苏教版数学单元测试(三)——立体几何初步(一)

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苏教版数学高一【必修三】第一章《立体几何初步》综合检测

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直．②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面．④正确．答案：12．下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是________．①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．答案：③3．(1)若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若四点中的每三点不共线，则此四点一定不共面；(3)两组对边分别相等的四边形是平面图形；(4)两个平面将空间分成3或4个部分．其中正确的个数是________．解析：(1)与(4)正确．对于(1)，若三点共线，根据直线与直线外一点可以确定一个平面，知四点共面，故命题(1)正确；对于(4)，若两平面平行，则把空间分成3个部分，若两平面相交，则把空间分成4个部分；对于(2)，如平行四边形无三点共线，但却是平面图形，即四点共面；对于(3)，如正四面体中的任两条相对棱都相等，但由这四个顶点组成的图形不是平面图形．答案：24．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，∴①正确，②错误；棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；棱锥A1－ABC符合⑤，∴⑤正确．答案：①③④⑤5．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．①SG ⊥平面EFG ②SD ⊥平面EFG③GF ⊥平面SEF ④GD ⊥平面SEF解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ；在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG .答案：①6．正方体的表面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________．解析：设正方体棱长为b ，则3b ＝2R ，S 球＝4πR 2＝4π·(32b )2＝3πb 2，又a 2＝6b 2，∴S 球＝π2a 2. 答案：π2a 2 7．(2010年高考湖南卷)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ，BA ⊥AC .由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4. 答案：48．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．解析：由P －ABC 为正三棱锥知，PB ⊥AC ，又由DE ∥AC 得，AC ∥平面PDE .答案：①②9．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S 4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4S π. 答案：S 4S π10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去三棱锥B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________．解析：截出的三棱锥底面积为长方体底面面积的12，两者的高一样，V ＝13×12V 长＝16V 长．答案：1611．(2010年高考湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：412．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C的棱长为2a ，S 正四面体＝4·34(2a )2＝23a 2，所以S 四面体S 正方体＝236＝33 . 答案：3313．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵是正三棱柱，∴CO ⊥AB ，AC 1＝BC 1.∴CO ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3. 下面用等体积法求距离．VC 1－ABC ＝VC －ABC 1，∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ，即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，如图，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________．解析：由题意可知球的直径为长方体的体对角线B 1D ， ∴R 球＝12＋12＋(2)22＝1. 设B 1D 的中点为M ，则M 为球的球心，故△ABM 为边长为1的正三角形，∴∠AMB ＝π3， ∴A ，B 两点间的球面距离为π3. 答案：π3二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)画一个侧棱长为4 cm ，底面边长为4 cm 的正四棱锥的三视图和直观图，并求其表面积．解：正四棱锥的三视图和直观图如图所示．此正四棱锥的表面积为S 表＝4×34×42＋42＝16(3＋1)(cm 2)．16．(本小题满分14分)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连结BM 、AC ，设AC ∩BD ＝O ，连结MO .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴MO ∥PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴PA ∥平面BDM .又∵平面BDM ∩平面PAG ＝GH ，PA ⊂平面PAG ，∴PA ∥GH .17．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且二面角P －CD －B 为45°.求证：(1)AF ∥平面PEC ；(2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)如图，取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，因为F 是PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，而AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以EA ∥GF ，且EA ＝GF ，故四边形EGFA 是平行四边形，从而EG ∥AF ，又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，所以AF ∥平面PEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PD ，则∠PDA 就是二面角P －CD －B 的平面角，所以∠PDA ＝45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ，所以AF ⊥平面PCD ，由(1)知，EG ∥AF ，所以EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .18．(本小题满分16分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则120360πl 2＝3π， ∴l ＝3.又∵2π3×3＝2πr ，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝2 2.∴S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.19．(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．(1)如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH∥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求圆锥的体积．解：(1)证明：∵OH⊥SC，SO⊥OH，SO∩SC＝S，∴OH⊥平面SOC，∴OH⊥OC.∵QB的中点为C，∴OC⊥QB.∵QB、OC、OH在同一平面内，∴OH∥QB，QB⊂平面SBQ，OH⊄平面SBQ，∴OH∥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝60°，AO＝QO，∴∠BAQ＝60°.在Rt△ABQ中，AB＝BQsin 60°＝2332＝4.∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴圆锥的高SO＝12AB＝2.∴V圆锥＝13π(AB2)2·SO＝13π·4·2＝83π.20．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1.(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求三棱锥P－ABC的体积．解：(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)证明：因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P－ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13S△ABC·PD＝16.。

