《线性代数》的主要知识点

《线性代数》的主要知识点第一部分 行列式 概念：1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列）行）ττ+-()1(2． 元素的余子式以及代数余子式 ij ji ij M )1(A +-=3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)第二部分 矩阵 1． 矩阵的乘积注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠）②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵2．矩阵的转置满足的法则：TTTB A )B A (+=+，T T T TTA B AB kAkA ==)(,)(3．矩阵的多项式 设nn x a x a a x +++=Λ10)(ϕ，A 为n 阶方阵，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(ϕ称为A 的n 次多项式。

对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果 1-Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(ϕ11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ϕ（2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ϕϕϕϕΛ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。

n 阶矩阵A 可逆0A ≠⇔；n A r =⇔)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ⇔A 与E 等价；⇔A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的列（行）向量组线性无关； ⇔A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法：*11A AA⋅=- ②初等变换法：()()1,,-−−−→−A E E A 初等行变换或⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 初等列变换， E 是单位矩阵 性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的（2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(②若A 可逆，则TA 也可逆，且T TA A )()(11--=③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--=A kkA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---=A B AB5．方阵A 的行列式：满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数）①A A T = ②A A nλλ= ③B A AB =6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A AA A A A A A A ΛM M M ΛΛ212221212111*，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==**常见的公式有：①1*-=n AA ②1*-⋅=A A A ③A AA 1)(1*=- ④=-1*)(A *1)(-A 等 7．初等矩阵：由单位矩阵E 经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为： （1）),(j i E （互换E 的第i 、j 列）（2）))((k i E （E 的第i 行乘以不为零的数k ） （3）))((k ij E （把E 的j 行的k 倍加到第i 行上）初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且),(),(1j i E j i E =-、)]([)]([11--=k i E k i E 、)](,[)]([1k j i E k ij E -=-；初等矩阵的行列式分别是 -1，k, 1。

8．矩阵的初等变换：初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： ①对调两行； 记为 j i r r ↔ 对换第j i 与行②以数0≠k 乘某一行中的所有元素； 记为 k r i ⨯ 第i 行乘k③把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去；记为 j i kr r + 第j 行k 倍加到第i 行上。

把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A 是一个n m ⨯矩阵，则① 对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ② 对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵9．矩阵的等价：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与矩阵B 等价。

且若矩阵A 经过有限次初等行变换变成矩阵B ，就称矩阵A 与B 行等价； 若仅经过初等列变换，就称A 与B 列等价。

设B A ,为n m ⨯矩阵①A 与B 行等价⇔∃m 阶可逆矩阵P ，使得B PA = ②A 与B 列等价⇔∃n 阶可逆矩阵Q ，使得B AQ =③B A ,等价⇔∃m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q ，使得B PAQ = 利用矩阵的初等变换解矩阵方程B AX =，B A X 1-=，可以： )(B A M −−−→−初等行变换)(1B A E -MB XA =，1-=BA X ，可以： )(T T B A M −−−→−初等行变换)(T X E M，从而解出X 。

10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。

记为）（或A R )A (r求法：A −−−→−初等行变换行阶梯形矩阵B ，）（A R =B 的非零行的行数。

相关公式：①若A 是n m ⨯矩阵，则},min{)(0m n A R ≤≤ ②)()(A R A R T= ③B A ~⇔)(A R =)(B R④若设A 为n m ⨯矩阵， n m Q P ,均为可逆矩阵，则)(A r )(PAQ r = ⑤，则)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤ ⑥若B A ,均为n m ⨯矩阵，则)()()(B R A R B A R +≤+⑦))(),(min()(B R A R AB R ≤ ⑧若 O B A t n n m =⨯⨯，则 n B R A R ≤+)()( 11．分块矩阵：主要记住：（1）分块对角矩阵：设.A 为n 阶方程，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =s A A A A O21. 其行列式与逆矩阵具有下述性质： ①s i A A A A Λ2=②若),,2,1(,0s i A i Λ=≠，则0≠A ，故A 可逆，并有:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =----112111.s A A A A O③设A 是m 阶方阵, B 是n 阶方阵,,且b B a A ==,,则()ab OB AO mn1-=另有：（2）设有分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B O C A H ，其中B A ,分别为m 阶、n 阶可逆矩阵，则矩阵H 可逆且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111B O CB A A H（3）设有分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C O A H ，其中B A ,分别为m 阶、n 阶可逆矩阵，则 矩阵H 可逆且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111B CA B O A H第三部分 向量组1． 线性组合：给定向量组A ：m ααα,,,21Λ，对于任意一组实数，称向量m m k k k αααΛ++2211为向量组的一个线性组合，m k k k ,,,21Λ称为该线性组合的系数。

