2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案)

2015年上海市高三三模数学试卷(文科）2015.5一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合{}13A x x =≤≤，集合{}2B x x =<，则AB = [)1,2 ．2．函数2(),(2)f x x x =<-的反函数是(4)y x => ． 3．过点(1,0)且与直线02=+y x 垂直的直线的方程 210x y --= ．4．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且3245+=S a ，3256+=S a ，则此数列的公比q 3 ．5．如果复数z 满足2=-++i z i z （i 是虚数单位），则||z 的最大值为 1 ．6．函数x y 2cos =的单调增区间为 ],2[πππk k -（Z k ∈） ．7．行列式42354112k---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则实数k = 14- ． 8．设21,F F 是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且2143PF PF =，则21F PF ∆的周长 24 ．9．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一个平面内，1====DA CD BC AB ，球心到该平面的距离是球半径的23倍，则球的体积是 328π． 10．从3名男生和4名女生中选出4人组成一个学习小组．若这4人中必须男女生都有的概率为3435． 11．数列{}n a 中，111nn na a a ++=-且12a =，则数列{}n a 前2015项的积等于 3 ． 12．若,,a b c 均为平面单位向量,且333(,)22a b c +-=，则c = 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（用坐标表示）13．已知(,)P x y 满足约束条件301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，O 为坐标原点，(3,4)A ，则c o s OP A O P ∠的最大值是 115. 14．记符号{}12min ,,,n c c c 表示集合{}12,,,n c c c 中最小的数．已知无穷项的正整数数列{}n a 满足()1N i i a a i *+≤∈，令{}()min |,kn bn a k k *=≥∈N ，若21k b k =-，则数列{}n a 前100项的和为 2550 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是 （ D ）A ．系数行列式0D ≠B ．比例式1122a ba b ≠C ．向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不平行 D ． 直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行 16．用符号(]x 表示不小于x 的最小整数，如(]4π=，(]1.21-=-．则方程(]12x x -=在)4,1(上实数解的个数为 （ D ）A ．0B ．1C ．2D ．317．已知P 为椭圆2214x y +=的左顶点．如果存在过点()()00,0,0M x x >的直线交椭圆于A B 、两点，使得2AOB AOP S S =△△，则0x 的取值范围为 （ C ）A ．(B ．)C ．()1,2D ．()1,+∞18．在圆锥PO 中，已知高PO =2，底面圆的半径为1；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，其中点M 为所在母线的中点，O 为底面圆的圆心，对于下面四个命题，正确的个数有 （ C ）①圆的面积为4π；； ③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5；④抛物线中焦点到；准线的距离为5．A．1 个B．2 个C．3个D．4个三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，且1=AE．（1）求异面直线CB与DE所成角的大小；（2）将A C D∆（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体体积．解：（1）因为DACB//，AE垂直于圆O所在平面，所以DEAE⊥，所以，ADE∠为异面直线CB与DE所成的角……………………………………………2分在AEDRt∆中，1=AE，2=DA，所以21sin=∠ADE，得6π=∠ADE，即异面直线CB与DE所成的角为6π．……………………………………………………5分（2）由题意知，将ACD∆（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．因为异面直线CB与DE所成的角为6π，且DACB//，所以6π=∠ADE，…………7分又因为1=AE，所以，在AEDRt∆中，3=DE，2=DA………………………9分因为CE为圆O的直径，所以2π=∠CDE，在CDERt∆中，2==DACD，3=DE，所以7=CE…………………………………………10分所以该几何体的体积πππ34313122=⋅⋅-⋅⋅=AEDEAECEV……………………12分D20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图在半径为5cm 的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL ,其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O 为圆心）（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE CD =）（图1）,此时边长为多少？ （2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时DOE ∠为多少？（用反三角函数表示）图（1） 图（2）解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O 作DE OM ⊥交DE 于E ，作CN ⊥OM 交OM 于N ．设该“十字形”的边长为2x ，则DM x =，3OM x =． 