研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二
研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二
习题二
1．化下列矩阵为Smith 标准型：
（1）222211λλλλ
λλλλλ??
-??
-+-??
; （2）2222
00
000
00(1)00000λλλλλλ
-?
-??
-??
; （3）2222
232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ??
+--+-??+--+-+---??
;
(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----??
. 解：（1）对矩阵作初等变换
23221311(1)100
10
000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→?
-++
，
则该矩阵为Smith 标准型为
+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为
44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为
22
2341234123()()()
()1,()(1),()(1),()(1)()()()
D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ==
=-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00
00(1)λλλλλλ??
--??
-??；（3）对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith 标准型为
+--)1()1(112
λλλ; (4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中，可求得行列式因子
3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为
2541234534()()
()()()1,()(1),()(1)()()
D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ====
=-==-故该矩阵的Smith 标准形为
2
1
0000
010
0000100000(1)00
00
0(1)λλλλ
-??
-??
. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：
（1）
21
0021002λλλ-----??；
（2）100
1000
λαββλα
λαββ
λα+-+?
+??-+??
；
（3）1
00100015
4
32λλ
λλ--?
-??
+??
；（4）0
012012012002000λλλλ+++??+??
. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故而33()(2)D λλ=-，
所以该λ-矩阵的不变因子为
2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;
（2）当0β=时，由于
4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，
故不变因子为
12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+
当0β≠时，由于
224()[()]D λλαβ=++，
且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为
2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，
则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;
（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故而
4324()2345D λλλλλ=++++，
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;
（4）该λ-矩阵的行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,
所以该λ-矩阵的不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.
3．求下列λ-矩阵的初等因子：
（1）333232
212322λλλλλλλλ??++??--+--+??；（2）322322 2212122122λλλλλλλλλλ??-+--+??-+--??
. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，
故初等因子为2
1,(1)λλ+-；
(2) 该λ-矩阵的行列式因子为
212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，
故不变因子为
因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.
4．求下列矩阵的Jordan 标准形：
（1）131616576687------??；（2）452221111-----??；（3）3
732524103---??
--??
；
（4）111333222-----??；（5）***********????-????--??
；（6）1
234012300120
001??
. 解：（1）设该矩阵为A ，则
2
10001000(1)(3)E A λλλ??
-→??
-+??
，
故A 的初等因子为
2(1)(3)λλ-+，
则A 的Jordan 标准形为
300011001-
；（2）设该矩阵为A ，则
3
10
001000(1)E A λλ-→??
-??
，
故A 的初等因子为
3(1)λ-，
从而A 的Jordan 标准形为110011001
；（3）设该矩阵为A ，则2
10001000(1)(1)E A λλλ?? -→??
-+??
,
故A 的初等因子为
从而A 的Jordan 标准形为1000000i i -?? ; （4）设该矩阵为A ，则2
1000000E A λλλ??
-→??
,
故A 的初等因子为
2,λλ，
从而A 的Jordan 标准形为000001000
; （5）设该矩阵为A ，则2
10001000(1)E A λλλ??
-→??
+??
,
故A 的初等因子为
2,(1)λλ+，
从而A 的Jordan 标准形为
000011001--??
; （6）设该矩阵为A ，则
1234012300120001E A λλλλλ-------??-=??--??-?? ，该λ-矩阵的各阶行列式因子为
123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，
则不变因子为
123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，
故初等因子为
4(1)λ-，
则A 的Jordan 标准形为
1100011000110
001
. 5．设矩阵
142034043A ??
=--??
，
求5A .
解：矩阵A 的特征多项式为
2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，
故A 的特征值为11λ=,235λλ==.
属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)T
η=,
属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T T
ηη==-.
设
123121[,,]012021P ηηη==-,100050005?? Λ=??
,
则1
A P P -=Λ.,故
445514
4441453510354504535A P P -??
-?
=Λ=-
. 6.设矩阵
211212112A --=--??
-??
，
求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1 P AP J -=.
解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .
2
2
1110021201011200(1)I A λλλλλλ--=-+→- ---
,
故其初等因子为
21,(1)λλ--，
故A 的Jordan 标准形
100011001J ??
