721定义与命题
7.2.1定义与命题-北师大版八年级数学上册课件
同的语言认识才能进行.
要对名称和术语的含义加以描述，作出明确 规定.也就是给出它们的定义.
例如
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公 民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
2.“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两 点之间的距离”的定义;
（3）相等的两个角是对顶角（ ）
（2）这个句子必须对某件事情作出肯定或否定 观察上面的命题，我们发现命题（1）（2）是错误的，命题（3）（4）是正确的.
如果两天直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
的判断. （3）相等的两个角是对顶角（ ）
（3）相等的两个角是对顶角（ ） 民” 是“中华人民共和国公民”的定义; 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. “那么”引出的部分是结论. 就像视频中出现的电影的名字一样，数学中也有许多专有名称. 请你认真观看视频，并说出视频中出现的电影的名字.
判一判
例1：请你判断下列句子是命题吗？ （2）这个句子必须对某件事情作出肯定或否定
你还能举出曾学过的“定义”吗?
（4）过点O作线段MN的垂线.
如果两天直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
（7）互为邻补角的两个角的（平分1线）互相相垂直等（ 的） 角不是对顶角.
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
(2)等边三角形的三个角都是60°. （4）两点可以确定一条直线（ ）
（1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句.
说明假命题的方法：举反例
⑵你在还同 能一举个出三曾角学形过中的，“等定角义（对”等吗3边? ）； 若a+b=b+c，则a=b.
也就是给出它们的定义. ⑴对顶角相等.
【教育资料】北师大版八年级上册 第七章 7.2.1 定义与命题 教案学习精品
7.2.1定义与命题(教案）教学目标知识与技能：1.理解定义与命题的概念.2.分清命题的条件和结论,并能判断命题的真假.过程与方法：在实例中体会定义、命题的含义,通过举反例判断一个命题是假命题.情感态度与价值观：通过举反例的方法来判断一个命题是假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.教学重难点【重点】理解命题的概念,找出命题的条件和结论.【难点】正确找出命题的条件和结论.教学准备【教师准备】预想学生在学习本课时中会遇到的困难.【学生准备】复习最近学过的几个重要概念.教学过程一、导入新课上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？下面大家来想一想：（出示投影片）今天我们就来学习“定义与命题”.二、新知构建（1）定义与命题[过渡语]任何学科知识的构建,都离不开用概念表述相关的内容.本课时我们就要从数学的角度认识定义、命题等相关的概念.大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.如：上面的命题（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件，那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.如：“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.师:很好,同学们能举出学过的一些定义吗?生1:“含有未知数的等式叫做方程”是“方程”的定义.生2:“有两边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.生3:“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的整式方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.生4:“具有中华人民共和国国籍的人叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义.师:看来同学们对定义已经有了认识,你能发现“定义”的基本形式是怎样的吗?生:定义的基本形式都是:“……叫做……”.[设计意图]通过学生对定义的举例,加强学生对“什么是定义”的理解.让学生从句子特点与形式上观察,认识定义.2.认识命题思路一[处理方式]独立思考,仔细品味教材议一议的内容,理解什么是命题.下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断?哪些没有?(多媒体出示)(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;(2)对顶角相等;(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD.生:(1)(2)(3)(4)四个句子作出了判断,(5)(6)两个句子没有作出判断.师:是的,前四个句子作出了判断.像这样的句子,叫做命题.你能否给“命题”下个定义呢?生:判断一件事情的句子,叫做命题.(教师板书:判断一件事情的句子,叫做命题)[设计意图]让学生初步认识命题,再引导学生以回答问题的形式对命题的定义进行总结,从感性思维上升到理性思维,培养学生自我学习的能力.