数学难归纳06函数值域及求法教案
函数——值域(教案)
函数（3）——值域二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。
（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。
（二）新课讲解：例1、试画出下列函数图象。
（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈练习：已知函数与分别由下表给出，那么((1))_____;((2))______((3))______;((4))_______f f f g g f g g ====1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域：（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）21y x =- {2,1,0,1,2}x ∈--（3）31y x =+ （4）1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞）， （答案四{1,0,1}-） 2．配方法求二次函数值域例2．已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2(1)4y x =+-∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．（2）∵223y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，当2x =时，max 5y =，∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：当1x =时，min 0y =，当2x =时，max 5y =，∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。
函数及定义域、值域求法教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
函数的值域教案
函数的值域教案教案标题：函数的值域教案教案目标：1. 理解函数的值域的概念；2. 能够确定给定函数的值域；3. 能够解决与函数值域相关的问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入函数的概念，解释函数的定义和符号表示；2. 引入函数的定义域和值域的概念，并解释二者的区别；3. 提出一个问题，例如：对于函数f(x) = x^2，我们如何确定它的值域？探究（15分钟）：1. 分组讨论：让学生分成小组，每组选择一个函数进行研究；2. 指导学生分析所选函数的定义域和值域；3. 引导学生思考如何确定函数的值域，例如通过绘制函数图像、寻找函数的最大值和最小值等方法；4. 指导学生应用所学方法确定各自函数的值域，并与其他小组分享结果。
总结（10分钟）：1. 收集各组的结果，让学生分享他们所确定的函数值域；2. 引导学生总结确定函数值域的方法，并强调重要的观察点，例如函数的最大值、最小值以及是否存在水平渐近线等；3. 提出一些挑战性问题，例如如何确定复杂函数的值域。
应用（15分钟）：1. 分发练习题，让学生在课堂上或课后完成；2. 引导学生应用所学方法解决练习题中的问题；3. 鼓励学生互相合作、讨论和解答问题；4. 督促学生检查答案，并解释他们的解题思路。
拓展（5分钟）：1. 提出一个拓展问题，例如：如何确定反函数的值域？2. 引导学生思考并讨论拓展问题；3. 总结课堂内容，并鼓励学生在日常生活中应用所学知识。
教案评估：1. 观察学生在小组讨论中的参与程度；2. 检查学生在练习题中的解答情况；3. 评估学生对于函数值域概念的理解程度；4. 通过课堂讨论和问题解答，评估学生解决函数值域相关问题的能力。
教案扩展：1. 引导学生研究更复杂的函数，并确定其值域；2. 引导学生应用函数值域的概念解决实际问题；3. 引导学生研究函数值域的性质和特点，例如单调性、奇偶性等。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
函数的值域、解析式的求法精编(教案)
（一）常见函数的值域（1）一次函数)0(≠+=k b kx y （2）反比例函数)0(≠=k xky 的值域为{}0≠y y . （3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为⎪⎪⎫⎢⎡+∞-,442a b ac ；当0<a 时，值域为⎥⎤⎛-∞-a b ac 44,2.（二）求函数值域的方法 （1）直接法（观察法）从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围，适合于简单的复合函数；【例1】求函数221x y +=的值域。
【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<210y y（2）配方法适用于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可化为二次函数型的函数；【例2】求函数223y x x =+- ()x R ∈的值域。
（4)1(2-+=x y ）【答案】{}4-≥y y【变式练习1】求函数()2f x =-【解】22)1(2522242)(---=-+-=x x x x f ，053()2f x ≤≤⇒-≤≤（3）换元法运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
形如y ax b =+±【例3】求函数y x =+【解析】令0)t t =≥，则212t x += 221(1)(0)22t t y t t ++∴=+=≥ 12y ∴≥【变式练习】求函数x x y 212-+=的值域。
【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212t x -= 22151()(0)24y t t t t ∴=-++=--+≥∴当21=t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。
（4）判别式法（∆法）运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式；【例4】求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。
《函数的值域》教案全面版
...... 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影
.