苏教版必修二第一章《立体几何初步》word单元测试1

高一数学必修②第一章立体几何初步（练习9）班级姓名成绩一、选择题：1．下列说法正确的是()A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④8．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A ．8 B． C ．10 D．10. 一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是（）A. ①②B.②③C.③④D.①④11．对如图所示的几何体正确的说法是()A ．如果把(1)作为主视图，则(2)、(3)分别是俯视图和左视图① 正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥B．如果把(2)作为主视图，则(1)、(4)分别是俯视图和左视图C．如果把(3)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图D．如果把(4)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图二、填空题12．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．13．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．三、解答题14．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．15．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．16．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？。

高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试获奖作品

章末过关检测卷(一)第1章立体几何初步(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·四川卷)一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体可以是(D)A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台2．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连接它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线．其中正确的个数为(D) A．3个B．2个C．1个D．0个3．如右图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(D)A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．4．(2023·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(B)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若mA项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，n∥x，但m与n是相交直线，故A错；B项中，m⊥x，n⊂x，∴m⊥n.这是线面垂直的性质，故B正确；C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥x，m⊥n，但n⊂x，故C错；D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥x，m⊥n，但n∥x，故D错．5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(B)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：取A 1B 1的中点Q ，连接GQ 、HQ .即∠HGQ 即为异面直线EF 与GH 所成的角，易求得∠HGQ ＝60°.6．在所有棱长都相等的四面体PABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是(C )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm ，4 cm ，3 cm ，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是(B )cm B ．5 5 cm C ．7 2 cm D ．10 2 cm8．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝，∠ABC ＝120°，若绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D )π π π π解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13πr 2(1＋－1)＝32π.9．(2023·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(B )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.10．(2023·辽宁卷)已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为(C )B ．210 D ．310解析：由球心O 作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M .∵AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，∴AM ＝12BC ＝52.连接OA ，则OA ＝AM 2＋OM 2＝254＋36＝132，即已求O 的半径为132，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．(2023·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥OABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π12．(2023·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：先由三视图还原几何体，再分析几何体中的位置和数量关系，解三角形求最长棱的棱长，根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC ，由三视图的形状特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2213．(2023·湖北卷)我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆来接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆地直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九尺，则平地降水量是________寸．(注：①平地降水量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 解析：作出圆台的轴截面如下图所示，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是中点，所以GE 为梯形的中位线．所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．答案：314．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角ABDC ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角为60°.其中真命题的序号是________．解析：如下图所示，命题①：取BD 中点E ，连接AE ，CE 有BD ⊥AE ，BD ⊥CE，所以BD⊥面ACE，所以BD⊥AC.命题②：设正方形的边长为a，所以AE＝EC＝22a，因为△AEC为直角三角形，所以AC＝a，所以△ACD为等边三角形．命题③：面ABD⊥面BCD，所以AE⊥面BCD，所以∠ABE即为AB与面BCD所成的角，∠ABE＝45°，故该命题错误．命题④：取AD中点F，AC中点G，连接EF，FG，CE，∠EFG即为AB与CD所成角，易得△EFG为等边三角形，故∠EFG为60°.答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)(2023·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．分析：(1)找出平面AEC内的直线并证明线线平行；(2)利用体积求出线段的长，再作直线与平面垂直，并加以证明、求解．(1)证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO.因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(2)解：由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB于点H.由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH.故AH ⊥平面PBC.在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.16．(本小题满分12分)(2023·安徽卷)如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥PBCE 的体积．解析：(1)证明：如图，连接BD ，AC 交于点O. ∵PB ＝PD ， ∴PO ⊥BD.又∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC.而AC ∩PO ＝O ，∴BD ⊥面PAC.∴BD ⊥PC.(2)由(1)知BD ⊥面PAC.由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝ 3. ∴S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32.∴VPBCE ＝VBPEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.17．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝45°，O 在AB 上，且OB ＝OC ＝23AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA ＝AO ＝12PO ＝13AB.(1)求证：PB ∥平面COD ； (2)求证：PD ⊥平面COD.证明：(1)∵PO ⊥平面ABC ，AD ∥PO ， ∴DA ⊥AB ，PO ⊥AB.又DA＝AO＝12PO，∴∠AOD＝45°.又OB＝OC＝23AB，AO＝13AB，∴OB＝OP.∴∠OBP＝45°.∴OD∥PB.又PB⊄平面OCD，OD⊂平面COD.∴PB∥平面COD.(2)依题意可设OA＝a，则PO＝OB＝OC＝2a，DA＝a，由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC.从而PD＝DO＝2a，在△PDO中，∵PD＝DO＝2a，PO＝2a，∴△PDO为直角三角形．故PD⊥DO.又∵OC＝OB＝2a，∠ABC＝45°，∴CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，∴PO⊥OC.又∵AB∩PO＝O，∴CO⊥平面PAB.故CO⊥PD.∵CO与DO相交于点O，∴PD ⊥平面COD.18．(本小题满分14分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解析：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ，则120360πl2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1；S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.19．(本小题满分14分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m )．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解析：(1)几何体的直观图如下图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．20．(本小题满分14分)(2023·广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF中点E、F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．分析：(1)由线面垂直的判定定理直接求证；(2)先计算PD，CF的长，进而求得FG，从而三角形EDC的面积可求出，代入体积公式即得答案．(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面DMF.(2)解析：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12. 过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FG sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME2－DE2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38. 故V △M CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。