思路二：师:给出命题的定义:命题是判断一件事情的句子.你能举出几个命题的例子吗?出示问题:(1)三条边对应相等的两个三角形一定全等;(2)锐角都小于直角;(3)美丽的天空;(4)所有的质数都是奇数;(5)过直线l外一点P作l的平行线;(6)如果明天是星期五,那么后天是星期六;(7)若a2=4,求a的值;(8)熊猫有翅膀.【学生活动】小组交流,对提出的问题作出判断,哪些是命题?哪些不是命题?展示交流:生1:(1)(2)(4)(6)都是命题,其余不是.生2:不对,(8)“熊猫有翅膀”也是命题.师:(质疑)你能说一说为什么吗?生:虽然这句话错了,但它作出了判断.只要是判断一件事情的句子就是命题,不论判断得对错.师:(给出肯定)说得好,谁还能列举出一些命题吗?生1:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等.生2:我是一名学生.师:(作出判断)很好!想一想,定义是命题吗?任何一个命题都是定义吗?(学生思考一会儿,交流后回答)生:定义一定是命题,但命题不一定是定义.[设计意图]通过对命题与非命题的辨析,让学生理解命题的特点,进一步培养学生的能力.教师强化对命题特点的掌握,也为真、假命题的判断打下基础.最后老师提出的问题让学生将本课时所学的两个知识点进行联系与拓广.（2）条件与结论[过渡语]观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征?（1）如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;（2）如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一角分别相等,那么这两个三角形全等.【学生活动】先独立思考,再结合教材第166页想一想的内容,小组内开展交流讨论“命题有什么结构特征”.展示交流成果:生1:都是用“如果……那么……”的形式叙述的.生2:每个命题都是由条件和结论两部分组成的.生3:条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.生4:“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.(教师板书:条件和结论)师:上题的条件、结论分别是什么?生1:(1)题的条件是一个三角形是等腰三角形,结论是这个三角形的两个底角相等.生2:(2)题的条件是a=b,结论是a2=b2.生3:(3)题的条件是两个三角形中有两边和一角分别相等,结论是这两个三角形全等.一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.有些命题没有写成“如果……那么……”的形式,条件和结论不明显,如“同角的余角相等”.对于这样的命题,要经过分析才能找出条件和结论,也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式.[设计意图]对命题的结构进行分析,让学生会区分一个命题的条件和结论.引导学生,当一个命题不好区分条件和结论时,可以先改写成“如果……那么……”的形式;但改写时不要机械地添上“如果”和“那么”,应适当地调整顺序或补充修饰词语,使改写后的语句通顺、完整.（3）、真命题与假命题[过渡语]命题的结论都是正确的吗?教师给出以下四个命题,并提问:(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;(3)全等三角形的面积相等;(4)三角形三个内角的和等于180°.【学生活动】(1)指出命题的条件和结论;(2)命题中哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?在学生回答的基础上进行总结,给出真命题、假命题的概念,以及如何判断一个命题是假命题的方法——举出反例.总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是一个假命题,通常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.(教师板书:真命题、假命题、反例)[设计意图]学生在判断命题的正误时主要依据过去的经验,教师可进一步追问,对于一个不正确的命题,还能怎样判断其错误呢?教师应让学生充分表达自己的判断方法,进而引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了.[知识拓展]1.在定义中,要提示该事物与其他事物的本质属性的区别.2.根据命题的定义可知只要是对一件事情作出判断的句子都是命题,而不论这个判断正确与否.3.很多情况下,命题的形式并不是“如果……那么……”的形式,在把命题改写成“如果……那么……”的形式时,为保证语句的通畅和不改变原意,应对原句进行适当的修改或调整.三、课堂总结——定义—对名称或术语的含义进行描述作出明确的规定—命题——组成每个命题都由条件和结论组成形式都能写成“如果……那么……”的形式真假命题可分为真命题和假命题判断要说明一个命题是假命题只要举出一个反例即可四、课堂练习1.下列命题中,属于定义的是 ()A.两点确定一条直线B.同角或等角的余角相等C.两直线平行,内错角相等D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度解析:A,B,C分别是一个命题,但不是定义;D是一个定义.故选D.2.下列语句中,是命题的是()A.高高的山B.你好吗C.同位角相等D.在直线AB上取一点C解析:A,B,D只是对一件事情的叙述或询问,不是命题.故选C.3.下列语句中,不是命题的是 ()A.直角都相等B.如果ab=0,那么a=0C.不是对顶角的两个角相等D.连接两点A,B解析:A,B,C分别是命题;D不是命题,是描述性语言.故选D.4.