《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第6章 第2讲 等差数列

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理 数
解析：设公差为 d，则 2a1＋4d＝8，a1＋3d＝7， 得 a1＝－2，d＝3， 所以 a5＝a1＋4d＝－2＋3×4＝10.
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理 数
4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和， 已知 a2＝3， a6＝11， 则 S7 等于( C A．13 C．49 ) B．35 D．63
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【解答过程】 (1)依题意，
理 数
S ＝12a ＋12×12－1· d＞0 1 12 2 有 13×13－1 S13＝13a1＋ · d＜0 2 2a1＋11d＞0 ① 即 ， ② a1＋6d＜0
，
由 a3＝12，得 a1＝12－2d，③ 将③式分别代①、②式，得 24＋7d＞0,3＋d＜0， 24 所以－ ＜d＜－3. 7
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理 数
解析： 因为 a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，则 S7＝ 7a1＋a7 7a2＋a6 7×14 ＝ ＝ ＝49. 2 2 2
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5. (2013· 上海)在等差数列{an}中，若 a1＋a2＋a3＋a4＝ 30，则 a2＋a3＝ .
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【跟踪训练 4】 (2014· 辽宁)设等差数列{an}的公差为 d， 若数列{2a1an}为递减数列，则( A．d<0 C．a1d<0 B．d>0 D．a1d>0 )
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解析：因为等差数列{an}的公差为 d， 所以 an＋1－an＝d，又数列{2a1an}为递减数列， 2a1an＋1 所以 ＝2a1d＜1， 2a1an 所以 a1d＜0.
理 数
【例题展示】(2013· 广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 2Sn 1 2 2 已知 a1＝1， ＝an＋1－ n －n－ ，n∈N*. n 3 3 (1)求 a2 的值； (2)求数列{an}的通项公式； 1 1 1 7 (3)证明：对一切正整数 n，有 ＋ ＋…＋ ＜ . a1 a2 an 4
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(2)由 d＜0 可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
理 数
因此，若在 1≤n≤12 中存在自然数 n，使得 an＞0，an＋1＜0， 则 Sn 就是 S1，S2，…，S12 中的最大值． 由 S12>0，得 6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0， 13 26a7 由 S13<0，得 2 (a1＋a13)＝ 2 ＝13a7＜0. 所以 a6＞0，a7＜0， 故在 S1，S2，…，S12 中 S6 的值最大．
理 数
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三
等差数列的综合应用
【例 3】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3＝12，
S12＞0，S13＜0. (1)求公差 d 的取值范围； (2)指出 S1，S2，…，S12 中哪一个值最大，并说明理由．
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理 数
【思路点拨】考查数列、不等式的综合运用，并利用 有关知识解决问题的能力．
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【思路点拨】 (1)通过化简，得出常数，即可证明； (2)利用(1)的结论，求出通项公式，通过做差法即可证 明．
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1 1 1 1 【解答过程】 (1)因为 － ＝ － 1 an＋1－1 an－1 an－1 －1 2－an 2－an －an＋1 1 ＝ － ＝ ＝－1. －1＋an an－1 an－1 1 1 而 ＝－2，所以数列{ }是首项为－2，公差为 a1－1 an－1 －1 的等差数列．
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第 2讲
等差数列
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1. 下列数列，不是等差数列的是( D ) A．1,1,1,1,1 1 2 4 5 C. ， ，1， ， 3 3 3 3 B．4,7,10,13,16 D．－3，－2，－1,1,2
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【跟踪训练 5】 (2014· 北京)若等差数列{an}满足 a7＋a8 ＋a9>0，a7＋a10<0，则当 n＝________时，{an}的前 n 项和最 大．
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解析：因为 a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以 a8＞0. 因为 a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以 a9＜－a8＜0. 所以数列的前 8 项和最大，即 n＝8.
