2016-2017学年河北省蠡县中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年河北省蠡县中学高一下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．已知等差数列中，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2．在正方体中，直线与平面所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，由正方体的性质可得：平面，则，上顶面为正方形，则，且，利用线面垂直的判断定理可得：平面,则直线与平面所成的角为.本题选择D选项.3．若等比数列的前项和，其公比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则数列的公比：.本题选择B选项.点睛：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．已知直线，平面，且，在下列四个命题红，正确命题的个数（）①若，则②若，则③若，则④若，则A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】（1）若α∥β，由已知，得l⊥m，是正确的；（2）若l⊥m，由已知不能得出l⊥β，故不能得出α∥β，所以该命题是错误的；（3）若α⊥β，由已知l⊥α，得l，β平行，或l在β内，故不能得出l⊥m，所以该命题也是错误的；（4）若l∥m，由已知l⊥α，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；是正确的．本题选择B选项.5．在等差数列中，若是方程的两个根，则公差（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由根与系数的关系可得：，由题意可得，则数列的公差：.本题选择A选项.6．不等式组的解集是（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】求解不等式：可得：；求解不等式：可得：；据此可得不等式组的解集是.本题选择C选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.7．若直线与圆相切，则的值为A. 1B.C.D.【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离，即，解得，故选D.8．若变量满足，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得：目标函数在点处取得最小值：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.9．已知等比数列满足，且成等差数列，则公比等于（）A. 或B. 或C.D.【答案】A【解析】由题意可得：，即：，解得：或.本题选择A选项.10．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设分别是和的中点，那么①；②平面；③；④异面，其中假命题的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，M、N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连接AC,CE,根据三角形中位线定理,可得MN∥CE,由线面平行的判定定理,可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE错误；∴其中假命题的个数为：1本题选择D选项.11．定义：在数列中，若为常数）则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的有关判断（）①若是“等方差数列”，在数列是等差数列；②是“等方差数列”；③若是“等方差数列”，则数列为常）也是“等方差数列”；④若既是“等方差数列”又是等差数列，则该数列是常数数列.其中正确命题的个数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】①：可以举反例。

如a n=0时数列不存在，所以①错误；②：对数列{(−2)n}有不是常数，所以②错误③：对数列{a kn}有，而k，p均为常数，所以数列{a kn}也是“等方差数列”，所以③正确；④：设数列{a n}首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有(a1+d)2−a21=p，且(a1+2d)2−(a1+d)2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确。

本题选择B选项.二、填空题12．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意条件，考查所有棱的长都为a时的问题：三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上下底面中心连线的中点就是球心,则其外接球的半径为，球的表面积为，将代入上式可得该球的表面积为.本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.13．已知直线，若，则__________．【答案】0【解析】由题意可得：.14．在圆内，过点的最长弦和最短弦之积为__________．【答案】20【解析】圆的方程即：，则最长弦为：，圆心与E之间的距离为：，最短弦为：，则最长弦和最短弦之积为.15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用__________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体.【答案】3【解析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以，由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体。

