解实系数方程及复数的几何表示
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1-1复数的概念课件北师大版必修第二册
【对点练习】❷ m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得mm2＋－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠－5或3.m＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm2＋－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
[解析] 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3.
(1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数， ∴m≠5 且 m≠－3. (3)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝≠00. ， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝＝00. ， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(√)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数
的相等．
(√)
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的
a2－3a－1＝3， ∴a2－5a－6＝0. 解得 a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－__3__. m2－9＝0
[解析] ∵z<0，∴m＋1<0 ，∴m＝－3.
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
1.1复数及几何表示(1)
复数的定义 对于任意两实数 x, y, 称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为 z 的实部和虚部, 记作 x Re z, y Im z. 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 把它看作实数 x. 注意： 全体复数的集合记为 .
a1 ib1 (a1 ib1)(a2 ib2 ) a2 ib2 (a2 ib2 )(a2 ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a22
a1b2 b22
(a2
ib2
0).
复数的加法、减法、乘法和除法的定义 设 a1, a2,b1,b2 R,则复数的加法、减法、
二、 复数域是实数域的扩充
让形如(a,0)的复数与实数a对应,记作(a,0) a. 由定义可看出它们的和、积
(a,0) (c,0) (a c,0) a c, (a,0)(c,0) (ac,0) ac.
因此 是一个同构对应. 在同构的意义下,简记(a,0) a. 从而实数集 : {(a,0) a} 是复数集的子集,复数集 是实数集的扩充.
(c id) (a ib) x iy (c a) i(d b)
(c id) (a) i(b). 注：(1) 复数减复数等于实部减实部，虚部减虚部;
或 (2) 减去一个复数等于加上它相反的数.
除法是乘法的逆运算
若复数x iy满足(a ib)(x iy) c id,则称 x iy是c id和a ib的商,记为x iy (c id) /(a ib).
(4) 每个复数a ib有相反的数(a) i(b);
(5)
每个非零复数a
ib有倒数
a2
a
复数的几何表示
辐角：表示复数在复平面上的旋转角度
复数的几何运算
03
加法运算
举例：例如z1=3+4iz2=1+2i则z1+z2=4+6i
定义：两个复数相加相当于在复平面内将它们的向量相加
规则：平行四边形法则即以实部和虚部分别为邻边作平行四边形其对角线即为相加后的复数
几何意义：表示在复平面内将z1和z2对应的点相加得到的结果对应的点就是z1+z2
复数的几何表示
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汇报人：
目录
01
添加目录项标题
02
复数的几何定义
03
复数的几何运算
04
复数的几何意义
05
复数的几何应用
06
复数的几何表示的扩展
添加目录项标题
01
复数的几何定义
02
复数平面的坐标系
实轴和虚轴：复数平面的水平轴表示实数垂直轴表示虚数
点的表示：每个复数z可以表示为平面上的一点(,b)其中是实部b是虚部
模长：复数z的模长定义为√(^2 + b^2)表示点(,b)到原点的距离
幅角：复数z的幅角定义为rctn(b/)表示点(,b)与实轴正方向的夹角
复数在平面上的表示
实部为横坐标虚部为纵坐标
复数平面的表示方法有多种
复数由实部和虚部组成
复数可以用平面上的点来表示
复数的模和辐角
复数的模：表示复数在复平面上的距离
除法运算
定义：复数 + bi 与 c + di 的除法运算可以通过乘以共轭数的方式进行
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应用：在电路分析、信号处理等领域中复数的除法运算有广泛应用
第一章 第2节 复数几何表示
0
, ( 0)
0 ，
无意义
二、区域
1.区域的概念 集合中的各类点
1）集合的各类点（集）
一维空间：邻域（开区间）
（ x0
x0
） x0
二维空间：邻域（开圆）
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1
z0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
2.单连通域与多连通域
(5)0 arg z ;
非开集
边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D 中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界.
说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
C2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域
z0
R
邻域: 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
说明
z0所对应的点P的邻域和去心邻域也可 分别记作U(P,), U (P,δ)
说明 包括无穷远点自身在内且满足 z M 的
所有点的集合, 其中实数 M 0, 称为无穷远 点的邻域.
第一章
中职数学 第六章 复数
图 6-3
第一节 复数的概念与几何表示
课堂练习
（1） z1=2+3i； （3） z3=－2；
图 6-1
第一节 复数的概念与几何表示
由复数的定义知，任何一个复数z=a+bi(a,b∈ R )都对 应唯一的有序实数对 a,b ，其中a,b分别为复数z的实部和虚 部，而有序实数对a,b 又对应着直角坐标平面的唯一的一个 点Z，其坐标为a,b .反之，对直角坐标平面内的每一点Z a,b 确定的唯一的有序实数对a,b ，如果a,b被分别看成复数z的实 部和虚部，那么就对应唯一的复数z=a+bi.这样就建立了复 数z=a+bi与直角坐标平面的点Z a,b 之间的一一对应关系， 即每一个复数都对应直角坐标平面内的一个点，直角坐标平 面内的每一个点也对应一个复数，如图6-2所示.
