2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 Word版含答案
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x22＋m －y22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x ≤－3)D.x29－y216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x29－y216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x22－y23＝1B.x23－y22＝1C.x24－y 2＝1 D ．x 2－y24＝1【解析】由⎩⎨⎧|PF1|·|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x24＋y23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A.2B.3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】 原方程化为标准方程为x2k2－11－k＋yk2－1＝1，∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线． 【答案】 C 二、填空题6．设点P 是双曲线x29－y216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a2＋b2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B|sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】 由方程x216－y29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B|sin P ＝||PB|－|P A|||AB|＝2a 2c ＝2×42×5＝45. 【答案】 45 三、解答题9．求与双曲线x24－y22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x24－y22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2，1)在双曲线x2a2－y2b2＝1上， ∴4a2－1b2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x23－y23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x24k ＋y24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a －y22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A．1 B.2C．2D．3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.【答案】 A2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝2，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝22，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·12，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4.故选B.【答案】 B3．已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF|2－|ON|2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x216－y24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF1→·MF2→＝0，求点M 到x 轴的距离； 【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF1→·MF2→＝0， 则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为 x216－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， 所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x212－y28＝1.。
高二数学人教版选修2-1习题第2章圆锥曲线与方程2.4.1Word版含答案
9 2x
或
x2＝
4 3
y.
一、选择题
1．若动点 M(x，y)到点 F (4,0)的距离比它到直线 x＋ 5＝ 0 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程是 ( )
A ． x＋ 4＝ 0 B ． x－4＝ 0 C． y2＝ 8x
D ． y2＝16x
[答案 ] D
[解析 ] 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x＝－ 4 的距离，因此其轨迹是抛
[解析 ] ∵点 M 到对称轴的距离为 6， ∴设点 M 的坐标为 (x,6)． 又∵点 M 到准线的距离为 10，
62＝ 2px， ∴ x＋ p2＝ 10.
x＝ 9，
x＝ 1，
解得
或
p＝ 2，
p＝ 18.
故当点 M 的横坐标为 9 时，抛物线方程为 y2＝ 4x.
当点 M 的横坐标为 1 时，抛物线方程为 y2＝ 36x.
知， P 点的横坐标 xP＝ 3 2，从而 yP＝ ±2 6，
∴
S△
POF
＝
1 2
|OF
|
·|yP|＝
12×
2×2
6＝2
3.
3．已知抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的焦点为 F，点 P1(x1，y1)、P2(x2， y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且
2x2＝ x1＋ x3，则有 ( ) A ． |P1F |＋ |P2F|＝ |FP 3| C． 2|P2F|＝ |P1F |＋ |P3F |
物线，且 p＝ 8，顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，
∴其方程为 y2＝ 16x，故答案是 D.
2．O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2＝4 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF |＝ 4 2，则△ POF 的面积为 ( )
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程练习题
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程练习题1.去掉文章中间的乱码和格式错误。
2.改写每段话：第二章圆锥曲线基础训练A组]一、选择题1.已知椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上的一点$P$ 到椭圆一个焦点的距离为 $3$，则 $P$ 到另一焦点距离为（）。
A。
2B。
3C。
5D。
72.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 $18$，焦距为 $6$，则椭圆的方程为（）。
A。
$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$B。
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$C。
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$D。
以上都不对3.动点 $P$ 到点 $M(1,0)$ 及点 $N(3,0)$ 的距离之差为 $2$，则点 $P$ 的轨迹是（）。
A。
双曲线B。
双曲线的一支C。
两条射线D。
一条射线4.设双曲线的半焦距为 $c$，两条准线间的距离为 $d$，且 $c=d$，那么双曲线的离心率 $e$ 等于（）。
A。
2B。
3C。
$\sqrt{2}$D。
$\sqrt{3}$5.抛物线 $y=10x$ 的焦点到准线的距离是（）。
A。
5B。
5/2C。
5/3D。
106.若抛物线 $y=8x$ 上一点 $P$ 到其焦点的距离为 $9$，则点 $P$ 的坐标为（）。
A。
$(7,\pm 14)$B。