=??
.
(2)求相似变换矩阵P .
考虑方程组
()0,I A X -=即1231112220,111x x x -
-= ?
--??
解之,得
12100,111X X
== ? ? ? ?-
.
其通解为
1122k X k X +=1212k k k k ?? ?
-??
,
其中21,k k 为任意常数.
考虑方程组11212121211111122200021110002k k k k k k k k k -- -→-+
----
,
故当1220k k -=时,方程组有解.
取121,2k k ==,解此方程组,得
3001X ??
= ? ???
.
则相似变换矩阵
123100[,,]010111P X X X ??
==??
-??
.
7.设矩阵
102011010A ??
=-??
，
试计算8
5
4
2
234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为
3()21A f I A λλλλ=-=-+,
由于
8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,
其中5
3
2
()245914f λλλλλ=+-+-. 且
32A A I O -+=,
故
8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --??
-+=--??
.
8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为
12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++L ,
则
12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=L ,
即
123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-L ,
因为A 可逆,故(1)0n
n a A =-≠,则
9.设矩阵
2113A -??
=
，
试计算4
3
2
1
(5668)A A A A I --++-.
解: 矩阵A 的特征多项式为
2()57A f I A λλλλ=-=-+,
则
227A A I O -+=,
而
432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,
故
1
4321111211(5668)()12113A A A A I A I ----
-++-=-==-
.
10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2n A 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为
()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,
则设
22()()n f g a b c λλλλλ=+++,
由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得解之，得
2211
(21),0,(24)33
n n a b c =-==--,
因此
2222211
(21)(24)33
n n n A aA bA cI A I =++=---.
11.求下列矩阵的最小多项式：
（1）311020111-；
（2）422575674-??
----??
；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0
1231
03223013
2
1
0a a a a a a a a B a a a a a a a a --?
=??--??--??
. 解:(1) 设311020111A -=??
,则
2
31
110002002011100(2)I A λλλλλλ---=-→-
----
,
故该矩阵的最小多项式为2
(2)λ-.
(2) 设422575674A -=----??
,则2(2)(511)I A λλλλ-=--+,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2
(2)(511)λλλ--+
(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,
又2A nA =,即2
A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.
(5)因为
222222
00123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,
而22222
00123()2()m a a a a a λλλ=-++++是
I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩
阵B 的最小多项式.
北航研究生矩阵论课后参考答案
矩阵论课后参考答案： 第1章 线性代数引论 习题1.1 2 （1）解：由定义知 n m C n m ⋅=⨯)dim( 故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0000000 1 ，⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0010 000 （2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为 2 ) 1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为 2 ) 1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 000000 1 ，⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0001 001 0 ， ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000 0000000 （3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2 ) 1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V 其基为 2 ) 1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00 00 00000001001 0 ，⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00 00 00010000010 ， ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011 0000 0000000 00 3 解：由题可得 },,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---070 30 20 221 222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222 134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8 (先补充定理： 定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -) 证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。 2）明显n V V F 21⊂+
矩阵理论第2章习题解答