给定向量组A ：m ααα,,,21Λ和向量β，如果存在一组数m λλλ,,,21Λ，使得 β=m m αλαλαλΛ++2211则向量β是向量组A 的线性组合，也称向量β可以由向量组A 线性表示 向量β能由向量组A 线性表示⇔方程组βααα=++m m x x x Λ2211 有解 ⇔矩阵A=（m ααα,,,21Λ）的秩等于矩阵B=(m ααα,,,21Λ，β)的秩 2．等价：设有两个向量组A ：m ααα,,,21Λ及B ：s βββ,,,21Λ，若B 中的每个向量都可以由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示。

若向量组A 与向量组B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

记为：（m ααα,,,21Λ）≌（s βββ,,,21Λ） 主要结论：（1）矩阵A 与B 若行等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价； 若矩阵A 与B 若列等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价（2）向量组B ：l b b b Λ,,21能由向量组A:m a a a Λ,,21线性表示⇔存在矩阵K ，使得B=AK⇔方程AX=B 有解 ⇔),()(B A R A R =（3）向量组A: m a a a Λ,,21与向量组B ：l b b b Λ,,21等价⇔ ),()()(B A R B R A R ==，其中，A,B 是向量组构成的矩阵（4）向量组B ：l b b b Λ,,21能由向量组A:m a a a Λ,,21线性表示，则 R(l b b b Λ,,21)≤R(m a a a Λ,,21) 3．线性相关与线性无关对向量组A ：m ααα,,,21Λ，如果存在不全为零的一组数m k k k ,,,21Λ，使得：02211=++m m k k k αααΛ 则称向量组A 是线性相关的，否则称为线性无关， 也就是说当且仅当m k k k ,,,21Λ都是零时才能使（Ⅲ）式成立，则m ααα,,,21Λ线性无关。

主要结论：（1）向量组m ααα,,,21Λ线性相关⇔齐次线性方程组有非零解⇔它所构成的矩阵A =（m ααα,,,21Λ）的秩小于m ；同样 线性无关⇔仅有零解⇔m A R =)(（2）n 个n 维向量()n a a a 112111,,,Λ=α，),,,(222212n a a a Λ=α),,(21nn n n n a a a ΛΛ=α线性相关⇔行列式0212222111211=nnn n nna a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ， 线性无关⇔行列式0≠（3）m 个n 维向量，当维数m n <时，向量组一定线性相关。

特别地，1+n 个n 维向量必线性相关；（4）若向量组A ：m ααα,,,21Λ线性相关⇒向量组B: 121,,,,+m m ααααΛ一定线性相关；反之，向量组B 若线性无关⇒向量组A 线性无关或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；（5）若向量组A ：m ααα,,,21Λ线性无关，而向量组B: m ααα,,,21Λ,β线性相关⇒β必能由向量组A 线性表示，且表达式唯一（6）若r 维向量组m ααα,,,21Λ线性无关，则在每一个向量上再添加r n -个分量所得到的n 维向量组11211,,,m αααΛ也是线性无关的（7）向量组A ：m ααα,,,21Λ线性相关⇔其中至少有一个向量是其余1-m 个向量的线性组合 ；线性无关⇔每一个向量都不能由其余向量线性表示。