$(14,\pm 14)$C。
$(7,\pm 2\sqrt{14})$D。
$(-7,\pm 2\sqrt{14})$二、填空题1.若椭圆 $x+my=1$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$，则它的长半轴长为 _____________。
2.双曲线的渐近线方程为 $x\pm 2y=\pm \infty$，焦距为$10$，这双曲线的方程为 _____________。
3.若曲线 $x^2y^2+2kx^2y+k^2x^2=4$ 表示双曲线，则$k$ 的取值范围是 _____________。
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1
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第八页，编辑于星期五：十六点 三十二分。
【自主解答】 因为 ON 是△PF1F2 的中位线， 所以|ON|＝12|PF2|． 因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10， 所以|PF2|＝2 或|PF2|＝18， 故|ON|＝1 或|ON|＝9．
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第十三页，编辑于星期五：十六点 三十二分。
【自主解答】 (1)设双曲线方程为xm2＋yn2＝1(mn＜0)．∵P，Q 两点在双曲 线上，
∴m2995m＋6＋212625nn5＝＝11，，解得mn＝＝9－，16， ∴所求双曲线的方程为y92－1x62 ＝1．
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第十四页，编辑于星期五：十六点 三十二分。
【答案】 2 3
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第十二页，编辑于星期五：十六点 三十二分。
求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)过点 P3，145，Q－316，5且焦点在坐标轴上； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在 x 轴上． 【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦 距时，如何设双曲线的标准方程？
)
【答案】 (1)× (2)× (3)×
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第四页，编辑于星期五：十六点 三十二分。
教材整理 2 双曲线的标准方程
阅读教材 P53～P54“例 1”以上部分，完成下列问题．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
___ax_22_－__by_22_＝_1___(a＞0，b＞0) ___ay_22－__bx_22_＝__1___(a＞0，b＞0)
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 第2课时 Word版含答案
第二章第课时一、选择题．直线＝－交抛物线＝于、两点，若中点的横坐标为，则＝( )．或－．－．．[答案][解析]由(\\(＝＝－))得－(＋)＋＝，则＝，即＝.．抛物线＝的焦点关于直线－－＝的对称点的坐标是( )．(，－) ．(，－)．(，－) ．(，－)[答案][解析]＝⇒＝，焦点为()，其关于－－＝的对称点为(，－)．．过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于、两点，为坐标原点，则·的值是( )．．－．．－[答案][解析]设(，)、(，)，则＝(，)，＝(，)，则·＝(，)·(，)＝＋，又∵过焦点，则有＝－＝－，∴·＝＋＝－＝－，故选.．过抛物线＝的焦点，作一条直线与抛物线交于、两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线( )．有且仅有一条．有且仅有两条．有无穷多条．不存在[答案][解析]由定义＝＋＝，∵＝，∴这样的直线有两条．．已知是过抛物线＝的焦点的弦，若＝，则的中点的纵坐标是( )．．．．[答案][解析]如图所示，设的中点为(，)，分别过，，三点作准线的垂线，垂足分别为′，，′，由题意得′＋′＝＝，＝＝，又＝＋，∴＋＝，∴＝.．设为抛物线＝的焦点，、、为该抛物线上三点，若＋＋＝，则＋＋等于( )．．．．[答案] [解析]设、、三点坐标分别为(，)、(，)、(，)．由题意知()，因为＋＋＝，所以＋＋＝.根据抛物线定义，有＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＝.故选.二、填空题．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线－＋＝所得弦长为，则抛物线方程为[答案]＝或＝－[解析]设所求抛物线方程为＝(≠)①直线变形为＝＋②设抛物线截直线所得弦长为(\\(＝＝＋))消得(＋)＝整理得＋(－)＋＝＝＝解得＝或＝－∴所求抛物线方程为＝或＝－.．已知点为抛物线＝－的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且＝，则＋的最小值是[答案][解析]由＝及抛物线定义得到准线的距离为.∴点横坐标为－，∴(－).又原点关于准线的对称点的坐标为()，所以＋的最小值为：＝＝.三、解答题．设抛物线＝(>)的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上且∥轴，证明：直线经过原点[解析]因为抛物线＝(>)的焦点为(，)，。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 Word版含答案
第二章第课时一、选择题．若点()在椭圆＋＝的外部，则的取值范围为( )．(－，)．(，＋∞)∪(－∞，－)．(，＋∞)．(－∞，－)[答案][解析]因为点在椭圆＋＝的外部，所以＋>，解得>或<－，故选.．为过椭圆＋＝中心的弦，()为椭圆的左焦点，则△的面积最大值是( )．．．．[答案][解析]△＝△＋△＝·－，当、为短轴两个端点时，－最大，最大值为.∴△面积的最大值为.．已知以(－)、()为焦点的椭圆与直线＋＋＝有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．．．．[答案][解析]设椭圆方程＋＝(≠>)(\\(＋＝＋()＋＝))消得(＋)＋＋－＝Δ＝－(－)(＋)＝整理得＋＝即＋＝①又＝，焦点在轴上∴－＝②由①②解得＝，＝，∴长轴长为.．点为椭圆＋＝上一点，以点及焦点、为顶点的三角形的面积为，则点的坐标为( )．(±，) ．(，±)．(，) ．(±，±)[答案][解析]设(，)，∵＝，＝，∴＝，∴△＝·＝＝，∴＝±，∵＋＝，∴＝±.故选.．过椭圆＋＝(>>)的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若∠＝°，则椭圆的离心率为( )．．．[答案][解析]把＝－代入椭圆方程可得＝±，∴＝，∴＝，故＋＝＝，即＝.又∵＝＋，∴(－)＝，∴()＝，即＝.．如图、分别是椭圆＋＝(>>)的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△是等边三角形，则椭圆的离心率为( )．．－．[答案][解析]连接，由圆的性质知，∠＝°，又∵△是等边三角形，∴∠＝°，∴＝，＝，∴＝＝＝＝－.故选.二、填空题．(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆＋。
高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