故答案为：3.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．16．已知数列满足，则__________．【答案】673【解析】由递推关系可得：，则：,且：，据此可得：673.三、解答题17．若不等式的解集为，求不等式的解集.【答案】不等式的解集为空集【解析】试题分析：由题意可求得，，然后结合一元二次不等式的性质可得不等式的解集为空集.试题解析：∵不等式的解集∴-、是的两根,且∴，∴，，∴不等式即为因为判别式△=1-24=-23所以不等式的解集为空集.18．已知中，内角依次成等差数列，其对边分别为，且.（1）求内角； （2）若，求的面积.【答案】（1） （2）S【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得，则 .(2)结合(1)的结论可得，则三角形 的面积为S .试题解析：（1）因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以又因为所以 又由及正弦定理得， sinB=sinAsinB在ABC 中sinB≠0 ∴sinA= ， 又 ，∴ 所以（2）在ABC 中 ，∵b=2，所以由正弦定理得所以S19．已知直线l 经过点()3,3M --，且圆224210x y y ++-=的圆心到l （1）求直线l 被该圆所截得的弦长； （2）求直线l 的方程.【答案】（1）弦长为（2）直线l 的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0 【解析】试题分析：(1)由题意求得圆心坐标为（0，-2），半径为5，则弦长为= (2)很明显直线的斜率存在，求得直线的斜率为k=2或12-，所以直线l 的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0. 试题解析：（1）易得圆心坐标为（0，-2），半径为5 所以弦长为=（2）易知，当直线l 的的斜率不存在时，不满足题意.设直线l 的的斜率为k ，则其方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0 因为圆心到l=解得k=2或12-所以直线l 的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，数列{}n b 为等差数列，且1233b b b +==.（1）求n S ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）112n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1)由递推关系可得{}1n S -为以-12为首项， 12为公比的等比数列，结合等比数列前n 项和公式可得112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)错位相减可得数列{}n n a b 的前n 项和()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.试题解析：（1）因为n S 1n a +=,所以当n=1时，得1S =112a =当2n ≥时，因为n a = 1n n S S --，代入n S 1n a +=得121n n S S --= 所以()1211,n n S S --=-又1S -1=-120≠， 即{}1n S -为以-12为首项， 12为公比的等比数列 所以11111222n nn S -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）因为n S 1n a +=,所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为数列{}n b 为等差数列，且1233b b b +==所以12321326,2,2b b b b b b b ++==+∴=，即公差为1 所以()221n b n n =+-⨯=所以数列{}n n a b 的前n 项和 2311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①234+11111112322222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得()2341111111111+1222222222nn n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⋅=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1222nn T n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．21．为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木的高度，垂直放置的标杆的高度，仰角三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：（1）若测得，试求的值；（2）经过分析若干测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离（单位：）使与之差较大时，可以提高测量的精确度.若树木的实际高为，试问为多少时，最大？【答案】（1） （2）当时，最大【解析】试题分析：(1)由题意建立几何模型可得(2)由题意结合均值不等式的结论可得当时，最大. 试题解析：（1），同理：，．，故得，解得：（2）由题设知，得，而，（当且仅当=时 取等号） 故当时，最大． 因为，则， 所以当时，最大． 22．如图，正方体1111ABCD A BC D 中， ,M N 分别为,AB AC 的中点.（1）求证:平面1B MN ⊥平面11BB D D ；（2）当点P 在1D D 上运动时，是否都有//MN 平面11AC P ，证明你的结论；（3）若P 是1D D 的中点，试判断PB 与平面1B MN 是否垂直？请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）当点P 在1DD 上移动时，都有//MN 平面11AC P ；证明见解析（3）PB⊥平面B 1MN ；证明见解析【解析】试题分析：(1)由题意可证得MN ⊥平面11BB D D ，然后利用面面垂直的判断定理即可证得题中的结论；(2)利用面面平行的结论可得当点P 在1DD 上移动时，都有//MN 平面11AC P ；(3)由线面垂直的判断定理结合题意可得PB⊥平面B 1MN. 试题解析：（1）正方体1111ABCD A BC D -中， 1BB ⊥平面ABCD ， MN ⊂平面ABCD ，所以1BB MN ⊥，连接AC ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，所以//MN AC ,又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，所以MN BD ⊥， 因为1BD BB B ⋂=，所以MN ⊥平面11BB D D ，又因为MN ⊂平面1B MN ，所以平面1B MN ⊥平面11BB D D ，（2）当点P 在1DD 上移动时，都有//MN 平面11AC P ，证明如下：在正方体中1111ABCD A BC D -，A 1A∥C 1C ，且A 1A=C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1 C 1∥A C，由（1）知，MN∥A C，所以MN∥A 1 C 1又111111,MN AC P AC AC P ⊄⊂平面平面 所以11//MN AC P 平面（3）PB⊥平面B 1MN理由如下：法1：设正方体的棱长为4，MN 的中点为O ，连接B 1O ，PB ，则BO=14 又因为P 是D 1D 的中点，所以在直角△BB 1O 和直角△DBP 中 ∠D=∠B， 1,BB DB DP BO=∴△BB 1O∽△DBP 所以，∠BB 1O=∠DBP，所以∠DBP+∠BOB 1=90° 所以B 1O⊥PB，所以PB⊥平面B 1MN法2：设1AA 的中点为Q ，连接PQ ，则PQ⊥平面1AA B 1B 再连接BQ ，因为Q ，M 分别为1AA ，AB 的中点 所以△BB 1M≌△ABQ所以∠BB 1M=∠ABQ，所以∠ABQ+∠BMB 1=90° 所以B 1M⊥BQ，又PQ⊥平面1AA B 1B,所以PQ⊥B 1M 所以B 1M⊥平面PBQ所以B 1M⊥PB，又由（1）知， MN⊥平面BB 1D 1D,所以MN⊥PB 所以PB⊥平面B 1MN。