下列命题是假命题的是 ()A.锐角小于90°B.平角等于两直角C.若a>b,则a2>b2D.若a2≠b2,则a≠b解析:A.根据锐角的定义,锐角小于90°,正确;B.平角等于180°,直角等于90°,因此平角等于两直角,正确;C.例如a=1,b=-3,1>-3,但12=1<(-3)2=9,错误;D.两个数的平方相等,则两个数相等或互为相反数,因此两个数的平方不相等,则这两个数既不相等也不互为相反数,正确.故选C.5.下列选项中,可以用来说明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=2解析:选项A,a=-2满足a2>1,而a=-2不满足a>1的要求,是原命题的反例;选项B和选项C,a=±1不满足a2>1,即不满足题设的条件,不是特例,故不是反例;选项D既满足a2>1,也满足a>1,不是反例.故选A.五、板书设计第1课时1.定义与命题2.条件和结论3.真命题、假命题、反例六、布置作业（1）、教材作业【必做题】教材随堂练习第2题.【选做题】教材习题7.2第3题.（2）、课后作业【基础巩固】1.下列语句中,是命题的为 ()A.延长线段CDB.相等的角是对顶角C.作平行线D.取线段AB的中点M2.命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”是()A.条件部分B.是条件,也是结论C.结论部分D.不是条件,也不是结论3.下列说法不正确的是 ()A.“不等式2x>4的解集是x>2”的条件是“不等式2x>4”B.“如果x2=y2,那么x=y”的结论是“x=y”C.“平行四边形的对角线互相平分”的条件是“平行四边形”D.“对顶角相等”的条件是“对顶角相等”4.下列语句中:①平角都相等;②等于同一个角的两个角相等吗?③画两条相等的线段;④邻补角的平分线互相垂直;⑤两直线平行,同位角相等;⑥等腰三角形的两底角相等.其中是命题的有()A.3个B.4个C.5个D.6个5.下列命题错误的是()A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数,0,负无理数D.两点之间,线段最短6.要说明命题“绝对值相等的两个实数相等”是假命题,你举的反例是.【能力提升】7.指出下列命题的条件和结论.(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行;(3)等角的补角相等;(4)平行四边形的对边相等.【拓展探究】8.如图所示,下面有四个条件:(1)AE=AD,(2)AB=AC,(3)OB=OC,(4)∠B=∠C.请你写出一个由其中两个作为已知条件,另外两个中的一个作为结论的命题,并判断其真假.【答案与解析】1.B(解析:A.延长线段CD,是描述性语言,它不是命题,错误;B.相等的角是对顶角是命题,正确;C.作平行线,是描述性语言,它不是命题,错误;D.取线段AB的中点M,是描述性语言,它不是命题,错误.故选B.)2.A(解析:把命题“等角的补角相等”改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.“等角的补角”是条件部分.故选A.)3.D(解析:“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”,而不是“对顶角相等”,故D选项错误.故选D.)4.B(解析:①④⑤⑥是命题;②③不是命题.所以命题有4个.故选B.)5.C6.|-3|=|3|,但-3≠3(答案不唯一)7.解析:对于条件和结论不十分分明的命题,我们可以先把其改写成“如果……那么……”的形式,再找出条件和结论.由于命题的改法不唯一,所以它的条件和结论也不唯一,如命题(3),还可以改写成“如果两个角相等,那么这两个角的补角相等”.解:(1)条件:两条直线相交;结论:它们只有一个交点. (2)条件:两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;结论:两直线平行. (3)这个命题可以改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.条件:两个角是等角的补角;结论:这两个角相等. (4)这个命题可以改写成“如果一个四边形是平行四边形,那么它的对边相等”.条件:一个四边形是平行四边形;结论:它的对边相等.8.解析:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.根据SAS得ΔABE≌ΔACD,推出∠B=∠C即可.解:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.在ΔABE和ΔACD中,∠∠所以ΔABE≌ΔACD,所以∠B=∠C.所以这是真命题.(答案不唯一)。
广东省河源市正德中学北师大版八年级上册数学课件：721定义与命题(第1课时)
新知探究
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式， 条件和结论不明显，对于这样的命题，要经过分析才能 找出条件和结论，也可以先将它们改写成“如果……那 么……”的形式.
注意：命题的条件部分，有时 也可用“已知……”或者“若……” 等形式表述，命题的结论部分，有 时也可用“求证……”或“则……” 等形式表述.
√（3）无论n为怎样的自然数，式子 n2 n 11的值都
是质数； √（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行； （5）你喜欢数学吗？ （6）作线段AB=CD.
命题的定义：判断一件事情的句子.
（1）（2）（3）（4）都是命题.你能再举几个例子吗？
新知探究
下面的语句中，哪些语句是命题？ （1）你喜欢数学吗？ （2）作线段AB=a. （3）平行用符号“∥”表示.