在OMD Rt ∆中，由勾股定理得，()2525322=⇒=+x x x …………………………5分 所以，边长cm x 52=………………………………………………………………………6分 （2）过O 作DE OM ⊥交DE 于E ，作CN ⊥OM 交OM 于N ．设∠DOM θ=，则5cos ,5sin OM DM θθ==．5sin ON CN θ∴==，5cos 5sin NM θθ=-．…………………………………………8分所以，“十字形”的面积为2222(2)4()100cos 100(cos sin )S OM NM θθθ=-=-- 1100())22θϕ=+-（ 其中cos ϕ=21tan =ϕ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ …………………………………10分所以，当22πϕθ=+时，()2max 1550cm S -= ………………………………………12分此时，552arccos22-==∠πθDOE 或21arctan 2-π ……………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.设函数)(x f 对任意R x ∈，都有)()2(x f a x f ⋅=，其中a 为常数．当)2,1[∈x 时，)2sin()(x x f π=．（1）设0>a ，)(x f 在)8,4[∈x 时的解析式及其值域； （2）设01<≤-a ，求)(x f 在),1[∞+∈x 时的值域． 解：（1）当)8,4[∈x 时，于是)2,1[4∈x，又)()2(x af x f = 所以)4()2()(2x f a x af x f ==即)8sin()(2x a x f π=……………………………………3分∈x )8,4[πππ<≤⇒82x2)(0a x f ≤<⇒即)(x f 在)8,4[∈x 时的值域为],0(2a …6分（2）由于 )2,2[)2,2[)2,2[)2,1[),1[1322+=∞+n n只研究函数)(x f 在)()2,2[1N n n n ∈+值域即可……………………………………7分对于∈x )()2,2[1N n n n ∈+得)2,1[2∈nx于是)2()2()2()(22n n x f a x f a x af x f ==== 所以)2sin()(1+=n nxa x f π ∈x )()2,2[1N n n n ∈+………………………………………9分πππ<≤+122n x⇒1)2sin(01≤<+n xπ因为01<≤-a所以当n 为偶数时，)(x f 在)()2,2[1N n n n ∈+上单调减，值域为],0(n a ； 且 ⊇⊇⊇⊇⊇],0(],0(],0(]1,0(242ka a a ………………………………………10分当n 为奇数时，)(x f 在)()2,2[1N n n n ∈+上单调增，值域为)0,[n a且 ⊇⊇⊇⊇⊇-)0,[)0,[)0,[)0,[1253k a a a a ………………………………………12分 所以)(x f 的值域为]1,0()0,[ a …………………………………………………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知在数列}{n a 中，11=a ．（1）设121+=+n n a a （*∈N n ），求数列}{n a 的通项公式； （2）若⎩⎨⎧+=+奇数时当为偶数时当n a n a a nn n 211，求数列}{n a 的前m 2项和m S 2；（3）当111+=+n n a a 时，是否存在一个常数p ，使122+<<n n a p a 对任意正整数n 都成立？如果存在，请求出p 的值，并证明；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意121+=+n n a a ，令()x a x a n n +=++21，比较得到1=x ，故有()1211+=++n n a a ，所以数列{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，……2分因此n n n a 22211=⋅=+-，所以12-=n n a ，*∈N n 。

…………………………………4分（2）由题意可知1212+=+n n a a ，1222-=n n a a ，所以121212+=-+n n a a ， 所以)1(211212+=+-+n n a a ，所以数列{}112+-n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 由11=a ，可得到n n a 2112=+-，1212-=-n n a ，*∈N n又因为()12221222+==++n n n a a a ，所以22222+=+n n a a …………………………6分由22=a ，同样可以求得 2212-=+n n a ，*∈N n …………………………………8分所以m m m a a a a a a S 21243212++++++=-()()m m a a a a a a 2421231+++++++=-()()m m m m 22222221322-++++-+++=+)242()22(21m m m m --+--=++ 63231--⋅=+m m ，即mS 263231--⋅=+m m ……………………………10分 （3）因为11)(+=x x f 在[)∞+,0上单调递减且0)(>x f ，由)(1n n a f a =+，11=a 可知数列{}n a 中的各项均满足10≤<n a由要证明不等式的结构可令x x f =)(，解得215-=x ， 故猜想：12150122≤<-<<+n n a a ，………………………………………………13分 下面用数学归纳法证明：证明：（i ）当1=n 时，21)1(2==f a ，32)21(3==f a ， 所以1215032≤<-<<a a ，命题成立； （ii ）假设()*∈=Nk k n 时，命题成立，即有12150122≤<-<<+k ka a， 由于)(x f 在区间[)∞+,0上单调递减， 所以 )1()()215()()0(122f a f f a f f k k ≥>->>+ 即12152101222<<-<<<++k k a a ， 再次利用函数)(x f 在区间[)∞+,0上单调递减，得到 )1()()215()()0(1222f a f f a f f k k >>->>++，即12152103222<<-<<<++k k a a ， 所以1+=k n 时命题也成立，所以12150122≤<-<<+n n a a即存在常数215-=p ，使122+<<n n a p a 对任意正整数n 都成立。