洛伦兹变换的详细推导演示教学
简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)
简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。
值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。
所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。
1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。
没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。
许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。
为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。
我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。
站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。
相反，考虑谈话的例子。
如果你站着不动，风在动，声速就会变。
比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。
仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。
图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。
（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。
洛伦兹变换的严格推导
洛仑兹变换的严格推导此推导过程从狭义相对性原理及光速不变原理出发，进行严格推导。
设事件P在S系中坐标为()t z yx,,,,在'S系中坐标为()',',','t zyx，'S系以速度u沿'S系的x轴正方向匀速运动。
设真空中光速为c。
洛仑兹变换推导过程如下：因洛仑兹变换为伽利略变换中速度u接近光速c时的数学形式，当速度u 远远小于光速c时洛仑兹变换应能退化为伽利略变换。
所以参照伽利略变换，洛仑兹变换形式可设为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=gfedbagtfzzetdyybtaxxλλλλλλ'''⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=gfedbatgzfzt eydyt bxax''''''''''''''''''λλλλλλ1.讨论',xx之间的数学关系：当'',0utxx-==时，有：ba t buta'''')'('0λλ+-=，即baa t btua'''''')('0λλλ+-='t为齐次型aaa t btuaba'''''')('0,''λλλλλ+-==∴若等式成立，有：aaabubua'''',')('λλ-=--=-u-的正负性与aab'''λ-无关且有意义1''==∴baλλ则''bua-=-，有：''''utaxax+=当utxx==,0'时，有：ba btutaλλ+=)(0，即baa bttauλλλ+=t为齐次型aaa bttaubaλλλλλ+==∴0,若等式成立，有：aaabubauλλ-=-=,u 的正负性与aabλ-无关且有意义 1==∴b a λλ则b au -=，有：aut ax x -='。
洛伦兹变换的推导[1]
![洛伦兹变换的推导[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a829a79d83d049649b665855.png)
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换
洛伦兹速度变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得A相对于K'的速度，即相对于B的速度
u
1
u'v vu ' /
c
2
0.994c
8
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
⑵相对论速度变换遵循光速不变原理。
令u' c, 解得u
u'v 1 u'v / c
1
c cv
v /c
2
c
可见，对K,K'坐标系而言，光速都是c。
6
• 例：
在地面上测得两个飞船A,B分别以+0.9c和-0.9c的速度沿相 反方向飞行，如图所示，求A相对于B的速度大小。
设K系在B上，则B相对于K静止，而地面对K的速度是v=0.9c,以地面为K'，则A 相对于K的速度为u'=0.9c,带入速度变换公式：
2016 4-2、相对论速度变换
1
一、前节回顾
㈠洛伦兹变换公式
正变换 x' x vt 1 (v / c)2
反变换 x x'vt' 1 (v / c)2
y' y
y y'
z' z
或
z z'
t'
t
vx c2
1 (v / c)2
t
t
'
vx' c2
1 (v / c)2
2
㈡伽利略变换
伽利略变换公式
其逆变换式为：
uz
'
uz 1
1
vux c2
2
u x
ux 'v
1
vux c2
41狭义相对论基本原理洛伦兹变换精品PPT课件
在 K中Px,y,z,t寻找 对同一客观事件
在 K'中 P x,y,z,t
两个参考系中相应的 坐标值之间的关系
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坐标变换式
x x vt
1
v2 c2
y y
z z
t
t
v c2
x
1
v2 c2
x ' v t'
x
1
v2 c2
y y
或
z z
t
t
v c2
x'
1
v2 c2
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t't'2t'1
2l2
c1
v2 c2
2l1
c1
v2 c2
1/
2
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如果实验前提正确，应该观察到0.4条的条纹移动。 可是他们没有得到应有结果。后来又在德国、美国、 瑞士多次重复该实验，得到的仍然是 “0结果”。迈 克尔逊在 70 高龄时仍在做这方面的工作。
x x vt
y y z z
伽利略变换
t t
变换无意义
速度有极限
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在实际应用时常用相对量的变换
{ { x
=
x
1
ut β2
或
t = t ux c 2
x
=
x + ut 1β 2
t = t +u x c 2
1β 2
1β 2
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思考题：
1. 在某一惯性系中同时同地发生的事件，在所有其他惯性
令
v
c
则
洛伦兹变换的详细推导演示教学
第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
洛伦兹变换的推导
一、间隔不变原理1、事件：一件事情发生可以用地点和时间来标识。
