实系数一元四次方程的矩阵解法
矩阵建模法全部课件
0
G2
x4 0
0
− G4 0 x1 1
0
−
G5
x2
+
0
u =Qx
+
Pu
0 G3
0
x3
0 x4
0 0
例6.6 数字滤波器系统函数
= x1 qx2 + 2u
x2
=
3 8
q
−
1 4
x3
+
1u 4
x1 1
x2
0
x3 0
*
x4 x5
+
0 0
*u
⇒
X
=
QX
+
PU
x6 0
x7
0
x8 0
⇒ (I - Q)X = PU ⇒ W = X/U = (I - Q) \ P
例6.3 两构件桁架的平衡问题
受
Nax + Ncx = 0
力
Nay + Ncy = 200
方 程
−Ncx sinθ1 + Ncy cosθ1
Nbx − Ncx = 0
= 86
Nby − Ncy = 100
组
Ncx sinθ2 + Ncy cosθ2 = -35
1 0 0 0 1
矩阵建模法是线代最大的应用
• 从上面给出的应用实例看，电路、力学、信号与系统、信号处理、 自动控制、…..那么多的主课，都可以藉助于矩阵建模法解决其遇到 的高阶系统的难题，并借助于它而进行机算，实现计算现代化。所 以它是线性代数最有价值的一个功能，凡是用了这个功能的，都会 毫无保留地承认线性代数是工科必修的基础课。矩阵建模法有几项 特别重大的贡献我们将在下面介绍。
2024年高考数学第一轮复习知识点总结
2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。
3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。
4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。
5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。
6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。
7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。
二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。
2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。
3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。
4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。
三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。
2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。
3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。
4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。
四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。
2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。
3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。
4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。
五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。
数学史话线性代数发展史简介
数学史话线性代数发展史简介数学史话—线性代数发展史简介一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori从事数学研究，发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。
学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。
V. Z.卡兹数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。
M(Kline一、了解数学史的重要意义数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。
与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。
在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。
教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。
由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。
正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。
数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。
数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展和进步的历程。
通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律，通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。
二、代数学的历史发展情况数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
线性代数讲义2
第二章 矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.§2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1 设有线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1这个排成4行5列的产值阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7680827088809090759076848570986478755880具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，，Λ2,1=）耗用第j 种材料（n j ，，Λ2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2这个由m 行n 列构成的消耗定额阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵.这n m ⨯个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素.一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ⨯表示，或记作()nm ija ⨯.二、几种特殊的矩阵1．n 阶方阵当n m =时，即A =()nn ija ⨯时，A 称为n 阶方阵.2．对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n OO A λλλO21 3．单位矩阵主对角线上的元素都是1的n 阶对角矩阵称为单位矩阵，记为E ，如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111O O OE 4．三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a aa a a ΛM O M M ΛΛ00022211211 或 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a aa ΛM O M M ΛΛ21222111000 5．零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作n m O ⨯，简记O . 6．行矩阵、列矩阵m =1时的矩阵，即()n a a a A Λ21=称为行矩阵；n =1时的矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A M 21称为列矩阵.7．