第二章习题答案 1．设a 1，a 2，…，a n 均为正数，n C x ∈，且T n x x x x ),,,(21 =. 证明函数 2/11 2 ][)(∑==n i i i x a x f 在C n 上定义了一个向量范数. 证明： (1) 正定性：对0≠?x ，有f (x )>0，当x =0时，f (x )=0. (2) 奇次性：)(][] [ )(2/112 2 /11 2x f x a x a x f n i i i n i i i ?=?==∑∑==λλλλ. (3) 三角不等式：])([][ )(12 21 2 2 ∑∑==+++=+=+n i i i i i i i i n i i i i y x y x y x a y x a y x f )2()()()2()()(1 2 2 12 2 ∑∑==?++≤?++≤n i i i i n i i i i y x a y f x f y x a y f x f ∑∑∑===?++≤?++≤n i i i n i i i n i i i i i y a x a y f x f y a x a y f x f 1 2 /12 1 2 /122 2 1 2 2 )() (2)()()2()()( 2 22)]()([)()(2)()(y f x f y f x f y f x f +=?++=. 所以函数f (x )是一个向量范数. 2. 证明：在R 1中任何向量范数x ，一定有 x x λ= 0>λ. 证明：对任意向量范数x ，根据向量范数的定义和性质，又因为1 R x ∈，有 x x x x λ=?=?=11，其中01>=λ. 3. 设x 是P n 中的向量范数，n n P A ?∈，则Ax 也是P n 中的向量范数的充要条件为A 是可逆矩阵. 证明：必要性：如果矩阵A 不可逆，则存在0≠x ，使得0=Ax ，即0=Ax ，这与向量范数的正定性矛盾，所以矩阵A 可逆. 充分性：矩阵A 可逆，对0≠?x ，则0≠Ax ，所以0>Ax ，正定性满足； Ax Ax ?=λλ，奇次性满足；Ay Ax Ay Ax y x A +≤+=+)(，三角不等式也满足，
矩阵论习题课答案
习题课答案 一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111 ,,,2345 ，则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵1 261 7 25027-?? ? ? ?--? ?的Jordan 标准型 解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若 当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■
矩阵论(华中科技大学)课后习题答案
习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?L L L ????? dim W =n (n + 1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r αααL 为空间U 1 的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2 的一组基 2U γ?∈，有 ()12r X γγβββ=L L 而 ()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L 由此，得 21 U U ?
矩阵论引论 习题答案
矩阵论引论习题答案 矩阵论引论习题答案 矩阵论是线性代数中的重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算规律。在实际应用中，矩阵论有着广泛的应用，涉及到各个领域，如物理学、经济学、计算机科学等。在学习矩阵论时，习题是巩固知识和提高技能的重要途径。下面，我将为大家提供一些矩阵论引论的习题答案。 1. 习题一 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的转置矩阵AT。 解答： A的转置矩阵AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题二 已知矩阵A = [2 4; 6 8]，求A的逆矩阵A-1。 解答： 由于A是一个2x2的矩阵，我们可以使用伴随矩阵法来求解A的逆矩阵。 首先，计算A的行列式det(A) = 2*8 - 4*6 = 16 - 24 = -8。 然后，计算A的伴随矩阵adj(A) = [8 -4; -6 2]。 最后，计算A的逆矩阵A-1 = adj(A)/det(A) = [8/(-8) -4/(-8); -6/(-8) 2/(-8)] = [-1/2 1/2; 3/4 -1/4]。 3. 习题三 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，矩阵B = [1 0; 0 1; 1 1]，求矩阵C = AB。 解答： 由于A是一个2x3的矩阵，B是一个3x2的矩阵，所以C是一个2x2的矩阵。
计算C的每个元素，C = [1*1 + 2*0 + 3*1 1*0 + 2*1 + 3*1; 4*1 + 5*0 + 6*1 4*0 + 5*1 + 6*1] = [4 5; 10 11]。 4. 习题四 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的特征值和特征向量。 解答： 首先，求A的特征值λ。 计算A的特征多项式det(A - λI) = (1-λ)(4-λ) - 2*3 = λ^2 - 5λ + 2。 解特征多项式得到λ1 = (5 + √17)/2，λ2 = (5 - √17)/2。 然后，求A的特征向量v。 对于特征值λ1，解方程组(A - λ1I)v = 0，得到v1 = [1; (3 + √17)/2]。 对于特征值λ2，解方程组(A - λ2I)v = 0，得到v2 = [1; (3 - √17)/2]。 通过以上习题的解答，我们可以进一步理解矩阵论的基本概念和运算规律。矩阵论在实际应用中有着广泛的应用，如在计算机图形学中，矩阵论可以用于描述和变换图形的位置和形状；在经济学中，矩阵论可以用于建立经济模型和分析经济数据等。因此，熟练掌握矩阵论的基本知识和技能对于我们的学习和工作都具有重要意义。希望以上习题的解答能够对大家的学习和理解有所帮助。
矩阵论习题答案
矩阵论习题答案 矩阵论习题答案 在数学领域中，矩阵理论是一门重要的分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。矩阵论习题是学习矩阵理论的重要环节，通过解答这些习题，我们可以更 好地理解和运用矩阵的性质和操作。本文将为大家提供一些常见矩阵论习题的 答案，希望能够对大家的学习有所帮助。 1. 习题：计算矩阵的转置。 答案：对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，其行和列互换。即，如果A的第i行第j列元素为a_ij，则A^T的第i列第j行元素为a_ij。可以通过编写程序或手动计算来得到转置矩阵。 2. 习题：计算矩阵的逆矩阵。 答案：对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵记为A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。可以通过高斯消元法或伴随矩阵法来计算逆矩阵。 3. 习题：计算矩阵的秩。 答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数。可以通过高斯 消元法或矩阵的行（或列）简化形式来计算矩阵的秩。 4. 习题：计算矩阵的特征值和特征向量。 答案：对于一个n×n的矩阵A，其特征值和特征向量满足方程A·v = λ·v，其中 λ为特征值，v为特征向量。可以通过求解特征方程det(A - λ·I) = 0来计算特征值，然后将特征值代入方程(A - λ·I)·v = 0来计算特征向量。 5. 习题：计算矩阵的奇异值分解。 答案：对于一个m×n的矩阵A，其奇异值分解为A = U·Σ·V^T，其中U为
m×m的正交矩阵，Σ为m×n的对角矩阵，V为n×n的正交矩阵。可以通过奇异值分解算法来计算矩阵的奇异值分解。 6. 习题：计算矩阵的广义逆矩阵。 答案：对于一个m×n的矩阵A，其广义逆矩阵记为A^+，满足A·A^+·A = A，A^+·A·A^+ = A^+，(A·A^+)^T = A·A^+，(A^+·A)^T = A^+·A。可以通过奇异值分解来计算矩阵的广义逆矩阵。 以上是一些常见的矩阵论习题的答案，通过解答这些习题，我们可以更好地理解和运用矩阵的性质和操作。矩阵论在线性代数、数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用，掌握矩阵论的基本知识和技巧对于我们的学习和工作都是非常重要的。希望本文的内容能够对大家有所帮助，激发大家对矩阵论的兴趣，并在学习中取得更好的成绩。
