类的数目。
有些情况下，聚类数目事先是已知的，有些情况下需要通过评价指标进行确定。
4. 根据聚类结果进行分析：将数据对象划分到各个聚类中，并对聚类结果进行可视化和解释。
聚类分析被广泛应用于市场分析、图像处理、社交网络等领域。
聚类分析与判别分析
第一节聚类分析统计思想一、聚类分析的基本思想1．什么是聚类分析俗语说，物以类聚、人以群分。
当有一个分类指标时，分类比较容易。
但是当有多个指标，要进行分类就不是很容易了。
比如，要想把中国的县分成若干类，可以按照自然条件来分：考虑降水、土地、日照、湿度等各方面；也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标；对于多指标分类，由于不同的指标项对重要程度或依赖关系是相互不同的，所以也不能用平均的方法，因为这样会忽视相对重要程度的问题。
所以需要进行多元分类，即聚类分析。
最早的聚类分析是由考古学家在对考古分类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物等方面。
对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分类）。
2．R型聚类和Q型聚类对变量的聚类称为R型聚类，而对观测值聚类称为Q型聚类。
这两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。
聚类分析就是要找出具有相近程度的点或类聚为一类；如何衡量这个“相近程度”？就是要根据“距离”来确定。
这里的距离含义很广，凡是满足4个条件（后面讲）的都是距离，如欧氏距离、马氏距离…，相似系数也可看作为距离。
二、如何度量距离的远近：统计距离和相似系数1．统计距离距离有点间距离好和类间距离2．常用距离统计距离有多种，常用的是明氏距离。
3．相似系数当对个指标变量进行聚类时，用相似系数来衡量变量间的关联程度，一般地称为变量和间的相似系数。
常用的相似系数有夹角余弦、相关系数等。
夹角余弦：相关系数：对于分类变量的研究对象的相似性测度，一般称为关联测度。
第二节如何进行聚类分析一、系统聚类1．系统聚类的基本步骤2．最短距离法3．最长距离法4．重心法和类平均法5．离差平方和法二、SPSS中的聚类分析1、事先要确定分多少类：K均值聚类法；2、事先不用确定分多少类：分层聚类；分层聚类由两种方法：分解法和凝聚法。
聚类和判别分析
市场细分
在市场营销中，判别分析可用于 识别消费者群体的特征和行为模 式，以便进行更有效的市场细分 和定位。
04
判别分析算法
线性判别分析（LDA）
01
基本思想：通过找到一个投影方向，使得同类样本在该方 向上投影后尽可能接近，不同类样本在该方向上投影后尽 可能远离。
02
算法步骤
03
1. 计算各类样本均值。
04
2. 计算类间散度矩阵和类内散度矩阵。
05
3. 计算投影方向，使得类间散度矩阵最大，类内散度矩 阵最小。
06
4. 将样本投影到该方向上，得到判别结果。
支持向量机（SVM）
算法步骤
2. 计算支持向量所构成的法向量 。
基本思想：通过找到一个超平面 ，使得该超平面能够将不同类样 本尽可能分开，同时使得离超平 面最近的样本距离尽可能远。
目的
聚类分析的目的是揭示数据集中的内在结构，帮助我们更好地理解数据的分布 和特征，为进一步的数据分析和挖掘提供基础。
聚类方法分类
01
基于距离的聚类
根据对象之间的距离进行聚类，常见的算法有K-means 、层次聚类等。
02
基于密度的聚类
根据数据点的密度进行聚类，将密度较高的区域划分为 一类，常见的算法有DBSCAN、OPTICS等。
聚类和判别分析
目录
• 聚类分析概述 • 聚类分析算法 • 判别分析概述 • 判别分析算法 • 聚类与判别分析的比较与选择
01
聚类分析概述
定义与目的
定义
聚类分析是一种无监督学习方法，旨在将数据集中的对象按照它们的相似性或 差异性进行分组，使得同一组内的对象尽可能相似，不同组之间的对象尽可能 不同。
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判别分析（Discriminant Analysis）一、概述：判别问题又称识别问题，或者归类问题。
判别分析是由Pearson于1921年提出，1936年由Fisher首先提出根据不同类别所提取的特征变量来定量的建立待判样品归属于哪一个已知类别的数学模型。
根据对训练样本的观测值建立判别函数，借助判别函数式判断未知类别的个体。
所谓训练样本由已知明确类别的个体组成，并且都完整准确地测量个体的有关的判别变量。
训练样本的要求：类别明确，测量指标完整准确。
一般样本含量不宜过小，但不能为追求样本含量而牺牲类别的准确，如果类别不可靠、测量值不准确，即使样本含量再大，任何统计方法语法弥补这一缺陷。
判别分析的类别很多，常用的有：适用于定性指标或计数资料的有最大似然法、训练迭代法；适用于定量指标或计量资料的有：Fisher二类判别、Bayers多类判别以及逐步判别。
半定量指标界于二者之间，可根据不同情况分别采用以上方法。
类别（有的称之为总体，但应与population的区别）的含义——具有相同属性或者特征指标的个体（有的人称之为样品）的集合。
如何来表征相同属性、相同的特征指标呢？同一类别的个体之间距离小，不同总体的样本之间距离大。