3．判别式法（△法） ：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是 否为 0 的讨论
例 3．求函数 y
x2 5x 6 的值域
x2 x 6
方法一：去分母得
(y
1)
x
2
+(y+5)x
6y 6=0
①
当 y 1 时 ∵ x R ∴△ =(y+5) 2 +4(y 1)× 6(y+1) 0
孔明灯真的很漂
亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。
原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄
昏。风。无垠的旷野。一棵树。 ----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样
③y x x 1 1 1 1
x1 x1
x1
1
∵
0
x1
∴y 1
即函数的值域是 { y| y R 且 y 1} （此法亦称 分离常数法 ）
④当 x>0，∴ y x 1 = ( x x
1 ) 2 2 2， x
当 x<0 时， y
( x 1 ) =－ ( x x
1 )2 2 2 x
∴值域是 ( , 2] [2， + ). （此法也称为 配方法 ）
x x
1 值域 1
解：∵ x2 x 1 ( x 1 ) 2 3 3 0 ， 2 44
∴函数的定义域 R，原式可化为 y(x2 x 1) x2 x 1 ,
整理得 ( y 1) x 2 ( y 1)x y 1 0，
函数的定义域和值域教案
函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。
三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。
（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。
比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。
2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。
（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。
（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。
- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。
3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。
请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。
（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。
高中数学求值域教案
高中数学求值域教案一、教学目标：1. 知识目标：理解求值域的概念，掌握求值域的计算方法。
2. 能力目标：能够独立解决求值域问题，灵活运用求值域的相关知识。
3. 情感态度目标：培养学生对数学问题的探究和思考能力，增强学生对数学的兴趣和信心。
二、教学重点和难点：1. 教学重点：求值域的概念和计算方法。
2. 教学难点：掌握如何确定函数的值域。
三、教学过程：1. 导入活动（5分钟）：教师简要介绍求值域的概念，并通过一个简单的例子引导学生思考什么是函数的值域。
2. 理论讲解（15分钟）：教师系统地介绍求值域的定义和计算方法，重点讲解如何确定函数的最大值和最小值。
3. 示例分析（20分钟）：教师通过几个实例讲解求值域的具体计算过程，引导学生掌握解题方法和技巧。
4. 练习与讨论（15分钟）：学生通过小组合作或个人练习，解决一些求值域问题，并在讨论中互相交流思路和方法。
5. 总结与拓展（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结，并展示一些扩展问题，鼓励学生进一步挑战。
四、教学方法：1. 讲授法：通过系统地讲解，帮助学生建立求值域的概念。
2. 实例引导法：通过实例分析，帮助学生理解求值域的计算方法。
3. 合作探究法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。
五、教学资源：1. 教材教辅资料2. 多媒体设备六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习。
2. 作业表现：学生是否独立完成求值域问题，并能正确解答。
3. 课后反馈：通过课后作业批改和答疑，检验学生对求值域的理解和掌握程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学难归纳06函数值域及求法
教案
难点6 函数值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
●难点磁场
(★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－
4mx+4m2+m+).
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属
★★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.
错解分析：证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.
解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得：S=5000+44 (8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值.此时高：x==88 cm,宽：λx=×88=55 cm.
如果λ∈［］可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得：
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增.
从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值.
答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小.
［例2］已知函数f(x)=,x∈［1,+∞
(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.
(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当a=时，f(x)=x++2
∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f
(1)=.
(2)解法一：在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数
f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )
A.(－∞,－
B.［－,+∞
C.［,+∞
D.(－∞,－］
2.(★★★★)函数y=x+的值域是( )
A.(－∞,1
B.(－∞,－1
C.R
D.［1,+∞
二、填空题
3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
4.(★★★★★)设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________.
三、解答题。