交流研讨
(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；
(2)如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
(3)全等三角形的面积相等； √ (4)三角形三个内角的和等于180°. √ ·指出上述命题的条件和结论. ·上述命题哪些是正确的？哪些是不正确的？
新知探究
真假命题的定义： 正确的命题称为真命题； 不正确的命题称为假命题.
第7章 平行线的证明
7.2 定义与命题
学习目标
1.通过对实例的交流分析，理解定义、命题的概念， 能分析命题的条件和结论； 2.在了解命题结构的基础上，能判断命题的真假.
复习导入
你能说一说什么样的三角形是直角三角形、锐角 三角形、钝角三角形吗？
三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形. 有一个角为90°的三角形叫做直角三角形. 有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形.
注意： 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例.反例
721数字最简单解释
721数字最简单解释一、关于“721数字最简单解释”721这个数字呢，其实有好多好玩的解释。
（一）从数学的角度来看721就是一个简单的三位数，百位上是7，十位上是2，个位上是1。
如果把它看作是一个加法算式的结果，那有好多组合可以得到它呢，像700 + 20+ 1啦，或者500+220+1呀。
从乘法的角度想，它也可以是721 = 1×721，这说明721是1和它本身的倍数，是个质数呢，不过这质数的身份让它在数学里有点小特别，就像那种有点小个性的朋友，不怎么和其他数能整除。
（二）从生活中的联想1. 可能是7月21日。
这一天也许是某个人的生日，那对这个人来说可就超级重要啦。
在7月的夏天，天气热烘烘的，这一天可能会有一个超级棒的生日派对，有大蛋糕，有好多朋友，大家一起唱歌跳舞，特别热闹。
2. 也可能是某个地方的门牌号。
想象一下，有个小房子的门牌号是721，住在里面的人每天进出都会看到这个数字，时间久了，这个数字就像是他们家的一个小标志。
也许这个房子的主人还会跟朋友说“我家就在721号，可好找啦”。
3. 还有可能是一种密码的一部分。
比如说密码是721xxx，那这个721就像是打开某个秘密的小钥匙的开头部分。
可能是手机密码，要是有人不小心输错了前面的721，手机就会发出“滴”的一声，提示密码错误呢。
（三）从趣味数字组合的角度721这三个数字组合在一起，看起来就很和谐。
7就像一个小锄头，2像个小鸭子，1像个小木棍。
把它们想象成一幅画的话，就可以是小锄头在地里挖东西，小鸭子在旁边嘎嘎叫，小木棍就插在地上当标记，很有趣的画面。
（四）从谐音的角度在有些地方的方言里，721的谐音可能有特别的意思。
比如说可能谐音“去爱呀”，这就很有那种鼓励人去勇敢表达爱的感觉。
就像你喜欢一个人，朋友就会说“721，去爱呀，不要犹豫”。
反正就是说呢，721这个数字虽然看起来普普通通，但只要我们发挥一下想象力，就可以给它很多有意思的解释。
北师大版八年级上册 第七章 721 定义与命题 教案
7.2.1定义与命题(教案）教学目标知识与技能：1.理解定义与命题的概念.2.分清命题的条件和结论,并能判断命题的真假.过程与方法：在实例中体会定义、命题的含义,通过举反例判断一个命题是假命题.情感态度与价值观：通过举反例的方法来判断一个命题是假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.教学重难点【重点】理解命题的概念,找出命题的条件和结论.【难点】正确找出命题的条件和结论.教学准备【教师准备】预想学生在学习本课时中会遇到的困难.【学生准备】复习最近学过的几个重要概念.教学过程一、导入新课上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？下面大家来想一想：（出示投影片）观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.今天我们就来学习“定义与命题”.二、新知构建（1）定义与命题[过渡语]任何学科知识的构建,都离不开用概念表述相关的内容.本课时我们就要从数学的角度认识定义、命题等相关的概念.大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.如：上面的命题（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件，那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.如：“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.师:很好,同学们能举出学过的一些定义吗?生1:“含有未知数的等式叫做方程”是“方程”的定义.生2:“有两边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.生3:“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的整式方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.