距离是一个原则性的定义，只要满足对称性、非负性和三角不等式的函数就可以称为距绝对距离马氏距离：（Manhattan distance）设有两个个体（点）X与Y（假定为一维数据，即在数轴上）是来自均数为μ，协方差阵为∑的总体（类别）A的两个个体（点），则个体X与Y的马氏距离为（，）X与总体（类别）A的距离D X Y=（，）为D X A=明考斯基距离（Minkowski distance）:明科夫斯基距离欧几里德距离（欧氏距离）二、Fisher两类判别一、训练样本的测量值A类训练样本编号 1x 2x m x1 11A x 12A x 1A m x2 21A x22A x2A m xA n1A An x 2A An x A An m x 均数1A x2A xAm xB 类训练样本编号 1x 2x m x1 11B x 12B x 1B m x2 21B x22B x2B m xB n1B Bn x 2B Bn x B Bn m x 均数1B x2B xBm x二、建立判别函数(Discriminant Analysis Function)为：1122m m Y C X C X C X =+++其中：1C 、2C 和m C 为判别系数（Discriminant Coefficient ） 可解如下方程组得判别系数。
1111221112112222221122()()()()()()m m m m m m mm m m m w C w C w C x A x B w C w C w C x A x B w C w C w C x A x B +++=-+++=-+++=-各类的离差阵分别以()L A 、()L B 表示111212122212()()()()()()()()()()m m m m mm L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111212122212()()()()()()()()()()m m m m mm L B L B L B L B L B L B L B L B L B L B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭类内离差阵W 为()L A 、()L B 之和()()W L A L B =+111212122212m m m m mm w w w w w w W w w w ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭三、Y 值的判别界值将1()x A 、2()x A 、 、()m x A 代入判别函数，得到相应的()Y A ， 将1()x B 、2()x B 、 、()m x B 代入判别函数，得到相应的()Y B ，两类的判别界值为：()()2c Y A Y B Y +=当两类的样本含量相差较多时应加权，用下式计算判别界值()()A B c A Bn Y A n Y B Y n n +=+将每个个体的1x 、2x 、、m x 代入判别函数计算Y ，根据判别界值c Y 判别归类。
四、对判别函数检验T 为训练样本中两类和在一起的离差阵（注意与W 的区别）111212122212m m m m mm t t t t t t T t t t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭计算Wilks 统计量UW U T=11U N m F U m---=⋅， 1m ν=，21n m ν=--五、回代 观察判别函数的判别效果举例 设要建立一个判别函数来判别医院的工作情况，公认的A 类医院11所，B 类医院9所。
X 1 ：床位使用率 X 2 ：治愈率 X 3 ：诊断指数判别指标如下两表：A 类医院编号 X 1 X 2 X 3 Y 1 98.82 85.49 93.18 7.9839 2 85.37 79.10 99.65 7.9879 3 86.64 80.64 96.94 7.9391 4 73.08 86.82 98.70 8.1008 5 78.73 80.44 97.61 7.8836 6 103.44 80.40 93.75 7.8807 7 91.99 80.77 93.93 7.8161 8 87.50 82.50 94.10 7.3665 9 81.82 88.45 97.90 8.1802 10 73.16 82.94 92.12 7.6592 11 86.19 83.55 93.30 7.8919 均数89.337382.827394.70737.8781B 类医院编号 X 1 X 2 X 3 Y 172.4878.1282.387.03002 58.81 86.20 73.46 6.76163 72.48 84.87 74.09 6.85054 90.56 82.07 77.15 7.0413 5 73.73 66.63 93.98 7.22446 72.79 87.59 77.15 7.05507 74.27 93.91 85.54 6.73468 93.62 85.89 79.80 7.3152 9 78.69 77.01 86.79 7.2522 均数76.381179.143381.14897.0331合计均数81.857 81.170 88.6061．计算各类中的变量值均数2．