【数学】《立体几何初步》过关检测1(苏教版必修2)

新课标苏教版高中数学必修2第一章《立体几何初步》过关测试卷( 时间 120分钟总分 150分)班级_______________ 姓名______________ 分数_____________一、选择题（每小题5分，共60分）1、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为A 0B 1C 2D 32、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是A 1∶7B 2∶7C 7∶19D 5∶ 163、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是A 28cm π B 212cm π C 216cm π D220cm π4、已知直线l ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于l 的直线A 只有一条，不在平面α内B 只有一条，在平面α内C 有两条，不一定都在平面α内D 有无数条，不一定都在平面α内5、下列四个命题正确的是A 两两相交的三条直线必在同一平面内B 若四点不共面，则其中任意三点都不共线C 在空间中，四边相等的四边形是菱形D 在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形6、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为A 1:2:3B 2：3：4C 3:2:4D 3:1:27、某玻璃制品公司需要生产棱长均为3cm 的玻璃三棱柱一批。

请问每个三棱柱需要用玻璃多少cm 3 ？A272 B 274 C2732D 34278、下列说法中正确的是A 经过两条平行直线,有且只有一个平面直线B 如果两条直线同平行于同一个平面,那么这两条直线平行C 三点唯一确定一个平面D 不在同一平面内的两条直线相互垂直,则这两个平面也相互垂直 9、把两半径为2的铁球熔化成一个球，则这个大球的半径应为A 4B 22C 322 D3410、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是A βα//n ,//m ,n m ⊥ Bαβα⊆=⊥n ,m ,n mC αβ⊆⊥m n n m ,,//D βα⊥⊥n m n m ,,//11、线a 、b 和平面α，下面推论错误的是 A.b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ααb a B αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b // a a C ααα⊆⇒⎭⎬⎫⊥⊥a //a b b a 或 Db //a b //a ⇒⎭⎬⎫⊆αα 12、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则 ②若，，，则③若，，则 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 A ①和② B ②和③ C ③和④ D①和④二、填空题（每小题4分，共16分）13、已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为1111MO ABCDADBC_______________.14、用一张圆弧长等于12π分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于 ______________立方分米.15、设P 是ABC ∆外一点，则使点P 在此三角形所在平面内的射影是ABC ∆的垂心的条件为________________________(填一种即可).16、已知直线b a ,是直线，γβα,,是平面，给出下列命题：① b a a =βαβα ,//,//，则b a //； ② γβγ⊥⊥,a ，则β//a ； ③ b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥； ④ αγββ⊥a a ,//,//，则γα⊥. 其中正确命题的序号选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案三、解答题（共74分）17、（本题12分）正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积.18、（本题12分）三棱锥V —ABC 中，VO ⊥平面ABC, O ∈CD , VA=VB,AD=BD.证明：CD ⊥AB 且AC=BC . 19、（本题12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