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放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传 递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母 (分子)的两个分式大小的比较． 常用的放缩技巧有： ①舍掉(或加进)一些项； ②在分式 中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．
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2Sn 1 2 【审题过程】 (1)利用已知 a1＝1， ＝an＋1－ n －n－ n 3 2 ，n∈N*.令 n＝1 即可求出； 3 (2)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可得到 nan＋1＝(n＋1)an＋ an＋1 an n(n＋1)，可化为 ＝ ＋1，再利用等差数列的通项公式 n＋1 n 即可得出； 1 1 1 1 1 (3)利用(2)，通过放缩法 ＝ 2< ＝ － . an n n－1n n－1 n
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【温馨提示】要判断一个数列是否为等差数列，我们 常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的 差是否为定值；②等差中项法，判断是否每一项都是其前 一项与后一项的等差中项；③通项公式法，判断其通项公 式是否为一次型函数．
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【跟踪训练 1】下列条件中，不能判断数列{an}是等差数 列的是( )
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2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n， 整理得 nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)， an＋1 an an＋1 an 即 ＝ ＋1， － ＝1. n n＋1 n＋1 n a2 a1 当 n＝1 时， － ＝2－1＝1， 2 1
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1 n (2)由(1)得 ＝－n－1，所以 an＝ . an－1 n＋1 n＋1 n 因为 an＋1－an＝ － n＋2 n＋1 n2＋2n＋1－n2＋2n ＝ n＋2n＋1 1 ＝ ＞0， n＋2n＋1 所以 an＋1＞an.所以数列{an}是单调递增数列．
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理 数
【跟踪训练 3】(2014· 广东茂名二模)已知数列{an}是等差 数列，a2＝2，a5＝8，则公差 d 的值为( 1 A. 2 C．2 1 B．－ 2 D．－2 )
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解析：因为数列{an}是等差数列，a2＝2，a5＝8，所以 1 1 公差 d＝ (a5－a2)＝ ×(8－2)＝2. 3 3
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一
等差数列的判断与证明
1 1 【例 1】数列{an}满足 a1＝ ，an＋1＝ (n∈N*)． 2 2－an 1 (1)证明：数列{ }是等差数列； an－1 (2)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是单调递增数
列．
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【跟踪训练 2】(2014· 大纲)数列{an}满足 a1＝1，a2＝2， an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
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解析：(1)证明：由 an＋2＝2an＋1－an＋2 得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即 bn＋1＝bn＋2. 又 b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
理 数
解析：由于数列－3，－2，－1,1,2 的第三项减去第二项 等于 1，第四项减去第三项等于 2，故此数列不是等差数列．
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2. 若数列{an}的通项公式为 an＝－n＋5，则此数列是 ( A A．公差为－1 的等差数列 B．公差为 5 的等差数列 C．首项为 5 的等差数列 D．公差为 n 的等差数列 )
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理 数
【温馨提示】(1)等差数列{an}中，当 a1<0，d>0 时， 数列{an}为递增数列，Sn 有最小值；当 a1>0，d<0 时，数列 {an}为递减数列，Sn 有最大值；当 d＝0 时，{an}为常数列． (2)等差数列{an}的前 n 项和的最值问题可以看作 Sn 关 于 n 的二次函数问题，并利用二次函数的图象或配方法求 解．
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【解答过程】在等差数列{an}中，由 S7＝84，
理 数
7 ×6 得：S7＝7a1＋ d＝7a1＋21d＝84，即 a1＋3d＝12， 2 又 a2＝a1＋d＝6，所以 a1＝3，d＝3，a6＝a1＋5d＝18. 答案：A
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理 数
【温馨提示】等差数列中，已知五个元素 a1，an，n， d，Sn 中的任意三个，便可求出其余两个．
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【解答过程】(1)当 n＝1 时， 2S1 1 2 ＝2a1＝a2－ －1－ ， 1 3 3 解得 a2＝4. 1 3 2 2 (2)2Sn＝nan＋1－ n －n － n，① 3 3 当 n≥2 时， 1 2 3 2 2Sn－1＝(n－1)an－ (n－1) －(n－1) － (n－1)，② 3 3 ①－②得：