生4:“具有中华人民共和国国籍的人叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义.师:看来同学们对定义已经有了认识,你能发现“定义”的基本形式是怎样的吗?生:定义的基本形式都是:“……叫做……”.[设计意图]通过学生对定义的举例,加强学生对“什么是定义”的理解.让学生从句子特点与形式上观察,认识定义.2.认识命题思路一[处理方式]独立思考,仔细品味教材议一议的内容,理解什么是命题.下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断?哪些没有?(多媒体出示)(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;(2)对顶角相等;(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD.生:(1)(2)(3)(4)四个句子作出了判断,(5)(6)两个句子没有作出判断.师:是的,前四个句子作出了判断.像这样的句子,叫做命题.你能否给“命题”下个定义呢?生:判断一件事情的句子,叫做命题.(教师板书:判断一件事情的句子,叫做命题)[设计意图]让学生初步认识命题,再引导学生以回答问题的形式对命题的定义进行总结,从感性思维上升到理性思维,培养学生自我学习的能力.思路二：师:给出命题的定义:命题是判断一件事情的句子.你能举出几个命题的例子吗?出示问题:(1)三条边对应相等的两个三角形一定全等;(2)锐角都小于直角;(3)美丽的天空;(4)所有的质数都是奇数;(5)过直线l外一点P作l的平行线;(6)如果明天是星期五,那么后天是星期六;(7)若a2=4,求a的值;(8)熊猫有翅膀.【学生活动】小组交流,对提出的问题作出判断,哪些是命题?哪些不是命题?展示交流:生1:(1)(2)(4)(6)都是命题,其余不是.生2:不对,(8)“熊猫有翅膀”也是命题.师:(质疑)你能说一说为什么吗?生:虽然这句话错了,但它作出了判断.只要是判断一件事情的句子就是命题,不论判断得对错.师:(给出肯定)说得好,谁还能列举出一些命题吗?生1:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等.生2:我是一名学生.师:(作出判断)很好!想一想,定义是命题吗?任何一个命题都是定义吗?(学生思考一会儿,交流后回答)生:定义一定是命题,但命题不一定是定义.[设计意图]通过对命题与非命题的辨析,让学生理解命题的特点,进一步培养学生的能力.教师强化对命题特点的掌握,也为真、假命题的判断打下基础.最后老师提出的问题让学生将本课时所学的两个知识点进行联系与拓广.（2）条件与结论[过渡语]观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征?（1）如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;（2）如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一角分别相等,那么这两个三角形全等.【学生活动】先独立思考,再结合教材第166页想一想的内容,小组内开展交流讨论“命题有什么结构特征”.展示交流成果:生1:都是用“如果……那么……”的形式叙述的.生2:每个命题都是由条件和结论两部分组成的.生3:条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.生4:“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.(教师板书:条件和结论)师:上题的条件、结论分别是什么?生1:(1)题的条件是一个三角形是等腰三角形,结论是这个三角形的两个底角相等.生2:(2)题的条件是a=b,结论是a2=b2.生3:(3)题的条件是两个三角形中有两边和一角分别相等,结论是这两个三角形全等.一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.有些命题没有写成“如果……那么……”的形式,条件和结论不明显,如“同角的余角相等”.对于这样的命题,要经过分析才能找出条件和结论,也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式.[设计意图]对命题的结构进行分析,让学生会区分一个命题的条件和结论.引导学生,当一个命题不好区分条件和结论时,可以先改写成“如果……那么……”的形式;但改写时不要机械地添上“如果”和“那么”,应适当地调整顺序或补充修饰词语,使改写后的语句通顺、完整.（3）、真命题与假命题[过渡语]命题的结论都是正确的吗?教师给出以下四个命题,并提问:(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;(3)全等三角形的面积相等;(4)三角形三个内角的和等于180°.【学生活动】(1)指出命题的条件和结论;(2)命题中哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?在学生回答的基础上进行总结,给出真命题、假命题的概念,以及如何判断一个命题是假命题的方法——举出反例.总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是一个假命题,通常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.