2021-2022学年苏教版高一数学基础题专题训练五《立体几何初步》【含答案】

立体几何初步例1、如图，O A B '''是水平放置的OAB 的直观图，则OAB 的周长为（）A ．10213+B ．32C ．10D ．12【答案】A【分析】根据斜二测画法得到OAB 为两直角边长分别为4和6的直角三角形，进而可得其周长.【详解】如图，根据斜二测画法得到OAB 为直角三角形，两直角边长分别为4和6，所以斜边长为2246213+=OAB 的周长为10213+故选：A ．例2、已知直线l ，两个不同的平面,αβ，下列命题正确的是（）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若//l α，l β//，则//αβC ．若αβ⊥，l α⊥，则l β//D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】A【分析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，根据面面垂直的判定定理可知，A 选项正确，对于B 选项，当//l α，l β//时，α和β可能相交，B 选项错误，对于C 选项，当αβ⊥，l α⊥时，l 可能含于β，C 选项错误，对于D 选项，当αβ⊥，//l α时，l 可能含于β，D 选项错误.故选：A例3、古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高．则球的表面积与圆柱的体积之比为（）A ．4:3B ．3:2C ．2:1D ．8:3【答案】C【分析】先求出球的表面积和圆柱的体积，再求其比值而得.【详解】依题意：球的直径为2，即球半径1R =，球的表面积244S R ππ==，圆柱底面圆半径1r R ==，高2h =，则圆柱体积22V r h ππ==，球的表面积与圆柱的体积之比:4:22:1S V ππ==.故选：C一、单选题1．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为α，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（）A 33sin 2α B 32α C ．12sin 2αD ．2sin 2α 【答案】B【分析】根据等腰三角形的边角关系，用SA 和OA 表示出AB 的一半，从而得出底面内切圆半径与侧棱长的比.【详解】设O 为正六棱锥S ABCDEF -底面内切圆的圆心，连接OA ，OB ，如图所示：由题意可知3AOB π∠=，22SAB πα∠=-， OA AB ∴=，1cos()sin2222SA SA AB παα⋅-=⋅=， ∴2sin 2ABSA α=，设内切圆半径为r ，则tan 3132rAB π==3r AB =， ∴底面内切圆的半径与侧棱的比为33sin 223232sin AB r AB SA ααθ===．故选：B2．下列说法正确的是（）A ．镜面是一个平面B ．一个平面长10 m ，宽5 mC ．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D ．所有的平面都是无限延展的【答案】D【分析】结合平面是无限延展的性质判断即可【详解】镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A 不正确；平面没有大小，所以选项B 和选项C 都不正确，故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质，属于基础题3．在圆柱12O O 内有一个球O ，球O 分别与圆柱12O O 的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若122O O =，则圆柱12O O 的表面积为（）.A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π【答案】C【分析】依题意可求得圆柱的底面半径和高，进而可得圆柱的表面积.【详解】依题意可得圆柱的底面半径1r =，高2h =，所以圆柱的表面积222426S r h r πππππ=⋅+=+=.故选：C.4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据线面关系的判定性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，平行同一平面的两条直线并不能判断此两条直线平行，故A 错误；对B ，直线垂直与平面，则垂直与平面内的任意一条直线，故B 正确；对C ，不确定n 直线是否在平面α内，所以C 错误；对D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或者//n α，而不是n α⊥，故D 错误.故选：B5．已知正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别为1111,,A D AB C D 的中点，则直线1,AG EF 所成角的余弦值为（）A 30B 30C 30D 15 【答案】C【分析】作图可知1//AG CF ，得出EFC ∠为直线1AG 与EF 所成角，设AB =2求出EFC 的三边，结合余弦定理即可求出结果.【详解】如图所示，易知1//AG CF ，则EFC ∠为直线1AG 与EF 所成角. 不妨设AB =2，则5,6,3CF EF EC == 由余弦定理得30cos 256EFC ∠==⨯ 即直线1AG 与EF 30 故选：C .6．设α，β，γ为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（） ①αγ⊥，βγ⊥，则//αβ②αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥③m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥④αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则m γ⊥ A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】D【分析】根据线面关系的定理性质，逐项分析判断即可得解.【详解】①中，α，β可以相交并垂直于γ，①错误②中，直线m 可能不在平面α内，②错误③中，垂直于互相垂直的两条直线的两个平面垂直，故③正确；④中，两个平面垂直于第三个平面，这两个平面的交线也垂直于第三个平面，故④正确，故选：D二、多选题7．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆锥的表面积最小【答案】CD分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．