7实系数方程T
代数基本定理
n(n−1) 2
=
2n−1q(2kq − 1)
=
zk−1q′ ,
其中
q′
=
q(2kq − 1)
为奇数。
在环 P [x] 中组成用这些元素 βij 为根且只用它们做根的多项式 g(x)：
∏ g(x) = (x − βij).
i<j
g(x) 的系数为 βij 的初级对称多项式，由（1）式知，它们是 α1, α2, ..., αn 的实系数对称多项式。 由对称多项式基本定理，多项式 g(x) 的系数是所给 f (x) 的系数的多项式（f (x) 系数为实数），故仍
2) 假设小于等于 k-1 时，命题成立。 设 P 为实数域上多项式 f (x) 的分裂域，且设 α1, α2, ..., αn 为域 P 中 f (x) 的根。选取 ∀c ∈ R, 且取 出域 P 中形如下列的元素：
βij = αiαj + c(αi + αj), i < j
(1)
元素
βij
的个数为
θ∈[0,2π]
在 Ω 内为常数。即 |f (z)| 在 Ω 内无局部最大模，除非 f (z) 恒为常数。
Theorem 3.2. （代数基本定理）n 为正整数，P (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0, 其中 ai ∈ C, i = 0, 1, ..., n − 1. 则 P (z) 至少有一个根。
+
ζ) |
≤
|1
+
C eiθ ζ l |
+
D|ζ |l+1
=
|1
−
C λl |
+
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
2.4二阶张量标准形
T·g3=l3g3 g3
T·g2=l1g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
Σ
l
J
2
l1
0
0
J1 l3
l
0 0
l1
1
l l1
0
0
0
l l3
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约
j
l01
0
l2
0
0
0 0 l3
T·g3=l3g3 g3
T·g2=l2g2 g2
g1
T·g1=l1g1
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i l2 l i
则仍有
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
设
g1 g1
g3 g3
g2
i 2
gi
在 g1 , g2 , g3为基矢量的坐标系内
T
λ1 g1 g1
T
1 •2
g1
λ1
g2
T
3 •2
g3
g2 λ3 g3 g3
T
i •
j
l01
T 1 •2 l1
0
0
0
T 3 •2
l3
T g2
22T
1 •2
g1
l1
g2
T2 3 2 •2
l 0
T
i •
j
l
0
0 0 l3
T·g'3=l3g'3
高二数学实系数一元二次方程1
上海市新中高级中学 陶志诚
一、复习 1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
的求根公式 当 b2 4ac 0时，方程有两个实数根：x b b2 4ac
2a 2a
2、-1的平方根是: i
设问①：一元二次方程 x2 1 0在复数范围内有没有解？
x2 ax 4 0(a R)
例2、已知一元二次方程x2 mx n 0(m、n R)，
试确定一组m、n 的值，使该方程分别有两个
不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚
数根，并解方程.
例3、在复数集中分解因式：
（1）x2 x 2； （2）2x2 4x 5
.
2、实系数一元二次方程中根与系数的关系：
设问②：在复数范围内如何解一元二次方程x2 x 1 0？
二、新课
1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：
设一元二次方程 ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
原方程可变形为
x2
b a
x
c a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（1）当 b2 4acBiblioteka 0时，原方程有两个不相等的实数根
实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c R且a 0)
根与系数的关系： x1 x2
b a
，x1 x2
c a
例4、已知3i 2是关于x的方程 2x2 px q 0 的一个根，求实数p、q的值.
三、课堂练习 见课本P91练习13.6（1）； P92练习13.6（2）T1.2.3.
四、课堂小结
五、课后作业 1.书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T1.2.3.4.5.