(教师板书:真命题、假命题、反例)[设计意图]学生在判断命题的正误时主要依据过去的经验,教师可进一步追问,对于一个不正确的命题,还能怎样判断其错误呢?教师应让学生充分表达自己的判断方法,进而引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了.[知识拓展]1.在定义中,要提示该事物与其他事物的本质属性的区别.2.根据命题的定义可知只要是对一件事情作出判断的句子都是命题,而不论这个判断正确与否.3.很多情况下,命题的形式并不是“如果……那么……”的形式,在把命题改写成“如果……那么……”的形式时,为保证语句的通畅和不改变原意,应对原句进行适当的修改或调整.三、课堂总结—四、课堂练习1.下列命题中,属于定义的是 ()A.两点确定一条直线B.同角或等角的余角相等C.两直线平行,内错角相等D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度解析:A,B,C分别是一个命题,但不是定义;D是一个定义.故选D.2.下列语句中,是命题的是()A.高高的山B.你好吗C.同位角相等D.在直线AB上取一点C解析:A,B,D只是对一件事情的叙述或询问,不是命题.故选C.3.下列语句中,不是命题的是 ()A.直角都相等B.如果ab=0,那么a=0C.不是对顶角的两个角相等D.连接两点A,B解析:A,B,C分别是命题;D不是命题,是描述性语言.故选D.4.下列命题是假命题的是 ()A.锐角小于90°B.平角等于两直角C.若a>b,则a2>b2D.若a2≠b2,则a≠b解析:A.根据锐角的定义,锐角小于90°,正确;B.平角等于180°,直角等于90°,因此平角等于两直角,正确;C.例如a=1,b=-3,1>-3,但12=1<(-3)2=9,错误;D.两个数的平方相等,则两个数相等或互为相反数,因此两个数的平方不相等,则这两个数既不相等也不互为相反数,正确.故选C.5.下列选项中,可以用来说明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A.a=-2B.a=-1C.a=1D.a=2解析:选项A,a=-2满足a2>1,而a=-2不满足a>1的要求,是原命题的反例;选项B和选项C,a=±1不满足a2>1,即不满足题设的条件,不是特例,故不是反例;选项D既满足a2>1,也满足a>1,不是反例.故选A.五、板书设计第1课时1.定义与命题2.条件和结论3.真命题、假命题、反例六、布置作业（1）、教材作业【必做题】教材随堂练习第2题.【选做题】教材习题7.2第3题.（2）、课后作业【基础巩固】1.下列语句中,是命题的为 ()A.延长线段CDB.相等的角是对顶角C.作平行线D.取线段AB的中点M2.命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”是()A.条件部分B.是条件,也是结论C.结论部分D.不是条件,也不是结论3.下列说法不正确的是 ()A.“不等式2x>4的解集是x>2”的条件是“不等式2x>4”B.“如果x2=y2,那么x=y”的结论是“x=y”C.“平行四边形的对角线互相平分”的条件是“平行四边形”D.“对顶角相等”的条件是“对顶角相等”4.下列语句中:①平角都相等;②等于同一个角的两个角相等吗?③画两条相等的线段;④邻补角的平分线互相垂直;⑤两直线平行,同位角相等;⑥等腰三角形的两底角相等.其中是命题的有()A.3个B.4个C.5个D.6个5.下列命题错误的是()A.所有的实数都可用数轴上的点表示B.等角的补角相等C.无理数包括正无理数,0,负无理数D.两点之间,线段最短6.要说明命题“绝对值相等的两个实数相等”是假命题,你举的反例是.【能力提升】7.指出下列命题的条件和结论.(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行;(3)等角的补角相等;(4)平行四边形的对边相等.【拓展探究】8.如图所示,下面有四个条件:(1)AE=AD,(2)AB=AC,(3)OB=OC,(4)∠B=∠C.请你写出一个由其中两个作为已知条件,另外两个中的一个作为结论的命题,并判断其真假.【答案与解析】1.B(解析:A.延长线段CD,是描述性语言,它不是命题,错误;B.相等的角是对顶角是命题,正确;C.作平行线,是描述性语言,它不是命题,错误;D.取线段AB的中点M,是描述性语言,它不是命题,错误.故选B.)2.A(解析:把命题“等角的补角相等”改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.“等角的补角”是条件部分.故选A.)3.D(解析:“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”,而不是“对顶角相等”,故D选项错误.故选D.)4.B(解析:①④⑤⑥是命题;②③不是命题.所以命题有4个.故选B.)5.C6.|-3|=|3|,但-3≠3(答案不唯一)7.解析:对于条件和结论不十分分明的命题,我们可以先把其改写成“如果……那么……”的形式,再找出条件和结论.由于命题的改法不唯一,所以它的条件和结论也不唯一,如命题(3),还可以改写成“如果两个角相等,那么这两个角的补角相等”.