【详解】对于A ，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，故A 错误；对于B ，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R 相等，∴圆锥的侧面积为222(2)5S R R R R ππ=+，故B 错误；对于C ，圆柱的侧面积为2224S R R R ππ=⨯=，球面面积为24S R π=，∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C 正确；对于D ，圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=，圆锥的表面积为)22222(2)51S R R R R R πππ=+=，球的表面积为234S R π=，∴圆锥的表面积最小，故D 正确．故选：CD8．已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A ．若m α⊥，n α⊥，则m ∥nB ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若l αβ=，m ∥α，m ∥β，则m ∥l D ．若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥【答案】AC【分析】根据空间中的线线、线面、面面关系的判定可得选项.【详解】对于选项A ，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以选项A 正确；对于选项B ，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可平行或异面，不一定垂直，所以选对于选项C ，若l αβ=，//m α，//m β，可推出//m l ，则选项C 正确；对于选项D ，若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m 与β不一定垂直，所以选项D 错误；故选：AC ．【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.9．在空间中，已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A ．若//a b ，且，a α⊥，b β⊥，则//αβB ．若αβ⊥，且//a α，//b β，则a b ⊥C ．若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交D ．若a b ⊥，且//a α，b β//，则αβ⊥【答案】AC【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可【详解】若//a b ，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量平行，则//αβ成立，故A 正确；若αβ⊥，且//a α，//b β，则a 与b 互相平行或相交或异面，故B 错误；若a ，b 相交，且a α⊥，b β⊥，即两平面的法向量相交，则α，β相交成立，故C 正确；若a b ⊥，且//a α，//b β，则α与β平行或相交，故D 错误；故选：AC.【点睛】此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题三、填空题10．如图，四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为正方形，SD ∥底面ABCD ，则下列结论中正确的有______个．①AC ∥SB ；②AB ∥平面SCD ；③SA 与平面ABCD 所成的角是∥SAD ；④AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角．【答案】4【分析】利用线面垂直的判定定理AC ⊥平面SBD ，进而可判定①正确．根据AB ⊥CD ，利用线面平行的判定定理可证②正确．根据线面所成角的定义可判定③正确．根据AB ⊥CD ，由异面直线所成角的定义可判定④正确．【详解】因为SD ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SD ．因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ．又BD ∩SD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SB ，故①正确．因为AB ⊥CD ，AB ⊥平面SCD ，CD ⊥平面SCD ，所以AB ⊥平面SCD ，故②正确．因为AD 是SA 在平面ABCD 内的射影，所以SA 与平面ABCD 所成的角是⊥SAD ．故③正确．因为AB ⊥CD ，所以AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角，故④正确．故答案为：4.11．如图，ABC A B C '''-是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA B B ''-的体积是________．【答案】23【分析】本题可通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积得出结果.【详解】 1133CA B C ABC A B C V V ， 12133C AA B B ABCA B C C A B C V V V . 故答案为：23. 12．若∥AOB ＝135°，直线a ∥OA ，a 与OB 为异面直线，则a 和OB 所成的角的大小为______.【答案】45°【分析】由题意可得AOB ∠的补角为a 与OB 所成角，结合补角的概念即可.【详解】因为直线a //OA ，a 与OB 为异面直线，所以AOB ∠的补角为a 与OB 所成角，又135AOB ︒∠=,所以a 与OB 所成角的大小为18013545︒︒︒-=.故答案为：45︒四、解答题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．【答案】90°【分析】先平移后再解三角形即可.【详解】如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ⊥B 1D ，EF ⊥A 1C 1，⊥⊥GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)．⊥GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点，⊥GO ⊥A 1C 1．⊥异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．14．如图所示，已知长方体1111ABCD A BC D -的体积为V ，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，求三棱锥P CDQ 的体积．【答案】112V 【分析】本题可设AB a 、BC b =、1AA c =，则V abc =，然后根据13P CDQ CDQ V S PD △即可得出结果.【详解】设AB a ，BC b =，1AA c =，则V abc =，因为11122PD DD c ，1122CDQ S CD CB ab △，所以11111133221212P CDQ CDQ V S PD ab c abc V △. 