在一个参考系如S 中可以记作(,,,),x y z t 另一参考系'S 中可以记作''''(,,,),x y z t 两件事情发生，分别在两参考系中可以记为22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---这两事件的间隔在'S 参考系中定义为'2''2''2''22''221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---注意两事件的间隔只能在同一惯性参考系才有意义，2s ∆是一种整体记法，就表示两事件在S 系中的惯性，计算方法如下，22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---不表示两间隔之差，这种写法22221s s s ∆=-是错误的。
由光速不变原理可以推出间隔不变：任何两事件的间隔，从一个惯性参考系变换到另一惯性参考系保持不变。
2'2s s ∆=∆ 二、洛伦兹变换设惯性参考系'S 相对于惯性参考系S 以速度v 运动，选取两个参考系的坐标轴相互平行，x 轴方向沿速度v 方向，且0t =时两坐标原点重合。
在这种情况下有'',y y z z ==考虑两个事件，事件1在0t =时刻发生在两惯性参考系的原点，事件2在S 系中发生t 时刻，两事件在两个惯性参考系S 和'S 分别记为 由两事件在两惯性参考系中间隔相等可以得到'2'2'22'222222x y z c t x y z c t ++-=++- （1）由于从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的变换为线性变换，所以有'1112'2122x a x a ct ct a x a ct=+=+ （2）将（2）式代入（1）式再结合'',y y z z ==可以得到2222222221112212222222111221222222222222222111112122121222222222221121111221221222()()()()(2(2)(1)(22)(a x a ct y z a x a ct x y z c t a x a ct a x a ct x c t a x ca a xt a c t a x ca a xt a c t x c ta a x ca a ca a xt a c a c c +++-+=++-+-+=-++-++=---+-+-+22)0t =上式在任何情况下成立，所以只有相应的系数为零。
爱因斯坦洛伦兹变换公式推导
爱因斯坦洛伦兹变换公式推导
（1）正常相对论
按照正常相对论，任意两个相互运动的观察者之间事件及物体的最终位置可以描述为Lorentz变换。
设原系的坐标（t,x,y,z），相对系的坐标（τ, x’, y’, z’），两者要求关系式
τ=γ(t-vx/c^2) (1)
x‘=γ(x-vt) (2)
其中，γ=(1−v2/c2)−1/2 为Lorentz因子，v被称为相对速度，根据一般变换性质：
原系中物体的能量E0，相对系中为E’，要求能量守恒，即E=E’
两个框架也要求守恒物质数量，即N=N’，分别为原系和相对系中相应刚量的数量。
根据德鲁克斯定理，能够确定相对系中的物体能量，即
E’=γ(E0-vp0) (3)
故有：N’ =γ(N0-vN0) (4)
得出E0的表达式
E0=γE’+γvN’ (5)
（2）拓展相对论
拓展相对论，现在有5个变量t,x,y,z,φ，φ为未知量。
设原系坐标t,x,y,z,φ，相对系坐标为τ,x’,y’,z’,φ’，两者要求关系式
τ=γ(t-v/c^2*φ) （6）
x’=γ(x-vφ) （7）
同样采用德鲁克斯定理，能够确定相对系中的物体能量，即
E’=γ(E0-vφ0) （8）
两个框架要求守恒物质数量，即N=N’，分别为原系和相对系中相应刚量的数量。
根据德鲁克斯定理，能够确定相对系中的物体能量，即
E’=γ(E0-vφ0) （9）
故有：N’ =γ(N0-vN0) （10）
得出E0的表达式
E0=γE’+γv(N’+φ)（11）
由此，可以得出拓展相对论的爱因斯坦洛伦兹变换公式。
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第三节洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导xx vt 1 v c 2y y z zt t vx c2\1v c 2或xx vtJ1 v c 2y yz ztt vx c2J v c 2据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1.时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P在S系和S系中的时空坐标(x, y, z, t)、(x',y'，z'，t')，因S'相对于S 以平行于x轴的速度v作匀速运动，显然有y'=y,z'=z。
在S系中观察S系的原点，x=0 ；在S'系中观察该点，x'= -vt'，即x'+vt'=O。
因此x=x '+vt'。
在任意的一个空间点上，可以设：x=k( x '+ vt') ，k是一比例常数。
同样地可得到：x'= k' ( x-vt) = k' (x+ (-v)t)根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号)，所以k=k'。
V1 v,c 2可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
3.讨论(1) 可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改 变。
故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象, 故它有一定的适用范围。
(2) 当|v/c|<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情 形。
故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形一低速极限。
2・由光速不变原理可求出常数k设光信号在S 系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t (或t')， 光信号到达点在S 系和S'系中的坐标分别是：x=ct, x'=ct'，贝,k 2x 2“xx c tt 2 2 k tt cvt x vt2k ct vt ct vt由此得到这样，就得到得到就得到 v 2x vtx vt由上面二式，消去x'vx c 2vx c 2洛仑兹变换， 或 若消去x 得到洛仑兹反变换vt 2t vx c ,综合以上结果,vtt vx c 2v'1测得该光信号的速度为:U x1 vc c,即光信号在S 系和S'系中都相同。
四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义 相对论的速度变换公式。
设物体在S 、S'系中的的速度分别为U x,U y,Uz 换式可得：讨论(1) 当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转 化为伽利略速度变换式Ux U x v。
(2) 利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。