解:(1)条件:两条直线相交;结论:它们只有一个交点. (2)条件:两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;结论:两直线平行. (3)这个命题可以改写成“如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等”.条件:两个角是等角的补角;结论:这两个角相等. (4)这个命题可以改写成“如果一个四边形是平行四边形,那么它的对边相等”.条件:一个四边形是平行四边形;结论:它的对边相等.8.解析:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.根据SAS得ΔABE≌ΔACD,推出∠B=∠C即可.解:如果AE=AD,AB=AC,那么∠B=∠C.在ΔABE和ΔACD中,所以ΔABE≌ΔACD,所以∠B=∠C.所以这是真命题.(答案不唯一)。
北师大版初中数学八年级上册 7.2.1 定义和命题 教案
§7.1 为什么要证明？7.1 为什么要证明？教学设计一、核心知识梳理1.推理证明的必要性：通过观察、实验、归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明.2.检验数学结论正确的常用方法：（1）举反例验证边；（2）计算；（3）逻辑推理.二、核心习得归纳补充学习：1.观察不一定得到正确结论；2.不完全归纳不一定得到正确结论；3.一步一步正确推理才能得到正确结论；三、核心思维导航【典例】对于所有自然数n,代数式211-+的值是质数吗？取0n nn=，1，2，3，4，5试一试.你能否得出此结论?一读：关键词：质数.二联：重要结论：质数指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数；重要方法：归纳法,举反例法.三解：解： n 0 12 3 4 5 … 211n n -+ 11 11 13 17 23 31… 当11n =时，原式＝111011⨯+＝1111⨯，211n n -+不是质数；故不能得出对于所有自然数n ，211n n -+的值都是质数的结论． 四悟：不完全的归纳法不能说明结论的合理性可以结合举反例的方法. 拓 展 练 习1.假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个拳头吗？【核思点拨】观察——猜测——证明【解题过程】解：设赤道的周长为C ，则铁丝与地球赤道的间隙为：110.16222C C πππ+-=≈()m 所以这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也可以放进一个拳头.2. 如图，ACD ∠是ABC ∆的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ．设A θ∠=．则：（1）求1A ∠的度数；（2）n A ∠的度数．【核思点拨】据角平分线的定义可得1111,22A BC ABC ACD ACD ∠=∠∠=∠，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACD A ABC ∠=∠+∠，111ACD A BC A ∠=∠+∠，整理即可求出1A ∠的度数，同理求出2A ∠，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【解题过程】证明：∵1A B 是ABC ∠的平分线，1A C 是ACD ∠的平分线， ∴112A BC ABC ∠=∠，112ACD ACD ∠=∠， 又∵ACD A ABC ∠=∠+∠，111ACD A BC A ∠=∠+∠， ∴111()22A ABC ABC A ∠+∠=∠+∠， ∴112A A ∠=∠， ∵A β∠=， ∴12A β∠=； 同理可得∴2n n A β∠=．。
八年级数学上册 7.2 定义与命题“命题”的“三特征”素材 (新版)北师大版
“命题”的“三特征”命题是中考数学中所要考查的重要概念之一，凡是属于判断语句都是命题，命题有三主要特征，下面结合中考试题加以分析，供同学们参考．判断------------命题的第一特征命题就是判断一件事情的句子，它包含两层含义：（1）命题必须一个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可．例1．下列句子是命题吗？哪些不是命题？（1）猴子属于灵长类动物（2）两个全等三角形的对应角相等（3）过直线外一点作直线的平行线（4）一个数的平方一定是非负吗？（5）同位角相等（6）三角形不一定用符号“△”表示（7）圆的周长（8）是平行四边形分析：命题就是一种判断，只有对事物做出了某种判断的语句才叫做命题，反之，若没有判断什么就不是命题，同时要注意命题并不一定要求正确，对事物做出的错误判断也是命题．解：属于命题的有：（1）（2）（5）不属于命题的有：（3）（4）（6）（7）（8）点评：识别一个语句是否是命题时往往与判断正误产生混淆，这里要特别注意．结构-------------命题的第二特征每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果…… ，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，但有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果…… ，那么……”的形式，再找条件和结论．