对称矩阵在矩阵n n ij a A ⨯=)(中，若),,2,1,(n j i a a jiij Λ==则矩阵A 称为对称矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410781086076258051§2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念. 定义1 在矩阵()nm ija A ⨯=和()nm ijb B ⨯=中，若它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ijij ΛΛ===则称矩阵A 与B 相等,记为A=B .定义2 设()nm ija A ⨯=，()nm ijb B ⨯=，矩阵()nm ijij b a ⨯±称为矩阵A 与矩阵B 的和或差，记作A +B 或A -B ，即n m ij ij b a B A ⨯±=±)(注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算.例1 有两种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=846075120231321034022753B A则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+11670109142984834261007354102202273513 846075120231321034022753B A矩阵加法满足以下运算规律：（1）A B B A +=+（2）)()(C B A C B A ++=++（3）A O A =+ 矩阵()nm ija ⨯-称为矩阵()nm ija A ⨯=的负矩阵，记为()nm ija A ⨯-=-.显然，有（4）O A A =-+)(二、数与矩阵的乘法定义3 以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA .如果()nm ija A ⨯=，那么()()n m ij n m ij ka a k kA ⨯⨯==不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律： (1) kB kA B A k +=+)( (2) lA kA A l k +=+)( (3) )()(lA k A kl =(4) A A A A -=-=⋅)1(1， (5) O O k =⋅ (O 为零矩阵) 例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=052110351234230412301321B A求3A -2B .解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-61941016151055011061094021223066910023496683052110351234223412301321323B A 例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=612379154257864297510213B A且B X A =+2,求X ..解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=1271211122223227212244446421)(21A B X 三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4 某工厂有321,,A A A 三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为A车间的原料费=21×12+15×14+16×8+10×20=790（元）1A车间的原料费=53×12+0×14+13×8+4×20=820（元）2A车间的原料费=24×12+32×14+10×8+0×20=816（元）3A车间的加工费=21×5+15×4+16×2.5+10×3=235（元）1A车间的加工费=53×5+0×4+13×2.5+4×3=309.5（元）2A车间的加工费=24×5+32×4+10×2.5+0×3=273（元）3上述结果列成表2-5如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2738165.309820235790,3205.28414512,010322441305310161521C B A 从上述分析可以看出，矩阵A 、B 与C 之间的关系是：C 中第i 行第j 列)2,1;3,2,1(==j i 元素恰好等于A 的第i 行各元素分别和矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C 定义为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记为C =AB , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==2738165.3098202357903205.28414512010322441305310161521AB C 我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法. 定义4 设矩阵()l m ik a A ⨯=的列数与矩阵()nl kjb B ⨯=的行数相同，则由元素),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c lk kjik lj il j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=构成的m 行n 列矩阵n m lk kj ik n m ij b a c C ⨯=⨯∑==)()(1称为矩阵A 与矩阵B 的积，记为C =A ·B 或AB .这个定义说明，如果矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数，则A 与B 的乘积C 中第i 行第j 列的元素，等于矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和.并且矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B 的列数.例5 若,012321,132132⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=B A 求AB . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012321132132AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+-⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯=97530367801)3(3)1(1)2(321130)2()3(1)1()2()2(12)2(1103)3(2)1(3)2(22312我们还可以求一下BA .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+-⨯-+⨯⨯-+⨯-+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=834910)2()1(32301)1(221)3()2()2(313)3(1)2(21132132012321BA显然,BA AB ≠.例6 若()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==530412,013B A ,求AB . 解()()()32500113)3(0)4(123530412013=⨯+⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ABBA 没有意义，因为B 的列数不等于A 的行数，BA 不可进行运算.例7 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6342,2142B A ，求AB 及BA .解⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=168321663422142AB .000021426342BA AB BA ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=由例5，例6，例7可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例6可以看到AB 有意义，BA 不一定有意义.