15．已知正三棱锥P ABC 的底面边长为4 cm ，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．【答案】()24153cm 【分析】由题意作出草图，设O 为正三角形ABC 的中心，连结AO 并延长交BC 于D ，易知PO 是正三棱锥P ABC -的高，由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点，则PD BC ⊥，即PD 是三棱锥的斜高，再根据题意和勾股定理，可得棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．【详解】如图所示，设O 为正三角形ABC 的中心，连结PO ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结PD ，则PO 是正三棱锥P ABC -的高．由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点，又PB PC =，故PD BC ⊥，即PD 是三棱锥的斜高．由已知45APO ∠=︒，)23434cm 3AO ==，所以)434622cm 33PA AO ==，所以46=3PB （cm ）．所以222246215=23PD PB BD ⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭（cm ）．所以正三棱锥P ABC 的侧面积为：12153344152PBC S S ==⨯⨯=侧（2cm ），底面积：2134432S =⨯=底2cm ）．故415434153S S S =+==表面积侧底（2cm ）． 16．长方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱11,AA CC 的中点.（1）求证：1//D E BF ；（2）求证：111B BF A ED ∠=∠.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先证明四边形11EMC D 为平行四边形，可得11//D E MC ，再证明四边形1MBFC 为平行四边形，得1//BF MC ，从而得1//D E BF ；（2）根据等角定理证明即可.【详解】证明：（1）如图，取1BB 的中点M ，连接1,EM C M .在矩形11ABB A 中，易得11//EM A B ，11EM A B =因为1111//A B C D ，1111A B C D =，所以11//EM C D ，11EM C D =所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC .在矩形11BCC B 中，易得1//MB C F ，1MB C F =.所以四边形1MBFC 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//D E BF .（2）因为1//D E BF ，11//BB EA ，又1B BF ∠与11A ED ∠的对应边方向相同，所以111B BF A ED ∠=∠.17．如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11AC 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；【分析】（1）由中点知GH 为中位线，即有11//GH B C ，结合三棱柱的性质可证//GH BC ，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有1,AG EB 平行且相等，即有1//A E GB ，结合线面平行的判定即可证1//A E 面BCHG .【详解】（1）⊥G ，H 分别是11A B ，11AC 的中点，⊥11//GH B C ，而11//B C BC ，⊥//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）⊥E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，⊥1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，⊥1//A E 面BCHG ，18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，22PB = 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）由菱形的性质有BD AC ⊥，勾股定理知PA AB ⊥，结合面面垂直的推论可得PA BD ⊥，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由PA ⊥面ABCD 即可计算P ACD V -，结合已知条件可求三棱锥P AMC -的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD 是菱形，且 2.AB AC ==⊥BD AC ⊥，又在⊥PAB 中2AB PA ==，22PB =90PAB ∠=︒，⊥PA AB ⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，面PAB 面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，⊥PA ⊥面ABCD ，而BD ⊂面ABCD ，有：PA BD ⊥，PAAC A =， ⊥BD ⊥平面PAC ；（2）由（1）知：PA ⊥面ABCD ，有1123||222sin 6036P ACD ACD V PA S -=⋅=⨯⨯⨯⨯︒=，而——M PAC P AMC V V =，且——12P AC PAC D M V V =， ⊥—3P AMC V =【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.19．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点.求证：//MN 平面PAD .【答案】证明见解析【分析】取PD 的中点E ，连接EA ，EN ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】证明：取PD 的中点E ，如图所示，连接EA ，EN .⊥E ，N 分别为PD ，PC 的中点，⊥//EN CD ，且12EN CD =. ⊥四边形ABCD 为平行四边形，M 为AB 的中点，⊥//AM CD 且12AM CD =，⊥,AM EN 平行且相等， ⊥四边形AMNE 为平行四边形，⊥//MN AE .又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，⊥//MN 平面PAD .【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.。