∥，要使四边形ABCD为平行四边形，则例2．如图1，四边形ABCD中，AB CD应添加的条件是（添加一个条件即可）．图1分析：本题就是对命题结构的考查，题目给出了命题的结论，同学们只要结合图形，添加合理的、正确的条件，命题就完整了．解：可以添加（1）BC∥AD；（2）AB=CD等等，答案不唯一点评：本题命题中结论明确而需要完善使其成为真命题的条件，请同学们注意：对每个需要讨论的命题，其条件与结论不一定只有一个，此时一定要分清它们的条件和结论．有真假之分----------命题的第三个特征正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题．注意：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．例3．下列命题：①平行四边形对角线一定相等；②等腰梯形在同一底上的两个角相等；③四边形的内角和等于360；④关于中心对称的两个图形是全等形．其中正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例4．有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个例5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线垂直的四边形是菱形C．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形;D．两条对角线相等的平行四边形是矩形分析：以上三例就是对命题真假的识别问题，同学们只要根据已学的知识就可以辨别解：例3中的四个命题都是真命题，故应选（C）；例4中的②⑤是真命题；①③④是假命题；2例5中的A、B、C都是假命题，D才是真命题，故应选D．点评：命题有真假之分，真命题需要证明，假命题只要举一个反例来说明即可．。
北师大版初中数学八年级上册 7.2.1 定义和命题 优质 教案
2．独立学习课本166页“想一想”下面一段话，总结命题的组成.总结命题的组成任务四（反例）：巡视、组织、辅自学教学内容教师活动学生活动组织学生学习课本，理解反例的概念.四、检测学习效果1.一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.通常含有“叫做、称为、是”等关键词的语句一般都是定义.2.判断一件事情的句子叫做命题.命题有两层意思：①必须是完整的句子.②必须对某件事情作出判断.3.命题形式：命题通常可以写成“如果……那么……”的形式.命题组成：命题都由条件和结论两部分组成.真命题：正确的命题叫真命题.假命题：不正确的命题叫假命题.4.反例：具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子称为反例.五、当堂训练1.在数学运算中，除了加、减、乘、除等运算外，还可以定义新的运算。
如定义一种“星”运算，“*”是它的运算符号，其运算法则是：于是：按以上定义，填空： .六、课堂小结把对定义与命题的认识及自己的表现写在作业本上.七、布置作业八、结束语数学家这样说：数学是如此的重要，它站在科学的高峰扩展人们的智力，探求真理，数学的研究成果传递给其他学科，改变着我们普通大众的生活.定义让我们的世界规范，和谐.命题让我们的社会发展，进步. 适时参与学生学习当中，了解学生具体情况引导学生大胆说出自己的想法对学生想法进行鼓励性评价后补充借助课件强调注意事项并归纳总结方法鼓励学生独立完成，巡视查看讲解关键地方布置小结要求课件出示做好发言准备大胆进行发言发表与其他组不同的想法完善自己的知识结构试着独立完成明确任务准备下课作业设置课本167页知识技能2与数学理解3. 收集有关定义的实例，越多越好.()()()()2473163351653535316353535=*=**-=-⨯+=*=-⨯+=*=*32。
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八年级数学学科导学案
A 、公理、定理
C 、公理、定理、题设（已知条件）
B 、定义、公理、定理
D 、定义、公理、定理、题设 （已知条
命题证明的步骤:
1、根据条件，画出图形，并在图形上标出字母与符号；
2、结合图形，写出已知、求证;
3、分析因果关系，找出由已知推出结论的途径；
4、有条理地写出证明过程 （每一步推理
要有依据）
训练案
三、 巩固提升
1、 卜列说法中，错误的是 （ )
A 、所有的定义都是命题
B 、所有的定理都是命题
C 、所有的公理都是命题
D 、所有的命题都是定理 2、 下列命题中，属于公理的是
( )
A 、同角的补角相等
B 、邻补角的平分线互相垂直
C 、两点之间，线段最短
D 、直角三角形的两个锐角互余
3、 下面是证明“等角的余角相等” 的过程，请在括号内填写各步推理的依据。
即：等角的余角相等
四、走进中考
1.在证明过程中，可以作为逻辑推理依据的是
（
五、课堂小结：通过这节课的学习你有什么收获
六、作业布置
课本P171习题7.3第2题. 反思
已知： / 1 + Z 3=90。
，/ 2+ / 4=90° ，且/ 1 = / 2。
求证： / 3=/ 4。
证明：
• •/ 1 + / 3=90 °( ) •••/ 3=90 — / 1 ( )
• / 2+ / 4=90 °( )
• / 4=90° —/ 2 ( )
• / 1 = / 2
90°—/ 仁90° —/ 2 ( )
• / 3= / 4。