由例5、例7可以看到，即使AB 、BA 都有意义，AB 与BA 也不一定相等.但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例7还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB =O 必然推出A =O 或B =O .例8 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021,1011B A ，求AB 与BA . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110211011AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110111021BA 显见，AB=BA .如果两矩阵A 与B 相乘，有AB=BA ，则称矩阵A 与矩阵B 可交换. 矩阵相乘时必须注意顺序，AX 称为用X 右乘A ，XA 称为用X 左乘A . 矩阵乘法具有下列性质：（1）（AB ）C=A （BC ）（2）k （AB ）=（kA ）B=A （kB ） （其中k 为数值）（3）A （B+C ）=AB+AC （4）（B+C ）A=BA+CA 设A 是n 阶方阵，规定：,,,,,1210A A A AA A A A E A k k ⋅====+Λ其中k 为正整数，k A 称为A 的k 次幂.例9 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4321A ，求E A A 5322+-. 解E A A 5322+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001543213432122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6127181650051296344181214四、矩阵的转置定义5 把矩阵A 的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为TA ，即若()nm ija A ⨯=，则()mn jiT a A ⨯=.例10 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=52134071A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=54201731T A 可见，若A 是对称矩阵，则有TA A =. 矩阵的转置具有下列性质： （1）A A TT=)(（2）TTTB A B A +=+)( （3）T TA A λλ=)(（4）TT T A B AB =)(五、方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作A .应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排列成的数表，而n 阶行列式是这些数（也就是数表A ）按一定运算法则所确定的一个数.由A 确定的A 的这个运算满足下述运算规律（设A ，B 为n 阶方阵，k 为数值）： （1）A A T = （2）A k kA n= （3）B A AB =由（3）可知，对于n 阶方阵A 、B ，一般说来BA AB ≠，但总有BA AB =例11 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=43522231B A ，，求AB . 解法1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22171143522231AB所以 56221711=-=AB解法256)7(843522231=-⨯-=⋅-==B A AB习题2.21． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150421321,111111111B A ，求 （1）3AB-2A （2）B A T2．已知011311232021132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X ，求X .3．计算下列乘积.（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-127075321134 （2）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123321 （3）()132211-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--131201********* （5）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11212221211211y x c b b b a a b a a y x 4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321431422,531531531,431541532C B A证明：（1）AB=BA=0 （2）AC=A ，CA=C （3）ACB=CBA5．证明矩阵下列运算性质.（1）)()(C B A C B A ++=++ （2）TTTB A B A +=+)( （3）A A nλλ= （4）AE =EA =A 6．求下列矩阵的幂. （1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101λA ，求kA A A ，，，Λ32 （2）求nO O⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλOO7．若矩阵AB =BA ，则称B 与A 可交换，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵.§2.3 逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算.于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b ，当0≠a 时，存在一个数1-a ，使b a x 1-=为方程组的解.那么在解矩阵方程AX =B 时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.定义1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA=E那么矩阵A 称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵. 如果A 可逆，A 的逆矩阵是唯一的.因为如果B 和1B 都是A 的逆矩阵,则有E A B AB E BA AB ====11,那么 1111)()(B EB B BA AB B BE B ===== 即 1B B =所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1-A .定义2 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称A 为非奇异的. 为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的概念. 定义3 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式A 中的元素ij a 代数余子式，那么矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111*称为矩阵A 的伴随矩阵.定理1 矩阵A 存在逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即A 为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在.证 必要性：因为A 可逆，则有1-A使E A A AA==--11.因此，01111≠====---E A A A A AA ，即0≠A .充分性：若0≠A ，作矩阵*1A AB =由§1.2定理1和定理2，可得E A A AA AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00*O ， 即得AB=E .同理，可证，BA=E .