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45) 1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211； （2）对于V z y x ∈∀,,， ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(11111122211111121122 11121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ， ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(11111122211111111222 11111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ， 即)()(z y x z y x ++=++。 （3）对于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221 1x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+002122121 1221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。 （5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+-++++=⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有
08级-研-矩阵论试题与答案
08级-研-矩阵论试题与答案 一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ；（2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ∞→)(lim ρ。二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?= =?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ；（3）求At e ；（3）求该方程组的解。三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =；（2）由满秩分解计算+ A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。四（10分）设 1113A ?
=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。五（10分）设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。七（10分）证明矩阵 2121 212 3 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? = ? ? ? ? ? +++? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。八（15分）设A 是可逆矩阵， 1 1 ,B A A αβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数），如果βα<，证明
研究生矩阵论课后习题标准答案(全)习题二
习题二 1．化下列矩阵为Ｓm ｉｔh 标准型： （1)222 211λλλλ λλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣ ⎦ ; （2)222 2 00 00(1)000 0λλλ λλλ ⎡⎤ ⎢⎥-⎢ ⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ; (３）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦; (4）23014360220 620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ . 解:（1）对矩阵作初等变换 1 3 3 1 22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ λλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦ 2 3221311(1)10 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦ ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡+)1(1 λλλ; (2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smit ｈ标准型为 2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ； ﻩ（３)对矩阵作初等变换 1332212 13 2132222222222242322 (2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤ +--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦ ⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦312 2131211342322 (2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 1)⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 故该矩阵的Sm ｉｔh 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换
矩阵论第二版答案
矩阵论第二版答案 【篇一：华北电力大学硕士研究生课程考试试题(a卷) 矩阵论答案】 14) 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵a 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。(x) 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后 者小于等于n ?,?,?,?m是线2. 设12 性无关的向量,则 dim(span{?1,?2,?,?m})?m. 正确，线性无关的向量张成一组基 v,v3.如果12 是v 的线性 v?vv12子空间,则也是 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 a(?)4. n阶?-矩阵是可逆 a(?)的充分必要条件是 的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n阶实矩阵a是单纯矩阵的充分且必要条件是a 的最小多项式没有重根. 见书90页。 二、填空题（每小题3分，共27分） ?210???a??021?,??003（6）??则ea的jordan标准型 为?e?0??0? 21e200??0?,3?e?。 【篇二：矩阵论简明教程课后习题与答案解析】mite正定矩阵的充分必要条件是，存在hermite正定矩阵b，使得a=b2。 解：若a是hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵u, 使得 ??1?? uhau=?