证明：设S'系中观察者测得沿x'方向传播的一光信号的光速为c ,在S 系中的观察者U x ,U y ,U z 根据洛仑兹变dxdx vdtdx dt v dtU x v dtdt dt vdx dt 1 dx dt因此：\,1 v c 2 U x v dt\；1v c 2因 y'=y, z'=z , 有 dy'= dy, d uyVU x c 2V c 2 dt 1 VU X c 22,即:UxU x v 1 VU x c 2 z'= dz 贝U21 VUx/c。
同理:因此得相对论的速度变换公式：U zdy dtdydt 1VU x c 2 V c 2U z \ 1 v c 2 1 vu x c 2U x V1 VU x c 2其逆变换为：U xUyU y1 VU x c2 U zUz/ 21 VU x c U xv 1 VU x c 2U x uyU y1 VU x c 2U zU z2c21 vu x cS ： X i ， y i , Z i , t l ， X 2， y 2, Z 2, t 2 S : X i , y i , 由洛伦兹变换得：乙, t i ，X 2, y 2,t2t it ivx i c 2 v c 2t2t2vx 2 c 2在S 系和S 系中测得的时间间隔为t2t it2tit2 ti和（t 2-t i ）,它们之间的关系为:x 2 x i c 2 \i v c 2可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1.概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。
即在一个惯性系中不同地点同时 发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。
例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿， 在一个相对地球高速飞行的 飞船上来看，他们不一定是同时出生的。
如图设S 系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。
当灯 发出闪光时：S 系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达端；S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v 、c 反向），B 与光同向运动，所 以光先到达A 再到达B ，不同时到达。
假设两个事件P i 和P 2,在S 系和S 系中测得其时空坐标为:A 、B 两P 〔中间）O结论：同时性与参考系有关一这就是同时的相对性。
因为v 〉c , u >c ,所以A t与A t 同号。
即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。
(4)上述情况是相对的。
同理在S'系中不同地点同时发生的两个事件，在S 系看来同样也是不同时的。
(5)当v c 时，t t ,回到牛顿力学。
2.讨论(1) 在S 系中同时发生:t2 t 1t 2=t i ,但在不同地点发生，X 2 X l，则有:v x 1 x 2 c 2这就是同时的相对性。
⑵在S 系中同时发生:t 2=t i ，而且在相同地点发生，X2Xl，则有:t1 t2 t1t2 t 1x 2 x 1 v c 2°? t2 t1X 2 X ! V t 2 t 171 v/c 2即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S'系中也同时同地点发生。
X 2 X°，x 2 x(3)事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后 假设在S 系中，t 时刻在X 处的质点经过 t时间后到达X t xv c 21 v c 2X 处，则由:得到tXV c 2L 1 v c 2211 uv ct2t1由洛伦兹变换得t2t 1 v x 2 x 1 c 2事件P 1、 P 2在S 系二、长度收缩（洛伦兹收缩）固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度 （或原长），用I o 表示。
即I2.洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的^1 v c 倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。
讨论：（1）长度缩短效应具有相对性。
若在S 系中有一静止物体，那么在S 系中观察者将 同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有I h/1 v/c 2即看人家运动着的尺子变短了。
（2）当 v< < c 时，有I I三、时间膨胀（时间延缓）得:假设一刚性棒AB 静止于S'系中1X 2Xi 。
由洛伦兹坐标变换式:X ix 1 vt 1 X2X1，在 S 系中同时tit2 t测量vc 2，X 2 x 2 vt 2x 2 x iX 2X 1v t 2 \ 1 v c 2t i x 2 x i 1 v c 21.X 2 X 1X 2 X 1 v t 2 t 1X 2 X 1中的时间间隔为tt2t1，事件卩仆P 2在S'系中的时间间隔为tt2t1o如果在S'系中两事件同地点 发生，即X2 X 1，则有:1. 固有时间(原时)的概念在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间(原时)。
用表示，且:2. 时间膨胀在S 系看来： t 0，称为时间膨胀。
3.讨论(1)时间膨胀效应具有相对性。
若在S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为A t (称为原时)，则同理有(2) 当 v v v c 时，有 t t(3) 实验已证实卩子，n 介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不 同。
例1： 在惯性系S 中，有两个事件同时发生，在XX 轴上相距331・0 10m 处，从另一惯性系S 中观察到这两个事件相距2・010m冋由s'系测得此两事件的时间间隔为多少？t t 2 t i就好象时钟变慢了,即看人家运动着的钟变慢了。
解: 由题意知，在S系中，t2X，，即t X2X11.0 10 m。
而在S系看来，时1间1间隔为t隔为X2X12.0 103mo由洛伦兹坐标变换式得：t2t10 t2 t1 ,空|间|间例2:半人马星座a 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3 1016m 。
设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座 a星之间。
若宇宙飞船的速度为 0.999 c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算， 往返一次的时间又为多少？s 2 4.3 1016t — -------------- 8解：以地球上的时钟计算： V 0.999 3 10882.87 10 9a （a 为 annual 之首字母）；所以得t1.28 107 s0.4at2 t 1X it t 2 t iX 2X i X 2V由（1）式得2 x 2 2X 1X 2 J3c2代入（2）式得J32 103；32c103 3 1035.77 10 6 s若以飞船上的时钟计算：（原时），因为 t22.87。