复变函数课后习题答案(全)
精心整理习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（ 1）1（2）i2i 1)(i2)3(i（3）13i （4） i 84i21ii1 i解：（ 1） z1 3 2i ，3 2i 13因此： Re z3 , Im z2 ，13 13 （ 2） zii 3 i ， (i1)(i 2)13i10因此， Re z3 , Im z 1 ，1010（ 3） z1 3i ii3 3i 3 5i ，i 12 2因此， Re z3 , Im z 5 ，32（ 4） zi 8 4i 21i 1 4i i 1 3i因此， Re z 1, Im z 3，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（ ） （ ）1 3i （ ） r (sin i cos )1 i23（ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin(02 )解：（ 1） icosi sini e 2 22222（2） 13ii2(cosi sin)2e33 3（ 3） r (sini cos ) r[cos()i sin()] () i2re22（ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]re i（5）1cosi sin2sin 22 2i sincos 22页脚内容..3． 求下列各式的值：（1）( 3 i)5 （ 2） (1i )100(1i)100（3）(13i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5)2(1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3)3（5） 3i（ ）1i6解：（ 1） (3 i )5 [2(cos() i sin( ))] 566（2） (1 i )100(1i)100(2i )50( 2i )502(2)50251（3）(13i )(cos i sin )(1 i )(cos i sin )(cos5i sin 5 ) 2（4）i sin 3 )3(cos3（5） 3i3cosi sin22（6）1 i2(cos i sin )4 44． 设 z 11 i, z 23 i, 试用三角形式表示 z z 与z 1212z 2解： zcos i sin , z 2 2[cos() i sin( )] ，所以14466z 1z 22[cos() i sin( 46 )] 2(cos12 i sin ) ，4 6125． 解下列方程：（1） (z i )5 1（ 2） z 4 a 4 0( a 0)解：（ 1） zi51,由此z51i 2k ii ， (k0,1,2,3,4)e 5（2） z4a 44a 4 (cosi sin )..精心整理a[cos 1(2k ) i sin 1(2k )] ，当 k0,1,2,3时，对应的 4 个根分别为：44a(1 i ), a ( 1 i), a ( 1 i ), a (1 i)2 2 226x iy, 则xy zxy． 证明下列各题：（ 1）设 z2证明：首先，显然有 z x 2 y 2xy ；其次，因 x 2y 2 2 x y , 固此有 2( x 2 y 2 ) ( xy )2 ,从而 zx2y2x y2 。
实系数二次方程实根分布问题中参数范围的求法
， △ ≥ ｏ ，
， △ ≥ ｏ ，
侧 ２ 已知一元二次方程 ｚ 一（ ＋１ ） ｚ ＋３
—０的两个 实根 都大 于 一１ ， 求 实数 ｍ 的取值 范 围 。
解： 令 ｆ（ ｘ ） ＝ｍｘ。 一（ ＋ １ ） ｚ＋３ 。
≥０ ，
侧 ， 已知关于． ２ ７ 的方程 （ １ ＋口 ） ｚ －３ ａ ｘ＇ ｂ ４ ａ
， △≥ ０， ≥
种 题 型及 其求 解 策略 ， 供 大家 参考 。 为叙 述方 便 ， 现约定 ： 当实 系 数 二 次 方 程 ａ ｚ ＋
６ ｚ＋ｃ 一０ （ ｎ ≠Ｏ ） 有 两个 实 ２。
ｃ ， 则 ． ｛ ｌ （ ｚ １ 一 是 ） ＋ （ 。 一 愚 ） ＞ ｏ ， 铮 Ｊ 。 ｆ （ ｋ ） ＞ Ｏ ’
： ＝ ： ０的所 有 根均 小 于 １ ， 求 实数 口的取值 范 围 。
解： 若 １ ＋ａ一０ ， 即 ａ一 一 １ ， 则方程 （ １ ＋ａ ） 一
由 题 意 可 知 ： Ｊ Ｉ ， （ 一 ） ＞ ｏ ，
ｌ
一
ｎ
厶 ，，￡
＞ ， 一 １。 ｏ
Ｉ
评析 ： 若从 （ ｚ ＋１ ） ＋（ ｚ 。 ＋１ ） ＞ｏ ， 的 角度 解 决 ｌ （ ｚ
１
＋ １ ） （ ２ ＋１ ） ＞ ０
例 ２ ， 运 算量 明显较 大。
学科 学 ， 探奥秘 ， 开 阔知 识 视 野 ； 品英 华， 添食粮 ， 托起 梦想翅膀。
— —
风 铃 姐 姐
类 型三 ：方程 的 一个 实 根 大 干 常 数 ｋ ，另 一 个
实根 小 干 ｋ
变式 ： 已知在 区间 （ 一３ ， Ｏ ） 内有 且 仅 有一 个 数 值
线性代数_第六章
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
高等代数习题课指导讲义
高等代数习题课指导高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。
教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。
习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵〔2学时〕教学目的 通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。