??? ?2 ??? , ?i﹥0,i=1, 2, ?,n. ?? ??n?? 于是 ??1? ?? ?2??h a=u?u ???? ??n????1??1?????h??2 = u??uu? ???? ????n??? 2 ? ? ??h?u ??n?? 令 ?1 ??b=u? ??? 2 ? ???h?u ?n?? 则a=b2. 反之,当a=b2且b是hermit正定矩阵时,则因hermit 正定矩阵的乘积仍为hermit正定矩阵,故a是hermit 正定的. 14. 设a?cn?n是hermite矩阵，则下列条件等价:（1）a是mermit半正定矩阵。（2）a的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵p?cn?n,使得a=pp 解：(1)?(2). 因a是hermit矩阵,则存在酉矩阵u,使得 uhau=diag(?1,?2,?,?n) 令x=uy, 其中y=ek. 则x?0. 于是 xhax=yh(uhau)y=?k≧0 (k=1, 2, ?,n). (2)?(3). a=udiag(?1,?2,?,?n)uh=udiag(?1,?2,?,?n)diag(1,?2,?,?n)uh 令p=diag(1,2,?,n)uh, 则a=php . (3)?(1). 任取x?0, 有
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一 1.判断以下集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 〔1〕11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算； 〔2〕2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； 〔3〕33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα∀∈∈=； 〔4〕4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： 〔1〕、〔2〕为R 上线性空间 〔3〕不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题〔3〕中10α= 〔4〕不是，假设k<0，那么()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010⎧⎫ ⎛⎫⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩⎪⎪⎪⎪⎭ dim W =n (n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，假设dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,, ,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ∀∈，有 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 由此，得 又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。 4.设111213315A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，讨论向量(2,3,4)T α=是否在R (A )中。
矩阵论简明教程(第二版)习题答案
习 题 一 1. 设λ为的任一特征值,则因 λλ22- 为A =-A 22O 的特征值, 故 022 =-λλ. 即 λ=0或2. 2. A ～B , C ～D 时, 分别存在可逆矩阵P 和Q , 使得 P 1-AP =B , Q 1-CQ =D .令 T =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛Q O O P 则 T 是可逆矩阵,且 T 1 -⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛C O O A T =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--Q O O P C O O A Q O O P 11 =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛D O O B 3. 设i x 是对应于特征值i λ的特征向量, 则 A i x =i λi x , 用1-A 左乘得 i i i x A x 1 -λ=.即 i i i x x A 11--λ= 故 1-i λ是A 的特征值, i =1,2,, n . 4. (1) 可以. A E -λ=)2)(1)(1(-+-λλλ, =P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--10 4003 214, ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=-21 11 AP P . (2) 不可以. (3) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛=11 0101 010 P , ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=-12 21 AP P . 5. (1) A 的特征值是0, 1, 2. 故A =－(b －a )2=0. 从而 b =a .又 1 1 111 -λ----λ----λ=-λa a a a A I =)223(22+---a λλλ 将λ=1, 2 代入上式求得 A =0. (2) P =⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-10 1010 101 . 6. A I -λ=)1()2(2+-λλ, A 有特征值 2, 2, －1. λ=2所对应的方程组 (2I －A )x =0 有解向量
