研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二
矩阵论简明教程习题答案
1 p1 = 4 , 0
1 p 2 = 0 4
=－1 所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 1 p 3 = 0 0
令
7．
3 0 1 1 1 0 1 1 P=(p 1 , p 2, p 3 )= 4 0 0 , 则 P = 4 1 4 . 于是有 12 0 4 1 16 4 4 2100 4 2100 2100 1 2100 1 1 2100 0 3 2100 0 A 100 =P P 1 = . 3 100 100 100 1 2 1 4 2 1 4 4 2 2 (1) I A = ( 1) =D 3 ( ), I－A 有 2 阶子式
1 3 2 3 2 T ) . 3
2 1 2 2 1 2 4 ～ 0 0 0 2 4 2 4 4 0 0 0
当 =1 时, 对应的齐次线性方程组 (I－A)x=0 的系数矩阵
由此求出特征向量 p 2 =(－2, 1, 0) T , p 3 =(2, 0, 1) T . 单位化后得
是
d1 1, d 2 1,
d 3 ( 1)( 2)
1 A～J= 1 2
因为 A 可对角化，可分别求出特征值－1，2 所对应的三个线性无关 的特征向量： 当 =－1 时，解方程组 ( I A) x 0, 求得两个线性无关的特征向量
矩阵论习题课答案
习题课答案 一1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。
(a) 1||n A λ- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立.()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数()c A 的所有顺序主子式大于零()d A 的所有特征值互不相同3).设矩阵11111A ααββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与000010002B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似,则,αβ的值分别为( a )。
(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1二 填空题4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111,,,2345，则1B E --= 24 。
5)设532644445A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则100A =10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231⎛⎫+---- ⎪+---⋅-⎪ ⎪--⋅-⎝⎭三 计算题3.求三阶矩阵1261725027-⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎝⎭的Jordan 标准型解 1261725027E A λλλλ+--⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪+⎝⎭,将其对角化为210001000(1)(1)λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+-⎝⎭.故A 的若当标准形为100110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.■4.设A 是3阶对称矩阵,且A 的各行元素之和都是3,向量()()0,1,1,1,2,1TTαβ=-=--是0AX =的解,求矩阵A 的特征值,特征向量,求正交阵Q 和矩阵B 使得T Q BQ A =依题意有011003121003111003A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而1003011111003121111003111111A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其特征多项式为2()||(3)f E A λλλλ=-=-.故特征值为120,3λλ==.⑴10λ=,解特征方程0AX -=得()11,0,1T X =-,()21,1,0TX =-.特征向量为1122l X l X +.⑵23λ=,解特征方程(3)0E A X -=得()31,1,1TX =.特征向量为33l X . 以上123,,l l l R∈.把向量12,X X 正交并单位化得1(η=,2η⎛⎫= ⎝.把向量3X单位化得3η=.以123,,ηηη作为列向量作成矩阵P ,则P 为正交矩阵且000000003T P AP B ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.0T Q P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭,则Q 满足T Q BQ A =.■ 5解：A 的行列式因子为33()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.所以，不变因子为33()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3(2)λ+，因而A 的Jordan 标准形为21212J -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦8.设A 是n 阶特征值为零的若当块。
矩阵论习题课答案
习题课答案 一1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。
(a) 1||n A λ- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立.()a A 的所有顺序主子式为非负数()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零()d A 的所有特征值互不相同3).设矩阵11111A ααββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与000010002B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似,则,αβ的值分别为( a )。
(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1二 填空题4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111,,,2345，则1B E --= 24 。
5)设532644445A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则100A =10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231⎛⎫+---- ⎪+---⋅-⎪ ⎪--⋅-⎝⎭三 计算题3.求三阶矩阵1261725027-⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎝⎭的Jordan 标准型解 1261725027E A λλλλ+--⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪+⎝⎭,将其对角化为210001000(1)(1)λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+-⎝⎭.故A 的若当标准形为100110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.■4.设A 是3阶对称矩阵,且A 的各行元素之和都是3,向量()()0,1,1,1,2,1T Tαβ=-=--是0AX =的解,求矩阵A 的特征值,特征向量,求正交阵Q 和矩阵B 使得TQ BQ A = 依题意有011003121003111003A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因而1003011111003121111003111111A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其特征多项式为2()||(3)f E A λλλλ=-=-.故特征值为120,3λλ==.⑴10λ=,解特征方程0AX -=得()11,0,1TX =-,()21,1,0TX =-.特征向量为1122l X l X +.⑵23λ=,解特征方程(3)0E A X -=得()31,1,1TX =.特征向量为33l X . 以上123,,l l l R∈.把向量12,X X 正交并单位化得1(η=,2η⎛= ⎝.把向量3X 单位化得3η=.以123,,ηηη作为列向量作成矩阵P ,则P 为正交矩阵且000000003T P AP B ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.0T Q P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭,则Q 满足T Q BQ A =.■ 5解：A 的行列式因子为33()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.所以，不变因子为33()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3(2)λ+，因而A 的Jordan 标准形为21212J -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦8.设A 是n 阶特征值为零的若当块。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
任取该集合中的三个元素，设为 α = (a, b), β = (c, d ), γ = ( f , g ) ,以及任意实 数 k , l ,则有 ① α ⊕ β = ( a + c, b + d + ac ) = β + α ; ② (α ⊕ β ) ⊕ γ = (a + c, b + d + ac) ⊕ γ
2
⑤ 1 o (a, b) = (1a,1b +
⑥ k o (l o α ) = k o (l o ( a, b)) = k o (la, lb +
l (l − 1) 2 a ) 2 l (l − 1) 2 k (k − 1) = (k (la ), k (lb + a )+ (la ) 2 ) 2 2 kl (kl − 1) 2 = (kla, (kl )b + a ) = (kl ) o (a, b) = (kl ) o α ; 2 (k + l )((k + l ) − 1) 2 ⑦ (k + l ) o α = (k + l ) o (a, b) = ((k + l )a, (k + l )b + a ) 2 k (k − 1) 2 l (l − 1) 2 = (ka + la, (kb + a ) + (lb + a ) + (ka)(la)) 2 2 k (k − 1) 2 l (l − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (la, lb + a ) 2 2
= (k o α ) ⊕ (k o β ) .