基础提要 略述〔结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法〕。
课堂练习：1 计算AB ，BA ，AB －BA ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b c a B a b c c b a A 111,111． 2 设A ，B ，C ∈)(F M n ．证明，假设AB =BA ，AC =CA ，则A (B + C ) = (B + C ) A ；A (BC ) = (BC ) A ．3 设A = )()(F M a n nn ij ∈，A 的主对角元素nn a a a ,,,2211 的和∑=ni ii a 1叫做A 的迹，记作A Tr ．设A ，B )(F M n ∈，证明：1);Tr Tr )(Tr B A B A +=+ 2);,Tr )(Tr F k A k kA ∈=3));(Tr )(Tr BA AB = 4)AB －BA n I ≠．4 设A n M ∈(R )，且A '= A ．证明，假设2A = 0，则A = 0．5 设A = B +C 机遇)(F M n ∈，其中C C B B -='=',．证明以下命题彼此等价：1) A A A A '='； 2)BC = CB ； 3)CB 是反对称矩阵．6 设)(F M A n ∈，且A 2+A +I n =0．证明，A 可逆；并求A -17 设)(F M A n ∈是对合矩阵, 即n I A =2,且n I A ±≠.证明：1)A 是可逆矩阵, 并求1-A . 2)A I n +与A I n -都是奇异矩阵.8 设A ，B ，C )(F M n ∈．证明：1)假设A 非奇异，则AB = AC ⇒B = C ；2)假设A 奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．9 设)(F M A n ∈可逆，且1-A =nn ij b )(，求,)(1-A P ij ,))((1-A k D i )((k T ij 1)-A ．10 设n M A ∈(R )．证明假设以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：1) A 是对称矩阵； 2) A 是对合矩阵； 3) A 是正交矩阵．课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学内容【知识结构】一、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω: 13i 22ω=-+，213i 22ωω==--，31ω=．210ωω++=． （2） 1-的立方根：13131,i,i 2222z z -=+=- 二、复数方程1. 常见图形的复数方程 （1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根求根公式：0≥∆ 一对实根aac b b x 2422,1-±-= 0<∆ 一对共轭虚根ab ac i b x 2422,1-±-= 注：韦达定理仍适用【例题精讲】例1、求i 247+的平方根。
解：设i 247+的平方根为bi a +（a 、R b ∈）∴ i abi b a bi a 2472)(222+=+-=+ ∴ ⎩⎨⎧==-242722ab b a ∴⎩⎨⎧==34b a 或⎩⎨⎧-=-=34b a∴ 平方根为)34(i +±拓展：1）求1的立方虚根。
解：13=x ，013=-x0)1)(1(2=++-x x x 2312||1i i x ±-=∆±-=2）1,13=≠ωω，求302302ωωω+++ 的值。
解：原式ω)28252219161310741(+++++++++=2)29262320171411852(ω++++++++++323165155145)30963(ωωωω++=++++ （1）i 2321+-=ω时 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145-=+--++-=（2）i 2321--=ω 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145+=++-+--=3）,0,0,22=++≠y xy x y x ，求20052005)()(yx y y x x +++的值。
解：022=++y xy x 01)(2=++y x y x ω=±-=i y x 2321 原式20052005)()(y x y y x x +++=20052005])1([])1([y y y y ωωω+++=20052005)11()1(ωωω+++=注：1)1(3-=+ω （1）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1()11()1(66866820052005=+-++-=+++=ωωωωωω（2）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1(668668=+-++-=ωωω∴ 1)()(20052005=+++y x y y x x例2、已知：1+i 是方程 32271060x x x -+-=的一个根，求：其余的根解：i -1也为其根 0))(22(2=++-b ax x x3,2-==b a23=x拓展：1）设 1x ,2x 是实系数一元二次方程 20x x m ++=的两个虚根，且 123x x -=，求：m 的值。