计算各类的离差阵及两类的离差阵之和921.956085.6700104.7177()89.7890 6.1099187.6898L A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭867.113745.535261.9823()602.2566390.0085360.0057L B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1789.069740.134842.7354()()692.0456383.8986547.6955W L A L B --⎛⎫ ⎪=+=- ⎪ ⎪⎝⎭3．11()()x A x B -=86.3376-76.3811=9.9562 22()()x A x B -=82.8273-79.1433=3.6840 33()()x A x B -=94.7073-81.1489=13.55844．111122133112112222332231132233333()()()()()()w C w C w C x A x B w C w C w C x A x B w C w C w C x A x B ++=+++=+++=+1231231231789.069740.134842.73549.956240.1348692.0456383.8986 3.684042.7354383.8986547.695513.5584C C C C C C C C C --=-+-=--+=解此方程组得1C =0.007440 2C =0.032412 3C =0.048055判别函数为1230.0074400.0324120.048055Y x x x =++5．求c Y()Y A =7.8781 ()Y B =7.0331()()2c Y A Y B Y +==7.4556()()A B c A Bn Y A n Y B Y n n +=+=7.49786．检验2279.7392141.4208625.4625759.2241136.65461457.6529T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭W U T==4109787692130041753=0.19294411U N m F U m---=⋅=22.3085 13m ν==2116N m ν=--=W 、 T 为相应矩阵的行列式的值7．回代（internal validation ）判别效果原分类 判别函数的判别归类 A B A10 1 BA 正确率= 90.9%B 正确率= 100%总正确率（符合率）= 91%A 误判率=B 误判率= 总误判率= 5%符合率的高低取决于所选判别指标的特异性以及训练样本中各个体分类的可靠性。
组内回代 组外回代 剔除回代Bayes 多类判别121212,,,.,,,.,,,()1,2,,;1,2,,;1,2,g m g kij k kij g A A A m x x x n n n X x k g i n j mx k i j ====设有个总体，记为提取了个特征变量，记为对各个总体分别做了次试验，得到的观测数据记为代表第个总体的第个样本的第个特征变量的观测值。
注意总体、样品的概念Bayes 多类判别是要建立g 个判别函数1011112121()()()()()m m Y A C A C A X C A X C A X =++++ 2021212222()()()()()m m Y A C A C A X C A X C A X =++++01122()()()()()g g g g m g m Y A C A C A X C A X C A X =++++将每个个体代入每个函数式求得1()Y A 、2()Y A ()g Y A ，对于具体某个个体，哪个Y 值最大，就将其判为哪类。
C j 为判别系数过程Bayes 多类判别分析的过程1．计算判别系数（1）计算各组每个各变量的均数 kj x 1,2,,,k G =1,2,,j m =（2）计算各组的离差阵()k L A 和类内离差阵W =12()()()G L A L A L A +++111212122212m m m m mm w w w ww w W w w w ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）求W 的逆矩阵1W-A 1类的判别系数计算：1211122122211m m m mm m w w w w w w W w w w -⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121112212221111212211()()()()()()()m mm mm m m m m C A x A w w w C A x A ww w N G C A x A w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭011111()()()2mj j j C A C A x A ==-∑其余各类的判别系数以同样的方法求得，并可对每个个体的所属类判定求出后验概率（或称事后概率posterior probability ，与之对应的是先验概率或事前概率prior probability ），这与后面的逐步判别分析中的计算方法一样，这里不做介绍。