第二章一、选择题．在平面直角坐标系内，到点()和直线＋＝的距离相等的点的轨迹是( )．直线．抛物线．圆．双曲线[答案][解析]∵点()在直线＋＝上，故所求点的轨迹是过点()且与直线＋＝垂直的直线．．(·山东荷泽高二检测)过点()且与轴相切的圆的圆心的轨迹为( )．圆．椭圆．直线．抛物线[答案][解析]如图，设点为满足条件的一点，不难得出结论：点到点的距离等于点到轴的距离，故点在以点为焦点，轴为准线的抛物线上，故点的轨迹为抛物线，因此选.．(·广东深圳市宝安区高二期末调研)抛物线＝上一点的纵坐标为，则点与抛物线焦点的距离为( )．．．．[答案][解析]解法一：∵＝，∴＝·＝，∴＝±，∴(±)，焦点坐标为()，∴所求距离为＝＝.解法二：抛物线的准线为＝－，∴到准线的距离为，又∵到准线的距离与到焦点的距离相等．∴距离为.．抛物线＝的焦点为，点()在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线准线的距离为( )．．．．[答案][解析]∵点()在抛物线上，∴()＝，∴＝，到抛物线准线的距离为－(－)＝，到准线距离为，∴到抛物线准线的距离为＝＝.．已知抛物线＝(>)的准线与圆＋－－＝相切，则的值为( )．．．[答案][解析]抛物线的准线为＝－，将圆方程化简得到(－)＋＝，准线与圆相切，则－＝－，∴＝，故选.．(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设抛物线＝上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离为( )．．．．[答案][解析]∵点到轴的距离为，∴点到抛物线＝的准线＝－的距离＝＋＝，根据抛物线的定义知点到抛物线焦点的距离为.二、填空题．抛物线＝的准线方程是＝，则的值为[答案]－[解析]抛物线方程化为标准形式为＝，由题意得<，∴＝－，∴＝－，∴准线方程为＝＝－＝，∴＝－.．沿直线＝－发出的光线经抛物线＝反射后，与轴相交于点()，则抛物线的准线方程为(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)[答案]＝－[解析]由直线＝－平行于抛物线的轴知()为焦点，故准线方程为＝－.三、解答题．若抛物线＝(>)上一点到准线及对称轴的距离分别为和，求点的横坐标及抛物线方程[解析]∵点到对称轴的距离为，∴设点的坐标为()．又∵点到准线的距离为，∴(\\(＝，＋()＝.))解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝.))故当点的横坐标为时，抛物线方程为＝.当点的横坐标为时，抛物线方程为＝.．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－)的抛物线的标准方程[解析]∵点(－)在第二象限，。
2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 第2课时 Word版含答案
第二章 2.4 2.4.2 第2课时一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝导学号 33780596( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是导学号 33780597( )A ．(2，－1)B ．(1，－1)C ．(14，－14)D ．(116，－116)[答案] A[解析] y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是导学号 33780598( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线导学号 33780599( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 由定义|AB |＝5＋2＝7， ∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是导学号 33780600( )A ．1B ．2C ．58D ．158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.6．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于导学号 33780601( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________.导学号 33780602[答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x[解析] 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)① 直线变形为y ＝2x ＋1② 设抛物线截直线所得弦长为AB⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝2x ＋1消y 得(2x ＋1)2＝ax 整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0|AB |＝(1＋22)[(a －44)2－4×14]＝15解得a ＝12或a ＝－4∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .8．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值是________.导学号 33780603[答案] 213[解析] 由|AF |＝4及抛物线定义得A 到准线的距离为4. ∴A 点横坐标为－2，∴A (－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B (4,0)， 所以|P A |＋|PO |的最小值为：|AB |＝36＋16＝213. 三、解答题9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .导学号 33780604[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p2代入抛物线方程得：y 2－2pmy －p 2＝0若记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2 因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，所以点C 的坐标为(－p2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点.导学号 33780605 (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A 、B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.一、选择题1．(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为导学号 33780606( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为导学号 33780607( )A.12 B ．23C ．34D ．43[答案] D[解析] 由题意知，准线方程为x ＝－2，∴p ＝4， 抛物线方程：y 2＝8x ，焦点坐标(2,0)． 设过A 点的直线为y ＝k (x ＋2)＋3联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k (x ＋2)＋3，化简得y 2－8k y ＋24k ＋16＝0①∴Δ＝64k 2－4(24k ＋16)＝0，∴k ＝12，k ＝－2(舍去)．将k ＝12代入方程①，∴y ＝8，∴x ＝8.B 点坐标为(8,8)． ∴k BF ＝88－2＝43. 3．(2016·四川理，8)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 斜率的最大值为导学号 33780608( )A.33 B ．23C.22D ．1[答案] C[解析] 设P (t 22p ，t )，易知F (p2，0)，则由|PM |＝2|MF |，得M (p ＋t 22p 3，t 3)，当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0，当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝t p ＋t 22p ＝1p t ＋t 2p ，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时取等号，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C.4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝导学号 33780609( )A.13 B ．23C ．23D ．223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89， ∵k >0，∴k ＝223.二、填空题5．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________.导学号 33780610[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．6．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为________.导学号 33780611[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题7．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长.导学号 33780612[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2).导学号 33780613 (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。