故*11A AA B ==- 二、逆矩阵的性质逆矩阵具有下列性质： （1）A A =--11)( （2）111)(---=A B AB（3）11)()(--=TTA A （4）AA11=- （5）111)(--=A kkA 下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明. 证（2） 因为E AA AEA A BB A A B AB ====------111111)())((， E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以 111)(---=A B AB证毕 由定理1,可得由矩阵A 的伴随矩阵*A 求逆矩阵1-A 的计算方法，求出矩阵A 的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵*A ；由*11A AA=-便得1-A .这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题. 例1 求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4312A 的逆矩阵. 解 因为011≠=A ，所以1-A 存在.由于213422211211=-===A A A A因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2314*A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-11211311111423141111*1A A A 例2 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=631321222A 的逆矩阵. 解 因为,02≠=A 所以1-A 存在，由于 131213613136332131211==-=-===A A A ,4312210612266322232221-=-===-=-=A A A221224312223222333231=-=-=-===A A A因此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-122125231323241410326321211332313322212312111*1A A A A A A A A A A A A 例3 试用逆矩阵求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=--353042231321321x x x x x x x x 解 令,302,,503411112321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B x x x X A 于是原方程组可写成AX=B （2-3-1）因为 ,0653411112≠=--=A 故1-A 存在，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-3339137355611*1A A A对（2-3-1）式两侧左乘1-A ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-63613613131613023339137355611B A X即线性方程组的解为21,613,61321=-==x x x .习题2.31． 验证矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123124321B A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012015120110141101510075504321B A 2．写出下列初等方阵的逆矩阵。
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第八章 二次型 § 8.1 定 义 和 基 本 性 质 § 8.2 复 二 次 型 与 实 二 次 型 § 8.3 正 定 二 次 型
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第一章 一元多项式 § 1.1 定 义 和 基 本 性 质 § 1.2 多 项 式 的 整 除 性 § 1.3 最 大 公 因 式 § 1.4 因 式 分 解 § 1.5 重 因 式 § 1.6 多 项 式 函 数
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§ 1.7 复 系 数 多 项 式 和 实 系 数 多 项 式 § 1.8 有 理 系 数 多 项 式 § 1.9 部 分分 式
高 等 代 数 讲 义
(详 细 版)
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清华大学出版社
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预备知识 第一章 一元多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩 阵 第五章 线性空间 第六章 线性映射 第七章 欧氏空间 第八章 二次型
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预备知识 § 0.1 常 用 概 念 · 方法 和 符 号 § 0.2 整 数 的 整 除 性 § 0.3 数 环 和 数 域
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第五章 线性空间 § 5.1 定 义 和 基 本 性 质 § 5.2 线 性 相 关 性 § 5.3 向 量 组 的 秩 § 5.4 基 · 维 数 和 坐 标 § 5.5 子 空 间 § 5.6 子 空 间 的 交 与 和 § 5.7 线 性 空 间 的 同 构
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第六章 线性映射 § 6.1 定 义 和 基 本 性 质 § 6.2 线 性 映 射 的 运 算 § 6.3 线 性 映 射 的 矩 阵 表 示 § 6.4 不变 子 空 间 § 6.5 特 征值 和 特 征 向 量 § 6.6 可 对 角 化 的 线 性 变 换
矩阵子式及结式的用法
矩阵子式及结式的用法1 背景介绍在现在的大学本科高等代数教科书中，涉及矩阵子式及结式的内容比较少，尤其是结式部分，只简单地介绍了结式与两个一元多项式的公因式的关系、解二元高次方程组的一般方法．而把其中最精彩、最生动的部分都隐藏起来，况且部分高校把它作为选修内容，学生不能从老师、课本那里学到发现问题、分析问题和解决问题的方法，影响学生对矩阵子式及结式的认识．基于上述现状，本文拟强调矩阵子式和结式在代数研究中的重要性．2 矩阵结式我们知道在多项式理论中，结式是个重要的概念．该理论提供了一个解二元高次方程组的一般方法．下面我们具体介绍结式的定义、性质及其计算问题．2.1 基本概念 定义1[1](P466)设有多项式1011()m m m m f x a x a x a x a --=++++，1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，则称m n +阶行列式(,)R f g =12012012012012301230123mm mmnn n a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b为()f x 与()g x 的结式．例1 设2()32,()1nf x x xg x x =-+=+，求结式(,)R f g ． 解 ()f x 与()g x 的结式为(,)R f g =132132132132100010011----，从最后一列开始，每列往前一列加，然后第一列提出２，再将第一列乘－１加到其余各列，得(,)R f g =1111000012102121021-----，按最后两行利用拉普拉斯定理展开，得()()221(,)221122n n n n R f g +++⎡⎤=+--=+⎣⎦．