【K12教育学习资料】[学习]2018-2019学年高中数学第1章立体几何初步单元测试苏教版必

第1章立体几何初步(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________． ①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直． ②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面． ④正确．答案：12．给出下列命题，其中正确的命题的序号是________． ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行； ②直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α；③a 、b 是异面直线，则存在惟一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等．解析：①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；②错误，直线n 可能在平面α内；③正确，如图，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′、b ′确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是惟一确定的．答案：③3．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连结PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．解析：如图所示，由题意知， PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连结PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P -AC -B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ，在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2， ∴∠PDB ＝90°. 答案：垂直4．如图甲，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是________．①SG ⊥平面EFG ；②SD ⊥平面EFG ； ③GF ⊥平面SEF ；④GD ⊥平面SEF .解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ；在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ， ∴SG ⊥平面EFG . 答案：①5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正方体＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C 的棱长为2a ，S 正四面体＝4×34×(2a )2＝23a 2，所以S 四面体S 正方体＝236＝33.答案：336．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4Sπ.答案：S 4Sπ7.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：48．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为________．解析：取AC 中点M ，连结EM ，FM ，F 为DC 中点，M 为AC 中点，∴FM ∥AD ，且FM ＝12AD ＝1，同理EM ∥BC ，且EM ＝12BC ＝1.△EMF 中作MN ⊥EF 于N . Rt△MNE 中，EM ＝1，EN ＝32， ∴sin ∠EMN ＝32，∠EMN ＝60°， ∴∠EMF ＝120°，∴AD 与BC 所成角为60°. 答案：60° 9.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是________(精确到1 mm)．解析：桶内水的深度为17×35＝5(cm)，设水面半径为x cm ，则有x －1219－12＝535，解得x ＝13.V 水＝13π·5(122＋12×13＋132)＝2 3453π.设单位面积雨水深度为h ，则V 水＝π·192·h ，∴π·192·h ＝2 3453π，∴h ≈2.2 cm＝22 mm. 答案：22 mm10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________．解析：利用三棱锥A 1－AB 1D 1的体积变换：VA 1－AB 1D 1＝VA －A 1B 1D 1，则13×2×4＝13×6×h ，h＝43. 答案：4311．在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是________．解析：如图，在△ABD 内，作AH ⊥BD 于H ，∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴AH ⊥平面BCD . 又BC ⊂平面BCD . ∴BC ⊥AH .又∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC .又AH ∩DA ＝A ， ∴BC ⊥平面ABD ，∴BC ⊥AB ，故△ABC 是以∠B 为90°角的直角三角形．答案：直角三角形12．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________．解析：设上、下圆柱的半径分别是r 、R ，高分别是h ，H .由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H )＝πr 2h ＋πR 2·(28－h )，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.则这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2913．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴CO ⊥AB . ∵AC 1＝BC 1，∴C 1O ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3.下面用等体积法求距离． VC 1－ABC ＝VC －ABC 1， ∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ，即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．已知Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°，则平面ABC 与α所成锐角为________．解析：如图所示，过点C 作垂直于α的直线CO ，交α于点O . ∴∠CAO＝30°，∠CBO ＝45°.设CO ＝a ，∴Rt △ACO 中，AC ＝2a ，在Rt △BCO 中，BC ＝2a .过C 点在平面ABC 内作CD ⊥AB ，连结OD ，则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角，AB ＝6a ，∴CD ＝23a ，∴在Rt △CDO 中，sin ∠CDO ＝a 2a 3＝32，∴∠CDO ＝60°.答案：60°二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2014·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm. ∵在△ABC 中，AB ＝3 cm ， BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ， ∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5，∴R ＝1 cm ，∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π cm 3.而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)，∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)． 16．(本小题满分14分)底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.问：在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC? 证明你的结论．解：如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，过点B 作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF ∥CE 交PC 于点F ，连接BF . ∵BG ∥OE ，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴BG ∥平面AEC . 同理GF ∥平面AEC ，又BG ∩GF ＝G ，∴平面BFG ∥平面AEC ，BF ⊂平面BFG . ∴BF ∥平面AEC .下面求点F 在PC 上的具体位置： ∵BG ∥OE ，O 是BD 的中点， ∴E 是GD 的中点．又∵PE ∶ED ＝2∶1， ∴G 是PE 的中点．而GF ∥CE .∴F 为PC 的中点．综上可知，存在点F ，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .17．(本小题满分14分)如图，已知平面α∩平面β＝AB ，PC ⊥α，PD ⊥β，垂足分别是C ，D . (1)求证：AB ⊥平面PCD ；(2)若PC ＝PD ＝1，CD ＝2，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：因为PC ⊥α，AB ⊂α，所以PC ⊥AB .同理PD ⊥AB .又PC ∩PD ＝P ，故AB ⊥平面PCD .(2)设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH ，DH .因为 AB ⊥平面PCD ，所以AB ⊥CH ，AB ⊥DH ，所以∠CHD 是二面角C －AB －D 的平面角．又PC ＝PD ＝1，CD ＝2，所以CD 2＝PC 2＋PD 2＝2，即∠CPD ＝90°.在平面四边形PCHD 中，∠PCH ＝∠PDH ＝∠CPD ＝90°，所以∠CHD ＝90°，故平面α⊥平面β.18．(本小题满分16分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13π×82×4＝2563π(m 3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×62×8＝2883π(m 3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)；如果按方案二，仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)，则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)． (3)V 2＞V 1，S 2＜S 1，所以方案二比方案一经济．19．(本小题满分16分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且AD ＝AA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点．(1)求证：MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：(1)如图，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，∴MF∥AN.又MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD，(2)连结BD，由题意知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC⊂平面ACC1A1，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.20．(本小题满分16分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．解：(1)证明：连结AC，BD，交于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又∵DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.又∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.∴DE⊥平面PBC.又∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.(3)由(2)知，PB⊥DF，EF⊥PB，∴∠EFD 是二面角C －PB －D 的平面角．由(2)知DE ⊥EF ，PD ⊥DB .设正方形ABCD 的边长为a ，则PD ＝DC ＝a ，BD ＝2a ，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝3a ，PC ＝PD 2＋DC 2＝2a ，∴在Rt △PDB 中，DF ＝PD ·BD PB ＝a ·2a 3a ＝63a .又∵DE ＝12PC ＝22a ，∴在Rt△EFD 中，sin ∠EFD ＝DE DF ＝22a63a ＝32，∴∠EFD ＝60°.∴二面角C －PB －D 的大小是60°.。

单元复习13 立体几何初步(课件)高一数学单元复习(苏教版2019必修第二册)

4．空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝ A⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④基本事实4的推垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
顶点：各侧面的_公__共__顶__点___
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫分类 __四__面__体__．底面是__正__多__边__形__，并且顶点与底面中心的连线__垂__直__于
底面的棱锥叫做正棱锥
6．棱台的结构特征：
用一个__平__行__于__棱__锥__底__面___的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多定义
(1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②判定定理 1： ml⊥，mn，⊂lα⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； ③判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
[答案] (1)C (2)B
空间位置关系的证明 [例3] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是 AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1； (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
[证明] (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1. 又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1. (2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB. 又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C， AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C. 又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.