矩阵论答案习题 1.2
习题 1.2 1. 解：因为对 2 的任一向量(2 1 ,x x )，按对应规则 都有 2 中 惟一确定的向量与之对应，所以是2 的一个变换. (1) 关于x 轴的对称变换； (2) 关于y 轴的对称变换； (3) 关于原点的对称变换； (4) 到x 轴的投影变换； (5) 到y 轴的投影变换. 2. 解： (1) 不是.因为 (221 1 αα k k +)＝2211ααk k ++β ≠k 1 (1 α)+k 2 )()()(22112βαβαα+++=k k =221 1 αα k k ++)(21k k +β (2) 不是.因为 (221 1 αα k k +)＝β ≠k 1 (1 α)+k 2 β α)()(212k k += (3) 不是.因为取 x =(1 , 0 , 0 ) , 1≠k 时, (k x )=(k 2 ,0, 0)≠k ( x )= k (1, 0, 0)=(k , 0, 0) (4) 是.因为 设x =(321 ,,x x x ) , y =(3 21 ,,y y y ) (k 1 x +k 2 y )=11 2(x k ),,2(),,1322121322y y y y y k x x x x +-++- =k 1 (x )+k 2 ( y ) (5) 是.因为 ()()(2211 x f k x f k +)=) 1()1(2211 +++x f k x f k =k 1 (f 1 (x ))+k 2 )) ((2x f
(6) 是.因为 () ()(2211 x f k x f k +)=)()(022011 x f k x f k + = k 1 (f 1 (x ))+k 2 )) ((2x f (7) 不是.因为 设x =(321 ,,x x x ) , y =(3 21 ,,y y y ) (k 1 x +k 2 y )= () 0),sin(),cos( 22211211y k x k y k x k ++ ≠k 1 (x )+k 2 ( y ) =)0,sin ,(cos )0,sin ,(cos 212211 y y k x x k + =()0,sin sin ,cos cos 22211211 y k x k y k x k ++ . 3. 解： 1 (α+β)= 1 [()]()1122 2 221 ,,y x y x y x y x --+=++ ()()= -+-=1212,,y y x x 1 (α)+ 1 (β) 1 (k α)= 1 (k (x 1 , x 2))()()k x x k kx kx =-=-=1212 ,,1 (α) 所以 1 是线性变换.同理可证 2 也是线性变换. (1 + 2 )(α)= (1 + 2 )[(x 1 , x 2)] = 1 [(x 1 , x 2 )]+2 [(x 1 , x 2 )] ),(),(),(21212112x x x x x x x x --+=-+-= 12 (α)= 1 ［2 (α)］=1 [( x 1 , -x 2 )]=(- x 2 , -x 1 ) 2 1 (α)= 2 ［ 1(α)］= 2 [( x 2 , -x 1)]=( x 2, x 1 ) . 4. 证：（1）因 ()()()C B A B A C B A +-+=+ ()()= -+-=BC CB AC CA (A )+ (B ) ()()()()=-=-=AC CA k C kA kA C kA k (A ) 故 是线性变换.
研究生矩阵理论及其应用课后答案——黄有度
研究生矩阵理论课后答案——黄有度版 习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵.A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法； （3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘运算： ),,(),(),(ac d b c a d c b a +++=⊕)2 )1(,(),(2 a k k k b ka b a k -+ = （4）设R +是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： ,k a b ab k a a ⊕== 其中,,a b R k R + ∈∈； （5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘； （6）设{}12sin sin 2sin ,,02k i V x x c t c t c kt c R t π==++ +∈≤≤，V 中 元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin ,sin 2,,sin t t kt 是V 的一个基，试 确定i c 的方法. ● 解 （1）是. ● 令{} 矩阵为是实系数多项式，n n x f f V ⨯=A A )()(1.由矩阵的加法和数乘运算知, ● ),()(),()()(A A A A A d kf h g f ==+ ● 其中k 为实数，)(),(),(x d x h x f 是实系数多项式.1V 中含有A 的零多项式，为 1V 的零元素.)(A f 有负元1)(V f ∈-A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间. ● （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向