例２ 设2()1,()32nf x x xg x x x =++=-+，求结式(,)R f g解 =),(g f R 2312312302310000023100000231110000010011000001------，各列都加到第一列，再从第一列中提出３，接着将第一列乘－１加到第n+1列，即得2312312302310000002301000001100100001),(-----=g f R ，将第一行乘－１后加到第二行，然后再按第一列展开，得n+1阶行列式23123123023100000023110000023001000013),(------=g f R ，从最后一列开始，每列乘－１往前一列加，得21021002000210000211100013),(----=g f R ，再按第一列展开，得210210020002100002111000132121102123),(----+----=g f R ，将右端第二个行列式的最后一列（第n 列）乘－１后加到第n-１列，再将第一行展开，得3212121)1(323),(1----+⋅=+nn g f R 3(23)n =+．2.2 结式(,)R f g 的非行列式计算 2.2.1 利用多项式的根从2.1我们知道一个m 次多项式()f x 与另一个n 次多项式()g x 的结式(,)R f g 的计算，涉及到一个()m n +阶行列式的计算，这是十分麻烦的事．本节所提供的方法可以摆脱行列式的计算．定理１[1]（P467-470）设多项式1011()m m m m f x a x a x a x a --=++++,1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，且12,,,m ααα为()f x 的全部根，12,,n βββ⋅⋅⋅为()g x 的全部根（k 重根算k 个），则有 (,)R f g =01200120()()(),0()()(),0nm m n a g g g a b f f f b αααβββ⎧⋅≠⎪⎨⋅≠⎪⎩．证明 设00a ≠，对()f x 的次数m 用数学归纳法．m ＝１时，01()f x a x a =+有根1a a α-=，此时 (,)R f g =10101011n na a a a a ab b b b -．从第一列开始每列乘α往下一列加，原来0a 位置上的元素不变，而1a 位置上的元素全变为０，n b 位置上的元素则变为()g α，即这时(,)R f g 变成一个主对角线上元素是0a ，…，0a ，()g α的三角行列式．故(,)R f g 0()na g α=，即m ＝１时结论成立．假定结论对m ＝k 时成立，下面证明对m ＝k +１也成立．设1011()k kk k f x a x a x a x a ++=+++的根为12,,,,k αααα，且1()()()f x x f x α=-⋅，其中1101()k k k f x a x c x c -=++⋅⋅⋅+的根为12,,,k ααα，且()f x 与1()f x 的函数间有关系：11022111,,,,k k k k k a c a a c c a c c a c αααα-+=-=-=-=-． （１），故(,)R f g =1101111011012101210121kk k k kk kk n n n nn na a a a a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b b b b b ++++---．从第一列开始，每列都乘α后加到下一列，则由（１）知，上行列式变为(,)R f g =)()()()()()()()()(000100121001100101010ααααααααααααααααααg g b b b g g g b b b g g g g b b b c c a c c a c c a k k k k kk k+++---，再从第2n +行开始，依次将各行乘－α后加到上一行，则又得(,)R f g =11101012101210000000***()kkk kn n n na c c a c c a c c a c cb b b b b b b b b b b g α--，按最后一列展开得(,)R f g =1()(,)g R f g α，因为1()f x 的首项系数00a ≠，故由归纳法假设知1012(,)()()()n k R f g a g g g ααα=⋅，于是01(,)()()()nk R f g a g g g ααα=⋅，即m ＝k +１时结论成立．同理可证0120(,)()()(),0mn R f g b f f f b βββ=⋅≠．我们拿2.1中的例子来说明：例３ 求下列二多项式的结式(,)R f g ：2()32,()1nf x x xg x x =-+=+ 解 ()f x 的根为1,2．故1(,)(1)(2)2(21)22nn R f g g g +==+=+．例４ 结式(,)R f g ：2()1,()32nf x x xg x x x =++=-+． 解 ()g x 的根为1,２，故(,)(1)(2)(111)(221)3(23)n n n R f g f f ==++++=+．2.2.2 使用矩阵的斜消法变换该部分论证了使用矩阵斜消法变换解决多项式理论中结式计算的问题，彻底摆脱了行列式计算． 定义２[2](P1) 设2n ⨯阶矩阵1112121222n n a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，其中12(1)10,0;0,(,1,2;;0,1,,1)i i is i s j a a a a a i j i j s n +====≠≠=≠=-，则称将第i 行的()n s -个元素(1)(2),,,i s i s in a a a ++乘以数k 斜加到第j 行的对应元素12(),,,j j j n s a a a -的变换为第i 行到第j 行的斜消法变换，以()s ji R k 表示之．显然，0()ji R k 是通常矩阵的消法变换．我们规定，斜消法变换所得矩阵的首列元素全为０时，应及时消去该列再变换．于是反复使用斜消法变换，可不断降低矩阵的阶数．定理2[2](P2) 设11111211(1)(),n n n n f x a x a x a x a -+=++++12212212(1)()n n n n f x a x a x a x a -+=++++，其中：12(1)10;0;0;(,1,2;;0,1,2,,.)i i is i s j a a a a a i j i j s n +====≠≠=≠=，则总存在10,,,s s k k k -，使1010(),(),,()11121(1)2(1)2(1)21222(1)s s ji s ji s ji R k R k R k n n n s n a a a A B a a a -----+⨯+⨯+-+⎡⎤=−−−−−−−−−→⎢⎥⎣⎦．其中B 的第i 行元素是 (1)(2)(1)(,,,)i s i s i n a a a +++，B 的第j 行元素是(2)(1)(0,,,)j s j n c c ++且有：()()()()j i f x f x q x r x =⋅+其中：11012(2)(3)(1)()()s s s s n s n s j s j s j n q x k x k x k r x c xc xc ------+++=+++=+++．例５ 设5432()2234f x x x x x x =++++-,2()2g x x x =-+，求结式(,)R f g ． 解212314000112-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦312(2)032314000112R ---⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦3231400112-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦212(3)0131400112R --⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦112(1)02140112R ----⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦012(2)030112R -⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦1211()3030012R -⎡⎤−−−→⎢⎥-⎣⎦0211()33002R --⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭．由定理２得：12()3,() 2.r x x r x =-=12010205,2,1,0,1,3,2n m l l b r r ======-=，52215120(,)(1)1(3)(3,2)9(3,2)9218R f g R x R x ⨯+⨯--=-⨯⋅-⋅-=-=⨯=．2.3 结式(,)R f g 相关性质在解题中的应用 2.3.1 判断多项式的公共零点问题在多项式理论中，判定两个多项式()f x 与()g x 是否有公共根，以及一个多项式的一个根是否是重根，可由下面定理解决．