苏教版必修二第一章《立体几何初步》word单元测试

《第1章立体几何初步》2011年单元过关检测一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、下列命题中错误的是（）A、圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B、圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C、圆台的所有平行于底面的截面都是圆D、圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2、如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（）A、B、C、D、3、在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球的半径为R）（）A、B、C、D、4、下列图形中，不是三棱柱的展开图（）A、B、C、D、5、下列正确命题个数是（）①梯形的直观图可能是平行四边形；②三棱锥中，四个面都可以是直角三角形；③如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，这个棱锥不可能是六棱锥；④底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；⑤底面是矩形的平行六面体是长方体．A、1B、2C、3D、46、（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A、①②③B、②④C、③④D、②③④7、如图是一个几何体的三视图，则这个几何体可能是（）A、三棱柱B、四棱柱C、三棱锥D、四棱锥8、（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④9、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（）A、6+B、24+C、24+2D、3210、圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A、1：（﹣1）B、1：2C、1：D、1：411、若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为（）A、B、C、D、12、棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（）A、4πa3B、C、D、二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13、一个球的半径为a，放在墙角与两个墙角及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离是_________．14、（2009•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_________．15、（2008•辽宁）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．16、在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的说法是_________．（填上正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分74分）17、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．18、一个多面体的直观图如图所示（其中M，N分别为AF，BC的中点）求多面体A﹣CDEF 的体积．19、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．20、一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积．21、（2008•海南）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥面EFG．22、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示．墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH．图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积．答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、下列命题中错误的是（）A、圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B、圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C、圆台的所有平行于底面的截面都是圆D、圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。

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第三单元立体几何单元测试（一）
试卷满分：150分考试时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是
A 、A
B α⊂ B 、AB α⊄
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对 2、下列说法正确的是
A 、三点确定一个平面
B 、四边形一定是平面图形
C 、梯形一定是平面图形
D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥
C 、1AC 与DC 成45
角
D 、11AC 与1BC
成60
角 5、若直线l 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是
A 、l a
B 、l 与a 异面
C 、l 与a 相交
D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么
A 、点必P 在直线AC 上
B 、点P 必在直线BD 上
C 、点P 必在平面ABC 内
D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，
a ∥
b ，则a ∥M ；③若a ⊥
c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形
B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
B 1
C 1
A 1D 1
B
A
C
D
A 、
23 B 、76 C 、4
5
D 、
5
6
11、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于
A 、34
B 、35
C
D 12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和
CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为
A 、
2V B 、3V C 、4V D 、5
V 二、填空题（每小题4分，共16分）
13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体
(填”大于、小于或等于”).
14、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定
是 .
16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有
A 1
B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、 14、 15、 16、三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)
17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)
18、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求
证：EH ∥BD . (12分)
Q
P
C'
B'
A'C
B
A
19、已知ABC ∆中90ACB ∠=
，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12
分)
20、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)
21、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１）1C O 面
11AB D ；
(2）1
AC ⊥面11AB D ． (14分)
22、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、
S D C
B A
D 1
O
D B
A C 1
B 1
A 1
C
AD 上的动点，且 (01).AE AF
AC AD
λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
ACDDD BCBDD DB
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、小于 14、平行 15、菱形 16、1111AC B D 对角线与互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）
17、解:设圆台的母线长为l ,则 1分
圆台的上底面面积为224S ππ=⋅=上 3分圆台的上底面面积为2525S ππ=⋅=下 5分所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上 6分又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧 8分
于是725l ππ= 9分即29
7
l =
为所求. 10分 18、证明：,EH FG EH ⊄ 面BCD ，FG ⊂面BCD
EH ∴ 面BCD 6分
又EH ⊂ 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，
EH BD ∴ 12分
19、证明：90ACB ∠=
BC AC ∴⊥ 1分
F
E
D
B
A
C
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ 4分 BC ∴⊥面SAC 7分 BC AD ∴⊥ 10分又,SC AD SC BC C ⊥=
AD ∴⊥面SBC 12分
20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm . 在Rt EOF 中,
1
5,2
EF cm OF xcm ==
, 3分
所以EO =
分
于是13V x =
分依题意函数的定义域为{|010}x x << 12分
21、证明：（1）连结11AC ，设11111AC
B D O = 连结1AO ， 1111ABCD A B
C
D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
11AC AC ∴ 且 11AC
AC = 2分又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，11O
C AO ∴ 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 4分
111,C O AO AO ∴⊂ 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D
∴1C O 面11AB D 6分
（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 7分
又1111AC B D ⊥ ， 1111B D AC C ∴⊥面 9分
1
11AC B D ⊥即 11分同理可证11AC AB ⊥， 12分又1111D B AB B =
∴1
AC ⊥面11AB D 14分
22、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 3分又),10(<<==λλAD AF AC AE
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. 9分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
AB BD 11分
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2
=AE ·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ 13分
故当7
6
=
λ时，平面BEF ⊥平面ACD. 14分。