解：设bi a x ±= 3=+-+bi a bi a23=b 21-=a 25=m2）设关于x 的方程 2236(1)10x k x k --++=的两根的模的和为2，求：实数k 的值。
解：若两根为实根0>∆2)1(2±=-k2=k （舍） 0=k若两根为实根0<∆设bi a x ±=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=311)1(222k k a 2=k 2-=k （舍）3）已知复数ω满足i )23(4ωω-=- （i 为虚数单位），25-+=ωωz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程。
解：i i 34)21(+=+ω i i i -=++=22134ω i i iz +=-+-=325 若实系数一元二次方程有虚根i z +=3，则必有共轭虚根i z -=36=+z z ，10=⋅z z 01062=+-x x例3、βα,为方程0)34()2(2=++--i x i x 的根，求（1）22βα+（2）33βα+（3）βα11+。
解：（1）i i i 105)34(2)2(2)(2222--=+--=-+=+αββαβα（2）]3))[((233αββαβαβα-++=+i i i i 1731)]34(3)2)[(2(2--=+---=（3）i 525111-=+=+αββαβα拓展：1）实数a 为何值时方程0)()1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根。
解：设实根为0x ∴ 0)1()(02202020=+++++i x a ax a x ax⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010********x a ax a x ax 相减)1()1(202-=-a x a0)1)(1(02=--x a （1）1=a 原式012=++x x 无实根（2）1-=a 原式012=--x x 有实根（3）10=x 原式012=++a a a 无实根∴ 1-=a 方程有实根2）已知关于x 的方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）有实数根b.（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足|-z -a-bi|-2|z|=0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）∵b 是方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）的实根，∴（b 2-6b+9）+（a-b ）i=0，故⎩⎨⎧==+-b a b b 0962解得a=b=3. （2）设z=x+yi （x ，y ∈R ），由|-z -3-3i|=2|z|， 得（x-3）2+(y+3)2=4（x 2+y 2），即（x+1）2+（y-1）2=8.∴Z 点的轨迹是以O 1（-1，1）为圆心，22为半径的圆.如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z|有最大值或最小值.∵|OO 1|=2，半径r=22， ∴当z=1-i 时，|z|有最小值且|z|min =2.例4、已知复数z 对应的点与原点组成直线的倾斜角是60°，且| z －1|是| z |和| z －2|的等比中项. 求| z |。
解：设(cos60sin60)z r i =+ ，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即例5、设非零复数21z z 、满足212221100z kz z z =+ R k ∈ ，并且12z z 是虚数。
(1)求证：1210z z =(2)若*N k ∈，当k 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数12z z 的和 解：令x z z =12，则原方程可化为01002=+-kx x ， 04002<-=∆k ，24002i k k x -±= (1) 10)400(2122=-+=k k x ，即1012=z z ， 1210z z =(2) *N k ∈，19,,3,2,1 =k因每个方程的两根之和均为k ，故所求的和为19019321=++++例6、已知：复数z 1=m +ni ，z 2=2－2i 和z =x +yi ，若z =1z i －z 2⑴若复数z 1所对应点M(m ，n )在曲线y =21(x +3)2+1上运动，求复数z 所对应点P(x ，y )的轨迹方程； ⑵将⑴中P 的轨迹上每一点沿着向量a ={23，1}方向平移213个单位，得新的轨迹C ，求C 的方程； ⑶过轨迹C 上任意一点A （异于顶点）作其切线l ，l 交y 轴于点B ，问：以AB 为直径的圆是否恒过x 轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由；解：⑴(y +1)2=2(x +1)⑵向右平移23，向上平移1，得y 2=2(x －21) ⑶设A(x 0，y 0)，斜率为k ，切线y －y 0=k(x －x 0) (k≠0)，代入整理得k y 2－2y +(2y 0－2k x 0+k)=0，△=0得(2x 0－1)k 2－2y 0k+1=0y 20=2x 0－1，代入y 20k 2－2y 0k+1=0，得k=01y . 令x =0，B(0，y 0－00y x )，以AB 为直径的圆(y －y 0)[y －( y 0－00y x )]+x (x －x 0)=0 令y =0，x =1 即恒过(1，0)。