定理3[1](P470-471) 设1011()m m m m f x a x a x a x a --=++++，1011()n n n n g x b x b x b x b --=++++，证明：(,)0R f g =的充要条件是：000a b ==或()f x 与()g x 有公共根．证明 必要性：设(,)0R f g =，如果000a b ==不成立，则00a ≠或00b ≠，不妨设，00a ≠，又设12,,,m ααα是()f x 的全部根，由定理１知012(,)()()()nm R f g a g g g ααα=⋅⋅⋅．因(,)0R f g =而00a ≠，所以至少有一个()0i g α=，即i α是()g x 的根，从而()f x 与()g x 有公共根．充分性：设000a b ==，则(,)R f g 的第一列元素全为０，从而(,)0R f g =．否则不防设00a ≠，由定理１知012(,)()()()nm R f g a g g g ααα=⋅⋅⋅成立，设某i α是()f x 与()g x 的公共根，则()0i g α=，于是(,)0R f g =．例６ 判别()f x 与()g x 有无公根？（１）32()22,()1f x x x g x x x =++=++（２）323()3456,()924f x x x x g x x x =-++=++解 (1) 因为 101212(1)(1)10221120230111111111R R --⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1211()223112R -⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥-⎣⎦0211()423704R ⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎣⎦．所以127()23,()4r x x r x =+=．于是 3221312077(,)(1)12(23,)47044R f g R x ⋅+⋅--=-⋅⋅+=⋅=≠，故()f x 与()g x 无公共根．（２） 因为021(3)3456345690240121314R ---⎡⎤⎡⎤−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1121()431706420121314R -⎡⎤-⎢⎥−−−→⎢⎥--⎣⎦0121()16123410168121314R ⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥--⎣⎦121192()123012802114R ---⎡⎤−−−−→⎢⎥--⎣⎦0217()412800R ---⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦．所以12()128,()0r x x r x =--=．于是(,)0R f g =，故()f x 与()g x 有公共根．例７ 当k 取何值时，多项式4()4f x x x k =-+有重根？ 解 ()f x 有重根的充要条件是(,)0df R f dx =．由于344df x dx=-0=的根为121,,w w，其中1211,22w w =-+=-．由定理１知412(,)4(1)()()dfR f f f w f w dx= 444411224(141)(4)(4)k w w k w w k =-⋅+-+-+434(27)k =-．令(,)0dfR f dx=，得123,3,3k w w =，即k 取123,3,3w w 时，多项式4()4f x x x k =-+有重根． 2.3.2 二元高次方程组的一个一般的解法设(,),(,)f x y g x y 是两个复系数的二元多项式，求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩在复数域中的全部解．(,)f x y 与(,)g x y 可以写成101(,)()()(),m m m g x y b y x b y x b y -=+++101(,)()()(),n n n f x y a y x a y x a y -=+++其中(),(),0,1,,;0,1,,i j a y b y i n j m ==是y 的多项式．把(,)f x y 与(,)g x y 看作是x 的多项式，令(,)x R f g =012012012012012301230123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n n n m m m a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y a y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y b y ，这是y 的一个复系数多项式．定理４[3](P152) 如果00(,)x y 是方程组的一个复数解，那么0y 就是(,)x R f g 的一个根；反过来，如果0y 是(,)x R f g 一个复根，那么0000()()0a y b y ==或者存在一个复数0x ，使得00(,)x y 是方程组的一个解．由此可知，为了解方程组，我们先求高次方程(,)0x R f g =的全部根，把(,)0x R f g =的每个根代入方程组，再求x 的值，这样，我们就得到方程组的全部解．例８ 解方程组2222741323014928450y xy x x y y xy x x y ⎧-++--=⎪⎨-++--=⎪⎩ ． 解 把原方程组改写一下2222(72)(4133)0(144)(9285)0y x y x x y x y x x ⎧-+++-=⎪⎨-+++-=⎪⎩，于是 (,)y R f g 22221(72)4133001(72)41331(144)9285001(144)9285x x x x x x x x x x x x -++--++-=-++--++-22221(72)4133001(72)41330(72)5152000(72)5152x x x x x x x x x x x x -++--++-=-++--++-2221(72)4133(72)51520(72)5152x x x x x x x x x -++-=-++--++-2221021(72)515200(72)5152x x x x x x x x ---=-++--++- 2222(5152)(72)(1)24(1)(2)(2)x x x x x x x x =+--++=---+．(,)y R f g 的４个根是0,1,2, 2.x =-用0x =代入方程组，得22230450y y y y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，这两个方程的公共根是1y =-，因之，(0,1)-是方程组的一个解．用同样的方法可得方程组的另外三个解是(1,2),(2,3),(2,1)-．这四个解就是它的全部解．３ 矩阵子式定义3[1](P486) 由矩阵Ａ的第1,2,k i i i 行和第1,2,k j j j 列交叉点上元素所构成的k 阶行列式称为Ａ的一个k 阶子式，记为1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，k 阶子式再附以符号()111k ki i j j +++++-后成为此子式的代数余子式，记为1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭．定义4[1](下P47)设()ij A a =为数域F 上的n 阶矩阵, 1212k k i i i A i i i ⎛⎫⎪⎝⎭1(1)k i i n ≤<<≤称为A 的(1,2,,)k k n =阶主子式，而称12(1,2,,)12k A k n k ⎛⎫=⎪⎝⎭为A 的k 阶顺序主子式．3.1 利用矩阵子式进行行列式的计算通过矩阵子式我们得到重要的Binet Cauchy -公式[4](P41)： 设矩阵m n n m m m A B C ⨯⨯⨯⋅=，则 （１）当m n >时，0C =； （２）当m n =时，C A B =⋅；（３）当m n <时，1121121212m m i i n m m i i i C A B i i i m ≤<<≤⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，其中1212m m A i i i ⎛⎫⎪⎝⎭表示在A 中取第12,,,m i i i 列与所有的前m 行组成的m 阶子式．特殊：当21212,T Tm m B A AA A i i i ⎛⎫==⎪⎝⎭∑． 