第一节 复数的概念与几何表示
图 6-2
第一节 复数的概念与几何表示
于是，复数z=a+bi(a,b∈ R ) 直角坐标系中的点Z a,b 表示.建立直角坐标 系来表示复数的平面称为 复平面 .在复平面 内，x轴上的点都表示实数，y轴上除去原点 以外的点都表示纯虚数，因此，一般将x轴称 为实轴 ，将y轴称为虚轴 .
课堂练习
计算 （1）i3；
（2）i5.
第一节 复数的概念与几何表示
根据数i的性质，i可以与实数b相乘，由于 满足乘法交换律，其乘积一般写成bi（规定 0×i=0），再将bi与实数a相加，由于满足加法 交换律，其和一般写成a+bi.
高三数学 复数的运算,在复数集中解方程,复数运算的几何意义 知识精讲
高三数学 复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义 知识精讲（一）复数的运算（1）复数的代数形式：()z a bi a b R =+∈,；（2）复数的加法与减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±； （3）复数的乘法与除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++；a bi c di ac bd c d bc adc d i ++=+++-+2222； （4）z z z z z z z z z m n m n m n mn n n n⋅==⋅=⋅+，，()()1212； （5）i 的周期性ii i i i i n Z n n n n 414243411++-+==-=-=∈，，，()； （6）ω的性质及应用：若n 为虚数，且ω31=，则称ω为1的虚立方根， 1的立方根为112321232，，-+--i i 且有性质：102++=ωω。
ωωωωω3211===-，，（7）常用计算结果：①()()a bi a bi a b +-=+22； ②()122±=±i i ；③11+-=ii i ； ④122±⎛⎝⎫⎭⎪=±i i 。
（二）在复数集中解方程（1）形如()f z z z ，，||=0型的复数方程解法，通常设()z x yi x y R =+∈,，利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化。
（2）一元二次方程ax bx c 20++=，若a 、b 、c 中至少有一个虚数，则 ①求根公式仍适用； ②韦达定理仍适用；③判别式判别根的情况无效； ④虚根成对出现性质无效。
（3）解形如ax b n+=0的二项方程()a b C ,∈（三）复数运算的几何意义（1）复数加、减法的几何意义（平行四边形和三角形法则） （2）复数乘法的几何意义（逆时针和顺时针旋转） （3）复数除法的几何意义 （4）复数开方的几何意义注意：有关模与辐角（主值）的变化。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
《基础数学(第3册)》教学课件 第10章 复数
数的概念从人类的社会实践中 产生，又随着社会生产力的进步 和数学自身的发展不断得到补充 和完善．从自然数集、整数பைடு நூலகம்、 有理数集到实数集，每一次数的 概念的发展，新的数集都是在原 有数集的基础上“添加”了一种 新的数得来的．复数集的引入实 现了中学阶段数系的最后一次扩 充．
目录
01 02 03 04
2i的实部是0，虚部是 2 其中，2，0是实数；-0.1i，1+3i，1 3i ， 2i 是虚数；-0.1i， 2i 是纯虚数．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
例2 已知 (2x y) (x 2 y)i 5 i ，其中 x ，y R ，求x与y．
解 由复数相等的定义，得
特别地，
a bi c di a c ，b d ．
a bi 0 a b 0 ．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
有下列两组数： （1）z1=1+i与z2=1-i； （2）z1=-1+2i与z2=-1-2i； 观察上述数可以发现，它们的实部相等，虚部互为相反数． 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，则称这两个数互为共轭复 数．复数z的共轭复数 z 用来表示，即z=a+bi的共轭复数为z a bi
10.1.2 复数的几何表示
例6 求下列复数的模，并比较这些模的大小：
z1 2 3i
z2 1 3i
z3 2 i
解 如图所示，2+3i用点A(2，3)表 示；-2i用点B(0，-2)表示；3用点 C(3，0)来表示；0用点O(0，0)表 示．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.2 复数的几何表示
例5 在复平面内，作出表示下列复数的向量： 2+2i，-3-2i，-4，2i，2-2i．
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解实系数方程及复数的几何表示
一.教学目标
1．知识与技能：
(1)复数开平方运算，在复数集中求解是系数一元二次方程
(2)了解复平面的概念，复数bi
=两种集合表示：点P)
z+
a
(b
a及向量
,
(3)了解模的定义，并会简单运用
2．过程与方法：
(1)让学生感受行与数之间的和谐统一
(2) 体会思考问题的方式和方法，提高实践动手操作能力
3．情感、态度与价值观：
通过对复数的代数语言与几何语言相互转换的情景学习，体会解决复数问题的手段，培养学生勇于创新的精神
二.教学重难点
1．教学重点：
(1)复数开平方、求平方根问题
(2)实系数一元二次方程求根公式
(3)复数的几何表示
2．教学难点：
(1)复数求平方根问题
(2)复平面概念的建立
三.教学方式：讲授式
四.教学手段：多媒体、板书。