（4）是.对任意 a，b∈R+，有 a ⊕ b = ab ∈ R ；又对任意 k ∈ R 和 a ∈ R ， 有 k o a = a ∈ R ，即 R+对所定义的加法与数乘运算封闭。
研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵, ,Cn.定义内积 (,)=A*.①试证它 是内积;②写出相应的C-S不等式
①: , A * ( A * )T ( A * )* A * , ; (k , ) k A * k ( , );
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
( , ) ( ) A * A * A * ( , ) ( , );
( , ) 0; ( , ) A 0, 0 (因A正定).
*
②:Cauchy-Schwarz不等式： | (, ) |
《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.2
= k1 1 ( 1 , ) k 2 2 ( 2 , ) = k1 H 1 k 2 H 2 故 是线性变换.又因为
( H , H ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ) 2 ( 2 2 )
, (i 1, , n 2) .如此
又因为各行与第 n 1 行正交，故 ai ,n1 0 由下往上逐行递推，即得结果.
8
17. 证：因为
( A S )( A S ) ( A S ) ( A S ) ( A S )
1 T 1 T T
5. 证：由 ( ( ( 得
cos , ( , )
( ), ( ), (β),
(β))= ( , β) ( ))=( , ) (β))= (β, β)
. ( ), (β))／｜ ( ), (β)＞ ( ) ｜｜ (β)) ｜
= (
= cos＜
1
1
，使
1
( 1 ) 1 . 令
1
( j ) j ( j 2,3, , n) ，如果 j j , j 2,3, , n ，则
2
=
，结论
成立.否则可设 2 2 ，再作镜面反射
2
：
2 2 2 2
( ) 2( , ) ,
于是
2
( 2 ) 2 ，且可验算有
2
(1 ) 1 .
如此继续下去，设经 s 次正交变换
1 , 2 , n , 1 , 2 , , n
1 , 2 , 3, , n 1 , 2 , , n
矩阵论课后题答案(研究生用书)改
⎞ ⎠
⎠
A
P
⎞ ⎠
⎠ ⎞
P
⎠
− 1
A
⎠
A
J
P
P
A P
J
A f f A f E E A A A A
⎞ ⎠
A
A
A
A
E
A
E
⎞
A
A A E
A
⎠
f A
A
A
A
A
A
E
A
E
E
A A
⎠
⎞
A A A
A
A
E
2
f
E
A
f A
⎞ ⎠
A
A A A E A
A
E
A
A
⎠ ⎞
E
A
E
⎠
⎞
⎞ ⎠
f A E
E
⎞
A
A
E
⎞ ⎠
f A E E E
0 0
x
x
x
A A
E
E E A A A A A E
⎞ ⎠
j
E
E A A A A
A
E E
A E
E A
A
A
E A
A
A
F
j
F
j
j
A
E
A
A
A A E A g A E A E A E A g A A E A E E A A A E
A
A
A
F
A
A
H
A
A A A A
F
A
H
A
A
A
A
A
A
F
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解：（1）对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦；（3）对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦； （3）100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦； （4）0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦； （2）3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；（2）452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（5）03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（6）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦， 该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。
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研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ??-??-+-??; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ-?-??-??; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ??+--+-??+--+-+---??;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----??. 解：（1）对矩阵作初等变换23221311(1)10010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→?-++，则该矩阵为Smith 标准型为+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ??--??-??；（3）对矩阵作初等变换故该矩阵的Smith 标准型为+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ-??-??. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ-----??；（2）1001000λαββλαλαββλα+-+?+??-+??；（3）100100015432λλλλ--?-??+??；（4）0012012012002000λλλλ+++??+??. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ??++??--+--+??；（2）322322 2212122122λλλλλλλλλλ??-+--+??-+--??. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687------??；（2）452221111-----??；（3）3732524103---??--??；（4）111333222-----??；（5）***********????-????--??；（6）1234012300120001??. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ??-→??-+??，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-；（2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ-→??-??，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ?? -→??-+??,故A 的初等因子为从而A 的Jordan 标准形为1000000i i -?? ; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ??-→??,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ??-→??+??,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001--??; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ-------??-=??--??-?? ，该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001. 5．设矩阵142034043A ??=--??，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη==-,100050005?? Λ=??,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -??-?=Λ=-. 6.设矩阵211212112A --=--??-??，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1 P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ--=-+→- ---,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ??=??.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x --= ?--??解之,得12100,111X X== ? ? ? ?-.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ?? ?-??,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组11212121211111122200021110002k k k k k k k k k -- -→-+----,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ??= ? ???.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ??==??-??.7.设矩阵102011010A ??=-??，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --??-+=--??.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++L ,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=L ,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-L ,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则9.设矩阵2113A -??=，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I -----++-=-==-.10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2n A 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-；（2）422575674-??----??；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a --?=??--??--??. 解:(1) 设311020111A -=??,则231110002002011100(2)I A λλλλλλ---=-→-----,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -=----??,则2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。