公式的应用举例： 例９ 证明：2222111()()()()nn nii i i i j j i i i i i jab a b a b a b ===<⋅-=-∑∑∑∑证 设1212n n a a a A b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭，由Binet Cauchy -公式，有2211()i jT i j j i i j ni j nij a a AA a b a b b b ≤<≤≤<≤==-∑∑． 另一方面211211n nii i i i Tnni i i i i a a b AA a b b ====⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，于是211222111211()()()nnii in n ni i Tiii i n ni i i i ii i i aa bAA a b a b a b b=========⋅-∑∑∑∑∑∑∑．例10 设(,)A B C =是n 阶实矩阵，B 是n s ⨯阶子块，证明：2T TA B B C C ≤⋅． 证 由Laplace 定理，将A 按前s 列展开()iiiA B C =±∑，i B 是B 的一个s 阶子式，iC ±是i B 的代数余子式，由例9，2222(())()i i i i iiiA B C B C =±≤±∑∑∑．由Binet Cauchy -公式知221,nTT i i ii B B B C C C ===∑∑，于是2T T A B B C C ≤⋅．例11 设(,)A B C =是n m ⨯阶实矩阵，B 是n s ⨯阶子块,证明T T TA AB BC C ≤⋅． 证 当m n =时，由例10知结论成立．当m n >时，由Binet Cauchy -公式0T A A =，而0,0T TB BC C ≥≥，不等式成立． 当m n <时，0TA X =有非零解，且其基础解系至少含n m -个向量，任取n m -个线性无关的非零解排成()n n m ⨯-阶矩阵D ，则0T A D =且0T D D >．令1(,,)A B C D =，由0TA D =知0TC D =，又11(,)(,)T T T TT T TTA AA DA A A D A D A A D D D A D D=== ，由例10得 2111(,)(,).T T T T TTT T T T T C C C D A A A B B C D C D B BB BC CD D D CD D=≤⋅==由上两式及0T D D >，可得T T T A A B B C C ≤⋅．3.2 利用矩阵的子式来判定实对称矩阵的正定性，负定性及不定性问题 定理5[3]（Ｐ228-231）设A 为n 级实对称矩阵，A 为正定矩阵的充要条件为A 的顺序主子式都大于零．例12 判别实对称矩阵524212425A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为正定矩阵．解 A 的顺序主子式5245250,0,212021425->>->--，因之，A 正定． 推论 实对称矩阵A 是负定的充要条件为A 的奇数级顺序主子式小于零，偶数级顺序主子式大于零．定理6[1]（下P54-55）A 是正定矩阵的充要条件是A 的所有主子式都大于零．证 充分性是明显的，因为主子式全大于零，那么顺序主子式必全大于零，从而A 是正定的． 下证必要性．设n 阶实对称矩阵()ij A a =的主子式全大于零，而1112121222121(1)k k k k k k i i i i i i i i i i i i k k i i i i i i a a a a a a A i i n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=≤<<≤⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为A 的任一个k 阶主子式k A 所对应的k 阶实对称矩阵．由于A 是正定的，故二次型1(,,)T n f x x x Ax =对任意不全为零的实数1,,n c c 都有1(,,)0n f c c >．从而对不全为零的实数1,,k i i c c ，有1(0,,,,,,0)0k i i f c c >．（即在1(,,)n f x x 中除1,,k i i x x 外其余变量全取零），但是，对变量为1,,k i i x x ，而矩阵为k A 的二次型1(,,)k i i g x x 来说，有11(,,)(0,,,,,,0)0k k i i i i g c c f c c =>，故g 是正定二次型，从而k A 是正定的．故0k A >．注：本定理的一个特殊情况是：正定矩阵的一阶主子式即主对角线上的所有元素都必须大于零．推论 对称矩阵A 是半正定的充要条件是A 的主子式皆大于或等于零． 注意在该推论中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的．比如1212212200(,)(,)01x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对应的对称矩阵就是一个反例．定理7 A 是正定矩阵的充要条件是A 的所有i 级主子式之和都大于零． 证 必要性根据定理6显然．下证充分性．()f E A λλ=-，设1,,n λλ为A 的特征值，1()()()n f λλλλλ=--，1112112()nn n nna a a f E A a a a λλλλ---=-=---．设i S 为A 的所有i 级主子式之和，1,2,i n =．则1212()(1)(1)n n n r n r n r f S S S A λλλλλ---=-+++-++-． 0i S >，下证0λ>． 用反证法．假设有12120,()(1)(1)0nn n r n r n i i i ii r i f S S S A λλλλλλ---≤=-+++-++-=，(1)(1)(1)()(1)()r n r r n r n r n n r r i r i r i S S S λλλ-----=---=--，()i f λ中每一项都有(1)n -，所以1212()()()()(1)0n n n n r ni i i r i n S S S S λλλλ---⎡⎤-+-+-++-++-=⎣⎦，所以1212()()()()0n n n n r i i i r i n S S S S λλλλ----+-+-++-++=，又0i λ≤，所以0i λ-≥，所以1212()()()()0n n n n r i i i r i n S S S S λλλλ----+-+-++-++>矛盾．则0i λ>．所以A 的特征值都大于零，即得A 是正定矩阵．利用矩阵顺序主子式不等于零的性质，我们还可以得到下面重要的矩阵分解：矩阵的三角分解或LDU 分解．定理8 设n 级矩阵A 的顺序主子式都不等于零，则A 可以分解为一个非退化的下三角矩阵与一个非退化的上三角矩阵的乘积；进而A 可以唯一地分解成A LDU =的形式，其中L 为单位下三角矩阵（对角线元素都是１的下三角矩阵），D 为对角矩阵，U 为单位上三角矩阵．分析：假如1,A PQ P A Q -==，P 为非退化的下三角矩阵．Q 为非退化的上三角矩阵．初等行矩阵有三种，(,)P i j 不是下三角矩阵．(())P i k 下三角矩阵，(,())()P i j k j i <也为下三角矩阵．所以当只采用后两种初等变换时，12P PP P =为下三角矩阵．证明 利用数学归纳法，对A 的级数做归纳．当1n =时，11()A a =成立．假设对1n -时成立，111A PQ =，其中1P 为非退化的下三角矩阵．1Q 为非退化的上三角矩阵．当级数为n 时，1Tnn A A a αβ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1212,11,,n n Tn n n n n n a a a a a a αβ--⎛⎫⎪ ⎪==⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，11111111111111000101TT nn nn A P AQ P P Q a Q a ααββ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111n T nn E P Q a αβ---⎛⎫= ⎪⎝⎭，令()11121,,,T n Q b b b β--=，作初等行变换(,())i i P n i b -，则011n P P P -=为下三角矩阵．