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第二章 2.2 2.2.2 第1课时一、选择题1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是导学号 33780376( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) [答案] D[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6，解得a >3或－6<a <－2，故选D.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为导学号 33780377( ) A.12 B ．13C.14 D.22[答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有导学号 33780378( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴 [答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故选B.4．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为导学号 33780379( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1[答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.5．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为导学号 33780380( )A.13 B ．12C.33D ．22 [答案] D[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22. 6．已知A ＝{1,2,4,5}，a 、b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为导学号 33780381( )A.34 B ．38C.316 D ．12[答案] B[解析] ∵a 、b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个．由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2、4、5；a ＝2时，b ＝4、5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38.二、填空题7．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.导学号 33780382[答案] y 216＋x 2＝1[解析] 由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________.导学号 33780383[答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4. 三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.导学号 33780384[解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)、F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)、A 2(1,0)、B 1(0，－12)、B 2(0，12)．10．已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.导学号 33780385[解析] 解法一：设焦点坐标为F 1(－c ，0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2,3b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，∴c 2a 2＝59，∴c a ＝53，即e ＝53.一、选择题1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为导学号 33780386( )A ．8、6B ．4、3C ．2、3D ．4、2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.2．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，则△F 1PF 2的面积等于导学号 33780387( )A ．5B ．4C ．3D ．1[答案] B[解析] 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝2︰1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为导学号 33780388( )A.14 B ．55C.12 D ．5－2[答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. 4．(2015·辽宁沈阳二中高二期中测试)焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为导学号 33780389( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 椭圆的方程mx 2＋y 2＝1化为标准方程为x 21m＋y 2＝1，由题意得，a 2＝1，b 2＝1m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－1m ，∴离心率e ＝ca＝1－1m ＝32，∴m ＝4. 二、填空题5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________.导学号 33780390[答案] x 236＋y 29＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12c a ＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝33.∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.6．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________.导学号 33780391[答案] 3[解析] 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.三、解答题7．已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.导学号 33780392[解析] 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝xy 0＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y，∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 204＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －6y 0＝2y ，代入x 208＋y 204＝1，得(2x －6)28＋(2y )24＝1，即(x －3)22＋y 2＝1为所求．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2.导学号 33780393(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值．[解析] (1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a 2＝b 2＋c2S ＝12×(2a )×(2b )＝42，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.(2)由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.。