111111001*1n n T nn nn E P E P P Q Q a a ααβ-----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令11110000,0101Q P P P Q Q --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 为下三角矩阵，Q 为上三角矩阵，所以11Tnn A P Q a αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，即A PQ =． ２）令A PQ =，其中11110*,*0nn nn p q P Q p q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有11111111000*00nn nn nn p p p P p p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111111100*000nn nn nn q q q Q q q q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 令 11111100*0nn nn p p L p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111110*00nn nn q q U q q --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111111000000nn nn nn nn p q p q D p q p q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则A LDU =，其中L 为单位下三角矩阵．D 为对角矩阵．U 为单位上三角矩阵．下证唯一性．设111A L DU =，其中1L 为单位下三角矩阵，1D 为对角矩阵，1U 为单位上三角矩阵．则111L DU LDU =，所以11111111111,()L LD DU U L L DU U D -----==，其中11L L -为单位下三角矩阵，1111()DU U D --为上三角矩阵．所以111,L L E L L -==．同理1U U =，从而1D D =，所以分解式唯一．下面我们看定理8的一个直接应用．二次型()Tf X X AX =的i 级顺序主子式,1,2,,i D i n =都不等于零，则存在非退化线性替换X PY =，使得222211211()n n n D D g Y D y y y D D -=+++． 证 因为A 的i 级顺序主子式,1,2,,i D i n =都不等于零，所以A LDU =，其中L 为单位下三角矩阵．D 为对角矩阵．U 为单位上三角矩阵．又A 为对称矩阵，所以TA A =，又T T T T T T A U D L U DL ==，根据分解的唯一性，T L U =，令1P U -=，所以AP P d d D AU U DU U A Tn T T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===--00)(,111 ．下面证明：211211,,,nn n D D D d d d D D -===．因为()()1111100T T T i i i T T i i n e e d D A e e U U e e e e d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10*1001*011 i d d ． 两边取行列式有12i i D d d d =，所以211211,,,nn n D D D d d d D D -===成立． 另外我们还可以利用子式矩阵的基准二阶子式变换法化简矩阵，用于求矩阵的秩，同时此法也是求矩阵行向量组基的普通方法，有兴趣的同学请参阅参考文献［5］．通过上文的论述，我们加深了对矩阵子式及结式内容系统、深刻的理解，随着数学理论和实践的不断发展，矩阵子式及结式的内容也会越来越丰富．参考文献：[1] 杨子胥.高等代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社.2002R f g的非行列式计算与矩阵斜消法变换[J]. 渭南师专学报(自然科学[2] 郭佑镇.结式(,)版).1996年第2期[3] 王萼芳.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003[4] 黎伯堂、刘贵真.高等代数解题技巧与方法[M]. 济南:山东科学技术出版社.2001[5] 拜志章.矩阵的基准二阶子式变换法[J].渭南师专学报(自然科学版).1992年第1—2期[6] 徐仲等编.高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考[M].西安:西北工业大学出版社.2004.3[7]钱吉林、刘丁酉.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社.2005.12[8] A.Szanto. Multivariate subresultants using Jouanolou’s resultant matrices．Department of Mathematics．North Carolina state University，Campus Box 8205，Raleigh，NC27695．USA.。
简易方程所有的知识点总结
简易方程所有的知识点总结1. 方程的定义方程是含有未知数的数学关系，它可以表示为两个表达式之间的相等关系。
方程通常用字母表示未知数，通过代数方法可以求解出未知数的取值。
2. 未知数在方程中，未知数通常用字母表示，表示未知的数量或者大小。
在求解方程时，我们通过代数运算来确定未知数的值。
3. 方程的解解方程就是要找出使方程成立的未知数值，使得方程左边的表达式等于右边的表达式。
解方程的过程就是求出这些未知数的取值。
二、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
2. 一元一次方程的一般形式一元一次方程的一般形式可以表示为ax+b=0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
3. 解一元一次方程的方法解一元一次方程的方法包括加减消去法、配方法、代入法等。
在解方程的过程中，我们通常通过变换方程的形式来求得未知数的值。
4. 一元一次方程的应用一元一次方程的应用十分广泛，可以用来解决各种实际问题，如物品的购买和销售、工程问题、金融问题等。
三、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
2. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
3. 一元二次方程的求解方法解一元二次方程可以通过配方法、公式法、因式分解法等多种方法。
其中，一元二次方程的解法与因子分解和二次函数有着密切的联系。
4. 一元二次方程的应用一元二次方程在生活中也有很多应用，如物体自由落体运动、抛物线运动、建筑中的拱形结构设计等都可以用一元二次方程进行建模和解决。
四、一元三次方程1. 一元三次方程的定义一元三次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为三的方程。
2. 一元三次方程的一般形式一元三次方程的一般形式可以表示为ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a、b、c和d为已知常数，x为未知数。
考研数学公式大全
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
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实系数一元四次方程的矩阵解法
实系数一元四次方程的矩阵解法是一种解决实系数一元四次方程的有效方法。
它基于矩阵技术，将一元四次方程转换为一个矩阵形式，然后使用矩阵运算求解。
首先，将一元四次方程写成一个矩阵形式，即将系数与未知数分别放在矩阵的行和列中，然后将矩阵与矩阵的逆矩阵相乘，得到结果矩阵，其中结果矩阵的每一行都是一个未知数的解。
其次，计算结果矩阵的逆矩阵，即将结果矩阵转置并除以它的行列式，得到结果矩阵的逆矩阵，然后将结果矩阵的逆矩阵与原矩阵相乘，得到结果矩阵，其中结果矩阵的每一行都是一个未知数的解。
最后，将结果矩阵的每一行按照未知数的顺序排列，就可以得到实系数一元四次方程的解。
实系数一元四次方程的矩阵解法是一种有效的解决实系数一元四次方程的方法，它基于矩阵技术，将一元四次方程转换为一个矩阵形式，然后使用矩阵运算求解，最后得到实系数一元四次方程的解。